第四章 研究結果與討論
第四節 五年級因數概念試題關聯結構分析與討論
翰林
課本 習作 總計
次數 百分率 次數 百分率 次數 百分率 程序性知識 15 83.33% 30 66.67% 45 71.43%
概念性知識 3 16.67% 15 33.33% 18 28.57%
總計 18 100.00% 45 100.00% 63 100.00%
從表 4-3-2 翰林版問題知識屬性分布情形來看，翰林版五年級因數教材在 問題知識屬性上以程序性知識為主，問題數有 45 題(71.43%)，概念性知識問 題數有 18 題(28.57%)，課本及習作因數問題皆以程序性知識為主，分別各有 15 題(83.33%)及 30 題(66.67%)，概念性知識問題數分別是 3 題(16.67%)及 15 題(33.33%)。
綜合上述，兩版本五年級因數教材之問題知識屬性皆以程序性知識為主，
程序性知識問題數比例分別達到 71.19%及 71.43%，此兩版本五年級因數教材 皆注重因數問題解題之程序性熟練，可知五年級因數教學在於了解因數意義外，
重點在因數問題解題能力的培養。
第四節 五年級因數概念試題關聯結構分析與討論
本研究目的之ㄧ為獲得兩版本五年級學生因數知識概念階層結構，藉由試 題關聯結構分析法以瞭解兩版本五年級學生因數學習上之概念結構。本節就整 體試題關聯結構圖及個別子概念試題關聯結構圖來探討並分析呈現之訊息。
壹、整體試題關聯結構圖方面
識發展順序，「整除」為最下位概念，且難度最低；頂端分別是試題 4、5、11、
14、18、25、26、29、30，為上位概念，試題 14 位置最高，為最上位概念，
試題 14 為「因數」概念，最上位概念部份不符合專家的知識發展順序，「公因 數」為最上位概念，且難度最高。並可發現試題 3、23；15、20；19、24；23、
28 分別為等價群。
由圖 4-4-2 可知，翰林版試題關聯結構圖以試題 3、6、20 為下位概念，
試題 3 位置最低，為最下位概念，再向上發展延伸出數個系列結構，試題 3 為
「整除」概念，最下位概念符合專家的知識發展順序，「整除」為最下位概念，
且難度最低；頂端分別是試題 4、14、16、19、22、25、26、30，為上位概念，
試題 25 位置最高，為最上位概念，試題 25 為「公因數」概念，最上位概念部 份符合專家的知識發展順序，「公因數」為最上位概念，且難度最高。並可由 圖 4-4-2 發現試題 1、2、12、15、23；5、10、28 分別為等價群。
圖 4-4-1 康軒版群體受試者之試題關聯結構圖
圖 4-4-2 翰林版群體受試者之試題關聯結構圖
貳、個別子概念試題關聯結構圖分析
茲依教材內容為分為「整除」、「因數概念」、「探討因數」、「公因數 概念」、「找公因數」及「探討公因數」，共六類進行探討。
一、
「整除
」概念試題關聯結構之分析
「整除」概念試題有 1、2、3、4 共四題，經 IRS 分析後，畫出「整除」
概念之試題關聯結構圖，如圖 4-4-3、圖 4-4-4：
(一)康軒版
如圖 4-4-3，觀察其概念結構圖，可知整體結構以試題 2 為下位概念分三 部分往上延伸：分別為試題 2 到試題 1、3、4 的順序指向關係。
1.試題 2→試題 1
試題 2 為整除之數字計算，判斷一個三位數是否能被 3 所整除，以無情境 佈題，屬程序性知識；試題 1 為整除之數字計算，判斷一個數是否能被另一個 數所整除，以無情境佈題，屬程序性知識。結構圖顯示：試題 2 為試題 1 的下 位概念，即判斷一個三位數是否能被 3 所整除（試題 2）是判斷一個數是否能 被另一個數所整除（試題 1）的下位概念，吳秀玲(2008)研究指出運算是學生 常見的因數錯誤類型之一。
2.試題 2→試題 3
試題 3 為整除之文字應用題，探討單位量可組成的總數，真實情境佈題，
屬程序性知識。由結構圖可知：判斷一個三位數是否能被 3 所整除（試題 2）
