學前兒童約五、六歲的孩子在繪圖時，大部份往往沒有畫出正確的指頭 數，因此是處於無「數」的觀念（黃志成等，1995）。Chip Wood 認為七歲是 一個思想、感情、活動都很旺盛的年紀，他們愈來愈不需依靠操控東西來算數 學、推論、預測和估計，這種能力讓在這個年紀更能夠學習數學概念（引自林 合懋譯，2004）。戴文青（1987）研究說明國小一年級學生至於數字可以寫 到20，或多一點；數字的次序與字體的方向也不再有跳號或巔倒現象，如：
不會將13 寫成 31；算術能力，可從一數到 100，或以五進位，十進位，數 到100；以二進位數到 20，加法在 20 以下的數字大概不會出錯，減法能精 確減算10 以內的數字；能理解形狀、大小與輕重等意義，以及其中的倍數關 係。黃幸美（2004）認為年齡較小的兒童，在運算數算時，能輕易啟動放聲 思考，但礙於語言能力有限；相對地，兒童從語言原型瞭解其解題的思路較 易受阻。
另外，針對一些與國小學齡兒童初期有關的「數字」運算表現能力，以 下研究者提出幾個學者，找出其相關研究並提出結論：
（一）劉範（1981）
劉範研究發現五到七歲的學齡幼兒，是從表象運算向抽象的數字運算 過渡時期，即數詞是標誌個體數量的工具及手段，而且連同它所負載的概念 已成為運算的對象。這時兒童已學會了 20 以內的加減運算，基數和序數概念 都達到了一定的穩定性與柔韌性，對 10 以內的個體有了數量的「守恆」（引 自李丹，1989）。
（二）黃惠禪（2002）
黃惠禪針對國小一年級學童數學能力進行研究，結果發現小學一年級的 學童數學能力初期表現，在非正式數學能力（如唱數，計數）方面發展已臻 成熟，已經具有讀寫二位數字的能力，然而在直式加減計算、十進位及位概 念部分尚未發展完熟，必須透過操作與學習培養能力。
（三）杜聲鋒（1998）
杜聲鋒認為對兒童的運算能力形成有兩種：
１．邏輯運算：指算術特性的關係。（約國小低年級兒童）
２．潛邏輯運算：是邏輯運算的基礎，通常指概念，如物理（長度、重 量、體積等）的恆常觀念，所以說潛邏輯運算（約國 小中、高年級以上）。
杜氏針對國小低年級兒童在形象與運算結構面，提出兒童該有之認知分 析，研究者整理如下表（2-7）：
表（2-7）兒童在形象與運算結構面之認知分析
形象方面 運算方面
所有與對象的形象與狀態有關的東西 所有與物體的對變化有關的東西 重要作用顯示在２～７歲之間 重要作用在７歲之後顯示出來
形象結構：
靜止、不可逆反。
不可重新構成的
運算結構：
運動的、可逆反的。
兩個狀態之間可轉換
參考資料來源：杜聲鋒（1998）。
Piaget 說明兒童得具有「數保留」的能力才能擁有「數」概念（引自陸有 銓等，1989）。常孝貞（2003）提出兒童未達到具體運思期階段，是無法瞭 解數量及算術。Piaget 發表文曾經說明（引自曾進興譯，2006：26）：
經過了漫長的前操作期之後，他在 7 歲左右時，就發展出這些概念；
可逆性、結合性、反向性、包含性、數量的保留性、度量衡、空間座標、同形 性、一些連接詞等。這些是數學和邏輯的基礎。
Piaget 認為兒童要到七歲左右，才能理解數學上的可逆性。可逆性指由 甲大於乙而推知乙小於甲的事實；並根據這些能力的發展，逐漸形成了自己 的邏輯發展。「數目不滅」的概念大約要到六歲才能完成；「物質不滅」或「長度 不滅」也大約到六、七歲才完成，而最難的「容積不滅」亦要等到十一歲以後才 會發展（朱敬先，2004；翁士恆，2006；高傳正，1998）。Piaget 認為數量 與質量、重量和容積在抽象程度上有深淺之別，通常先有「數量、質量不滅」的 概念後，再形成「重量不滅」再到「容積不滅」的概念（陸有銓等，1989）。在 此針對保留概念，整理出與小一生有關保留概念之發展時間表（2-8）。
參考資料來源：朱敬先（2004）；杜聲鋒（1998）；翁士恆（2006）；高傳 正（1998）；黃志成等（1995）。
因此，兒童的數理能力大約在學齡初期已經具有雛形，有的正值七歲 的國小一年級學童其數理能力已經能夠進行較難的數理能力，以Piaget劃分 階段而言，始進入具體運思期，以致能夠操作如可逆性及結合性，或反向性
等等……較具抽象的「數」概念，思考活動多於身體表達。相對地，有的六歲 入學的兒童則還在前運思期階段，雖已懂簡單數學能力，但能力較無法以符 號來執行運思，此年紀的行為身體表達比較多於思考活動。總而言之，國小 一年級學童已有基本的數學運算能力及相當的技能，能夠瞭解數量多寡的判 斷能力，亦就是已具有複數概念。但是，兒童何時才能對抽象的質量、重量和 容積等各項邏輯能力達成認知？針對上述表格僅為一般指標，亦非必然如此。
因此，要達到某一程度，認知某一概念是有個別差異，是沒有絕對的年齡來 劃分。可是對保留概念「由淺到深」的法則確是有一定遵循的路徑。