參數最佳化估計

所有的模擬誤差皆來自參數場的估計錯誤，此錯誤的程度可以由目標函數對 應於未知參數的梯度值大小進行判斷，如果梯度為正表示參數值應該減小，反之 梯度為負者，表示參數值應該上修。應用伴隨狀態法結果發現，此梯度值即為參 數代表範圍內的狀態變數與伴隨狀態變數的積分，將此梯度值配合最陡坡降法，

即可很有效率地更新水力傳導係數場。

本研究採用空間均勻觀測方式，於四口觀測井及兩口抽水井處有四種不同的 觀測資料，包含水頭、流速、零階動差與一階動差。不同種類的觀測資料包含了 不同的參數場資訊，本研究嘗試融合所有觀測資料於參數最佳化流程中，並測試 了不同的觀測組合對於檢定結果的影響，最佳化過程中所有模擬值與觀測值的誤 差平方和變化情形繪於圖 3.16，最佳參數估計值則列於表 3.6。圖 3.16 中的線標 題「HM0M1q」，表示最佳化過程中使用了水頭、零階動差、一階動差與流速觀

測資料；線標題「HM0M1」表示最佳化過程中使用了水頭、零階動差、一階動

Number of Iteration

SumofSquareError

Number of Iteration

K1 K2

Sum of Square Error H,M0,M1,q 100 3.38 3.34 2.04E-02 H,M0,M1 43 7.99 2.00 1.66E-08 H,M1 95 7.99 2.00 2.64E-08 H 98 7.99 2.00 1.71E-08

本研究在進行參數場反演時，同時使用了達西公式、連續方程式與零階及一 階動差方程式，大部分的測試案例中，在幾次的最佳化搜尋後，估計所得之參數 值皆收斂至參數真值，即 K₁=8m/day 而 K₂=2m/day，顯示本研究所提之最佳化方 法論確實可用於求解耦合逆向問題。觀察「H」、「HM1」與「HM0M1」三條誤

差平方和變化線，可以發現求解的效率隨著不同種類的資料被引入而提高，模擬 與觀測的誤差快速減小。同樣地，最佳化流程的收斂性也隨著資訊的增加而變 好，不會產生不穩定（unstable）的解。由於水頭包含了最多且直接的參數場資 訊，所以單獨使用水頭觀測資料就可以檢定得到參數真值，只是搜尋次數會偏 多。對本設計案例而言，引入一階動差觀測資料，對於檢定結果正確性與最佳化 效率並無顯著提升，可能是因為水頭已經解釋了大部分的參數場變異，一階動差 所隱含的間接資訊在此幫助不大。但是加入零階動差觀測資料後，參數估計的效 率戲劇性地（dramatically）提高了，相對於僅使用水頭觀測資料搜尋了 98 次，

最佳化程序僅搜尋 43 次而已，就找到了參數的真值，效率提升了一倍，我們將 此歸功於示蹤劑釋放策略的成功。利用不同濃度的單一示蹤劑注入，產生了比以 往更有意義的零階動差分布場，此分布場適切的描述了流線與水力傳導係數的分 布，因此增進了逆向問題求解的效率。但由於使用動差觀測資料時需求解水流與 動差方程式，而使用水頭觀測時，僅需求解水流方程式，所以計算總效率會受影 響。

但是當再進一步額外加入流速的觀測資料後，檢定結果反而不如預期，無法 回到參數真值，這表示流速所包含之參數資訊太過局部（local），但此局部效應 卻主控了整個梯度的計算，使得水頭與動差等包含較大範圍 K 值資訊的觀測無 法有效反應至參數的梯度計算上，修正方向因此估計錯誤，結果使得參數最佳化 失敗，流速觀測無法用於區域水力傳導係數值的檢定。這也解釋了為何前人應用 流速觀測資料於參數檢定時必須假設全域 K 值為均質場，而無法是一個空間分 布的形式。

本研究更進一步測試了當水頭觀測資料減少而增加動差觀測資料時，是否仍 可由動差提供足夠多的參數場資訊，使得檢定之參數場正確？檢定結果發現，當 水位資料減少至一定程度後，參數場即無法正確的被檢定出來，無論加入再多的 動差觀測資料也是如此，此結果與前人研究相符，水位所包含的是參數場的主要 資訊，而動差或濃度則包含輔助的次要資訊。另，在 Cirpka and Kitanidis (2000)

的研究中顯示了動差可以表現水利傳導係數場的細部特徵（feature），但在本研 究的案例中，參數場是兩個區域 K 值，僅有趨勢而無細部特徵，所以無法進一 步利用動差資料檢定出參數場的細部變化。