狀態變數場

本小節主要呈現模擬狀態變數場的分布，如何反應出不同空間中水力傳導係 數的大小，結果顯示在現場參數有明顯趨勢的分布情況下，狀態變數場也會有明 顯的高低變化趨勢。

示蹤劑試驗過程，注入的不同濃度示蹤劑隨著穩態地下水流場流動，掃瞄過 整個注水井與抽水井間的地層後，從兩口抽水井處被抽出，傳輸過程中於觀測井 與抽水井處記錄示蹤劑濃度值，得突破曲線，而後積分得零階與一階動差。由於 本研究已事先將傳輸方程式積分為動差方程式，所以直接求解穩態的動差模擬問

題即可得到零階與一階動差，不需先模擬非穩態傳輸模式後再積分得動差，大幅 節省計算時間，並提升模擬結果之正確性。四個觀測井（以空心圓圈表示於圖 3.1 中），採用場址均勻佈井方式分別設置於座標(30,15)、(30,45)、(60,15)與(60,45) 處。水頭、速度、零階動差與一階動差在兩口抽水井與四口觀測井處被記錄下來，

當作觀測系統模擬試驗（Observing System Simulation Experiment，簡稱 OSSE）

虛擬產生的觀測資料。此 OSSE 之實際水頭、流速、零階動差與一階動差場分別 繪於圖 3.2 至圖 3.4 中，其中虛線表示兩個參數分區的間隔線。

Reference Vectors 1

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圖 3.2 真實地下水水位與流速分布場

圖 3.2 顯示了地下水流場的分布，包括水頭與流速。可以看到水由注水井與 右邊定水頭界處流入，往抽水井方向流動，而後被抽出。如先前所述，此流場使 得所有被注入地下含水層的示蹤劑均可由抽水井處回收，沒有示蹤劑從周圍邊界 流失，觀測示蹤劑之動差可以提供最多的參數場資訊，提高求解逆向問題結果的 正確性。等勢能線在靠近兩抽水井處形成兩個洩降錐，而且第一區的等勢能線密 度明顯小於第二區，這是因為在兩抽水井抽水量相同的條件下，為了滿足此一固 定大小的抽水量，等勢能線的密度會與水力傳導係數成反比，第一區的水力傳導 係數大，所以其水力梯度（單位距離內的水頭差）較小。這也是為何在兩個不同

大小 K 的交界處，流線會彎曲，水流繞過水力傳導係數小的區域往較容易透水 的區域流動。所以由水頭與流速的觀測，我們可以直接推估參數場的分布情形。

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圖 3.3 真實零階動差分布場

為了避免先前所提的零階動差二元分布問題，本研究中將示蹤劑以不同濃度 由不同注入井處注入，形成了一個變化的零階動差分布場如圖 3.3 所示。零階動 差隨空間位置變化而不同，而且其型態（pattern）與流線相符。其原因是因為各 個位置的零階動差即代表了通過此點的累積濃度值（cumulative concentration），

越大量或越高濃度的示蹤劑通過此量測點，觀測所得之零階動差值越大。以往由 於不同井注入來源濃度皆相同，導致每條流線所帶之示蹤劑濃度一模一樣，所以 零階動差皆為一定值常數（等於注入時間乘以注入濃度）。本研究乃根據這個基 本概念，使得每個注入來源包含不同量的示蹤劑，假設上游有無窮多個注入井，

每個注入井的注入示蹤劑濃度皆不同的話，則每一條流線所帶的示蹤劑質量也都 不同，而且在這樣一個人為營造的水力梯度流場下，傳輸主要由運移主控

（advection dominant），延散（dispersion）的影響小，流線間溶質的交換較為緩 慢，所以量測所得每一條流線上的零階動差皆不同，所以零階動差場可以完全描 述流場的分布，也就反應了水文地質參數場的分布。