是探討單位量可組成的總數（試題 3）的下位概念。
3.試題 2→試題 4
試題 4 為整除之文字應用題，從平分的觀點探討單位量組成總數的組數，
真實情境佈題，屬程序性知識。由結構圖可知：判斷一個三位數是否能被 3 所 整除（試題 2）是探討單位量組成總數的組數（試題 4）的下位概念。可知文 字應用題是學生比較難以處理的問題(劉伊祝，2008)。
圖 4-4-3 康軒版「整除」概念之試題關聯結構圖
(二)翰林版
如圖 4-4-4，觀察其概念結構圖，可知整體結構以三部分呈現：一部分試 題 2 與試題 1 互有順序性關係；一部分以試題 2 為下位概念，由試題 2 到試題 4 有順序性關係；一部分試題 3 獨立。
1 0.6
0.7
0.8
0.9 0.3
0.4
0.5 0.2
○
2○
3○
1○
4答對率
1.試題 2←→試題 1
試題 2 為整除之數字計算，判斷一個三位數是否能被 3 所整除，以無情境 佈題，屬程序性知識；試題 1 為整除之數字計算，判斷一個數是否能被另一個 數所整除，以無情境佈題，屬程序性知識。結構圖顯示：試題 2 與試題 1 互相 有順序性關係，也就是等價關聯，表示兩題型具備同質性。
2.試題 2→試題 4
試題 4 為整除之文字應用題，從平分的觀點探討單位量組成總數的組數，
真實情境佈題，屬程序性知識。由結構圖可知：試題 2 為試題 4 的下位概念，
即判斷一個三位數是否能被 3 所整除為探討單位量組成總數的組數的下位概念。
可知文字應用題是學生比較難以處理的問題(劉伊祝，2008)。
3.試題 3 獨立
試題 3 為整除之文字應用題，探討單位量可組成的總數，真實情境佈題，
屬程序性知識。試題 3 與試題 1、2、4 均無關聯，學生從單位量可共同組成的 總量概念解題，非以總量觀點來看可組成總量的單位量，試題 3 概念獨立。
綜合上述可發現試題試 4 之整除文字應用題在答對率與同為整除概念的 試題 1、2、3 皆有明顯差距，學生普遍皆可解決整除概念的問題，在解決整除 文字應用題上較有困難，教材的編排在問題佈題方面應增加整除問題的真實情 境之佈題形式比例，加強學生文字應用題解題的能力。
圖 4-4-4 翰林版「整除」概念之試題關聯結構圖
二、「因數概念」概念試題關聯結構之分析
「因數概念」試題有試題 5、6、7、8、11、27 及 28 等七題，經 IRS 分析 後，畫出「因數概念」之試題關聯結構圖，如圖 4-4-5、圖 4-4-6：
1
答對率
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9 0.2
0.3
○
3○
2○
1○
4(一)康軒版
如圖 4-4-5，觀察其概念結構圖，可知整體結構以三部分呈現：以試題 28 為最下位概念，一部分由試題 28 與試題 6 互相有順序性關係，再往上依序連 接試題 7 及試題 5；一部份由試題 28 到試題 8 的順序性關係，再往上依序連接 試題 7 及試題 5，前二部分結構圖中皆呈現一系列化現象（竹谷誠，1991）；一 部分為試題 11、27 均無順序性關係，表示二試題概念是獨立的。
1.試題 28←→試題 6→試題 7→試題 5
試題 28 為「因數概念」文字題，以真實情境佈題，屬程序性知識；試題 5、6、7 同為「因數概念」文字題，以無情境佈題，屬概念性知識；由結構圖 得知：試題 28 與試題 6 互有順序性關係，意即試題 28 與試題 6 是等價關聯，
兩題型具備同質性，可知學生從平分整除觀點解題，能理解因數與整除的關係。
由試題 6 到試題 7 的順序性關係，再向上連接到試題 5，試題 5 為試題 6 與試 題 7 的上位概念，試題 5 及試題 6 皆為除法算式觀點判斷因數關係，又試題 6 之數值比試題 5 大，可知學生具有只認為商是被除數之因數，不認為除數是被 除數之因數的迷思概念(林珮如，2002)，從黃國勳、劉祥通(2002)的研究可知 其原因為學生缺乏「過程概念」(procept)，過程概念是從過程衍生而來，此種 概念含有隱藏的知識(tacit knowledge)，可利用實際操作活動讓學生紀錄算式，
