跨個案分析

壹、樣本空間

中能力的小瑜和低能力的小亭不習慣將所有情況列出，會偏向選擇其中一 個，這點與 Jones（1974）、Schroeder（1988）的研究情形相符。Jones et al.（1997）

亦指出，兒童在陳述樣本空間的結論時，他們不給一個完整的答案，傾向注意 什麼較可能發生，而較高層次孩童的特徵之一，是不主動的列出所有的結果，

未接受攪亂是隨機的過程。高能力的小琳能使用「衍生性策略」回答「排位置」

三階段隨機實驗之樣本空間，但在回答其他三階段隨機實驗之樣本空間的問題 時，往往發生漏列樣本點的情形，同樣的，在 Jones et al.（1997）的研究中，

雖然層次三的兒童在三種顏色的問題，嘗試著使用一個里程計(odometer)的方 法，但仍無法列出所有的結果。值得注意的是，在 Fischbein（1991）的研究中，

兒童不易將一個無順序的組合事件想成若干個有順序排列的事件，例如不易將 同時投擲兩粒骰子出現 5 點和出現 6 點的事件，想成包含（5,6）和（6,5）兩 個樣本點，所以常誤以為「出現不同元素之事件（如出現 5 點和 6 點）」與「出 現相同元素之事件（如兩個均出現 6 點）」的發生機率是相同的。對照本研究 中，高能力的小琳，卻因為使用「衍生性策略」來解決甲、乙、丙、丁兩兩一 組的問題，把它當成有序的（甲乙、甲丙、甲丁；乙甲、乙丙、乙丁；…），

沒有發現到兩兩一組是不考慮順序的。

在較複雜的樣本空間題目，若欲成功解題，需要相當能力的排列、組合能 力，且能運用「衍生性策略」解題，高能力小琳雖然尚未學過機率，卻能自發 的使用「衍生性策略」。中能力小瑜及低能力小亭則大都以主觀的概念來列出 樣本空間的結果。

層次一的小瑜和小亭在一階段實驗以自己的喜好選出一階段實驗的可能 結果，在 Jones et al.（1997）的研究個案中，層次一的兒童有時依照喜好來選 擇，有時則根據物體所在位置來選擇，甚至箱子已被搖動過仍不改其選擇。

介於層次三到層次四的小琳，兒童能使用「衍生性策略」回答「排位置」

三階段隨機實驗之樣本空間，但在回答其他三階段隨機實驗之樣本空間的問題 時，往往發生漏列樣本點的情形。在 Jones et al.（1997）層次三的研究個案中 在樣本空間項目中，使用了「衍生性策略」，列出二階段的實驗的結果。在三 階段實驗中，雖然嘗試著使用一個里程計(odometer)的方法，仍無法列出在三 種顏色問題時，所有的結果。在 Jones et al.（1997）層次四的研究個案中一致 性的使用了有生產力的想法甚至能夠列出所有三種顏色交換的排列方式，同時 使用了「里程計」和「最大遷移」的方法，研究個案列出了三種顏色的交換排 列如下：rgb，gbr，bgr，brg，rbg，grb。她說「有六種方法可以達到，同樣顏 色在中間兩次，指出 2 個紅，2 個綠，然後 2 個藍在中間，先做一次，然後再 相反」。

在樣本空間方面，本研究個案中只出現 Jones et al.（1997）架構中層次一 的反應，且增加了介於層次三至層次四的反應。並未有層次二「無法完整列出 二階段實驗結果」、層次三「使用了衍生性策略，完整列出二階段的實驗的結 果，但無法列出在三種顏色問題時，所有的結果」、層次四「使用了衍生性策 略，完整列出三階段的實驗的結果」的反應。

貳、實驗機率

在本研究中，高能力小琳從投硬幣一枚硬幣 10 次、100 次、200 次及 1000 次的統計表中發現實驗次數愈多，正反面次數相差越少，並正確使用「1/2」表 示出現正面、反面的機率，且認為實際試驗的結果不太可能與理論值相同的，

小琳已有機率這種「或然率」的概念，並非是「絶對」的，頗能切中機率的真 實意義。小琳對第 n 次結果的判斷，不會受到 n-1 次結果的影響。中能力的小 瑜沒有「大數法則」的概念，完全沒有考慮到母群體（投擲總次數的大小），

