初始估計誤差

此小節描述在給定的初始參數猜值下，模擬水位、流速及動差與觀測之間的 誤差，會確實反應參數場的高估與低估情形。對於耦合地下水與傳輸的逆向問題 而言，參數場是未知的，本研究所發展之最佳化方法即用於估計這些未知的參數 值，對此案例而言即為 K1與 K2。首先我們猜測全域為一均質（homogeneous）

參數場，水力傳導係數為一定值常數等於 5m/day。由於參數估計的錯誤，將導 致透過控制方程式與邊界條件計算所得的狀態變數場產生誤差，將模擬所得每一 點計算值減去 OSSE 的觀測值，可以得到水頭、流速、零階與一階動差的誤差分 布場，分別描繪於圖 3.5 至圖 3.7。繪製這些誤差分布場的目的，是要評估參數 數值的高估與低估，如何反應在模擬狀態變數場的誤差中。

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Reference Vectors 0.1

圖 3.5 初始參數估計所造成之水頭與流速誤差分布圖

對於穩態流場而言，抽水量為一固定常數，所以如果參數場中有部分水力傳 導係數值被高估（higher-estimated）了，如第二參數分區其 K 值真值為 2m/day，

初始猜值卻高估成 5m/day，區域二之水力梯度只好降低以維持固定的流通水 量，這也表示區域二的水位會變得平緩，水頭會被高估，所以圖 3.5 中區域二內 的誤差值大部分為正，越靠近抽水井處高估的越嚴重。相反地，在區域一中的 K 值是低估的，所以其計算水頭也會變低，誤差值為負。參數估計的誤差也造成了 區域一內的水流變緩慢，而區域二的流速變快。此結果顯示，水頭與流速的誤差 分布表現出了參數場估計的錯誤，水頭與流速的觀測提供了水力傳導係數的直接 資訊（direct information），其關係表示式即為達西定律（Darcy’s law）。

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圖 3.6 初始參數估計所造成之零階動差誤差分布圖

由圖 3.6 可以看出，錯誤的參數估計場對應產生了一個非常不同的零階動差 場，模擬與觀測之誤差最高達 0.250，為觀測值的 20％，此巨大的誤差發生於流 線轉折處。而在靠近注入井處，零階動差大小主要由注入之示蹤劑濃度控制，與 參數場較為無關，所以其誤差為零。因為初始參數場為均質場，所以流線大部分 成平行分布，而真實流場因地質異質性，流線在參數分區交界處彎曲，所以隨著 此彎曲程度模擬的零階動差誤差持續增大，在流線趨於平緩後再漸漸變小。在區 域一中的水力傳導係數真值為 8m/day，被低估為 5m/day，導致抽水井處所得之 突破曲線變為平緩，使得濃度積分後的零階動差值變大了，模擬值高估。相反地，

在區域二的抽水井處由於高估了 K 值，使得模擬零階動差被低估。結果顯示了

在不同示蹤劑注入濃度策略下，形成的隨空間變化的零階動差場，的確提供了關 於水流狀況以及參數場分布很有意義的資訊。

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圖 3.7 初始參數估計所造成之一階動差誤差分布圖

圖 3.7 中顯示一階動差場在第二參數分區中被低估了，而在第一參數分區為高估 之情形。這是因為分區二的 K 值被高估了，導致了流線變為水平而無彎曲，使 得流徑變短了，流徑越短則一階動差值越小。而在第一分區中，低估的水力傳導 係數使得流徑變長，且由於突破曲線變為平緩，使得濃度乘上時間後的積分值也 變大了，最後模擬所得一階動差值較實際觀測為大。這樣的誤差分布情形顯示了 一階動差觀測也包含了水力傳導係數場的分布資訊；但不同於水頭與流速與水力 傳導係數是直接相關的，從達西方程式中就可以知道參數場對於狀態變數的影 響，動差則是以傳輸之後的形式，提供檢定參數場時一種間接的資訊（indirect information），這樣的間接資訊可以視為傳輸方程式中孔隙流速 v 所引入之流場 資訊的呈現，所以在估計水力傳導係數場時，需將水流與傳輸方程式耦合求解，

耦合之意義即在於 K 值場不僅影響的水頭與流速，也影響了動差的分布場。在 本研究中，無論是直接或間接的資訊，水頭、流速、零階動差與一階動差四種不 同的觀測資料，將以所提出之最佳化方法論適當地整合，以估計水力傳導係數場。