由研究成果發現，本最佳化方法論有效整合了各種觀測資訊，使地下水逆向 問題的求解變為可行，具體成果如下：
1. 相關性分析結果顯示蓄水係數與初始水位呈高度相關，導水係數與邊界 水位、邊界流量皆高度相關。這樣的相關性導致逆向問題的求解成為一 個非唯一解（non-unique solution）的問題，估計結果受到給定觀測資料 的不同而異。
2. 在探討案例中，由原本使用單一洩降曲線觀測導致參數與條件估計錯 誤，在同時使用觀測井與抽水井的洩降曲線後，由於觀測資訊的增加，
使得完整逆向問題收斂為一個可以檢定的問題，參數、初始條件以及邊 界條件可以同時正確估計。
3. 蓄水係數與初始條件之檢定有賴於非穩態水位時間序列觀測，而且越早 期動態的洩降貢獻度越大。晚期穩態的水位則是對於導水係數與邊界條 件之檢定提供了有效的資訊。
4. 在觀測充足（sufficient）的狀況下，比較參數檢定、參數與邊界條件檢 定以及完整逆向問題的估計結果，發現初始與邊界條件已知的假設影響 了檢定結果的正確性，傳統的參數檢定問題得到的參數估計值依賴於
（depend on）給定條件的數值，除非給定值正確，否則唯有開放將初 始條件與邊界條件也納入檢定，才能得到正確的估計。
後續建議將參數、初始與邊界條件為均質場的假設放寬，增加其空間的變 異，並以本研究所提之最佳化方法論求解，以測試方法論的實用性
（practicability）。當應用此方法於現場場址特徵調查時，建議增加更多的限制條 件（constraints）與事先資訊（prior information），才能確保最佳化程序的收斂性 與估計結果的正確性。
參考文獻
1. Barlebo, H. C., M. C. Hill, D. Rosbjerg, and K. H. Jensen (1998), Concentration data and dimensionality in groundwater models: Evaluation using inverse modeling, Nordic Hydrology, 29(3), 149-178.
2. Barth, G., and M. C. Hill (2005), Numerical methods for improving sensitivity analysis and parameter estimation of virus transport simulated using
sorptive-reactive processes, Journal of Contaminant Hydrology, 76(3-4), 251-277.
3. Basu, N. B., P. S. C. Rao, I. C. Poyer, M. C. Annable, and K. Hatfield (2006), Flux-based assessment at a manufacturing site contaminated with
trichloroethylene, Journal of Contaminant Hydrology, 86(1-2), 105-127.
4. Bear, J. (1979), Hydraulics of Groundwater, McGraw-Hill Inc., New York.
5. Bonilla, F. A., and J. H. Cushman (2000), Role of boundary conditions in
convergence and nonlocality of solutions to stochastic flow problems in bounded domains, Water Resour. Res., 36(4), 981–997.
6. Brochu, Y., and D. Marcotte (2003), A simple approach to account for radial flow and boundary conditions when kriging hydraulic head fields for confined
aquifers, Mathematical Geology, 35(2), 111-139.
7. Carrera, J., and S. P. Neuman (1986), Estimation of aquifer parameters under transient and steady state conditions: 1. Maximun likelihood method
incorporating prior information, Water Resour. Res., 22(2), 199-210.
8. Carrera, J. (1987), State of the art of the inverse problem applied to the flow and solute transport equations, in Groundwater Flow and Quality Modeling, NATO ASI Ser., pp.549-585, D. Reidel Pub. Co., Holland.
9. Carrera, J., A. Alcolea, A. Medina, J. Hidalgo, and L. J. Slooten (2005), Inverse problem in hydrogeology, Hydrogeology Journal, 13(1), 206-222.
10. Cirpka, O. A., and P. K. Kitanidis (2000), Sensitivity of temporal moments calculated by the adjoint-state method and joint inversing of head and tracer data, Adv. Water Resour., 24(1), 89-103.
11. Cheng, J. M., and W. W.-G. Yeh (1992), A proposed quasi-newton method for parameter-identification in a flow and transport-system, Adv. Water Resour., 15(4), 239-249.
