個案在機率思考層次上之分析

壹、高能力兒童 一、樣本空間

小琳在這一次的晤談，能用「衍生性策略」解決二階段及三階段 的問題，只是無法成功解決較複雜的三階段問題，因此達到樣本空間 層次三至層次四之間。

二、實驗機率

小琳對第 n 次結果的判斷，不會受到 n-1 次結果的影響，並能了 解試驗樣本的實驗機率和理論機率會有所差異，達到實驗機率的層次 三。

三、理論機率

在連續中，相鄰和不相鄰的情形，及離散的情形下，皆能正確使 用分數預測最可能或最不可能發生的事件。在「不可能」、「可能」或

「一定會」發生的事件中，能使用分數值量化及判斷，因此達到理論 機率中的層次四。

四、機率比較

能使用正確的量化推理去比較機率值，但在連續中相鄰的情形 時，有時會返回主觀判斷，有時卻做出正確判斷。在離散情形下，因 缺乏等值分數的概念，無法做出正確判斷。在連續和離散的情形下，

皆能使用數量的推理判斷公平或非公平的機率情形，達到機率比較的 層次三到層次四之間。

五、條件機率

無論在「置回」或「不置回」事件中，皆可用分數來表示出試驗 前後的機率值，因此達到條件機率的層次四。

六、獨立性

能了解在「置回」的事件中，第 n 次抽的結果並不受之前連續抽 出結果的影響，例如抽箱子中牛奶和草莓口味的糖果各一顆，抽完放 回去，前四次都抽到草莓口味的糖果，小琳能了解第五次有可能抽中 草莓或牛奶口味的糖果，機率各是 1/2，和之前的結果無關，因此達 到獨立事件的層次四。

貳、中能力兒童 一、樣本空間

小瑜在這一次的晤談，並未能完整列出一階段實驗的樣本空間，

因此達到層次一。

二、實驗機率

小瑜對第 n 次結果的判斷，會受到 n-1 次結果的影響，無法察覺 理論機率和實驗機率間的關係，沒有「大數法則」的概念，完全沒有 考慮到母群體（投擲總次數的大小）以正、反面優勢事件的次數來決 定，達到實驗機率的層次一至層次二之間。

三、理論機率

在連續中，相鄰和不相鄰的情形，及離散的情形下，能正確判斷 最可能或最不可能發生的事件，但皆使用目標物的數量來表示機率 值。在「不可能」、「可能」或「一定會」發生的事件中，大都能判斷

正確，僅在目標物太少時，把「不太可能」和「不可能」混淆，但仍 用目標物的數量來表示機率值，達到理論機率的層次二。

四、機率比較

在連續情形下，雖理解兩個飛鏢紅色區塊相同，但仍返回主觀判 斷。在離散情形下，並無考慮到母群體的多寡，認為目標物較多的那 組，被抽到目標物的機率就較大。在連續及離散的情形下，能正確判 斷公平或非公平的情形，但僅以目標物的數量判斷，並非正確使用分 數來表示，因此達到機率比較中的層次二。

五、條件機率

小瑜認為選班長活動，在抽名牌，抽完不放回去的情形下，所有 的人被抽中的機率都會改變，但並沒有出現量化的概念，所以達到條 件機率層次三至層次四。

六、獨立性

能了解事件間彼此是獨立的，但對先前的試驗結果做分析以預測 下次結果，因此達到獨立性的層次二。

參、低能力兒童 一、樣本空間

小亭在這一次的晤談，並未能完整列出一階段實驗的樣本空間，

因此達到層次一。

二、實驗機率

小亭沒理會隨機實驗所得來的資料，使用主觀來判斷最有可能發

生的事件，且無法察覺理論機率和實驗機率間的關係，因此達到層次 一。

三、理論機率

小亭皆藉由主觀預測最可能發生的事件，大都能藉由常理來推斷

「一定」、「可能」或「不可能」會發生，但無法使用分數正確表示機 率值。有時會將「不太可能」和「不可能」及「非常可能」和「一定」

這兩組名詞混淆，因此達到理稐機率的層次一。

四、機率比較

在連續情形下，小瑜有時用主觀判斷，有時則可以理解兩個飛鏢 紅色區塊相同，正確判斷出機率較大的情形。在離散情形下，並無考 慮到母群體的多寡，認為目標物較多的那組，被抽到目標物的機率就 較大，有時亦採用主觀判斷。在連續及離散的情形下，能正確判斷公 平或非公平的情形，但僅以目標物的數量判斷，並非正確使用分數來 表示，因此達到機率比較中的層次一至層次二。

五、條件機率

認為不管在選班長活動抽名牌時，不管有無置回，其餘卡片被抽 到的機率都不會改變，可能不理解題意，也無法以主觀回答出理由，

因此未達條件機率的層次一。

六、獨立性

能了解事件間彼此是獨立的，但對先前的試驗結果做分析以預測 下次結果，因此達到獨立性的層次二。

肆、高中低能力兒童之思考層次長條圖

圖 4-2-1 為高中低能力兒童在樣本空間、實驗機率、理論機率、機率比較、

條件機率及獨立性之思考層次。

高中低能力兒童在各機率組成的思考層次

0 1 2 3 4

樣本 空間

實驗 機率

理論 機率

機率 比較

條件

機率 獨立 性

機率組成

思考層次

高能力

圖 4-2-1 高中低能力兒童在各機率組成的思考層次