機率概念之理論性研究

Jones et al.（1997）認為在他的機率思考架構中，思考層次的主張與 Piaget

& Inhelder（1975）的發展階段認知研究一致的。茲列舉 Piaget & Inhelder（1975）

及其他認知發展理論如下：

壹、認知發展理論

一、皮亞傑認知發展論的階段觀（張春興，民 86）

（一） 動作期（0-2 歲）：

1.憑感覺與動作以發揮其基模功能 。 2.由本能性的反射動作到目的性的活動。

3.對物體認識具有物體恆存性概念。

（二） 前運思期（2-7 歲）

1.能使用語言表達概念，但有自我中心傾向。

2.能使用符號代表實物。

3.能思維但不合邏輯，不能見及事物的全面。

（三） 具體運思期（7-11 歲）

1.能根據具體經驗思維以解決問題。

2.能理解可逆性的道理。

3.能理解守恆的道理。

（四） 形式運思期（11 歲以上）

1.能作抽象思維。

2.能按假設驗證的科學法則解決問題。

3.能按形式邏輯的法則思維問題。

二、Biggs & Collis（1991）的認知官能層次

（一） 學習循環中的先前結構層次：雖然學習者能持續進行工作（例 如會回答機率問題），但會轉向或迷失在不恰當的方向。

（二） 單一架構層次：學習者能持續進行工作且朝著某一方面持續進 行。

（三） 多重架構和關係層次：學習者能在工作中挑選一個以上有意義 的特徵，且傾向於整合不同的特徵。

（四） 關係層次：學習者整合工作中恰當的方向成為有意義的結構。

三、Klausmeier（1979）的概念學習與發展理論

層次一：具體層次（concrete level），個體可以辨認出他曾經接觸過或 學過的概念。

層次二：識別層次（identity level），即使是從不同的角度或以不同的 形式呈現個體過去曾接觸或學習過的概念，個體仍然可以辨 認出來。

層次三：分類層次（classificatory level），個體對於相同概念有兩個以 上不同的例子，能歸納出相同種類的特徵。

層次四：形式層次（formal level），個體可以清楚地理解概念所代表 的一般屬性輿獨特屬性，且也能夠分辨與此相似概念差異之 處，進而應用在對問題解決的能力上。

貳、機率認知發展理論

一、Piaget & Inhelder（1975）兒童機率概念的認知發展階段論

在 Piaget & Inhelder（1975）的實驗中，是給兒童兩組代幣，其 中有些代幣做上記號，要兒童估測哪一組代幣中拿到有做記號代幣的 機率比較高。題型呈現的方式有 10 種：(1)兩組的可能性都是「不可 能」 (所有代幣都沒有做記號)；(2)兩組的可能性都是「一定」 (所有 代幣都有做記號)；(3)一組是「一定」、另一組是「不可能」；(4)一組 是「可能」 (某些代幣做記號)、另一組是「一定」；(5)一組是「可

能」、另一組是「不可能」；(6)兩組中有做記號的代幣數一樣，總代幣 數也一樣；(7)兩組的總代幣數不同，但有做記號的代幣數與總代幣數 之「比」是一樣的；(8)兩組中有做記號的代幣數不一樣，但總代幣數 一樣；(9)兩組中有做記號的代幣數一樣，但總代幣數不一樣；(10)兩 組中有做記號的代幣數與總代幣數都不一樣，且比例也不相同。根據 實驗研究結果，他們歸納出「機率概念」發展的層次：

（一）階段一（七歲以下）

無法區分事件之必然性與可能性，沒有「不確定」的概念。

年齡在四至六歲的孩童連較簡單的比例也無法區分機率 的大小。例如：兩組代幣中，有做記號的代幣與總代幣數的比 是 1:2 和 2:4、或 l:2 和 l:3 時，兒童無法區分何組較容易拿到 有標記代幣；根據 Piaget & Inhelder（1975）的說法，兒童無 法同時注意到有做記號的代幣數與總數間的關係，而從不重要 的訊息來判斷。例如在 1:2 與 2:4 的這組中，他們認為有做記 號代幣與總代幣數的比是 1:2 時，較有可能拿到有做記號的代 幣。理由是因為兒童比較容易注意到那一個唯一有做記號的代 幣；而在 1:2 與 1:3 一組中，他們認為兩組拿到有做記號代幣 的機率一樣大，因為有做記號的代幣數都一樣多。Piaget &

Inhelder（1975）的解釋是，此期的兒童因缺乏「可逆性」，故 不能理解「部份」與「全部」的關係。因此，由於缺乏邏輯結 構的關係，四至六歲的兒童無法在估測勝算(odds)時作比較。

年齡在六至七歲的孩童不能理解的題型有兩種：一是兩組 總代幣數不同，但有做記號代幣與總代幣數之比是相同的(第 7 種題型)；二是兩組中有做標記的代幣數與總代幣數不相同，

