一個完整的地下水逆向問題，不只有 2.2 節所述的參數檢定，還包含了未知 初始條件與邊界條件的檢定。本節描述一個完整逆向問題求解過程中的每一個環 節，依序描述非穩態地下水流控制方程式初始條件、邊界條件、目標函數、伴隨 問題、梯度積分式與未知數更新方法。本文中僅呈現重要結果，伴隨狀態法的理 論與詳細推導過程置於附錄 C 中。
2.3.1 非穩態地下水水流控制方程式
關於完整的逆向問題求解，本研究以水平二維等向性拘限地下含水層為研究 對象，探討非穩態（unsteady-state）地下水流動變化情形，其控制方程式（governing equation，GE）與初始條件（initial condition，IC）、邊界條件（boundary condition，
BC）為：
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h =h(x,y)是壓力水頭（piezometric head），單位是長度[L]
T=T(x,y)即導水係數場（transmissivity），是速度乘上長度單位[L2/T]
S=S(x,y)為蓄水係數場（storage coefficient），是無因次[ ]
Q 是抽水井處的抽水量，為單位時間單位面積內的水量變化，單位是長度除以時
其中 h 是模式模擬的水頭，而 hobs則是其相對應的現場觀測資料。
2.3.3 伴隨問題
依據伴隨狀態法的基本推導方法，本研究將未知數從參數擴展到參數、初始 條件與邊界條件，推導過程詳見附錄 C。推導所得之伴隨問題的控制方程式與伴 隨終點條件（final condition，FC）與邊界條件如下表示：
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件的梯度，顯示了伴隨狀態法廣泛的應用性。後續只需重複更新未知數值直到演 算法收斂，目標函數值小於容許值為止，即完成了地下水導水係數、蓄水係數、
初始水位與邊界水位及邊界流量的最佳估計。未知數更新的方法同 2.2.4 小節所 述之參數更新方法，只要將原本的參數梯度向量擴充為未知數梯度向量即可。
截至目前為止，本研究所提一般化逆向問題求解的方法論，其邏輯在數學上 的推導是可行的，而後續在第三章與第四章將個別以一個經過設計的案例進行方 法論的應用，以探討方法論應用於地下水參數檢定與完整逆向問題的求解上的可 行性。
第三章 參數檢定之案例研究
本章將以一個設計案例測試研究所提之地下水參數最佳化方法的可行性，並 探討參數檢定問題，過程中詳細探討最佳化流程的每一個單元環節。3.1 節闡述 地下水參數檢定試驗設計的思維與案例說明，呈現所得之狀態變數場分布，並探 討其與參數場間的對應關係，再藉由初始估計誤差，進一步說明因參數估計錯誤 所造成之狀態變數誤差分布；3.2 藉由貢獻度指標分析以判定試驗設計所得之觀 測資料是否為有效觀測？而後各節依循最佳化演算法的計算步驟，一步步呈現研 究結果，包括 3.3 節詳盡探討伴隨狀態變數場分布以及伴隨狀態法的應用原理、
3.4 節進行參數最佳化估計，呈現加入新的觀測資料後，可以提升求解耦合水流 與傳輸反向問題的效率與參數檢定結果的正確性；最後，藉由不同觀測值的使 用，揭示本方法論的可行性以及水頭、流速、零階與一階動差的價值。
本最佳化方法的特點在於使用了所有可得的直接觀測資料，包含水位、流 速、零階動差與一階動差，所以提供的資訊是最多的；另外進一步，這些觀測所 隱含的資訊被伴隨狀態法適當的描述並整合成一個梯度值，可正確且快速的估計 參數場對於模擬誤差的影響，有效率地更新參數估計值。