五年級因數教材分析及因數概念相關研究

壹、82 年版課程標準五年級因數教材分析

82 年版課程標準將數概念分成整數、分數、小數及概數四類，五年級整數 部分的因數教學重點為認識因數、公因數。82 年版課程標準對因數之定義是哪 些正整數可以為單位量以乘法性的合成所指定的正整數（臺灣省國民學校教師 研習會，1997）。例如探討 18 的因數時，1 個「18」是 18、2 個「9」是 18、3 個「6」是 18、6 個「3」是 18、9 個「2」是 18、18 個「1」是 18，所以 18、

9、6、3、2、1 都是 18 的因數，意謂因數問題是向內探討組成某一正整數的單 位量 (南一版數學教學指引第十冊，2000)。82 年版數學課程標準中，因數以 除法原理（若 a、b 為兩個正整數，必可找到 q、r 兩個非負整數，滿足 a＝b×

q＋r 之關係，且 b＞r≧0。即一般所熟知的：被除數＝除數×商＋餘數，其中 餘數大於或等於零且餘數必小於除數。以除法算式表示：被除數÷除數＝商……

餘數。）為基礎，由判斷 a 是否能被 b 整除（即餘數是否為 0）之方式來引入 因數的定義（臺灣省國民學校教師研習會，1997）。82 年版課程標準的因數課 程設計是以除法觀點，由總量為問題起點，探討可能組成之單位量，來進行因 數概念啟蒙 (李浚淵，2003)，教材藉由三種問題情境的安排來幫助學生的因 數概念形成：1.透過方陣排列問題，來探討給定總量之方陣的可能排法，使學 生經驗給定總量之方陣有不同的排法；2.在給定總量之包含除及等分除的情境 問題中，要求學生回答可能的等分組情形，讓學童了解總量可由哪些單位量組 成之意義；3.在給定總數之倍的問題情境中，要求學童解決可能組成單位量之 數值的問題，使學童了解哪些單位量可以組成總量的意義(謝堅，1997)。讓學 生能在各種情境問題中，都可掌握總量可由哪些單位量組成之意義，教學時，

限制學生使用除法算式來記錄解決問題，避免學生從部分的觀點，以合成的方 式來看問題，希望學生由全體的觀點，透過乘法分解的方式來看問題。

謝堅（1993）指出 82 年版課程標準中，公因數是探討在正整數的條件下，

可同時組成兩個或兩個以上之量的單位量，即某幾個正整數共同之因數（國立 教育研究院籌備處，2005）。由探討兩個量之共同組成的單位量情形來引入公 因數之啟蒙，例如 18 與 24，以 1、2、3、6、9、18 為單位量都可組成 18，以 1、2、3、4、6、8、12、24 為單位量皆可組成 24，其中 1、2、3、6 既是組成 18 的單位量，也是組成 24 的單位量，藉由 18 與 24 都可由 1、2、3、6 這些單 位量組成，來引入公因數初步概念。課程上也藉由三種問題情境，幫助學生形 成公因數的概念： 1.透過方陣排列問題，探討兩個方陣的可能連接情形，讓 學生經驗兩方陣可以有不同接法，例如要求學生分別各找出 12 個男生及 18 個 女生所有可能的方陣排列方式，再要求學生討論在男生與女生每排的人數要一 樣（即相同單位量），才能將隊伍接起來，排成一個大方陣的限制下，將男女 兩個方陣排列的隊伍接起來的可能方式；2.在包含除及等分除的情境問題，先 要求學生分別找出兩相異量各自可能等分組的方式，再比較各自的等分組以解 決等分組可能數值的問題；3.在給定兩總量之倍的問題情境下，比較各自可能 的單位量數值，找出可能的相同單位量數值。讓學生在各種情境問題中，都能 解決兩總量可有哪些相同單位量之問題，以形成公因數的概念（李浚淵，200 3）。

82 年版課程標準的課程設計乃因為數的本身相當抽象，對學生而言，從數 之情境進入因數意義，會出現很大的不適應，且學生的測量運思未發展完全，

在課程安排上宜先從情境問題進入，探討因數意義，待學生累積足夠經驗，再 正式引入因數意義（李浚淵，2003）。

貳、九年一貫課程五年級因數教材分析

九年一貫課程綱要將數學內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連 結等五大主題，因數歸屬於「數與量」主題下之「整數」子題的範疇內，九年 一貫數學課程對因數教材內容的編輯與相關基本能力，都有明確說明與規定，

92 年版九年一貫數學課程在五年級須達成的能力指標為：N-2-04 能理解因數、

倍數、公因數與公倍數。分年細目為：5-n-03 能理解因數、倍數、公因數與 公倍數。相關說明整理如下表：

表 2-4-1

92 年版九年一貫課程五年級因數教材能力指標及分年細目內容暨說明表

能力指標 N-2-04 能理解因數、倍數、公因數與公倍數

分年細目 5-n-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。(對照指標

N-2-04)

分年細目說明 1.以 1-n-07（幾個一數），2-n-08（九九乘法），3-n-04(除 法)為前置經驗，理解因數、倍數的概念。

2.用列表的方式，尋找兩數的公因數與公倍數。學童應知道 兩整數的乘積一定是此兩數的公倍數。

標準名詞解釋 1.一不為零的整數甲若能整除另一整數乙，甲稱為乙的因

數，乙稱為甲的倍數。國小階段祇學習正因數、正倍數，國 中階段則引進負因數、負倍數的學習。

2.一整數甲同為兩個以上整數的因數時，則甲為這些數的公 因數。公因數中最大者即稱為最大公因數，最大公因數一定 為正整數。

資料來源：教育部（2009）。

教育部（2009）對 92 年版九年一貫課程綱要進行微調而成 97 年版九年一 貫課程綱要，預計在 100 學年度實施 97 年版課程綱要，97 年版課程綱要的微 調在數學領域主要是階段的畫分，雖然仍為四個階段，但畫分不同，第一階段 是 1、2 年級，第二階段是 3、4 年級，第三階段是 5、6 年級，第四階段是 6、