但是實際上難以達到無窮多個注入井的注入，所以本研究設定一個合理的注

入井數，透過三口注入井三種不同濃度的單一示蹤劑注入，還是可以發現零階動 差的分布適切地描述了地下水穩態流線分布，尤其流線在不同 K 分區交接處的 彎曲限向，由圖中可以看出被清楚的呈現了出來，所以透過零階動差場的觀察，

我們可以瞭解到第二區的 K 值較小。但由於井數較少，可以看出在個別注入井 的周圍，零階動差依然維持一個定值，因為這些區域的水與示蹤劑都是由單一井 主控，一直要到不同濃度的示蹤劑相接觸的過渡區（transition zone）時，零階動 差才開始產生了梯度上的變化。

另外，由於為了形成封閉的流場，以確保所有的示蹤劑都可以由抽水井處回 收，所以右邊界給定為定水頭與零動差邊界，地下水只有從右邊界流入，而且不 帶有任何示蹤劑，其零階動差為零。此不帶濃度的地下水流至抽水井處與從上游 注入井傳輸過來的示蹤劑混合後抽出，所以零階動差場在抽水井處急遽降低，其 值約為注入井處平均零階動差的一半。

同時可以發現，在三口注入井的周圍示蹤劑零階動差各為一定值，等於該注 入井注入濃度乘上注入時間，這是因為這些區域剛好是三口井各自主控的區域，

示蹤劑僅來自一口井單一濃度的貢獻，所以零階動差在此區域內處處相同，無法 提供有效資訊。但在進入場址中間區域以後，來自不同井不同濃度的示蹤劑開始 混合，所以出現了一個有梯度由上至下漸變的零階動差場，這一段是可以提供最 多資訊的觀測位置；如果場址區域過大，則最後所有的示蹤劑濃度混合均勻了，

所有零階動差場又將變為一固定常數，零階動差觀測又變為無效觀測了，所以示 蹤劑試驗區域範圍在設計試驗時也是該謹慎劃分的。

綜合而言，本研究所提出之變化濃度釋放策略，確實產生了一個隨空間變化 的零階動差場，使得零階動差成為有效觀測資料。而且此有一漸變梯度而非二元 分布那樣巨變的零階動差場，使得應用梯度法以最佳化估計參數的過程中，得以 納入零階動差觀測資料，以取得更多的參數分布資訊。

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圖 3.4 真實一階動差分布場

一階動差是所有抵達時間乘上示蹤劑濃度的積分，如果注入濃度高，一階動 差值自然大，注入濃度以左上方為最高，左下方為最低，所以靠近注入井處，一 階動差由上邊界往下邊界處依次遞減。同樣地，如果抵達時間越久或者所經流徑

（flow path）越長，一階動差值也會變大，所以從上游往下游走，一階動差逐漸 遞增，至抽水井前達其最大值。但在抽水井處由於混合了右邊界所流入之清水，

示蹤劑濃度降低，所以一階動差值也變小，在抽水井處皆有明顯遞減，其分布場 與零階動差場相同。除了濃度與流徑長短外，從一階動差方程式可以看出，零階 動差以一源滅項形式出現在等號右邊，所以零階動差大小一樣會影響一階動差的 值。既然靠近上邊界的零階動差值比較大，所以上邊界附近的一階動差值普遍較 大。

但此處特別注意到，最大的一階動差值發生在第二參數分區內，而且越靠近 抽水井，一階動差變大的越明顯，這是因為示蹤劑試驗的後期，第一參數分區內 的示蹤劑已大部分被抽出，而第二區內水力傳導係數小水流較慢，低濃度的示蹤 劑緩慢的被抽出，使得抵達時間不斷增加，一階動差值也不斷變大，所以觀察一 階動差的分布，一樣可以得知水力傳導係數的分布情形。由上述水流與動差模擬 結果可以發現，水頭、流速、零階動差與一階動差皆包含了水力傳導係數的資訊，

完整的全域狀態變數觀測即可顯現出參數場的分布情形，但在實際情況下則需以 有限的觀測配合模式推估之。