且比例也不相同(第 10 種題型) 。依據 Piaget & Inhelder（1975）

的說法，兒童只能處理一個變項，孩童偶爾能答對的原因不是

基於運思的推理，而是來自於「直觀」。

（二）階段二（七歲到十四歲）

已能認清事件之必然性與可能性，但無法以有系統的方法 產生一系列的機率。

上述兩題型中，兒童在此階段能夠同時考慮到兩個變項，

但無法解題，其主要原因乃受智力上的限制，因為這樣的題型 必須同時比較兩個比例，而 Piaget & Inhelder（1975）認為比 較兩個比例之能力是在「形式運思期」才會出現的。

其後，兒童開始能解決雙變項的問題，但仍限於使用試驗 性的方法，而非形式上的推理，他們會輪流考慮到期望事件與 非期望事件。而若缺乏所需的形式運思時，他們就以直觀來判 斷。

（三）階段三（十四歲以上）

開始發展組合的才能，並且了解相對次數之極限（大數法 則）的機率。

兒童雖無法正確使用分數來計算，但仍能正確估計其比 例，兒童開始會利用組合(combination)及排列(permutation)的方 法來計算機率，並以「大數法則」來預測。

由其研究結果可知，在層次一中之孩童無法區分「可能」(possible) 和「必然」(certain)之意義；接著在層次二中之孩童能瞭解「可能」、「必 然」、「機率」之意義，也可量化成機率，但是沒有足夠的解題策略來 計算較複雜的勝算(odds)。最後，在層次三中之學重，能統整推演性 的邏輯，以及機率概念的形式結構，藉以推估事件發生之機率。Piaget

& Inhelder（1975）特別指出，在最後層次中，兒童除強化層次二之特 徵外，在對稱性機率實驗裡，兒童已能發現「大數法則」概念。

二、Fischbein（1975）的兒童機率概念學習發展觀點

Fischebin（1975）從兒童的直觀想法出發，研究兒童機率概念的 發展。他提出：即使是前運思期的兒童，也有相對次數和機率的先前 概念暸解，這些概念是由初始直觀建立的，初始直觀是由兒童每天生 活經驗自發性形成的晦隱知識(implicit knowledge)，例如從每天的生 活情境知覺偶發事件。當兒童成熟些後，這些初始直觀可以發展成相 對次數、機會、機率等概念，這個轉化的過程並非自發性或是成長中 自我調整的類自動化的結果，而是經由學校教學介入做為媒介轉化，

若無這樣有目標的介入，可操作的機率概念無法被發展，就算是成人 也一樣。

Piaget & Inhelder（1975）只研究了兒童客觀性的機率概念，因此 在兒童機率概念的發展上，認為需至具體運思期才能夠具備機率概念 之能力，根據 Fischebin（1975）的研究指出 Piaget & Inhelder（1975）

的機率概念發展階層模式有兩個嚴重不足之處，第一是機率學習成長 方面的發現，第二是輕忽了學習導致機率概念形成的過程。

根據 Fischebin（1975）的研究，機率教學對兒童的機率概念形成 佔有舉足輕重的地位。

三、Bognar & Nemetz（1977）的機率教學觀點

（一）在七至八歲時可以教導簡單的機率概念，像確定事件(certain events)、不可能事件(impossible events)及互斥事件(mutually exclusive events)。

（二）在九至十歲時，可依據可能發生的事情，教導較可能事件(more likely events)、較不可能事件(1ess 1ikely events)及次序事件 (order events)。

（三）在十一至十二歲時可教導相對次數(relative frequencies)及畫機

率事件的圖表如樹狀圖(diagrams)。

（四）在十三至十四歲時可以教導獨立(independent)和相關(correlated) 的實驗和事件。

四、Munisamy & Doraisamy（1998）的機率概念層次特徵

•層次一：屬於本層次的兒童具有機會和機率的直觀概念，對大部分 基本機率概念都能了解。

•層次二：屬於本層次的兒童能了解到機率加法原理和實地的應用。

•層次三：屬於本層次的兒童能了解獨立事件的乘法原理和延伸到條 件機率的推理，並且能成功的應用在新的機率問題上。

歸納上述，Piaget & Inhelder（1975）認為七至十四歲的兒童無法以有系統 的方法產生一系列的機率概念，但 Bognar & Nemetz（1977）卻認為在十一至 十二歲時可教導相對次數(relative frequencies)及畫機率事件的圖表如樹狀圖 (diagrams)，在十三至十四歲時可以教導獨立(independent)和相關(correlated)的 實驗和事件。正如 Fischebin（1975）所述 Piaget（1975）輕忽了學習導致機率 概念形成的過程，因此機率教學對兒童的機率概念形成佔有舉足輕重的地位。