7、8 年級。因此五年級因數教材須達成的能力指標與分年細目畫分也有變化，

能力指標為：N-3-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。分年細目為：5-n-04 能理解因數和倍數。5-n-05 能認識兩數的公因數、公倍數、最大公因數與最 小公倍數。相關資料如下表：

表 2-4-2

92 年版與 97 年版數學課程綱要在五年級因數教材上最大不同為 97 年版明 確指出五年級需認識最大公因數，而從 92 年版與 97 版數學課程綱可知五年級 因數教材以 1-n-07(幾個一數)，2-n-08(九九乘法)，3-n-05(除法)為前置經驗，

即因數以乘除法為先備知識，而五年級因數學習則作為分數約分、擴分、通分 學習之基石，在五年級因數學習時，僅以列表方式解題，以體驗因數的意義。

參、因數概念相關研究

國內與因數概念相關之研究方向多為探討在因數教材上的學習困難與迷 思概念。

陳渝（2011）在「國小五年級低成就學生因數與倍數之補救教學研究」的 研究結果發現學生的學習困難及迷思概念：1.專有名詞及概念混淆不清，可透 過實物輔助與教師引導來幫助學生理解數量間的關係及學習數學語言的敘述 方式；2.直觀法則與關鍵字解題，可透過補救教學活動產生的正向改變；3.誤 解或看不懂題意，藉由具體物的操作活動，可幫助學生理解文字題題意與答案 之意涵。

陳智遠（2011）在「TestGraf98 在國小六年級學童因數與倍數概念之試題 編製與分析研究」的研究結果發現學生的學習困難及迷思概念：1.找因數或公 因數時會有遺漏或多找的情況；2.對最大公因數的應用題，會不清楚該使用最 大公因數或最小公倍數來解題；3.雖然計算正確，但卻不了解意義。

黃玉雙（2011）在「國小五年級學童在因數與倍數問題表現之研究-以高 雄縣市為例」的研究結果發現學生的學習困難及迷思概念：1.學生未理解整除 概念；2.未建立因數概念；3.誤解某數的因數最大不會超過某數一半；4.公因 數與公倍數概念模糊；5.粗心出現遺漏；6.採關鍵字解文字題策略；7.未考慮 清楚題目要求；8.忽略計算過程代表的意義。

吳秀玲（2008）在「因數倍數單元安置性評量編製之研究」的研究結果發 現學生的因數錯誤類型：1.基本概念錯誤；2.名詞定義不熟或名詞混淆；3.語

言訊息能力不足；4.數學語言表達困難；5.運算及解題錯誤。而學生的因數錯 誤原因：1.知識不足，概念及名詞的混淆；2.對課程內容不熟悉，缺乏精熟練 習；3.新舊學習經驗相互干擾；4.使用錯誤的運算規則；5.不了解或是錯看題 意；6.學習過程中做出錯誤推斷。

劉伊祝（2008）在「高雄市小五學生因數與倍數單元錯誤類型與成因之探 討」的研究結果發現學生的因數錯誤類型：1.遺漏；2、概念連結；3.計算；

4.文字轉譯；5.不完全之計算過程；6.看不懂題目，隨便回答。而錯誤成因：

1.專有名詞及概念認知不清或混淆；2.尋找因數的過程發生遺漏或多找，導致 在公因數的尋找上也發生遺漏或多找；3.忽略 1 和本身均為因數；4.忽略本身 也是倍數，卻誤認 1 也是本身倍數；5.錯誤解讀短除法在公因數計算上的運算 結果；6.運用關鍵字解題；7.因題意認知不清、缺乏文字轉譯能力、計算粗心 或忽略題目條件限制，導致在文字應用題上使用錯誤解題策略。

何欣玫（2005）在「國小六年級學生因數與倍數之數學解題溝通能力研究」

的研究結果發現學生的因數錯誤類型有 1.語言概念：包括題意了解錯誤、語意 知識不足、專有名詞及概念混淆；2.認知概念：包括運思能力不足、粗心錯誤、

運算系統錯誤、直觀法則影響；3.策略概念：包括解題策略錯誤、計劃監控失 誤；4.個人態度：包括厭惡思考、猜測。

陳筱涵（2004）在「高雄地區國一學生因數與倍數單元錯誤類型之分析研 究」的研究結果發現學生的因數錯誤類型：1.專有名詞意義不清楚或概念混淆；

2.指數律誤用或指數概念錯誤導致相關概念計算之錯誤；3.計算錯誤；4.文字 情境題的錯誤。而錯誤原因：1.專有名詞概念混淆或錯誤；2.受此學習經驗影 響，錯誤推論；3.新知識與舊經驗互相干擾、錯誤聯結或類堆；4.使用錯誤運 算規則；5.受文字題中無關訊息的干擾；6.語意知識不足，轉譯題意困難；7.

先備知識不足。

陳標松（2003）在「國小六年級數學學習困難學生因數倍數問題解題之研

陳標松（2003）在「國小六年級數學學習困難學生因數倍數問題解題之研