12. Chen, Y., and D. Zhang (2006), Data assimilation for transient flow in geologic formations via ensemble Kalman filter, Adv. Water Resour., 29, 1107–1122.
13. Dinwiddie, C. L., N. A. Foley, and F. J. Molz (1999), In-well hydraulics of the electromagnetic borehole flowmeter, Groundwater Water, 37(2), 305-315.
14. Gomez-Hernanez, J. J., A. Sahuquillo, and J. E. Capilla (1997), Stochastic simulation of transmissivity fields conditional to both transmissivity and piezometric data - I. Theory, Journal of Hydrology, 203(1-4), 162-174.
15. Harvey, C. W., and S. M. Gorelick (1995), Temporal moment-generating equations: Modeling transport and mass transfer in heterogeneous aquifers, Water Resour. Res., 31(8), 1895-1911.
16. James, A. I., W. D. Graham, K. Hatfield, P. S. C. Rao, and M. D. Annable (1997), Optimal estimation of residual non-aqueous phase liquid saturations using partitioning tracer concentration data, Water Resour. Res., 33(12), 2621-2636.
17. James, A. I., W. D. Graham, K. Hatfield, P. S. C. Rao, and M. D. Annable (2000), Estimation of spatially variable residual nonaqueous phase liquid saturations in nonuniform flow fields using partitioning tracer data, Water Resour. Res., 36(4), 999-1012.
18. Jawitz, J. W., M. D. Annable, G. G. Demmy, and P. S. C. Rao (2003), Estimating nonaqueous phase liquid spatial variability using partitioning tracer higher
temporal moments, Water Resour. Res., 39(7), 1192, doi:10.1029/2002WR001309.
19. Jin, M. Q., M. Delshad, V. Dwarakanath, D. C. Mckinney, G. A. Pope, K.
Sepehrnoori, C. E. Tilburg, and R. E. Jackson (1995), Partition tracer test for detection, estimation, and remediation performance assessment of subsurface nonaqueous phase liquids, Water Resour. Res., 31(5), 1201-1211.
20. Kitanidis, P. K. (1995), Quasi-linear geostatistical theory for inversing, Water Resour. Res., 31(10), 2411-2419.
21. LaVenue, A. M., and J. F. Pickens (1992), Application of a coupled adjoint sensitivity and kriging approach to calibrate a groundwater-flow model, Water Resour. Res., 28(6), 1543-1569.
22. Mayer, A. S., and C. L. Huang (1999), Development and application of a coupled-process parameter inversion model based on the maximum likelihood estimation method, Adv. Water Resour., 22(8), 841-853.
23. McLaughlin, D. and L. R. Townley (1996), A reassessment of the groundwater inverse problem, Water Resour. Res., 32(5), 1131-1161.
24. Rubin, Y., and G. Dagan (1988), Stochastic analysis of boundaries effects on head spatial variability in heterogeneous aquifers 1.Constent head boundary, Water Resour. Res., 24(10), 1689-1697.
25. Rubin, Y., M. A. Cushey, and A. Wilson (1997), The moments of the breakthrough curves of instantaneously and kinetically sorbing solutes in heterogeneous geologic media: Prediction and parameter inference from field measurements, Water Resour. Res., 33(11), 2465-2481.
26. Sun, N.-Z., and W. W.-G. Yeh (1990), Coupled inverse problems in groundwater modeling, 1. Sensitivity analysis and parameter identification, Water Resour. Res., 26(10), 2507-2525.
27. Sun, N.-Z. (1994), Inverse Problems in Groundwater Modeling, Kluwer Acad., Netherlands.
28. Sun, N.-Z., and W. W.-G. Yeh (2007), Development of objective-oriented groundwater models: 1. Robust parameter identification, Water Resour. Res., 43(2), W02420.
29. Wagner B. J. (1992), Simultaneous parameter estimation and contaminant source characterization for coupled groundwater flow and contaminant transport
modeling, Journal of Hydrology, 135(1-4), 275-303.
