作為第一篇同時探討參數、初始條件與邊界條件檢定問題的研究，案例分析 的目標是探討最佳化方法的適用性，以及各種未知數的可檢定性，所以我們先將 問題簡化為一種未知數一個值，即假設無論參數與條件皆為均質場，以所提出之 逆向問題最佳化求解方法估計未知數值。其初始猜值給定為 T = 30 m2/day、S = 0.00008、BC_H= 21.00、BC_Q = 0.15 m2/day。而初始條件的給定上則是假設現 場的自然穩態水力梯度已知，未知的是地下水位的相對高程，真值為 20.00 m，
初始猜值給定為 IC= 19.00 m。並給定容許誤差值 10-5，應用最佳化邏輯求解其 最佳估計值。求解的過程中分別單獨使用抽水井與觀測井的洩降資料進行檢定，
而後再將三條洩降曲線同時使用，最佳化的估計結果如表 4.3 所示。
表 4.3 不同觀測組合下之最佳估計結果
Observation S T BC_Q BC_H IC
H(10,20) 0.00007 14 0.16 20.42 20.03
H(30,20) 0.00006 13 0.15 20.59 20.17
H(50,20) 0.00011 25 0.15 19.98 20.01
H(10,20),h(30,20),h(50,20) 0.00010 23 0.17 20.00 20.00 結果顯示當僅使用單一條水位洩降曲線時，估計的參數與條件會偏離真值。
這是因為局部的觀測資料只包含了局部的資訊，無法有效包含整個空間中未知數 的資訊，譬如靠近左邊界的觀測水位對於蓄水係數與初始條件根本無法提供有效 的資訊，再加上導水係數又與邊界條件相關，使得最佳化邏輯收斂至一錯誤的解。
而抽水井處與靠近右邊界觀測井的水位洩降，一樣也只對特定的參數或條件 有效，使得地下水逆向問題變成一個多解的（multi-solution）問題。只有在同時 使用了三條洩降曲線觀測下，最佳化程序成功的收斂至未知數真值。這是因為檢 定過程中，提供了最大量且分佈於整個時間與空間的觀測資訊，使得地下水逆向 問題收斂至一個可以檢定（identifiable）的問題。結果也顯示當越來越多的未知 數內入考量時，觀測資料也必須隨之增加以支撐此可檢定性。
最後，我們比較參數檢定、參數與邊界條件檢定與完整的逆向問題求解的差 異。所有未知數的初始猜值與上述相同，但對於參數檢定問題而言，其假設初始 條件與邊界條件已知，所以過程中，這些條件將不更新，僅更新參數而已。而參 數與邊界條件檢定問題則不更新初始條件，僅估計參數與邊界條件而已。只有完 整的逆向問題求解，才將所有的參數與條件視為未知數檢定之。檢定過程均使用 三條洩降曲線的觀測資料，以提供足夠多的資訊，最佳的估計值詳列於表 4.4。
表 4.4 不同未知數設定下之最佳估計結果 Unknowns S T BC_Q BC_H IC
S,T 0.00001 9 0.15 21.00 19.00 S,T,BC 0.00001 20 0.15 20.07 19.00 S,T,BC,IC 0.00010 23 0.17 20.00 20.00
結果顯示傳統的參數檢定或參數與邊界條件檢定問題，其估計結果嚴重受到 錯誤的初始條件與邊界條件的影響，使得估計結果收斂至與真值相差甚遠的錯誤 估計值，除非給定之初始條件與邊界條件恰巧為真值，參數檢定結果才會正確。
這進一步說明了，當參數與初始條件及邊界條件高度相關時，錯誤的條件給定將 導致錯誤的參數估計結果。但由於模擬所得的水頭變化仍與實際的觀測資料相 符，所以這樣的錯誤很難被發掘。由這一個案例的結果我們可以發現，唯一可以 收斂至真值的方法，是將參數檢定問題擴展至參數、初始條件與邊界條件檢定問 題，利用足夠多的觀測資料，配合本研究所提之最佳化方法估計所有未知數，才
能收斂至真值，檢定所得的模式才是正確且具有代表性的。
最後，對於完整逆向問題而言，由於未知數眾多，所以其自由度相當大，不 是隨意的給定初始猜值即可估計得到正確的參數與條件，仍須對於現場有一定的 調查與瞭解，給定一個較為合乎實際狀況的初始猜測，最佳化演算法才能估計得 到正確的參數、初始條件與邊界條件。
第五章 總結與建議
本章總結本研究之心得與成果，以及對於求解地下水逆向問題的貢獻，共可 可分為四大部分，分別於四個小節中詳細敘述，5.1 節呈現應用伴隨狀態法對於 逆向演算的效益；5.2 節呈現本研究在場址調查試驗設計方面的思維和成果；5.3 節描述應用所提之最佳化演算法於參數檢定問題之成果，不同觀測資訊對於檢定 水力傳導係數之價值；5.4 節描述本研究初步應用最佳化演算法於完整逆向問題 求解之成果。各節文末並依據研究成果提出具體的建議事項，以供後續研究。