伴隨問題

目前為止，模擬模式已架構完成，可以透過數值模擬計算流場與示蹤劑傳輸 歷程；目標函數也已設定完成，可以評估模擬結果的好壞；這時只需要有一個可 以有效修正參數的演算法即可完成求解地下水反向問題。這個演算法必須可以評 估參數估計錯誤對於模擬結果的影響，以正確的計算目標函數對應於未知參數的 梯度值（the gradients of objective function with respect to unknown parameters），梯 度之定義為任意一個參數值的單位變化所造成的目標函數變化大小，此一梯度值 指示了參數該如何更新。

一般的逆向演算法耗費最多的計算時間在求取這些梯度值，在參數眾多的情 況下，將大幅降低演算法的求解效率。為了增進反演的效率，本研究選用 Sun and Yeh (1990)所提出之伴隨狀態法以加快求解梯度值的速度，提升最佳化方法的效 率。伴隨狀態法基本作法是將原本的模擬問題（simulation problem）取變分，經

過一系列數學推導得出其伴隨問題（adjonit problem），此伴隨問題一樣包含了控 計算。類似的推導可以在 James et al. (2000)和 Cirpka and Kitanidis (2000)的文章 中看到，但是不同於這兩篇文章，本研究不多設額外的假狀態變數（dummy state variables），採用一個狀態變數以一個方程式表示，多個方程式連立求解，此法 較為直覺且簡單。同時，於本研究的控制方程式中，我們考量了源匯項，使得模 式可以模擬實際之示蹤劑試驗，這也是前人研究所沒有的。在水流與傳輸邊界條 件的處理上，我們使用了相同的邊界條件形式，即假設均為 Neumann or Direchilet 形式，一個是限制了邊界上狀態變數值，一個是限制了邊界上的通量，如此可以

為觀測井處之模擬與觀測狀態變數間的誤差值，伴隨問題將此誤差視為源匯項

（sink or source term）處理。

伴隨問題的邊界條件，其數量與模擬問題相當，共有三個限定值與三個限定

（computational burden）。另外，此伴隨狀態變數法推導所得之梯度式，在高次 項可以忽略的狀況下，其為無誤差的數學解，數值正確性優於微小擾動法的離散

傳遞而影響到下游計算結果的正確性。所以在進行誤差分析時，這些由上游來的 誤差必須透過某個方法讓他合理的往上游逆向分布回去，伴隨問題的控制方程式 就是這樣一個逆向演算式，這也就是為何其流向會與模擬問題相反。藉由伴隨控 制方程式，模擬與觀測的誤差分布就由伴隨狀態變數場來適切地描述，所以未知 參數的修正也可以由狀態變數和伴隨狀態變數的積分值計算得到一個合理的結 果。對於異質性（heterogeneous）含水層而言，其參數處處不同，也一樣可以使 用相同的梯度積分式計算，只是積分區域將針對各個參數所代表的區域積分。所 以應用伴隨狀態法，僅需求解一次模擬問題與一次伴隨問題，所有參數的更新梯 度可以同時評估完成。後續只需重複更新參數值直到演算法收斂，目標函數值小 於容許值為止，即完成了地下水水力傳導係數的最佳估計。

最後，再次強調伴隨問題的邊界條件需包含給定值與給定通量的邊界形式，

而且不能以全部給定為通量邊界後再給定內部參考點的方式解除此一限制，因為 任何內部點的給定對於伴隨問題來說，都將是一個無限的源匯項，在各個時間中 不斷進入或流出伴隨狀態變數場中，使得伴隨狀態變數值發散，計算所得之梯度 錯誤。所以對於伴隨問題而言，一定必須只少有一個給定值的邊界與一個給定通 量的邊界。