30. Wu, Y.-S., C.-H. Lee, and J.-L. Yu (2008), Effects of Hydraulic Variables and Well Construction on Horizontal Borehole Flowmeter Measurements, Ground Water Monitoring & Remediation, 28(1), 65–74.
31. Yeh, T.-C. J., and P. A. Mock (1996), A structured approach for calibrating steady-state ground-water flow models, Ground Water, 34(3), 444-450.
32. Yeh, T.-C. J., C. H. Lee, K.-C. Hsu, and Y.-C. Tan (2007), Fusion of active and passive hydrologic and geophysical tomographic surveys: The future of
subsurface characterization. In Data Integration in Subsurface Hydrology, ed.
D.W. Hyndman, F.D. Day-Lewis, and K. Singha, AGU monograph.
33. Yeh, W. W.-G. (1986), Review of parameter identification procedures in groundwater hydrology : The inverse problem, Water Resour. Res., 22(2), 95-108.
34. Yeh, W. W.-G., and N.-Z. Sun (1990), Variational sensitivity analysis, data requirement, and parameter identification in a leaky aquifer system, Water Resour. Res., 26(9), 1927-1938.
35. Zijl, W. (2004), A direct method for the identification of the permeability field based on flux assimilation by a discrete analog of Darcy's law, Transport in Porous Media, 56(1), 87-112.
附錄 A 地下水參數檢定之伴隨問題推導
sink source s s
Q Q t C 狀態變數帶入後得變分問題(variational problem)如下：
1 2 (adjoint state variable)。每一個狀態變數皆有一個伴隨狀態變數，所以共有四個伴 隨狀態變數分別乘上與其對應的原來四個狀態變數的變分控制方程式。之後對整 個時間空間域進行積分，也就是伴隨狀態法考量了整個模擬區域與時間內，參數 變化對於狀態變數場的影響。積分後之方程式使用格林定理(Green’s theorem)處 理，格林定理基本概念是一個物理量的改變可以分為兩項做探討，一項是物體內
其中、1 x
2 2 2 2 2
com obs xcom xobs ycom yobs com obs
x y
com obs
f m m
E Hd
K
(A15)可以發現推導完成後的梯度表示式僅是狀態變數的梯度與伴隨狀態變數的 積分而已，推導過程假設全域為單一參數，所以積分結果是對全域做積分；如果 參數是分區給定者，則積分區域即為各個參數分區；如果是每個計算格點皆給定 一個參數者，則積分區域為計算單位面積。如此依據參數代表範圍的大小進行積 分，即可一次得到目標函數對應於所有未知參數的梯度值，大幅降低了計算的負 擔(computational burden)。
至此我們完成了伴隨水流與動差模擬問題的推導，所得之伴隨問題的控制方 程式如方程式(A14)所示，其附帶邊界條件如方程式(A10)所示。比對模擬問題的 控制方程式可以發現，兩者的流向相反，而且伴隨控制方程式多了一個誤差的源 滅項，此模擬與觀測間的誤差，從觀測位置逆向往上游傳遞，依控制方程式分佈 於模擬區域中，加上邊界設定為零，等於設立了一個封閉邊界，所有的誤差僅會 在計算域中分佈，不會跑出此範圍外而無法掌握，所以伴隨狀態變數場可以視為 一個誤差分佈場，其控制方程式即等於誤差分佈方程式。藉由這些方程式，由於 參數估計所造成的模擬狀態變數誤差可以被分析，並且透過推導所得之梯度積分 式(A15)，可以具體的被量化，相關研究也顯示了其梯度計算結果的正確性。