並觀察自己所記錄的算式去發現此隱藏的知識。
2.試題 28→試題 8→試題 7→試題 5
試題 5、7、8、28 呈現一系列化現象，以試題 28 最下位概念，試題 5 為 最上位概念，試題 6、7、8 同為「因數概念」了解題，以無情境佈題，屬概念 性知識；試題 7 及試題 8 皆是從乘法算式觀點判斷因數關係，試題 7 數值比試 題 8 小，可知學生具有只認為被乘數是積之因數，不認為乘數是積之因數的迷 思概念(林珮如，2002)。
3.試題 11、27 獨立
試題 11 為在給定有限個數字的範圍內，以判斷某數的全部因數，以無情 境佈題，屬程序性知識，結構圖中呈現此概念為獨立，此試題設計上所給定的 數字皆為問題數字之因數，學生因粗心，計算錯誤而呈現錯誤作答以致產生概 念獨立(劉伊祝，2008)。試題 27 為「因數概念」文字題，以真實情境佈題，
屬程序性知識，結構圖中呈現此概念獨立，試題提問上以反向設計，學生作答 時可能無法及時反應過來而呈現錯誤產生概念獨立。
圖 4-4-5 康軒版「因數概念」概念之試題關聯結構圖 0.5
0.6
0.8 0.7
0.9 0.4 0.3 0.2
1
答對率
○
5○
28○
8○
7○
11○
6○
27(二)翰林版
如圖 4-4-6，觀察其概念結構圖，可知整體結構以四部分呈現：一部分以 試題 28 為最下位概念，由試題 28 到試題 5 的順序性關係，再向上分別連接到 試題 7 及試題 8；一部分由試題 6 到試題 8 的順序性關係；一部分為試題 11、
27 均無順序性關係，表示二試題概念是獨立的。
1.試題 6→試題 8
試題 6 及試題 8 同為「因數概念」文字題，「因數概念」了解題，以無情 境佈題，屬概念性知識；結構圖顯現以試題 6 為下位概念，試題 8 為上位概念，
試題 6 從除法算是觀點判斷因數關係，試題 8 從乘法算式觀點判斷因數關係，
可知學生比較容易從除法觀點理解因數意義。
2.試題 28→試題 5→試題 7
試題 28、5、7 呈現一系列化現象，以試題 28 最下位概念，試題 7 為最上 位概念，試題 5、7 同為「因數概念」了解題，以無情境佈題，屬概念性知識；
試題 5 從除法算式觀點判斷因數關係，試題 7 從乘法算式觀點判斷因數關係，
可知學生比較容易從除法觀點理解因數意義。
3.試題 28→試題 5→試題 8
試題 28、5、8 呈現一系列化現象，以試題 28 最下位概念，試題 7 為最上 位概念，試題 5、8 同為「因數概念」了解題，以無情境佈題，屬概念性知識；
試題 5 從除法算式觀點判斷因數關係，試題 8 從乘法算式觀點判斷因數關係，
可知學生比較容易從除法觀點理解因數意義。
4.試題 11、27 獨立
試題 11 為在給定有限個數字的範圍內，以判斷某數的全部因數，以無情 境佈題，屬程序性知識，結構圖中呈現此概念為獨立，此試題設計上所給定的 數字皆為問題數字之因數，學生因粗心，計算錯誤而呈現錯誤作答以致產生概 念獨立(劉伊祝，2008)。試題 27 為「因數概念」文字題，以真實情境佈題，
屬程序性知識，結構圖中呈現此概念獨立，試題提問上以反向設計，學生作答 時可能無法及時反應過來而呈現錯誤產生概念獨立。
圖 4-4-6 翰林版「因數概念」概念之試題關聯結構圖 答對率
0.5
0.6
0.8 0.7
0.9 0.4 0.3 0.2
1
○
5○
28○
8○
7○
11○
6○
27綜合上述，康軒版「因數概念」試題關聯結構圖顯現學生概念結構在因數 關係判斷上具有迷思概念，分別為只認為商是被除數之因數，不認為除數是被
綜合上述，康軒版「因數概念」試題關聯結構圖顯現學生概念結構在因數 關係判斷上具有迷思概念，分別為只認為商是被除數之因數，不認為除數是被