本節敘述伴隨狀態變數的分布，發現其恰巧是模擬誤差的分布場，其分布特 徵也顯示了水位、流速與動差所包含之參數場的資訊，因此可以正確地用於評估 梯度值。
在計算完參數估計錯誤所造成狀態變數的誤差後，取四個觀測井處與兩個抽 水井處的誤差，以源滅項形式放入伴隨狀態方程式中，配合伴隨邊界條件求解四 個伴隨狀態變數場。這些誤差以點源（point source）的形式進入伴隨狀態變數場 後，即依據伴隨問題進行誤差分布，所以伴隨狀態變數可以視為一個誤差分布 場，但此分布場與上述的狀態變數誤差分布又不同，他是比較像在描述參數場的 誤差分布，此部分後續將進一步論述。
由於水頭、流速、零階動差與一階動差的數量級（order）各不相同，如水 頭的數量級是 10 的一次方，而零階動差是 10 的負二次方，相差了一千倍，所以 不同觀測資料模擬與觀測誤差值的數量級也是差異甚大，將這樣差異甚大的誤差 以相同的源滅項形式放入伴隨問題中時，計算結果發現所有的伴隨狀態變數場由 一階動差主控，因為他的數量級是 10 的二次方，最大；所有其他種類的觀測誤 差相較之下完全不具有任何意義。為了避免這種單一觀測資料數值過大導致主控 了計算結果的問題發生，在將誤差放入伴隨問題之前，先將所有的誤差正規化
（normalize），使其值相近，皆介於零到一之間，這樣不同的觀測資料才得以有 效的融合（assimilate）在一起。正規化方法如下，所有的水頭誤差將除以邊界水 頭值，正規化之；流速誤差則是除以最大流速值；零階動差誤差除以注入濃度與 試驗時間的乘積；一階動差誤差則是除以濃度以及試驗時間平方的乘積，最後得 到不帶有單位的誤差值。
對於地下水流與傳輸模擬問題求解，首先是聯立解連續方程式與水流方程 式，得水頭與流速場。據此流場以及零階動差方程式，求解得零階動差場。最後 流場與零階動差場置於一階動差方程式中，計算一階動差場。但對於伴隨問題而 言，其求解的程序則剛好相反，首先是將正規化後的一階動差誤差值放入一階動 差的伴隨方程式，求解得伴隨一階動差場。接著將零階動差的誤差與伴隨一階動 差場放入零階動差的伴隨方程式中，計算伴隨零階動差場。而後將水頭誤差、流 速誤差、伴隨零階與一階動差，放入伴隨連續方程式與伴隨水流方程式中，聯立 求解伴隨水頭場與伴隨流速場，整個求解程序正好與模擬問題相反（reversed）。
這樣的反向計算目的即在將求解模擬問題過程中，參數估計誤差導致水頭、流速 誤差，在影響零階動差，最後導致一階動差的誤差，全部反向分布。一階動差誤 差反向分布後以伴隨一階動差場描述，而後再反向分布於零階動差場，最後是流 場，最後這些反向誤差分布場配合推導所得梯度積分式計算得到參數估計的誤 差，所以是一層一層將誤差回復至一開始的來源，即參數場的估計錯誤，所以本 小節一開始即將伴隨狀態變數場解釋為一種對於參數估計誤差場之描述。伴隨一 階動差、伴隨零階動差與伴隨水頭、伴隨流速的分布情形，分別繪於圖 3.12 至 圖 3.15。
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
0 10 20 30 40 50 60
圖 3.12 伴隨一階動差分布圖, *E103
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 0
10 20 30 40 50 60
圖 3.13 伴隨零階動差分布圖, 2
圖 3.12 明顯的表示出一階動差的誤差從六個觀測點源處注入，逆向從下游 往上游傳輸，最後的伴隨一階動差分布場僅在左半邊上游處有值，下游處皆為 零。而原本的一階動差是 10 的二次方數量級，而且是一個時間積分值，再經過 正規化與逆向傳輸分布後，攤平為一個非積分（non-integral）的誤差分布形式，
其數量級降為 10 的負十次方，這就是為何計算所得伴隨一階動差變數的值大3 幅小於一階動差。從圖 3.12 也可以看出的分布在場址上半部較大，而下半部3 較小，這是因為第一參數分區內的一階動差誤差大於分區二的誤差，這誤差從抽 水井處往上游逆流至注入井處，所以伴隨一階動差場在觀測井與注入井處的值都 比較大，且分區一大於分區二。此伴隨一階動差分布場以源點項注入了伴隨零階 動差場中，所以圖 3.12 與圖 3.13 伴隨一階動差與伴隨零階動差兩者分布的型態 十分相似，其值都是從觀測井處往上游緩慢的遞減，但可以看出伴隨零階動差場 經過再一次的反向傳輸後，分布的更為均勻。
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 0
10 20 30 40 50 60
圖 3.14 伴隨水頭分布圖, 1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
0 10 20 30 40 50 60
Reference Vectors 1E-008
圖 3.15 伴隨流速分布圖,
最後聯立解得的伴隨水頭與伴隨流速場分布如圖 3.14 與圖 3.15 所示，伴隨 水頭場的分布形式與伴隨動差場明顯不同，不再偏向於上游分布，而是全域皆有 值，除了注入井與觀測井有較大值外，抽水井處也有明顯的值。這就表示說水頭 觀測包含了更大範圍的參數場資訊，四周圍的水力傳導係數估計錯誤都會影響到 觀測水頭值，不像動差觀測僅侷限於上游處 K 的資訊。至於伴隨流速場，可以
發現流速誤差僅僅反應在六個觀測位置處，且其值很小，整體的伴隨流速場十分 均勻，伴隨流線大致成水平分布，此分布與貢獻度分析結果相同，流速僅對觀測 點位 K 值檢定有貢獻。綜上所述，可以發現在四種觀測中，以水頭觀測資料包 含了最多未知水文地質參數場的分布資訊。確定了不同類型的觀測對於參數檢定 的貢獻度，以及伴隨狀態變數所隱含的意義後，以下將利用本研究所提之最佳化 演算法，逆向估計水力傳導係數場。