觀察伴隨問題可以發現，其控制偏微分方程式與邊界條件的形式，和水流與 動差模擬問題一模一樣，此結果使得原本被用來求解模擬問題的數值程式也可以 用來求解伴隨問題，不需要再額外多寫一套程式。伴隨問題與模擬問題最大一點 的不同在於水流的方向，其兩者運移項的符號一個為正一個為負，恰好相反。這 樣的差異是有其道理的。因為在正向的水流與傳輸模擬時，誤差會由上游往下游 傳遞而影響到下游計算結果的正確性。所以在進行誤差分析時，這些由上游來的 誤差必須透過某個方法讓他合理的往上游逆向分佈回去，伴隨問題的控制方程式 就是這樣一個逆向演算式，這也就是為何其流向會與模擬問題相反。藉由伴隨控 制方程式，模擬與觀測的誤差分佈就由伴隨狀態變數場來適切地描述，所以未知
參數的修正也可以由狀態變數和伴隨狀態變數的積分值計算得到一個合理的結 果。對於異質性(heterogeneous)含水層而言，其參數處處不同，也一樣可以使用 相同的梯度積分式計算，只是積分區域將針對各個參數所代表的區域積分。所以 應用伴隨狀態法，僅需求解一次模擬問題與一次伴隨問題，所有參數的更新梯度 可以同時評估完成。後續只需重複更新參數值直到演算法收斂，目標函數值小於 容許值為止，即完成了地下水水力傳導係數的最佳估計。
附錄 B 參數檢定問題之實際求解過程
source sink
Q Q
sink source
s s
sink source s s
Q Q
sink source
xi j yi j xi j y i j i j i j s s
, , 1 1, 1
sink source s s
xi j yi j xi j y i j i j i j i j
觀察其形式與模擬問題相同，差別只在某些正負號，僅需在離散式中將其符號變
附錄 C 完整逆向問題之伴隨問題推導
伴隨狀態法（Adjoint State Method，簡稱 ASM）由變分理論發展而來，用來 作為估計不確定性的工具。此方法廣泛應用於電子工程、大氣科學及河川演算等
(Original Problem) (C1)
其中，h 為壓力水頭，即為待解之狀態變數。S 為貯蓄係數，T 為水力傳導 係數，此二者即為含水層之參數。x 為介於 a 到 b 之間的空間座標，時間座標 t 由 0 開始到最終時間 tf結束。初始條件 f1為初始壓力水頭分佈，邊界條件 f2為定 水頭邊界，邊界條件 f3為定流量邊界，f1、f2、f3為已知或待資料同化。
參數修正方向
(Variational Problem) (C3)
將(C3)式的變分控制方程式乘以伴隨狀態變數 ψ，並對整個時間及空間積分：
(C)項應用 Green’s Theorem：
ds
(c)項應用 Green’s Theorem：
ds
a hdxdt
h
0
(Adjoint Problem) (C14)
若上式中(a)項可以滿足伴隨方程式，即可消去得：
（Variational Problem）成立。
利用上述狀態變數的控制方程式與伴隨變數的控制方程式作參數檢定與資 料同化時，僅需求解一次原始問題（Original Problem）與一次伴隨問題（Adjoint
Problem），即可求得所有參數、未知初始條件或邊界條件的梯度（即修正方向）。
所有的參數或未知條件可一起修正，與傳統作法比較，大幅提昇了計算效率。
簡歷 劉宏仁
台灣省台南縣人 學經歷
1980 出生
1986～1992 台南縣立仁德國小 1992～1995 台南縣立仁德國中 1995～1998 台灣省立台南一中 1998～2002 台灣大學土木工程學系 2002～2009 台灣大學土木工程研究所
個人著作
1. Hung-Jen Liu, Nien-Sheng Hsu, and Tim Hau Lee, Simultaneous
Identification of Parameter, Initial Condition, and Boundary Condition in Groundwater Modeling, 2008, Hydrological Processes. 發表中
2. 劉宏仁、徐年盛、李天浩、林聖鈞，「應用 AIC 指標優選地下水水位模擬 之類神經網路結構」，2008，中國土木水利工程學刊。發表中
3. 劉宏仁、李天浩、徐年盛，「伴隨狀態法於地下水流參數檢定與資料同化 之應用」，第六屆地下水資源及水質保護研討會，93 年 4 月，台中市逢甲 大學。
4. 劉宏仁、徐年盛、李天浩，「應用地下水傳輸模式於地下水污染來源追蹤」，
4. 劉宏仁、徐年盛、李天浩，「應用地下水傳輸模式於地下水污染來源追蹤」，