以正、反面優勢事件的次數來決定，認為 10 次、100 次、200 次及 1000 次中，

正面大於反面出現次數，所以正面比較容易出現。小瑜對第 n 次結果的判斷，

受到 n-1 次結果的影響。低能力的小亭則完全以主觀的方式來決定出現正面和 反面的機率，出現如「因為反面可以讓人家看到那是幾元，所以出現反面的機 率大」的回答。小亭對第 n 次結果的判斷，受到 n-1 次結果的影響。

中能力小瑜和低能力小亭，經由訪談結果顯示出他們到目前為止皆沒有

「大數法則」的概念，也就是沒有「一個事件發生的機率是經由『接近無限多 次』的試驗中，某事件發生次數/總事件的比值」，只有高能力小琳發現實驗次 數愈多，正反面次數相差越少，且認為實驗次數越多，越可能接近理論機率值。

層次一的低能力的小亭，從投硬幣一枚硬幣 10 次、100 次、200 次及 1000 次的統計表中，完全以主觀的方式來決定出現正面和反面的機率，和 Jones et al.

（1997）的層次一的研究個案相類似，不理會已做出的隨機試驗資料，使用主 觀判斷去處理最有可能或最不可能事件。

介於層次一到層次二的中能力小瑜，並沒有「大數法則」的概念，對第 n 次結果的判斷，受到 n-1 次結果的影響。在 Jones et al.（1997）的層次一的研 究個案無法察覺存在於實驗機率和古典機率間的關係，層次二的研究個案在判 斷最可能最不可能事件，只依據小部分樣本的試驗結果。

層次三的高能力小琳，發現實驗次數愈多，正反面次數相差越少，對第 n 次結果的判斷，不會受到 n-1 次結果的影響。在 Jones et al.（1997）研究個案 中，層次三的兒童能夠了解欲判斷機率事件必須依據足夠多的廣泛試驗結果，

也能了解經驗機率是根據實驗的觀察結果來決定事件可能性的大小。

在實驗機率方面，本研究個案中出現了 Jones et al.（1997）架構中層次一 及層次三的反應，增加了介於層次一至層次二的反應。並未有層次二「在判斷 最可能最不可能發生事時只依據小部分樣本試驗的結果。當實驗的結果與之前 相衝突時會返回主觀判斷」、層次四「能收集適當資料以求出機率值」的反應。

參、理論機率

高能力小琳具有良好的部分－全體概念，不論在離散情形（從袋中抽球）

或連續情形（射飛鏢），皆能正確使用分數說出發生的機率值。就如同 Green

（1982）的研究中所描述的，比值概念對機率概念的認知相當重要。雖然尚未 學過機率課程，小琳能自動運用分數解釋理由，推測原因可能是小琳具備良好 的「部分－全體」概念，能了解因為總共有幾個，但是目標物只占了其中幾個，

因此能把機率值和分數聯想在一起。中能力的小瑜在預測哪一事件較有可能發 生時，採用 Acredolo et al.（1989）的「分子策略」，例如在「箱子裡有 3 顆紅 球、1 顆白球，什麼顏色的球較容易被抽中，機率是多少？」的題目中，出現 如「因為紅色的球多，所以機率比較大」的回答。小瑜在所有的訪談過程中，

皆出現以目標事件的數量來表示機率值，例如「因為紅球有 3 個，所以發生的 機率是 3」，Jones et al.（1997）也指出層次二的兒童會使用量化來表示機率，

但他們總是使用單一的策略，例如使用較多的目標物來判斷。研究者隨即測試 小瑜的分數概念，小瑜能說出紅球占所有的 3/4，具有「部分－全體」的概念，

因此小瑜不了解機率要用「分數」來表示機率值，以「非正式」的數值來表示 機率值。低能力的小亭雖具備「部分－全體」的概念，仍完全以主觀的判斷來 預測最有可能發生的事件，在 Jones et al.（1997）的研究中亦提到，典型層次 一的兒童他們常找一些枯燥冗長的非數量推理去支持他們判斷。

高能力小琳、中能力小瑜及低能力小亭在理論機率中，離散情形及連續情 形表現是一致的，並未如 Jones et al.（1997）層次三的研究個案，在離散情形

（例如糖果遊戲）的表現比連續情形（例如射飛鏢）還好。

層次一的低能力小亭在理論機率中以喜好來決定最有可能發生的事件，

Jones et al.（1997）層次一的研究個案有時依照喜好來選擇，有時則根據物體 所在位置來選擇。

層次二的中能力小瑜判斷理論機率中最有可能發生的事件時，認為個數最 多的最有可能發生，個數最少的最不可能發生，和 Jones et al.（1997）層次二 的研究個案相同。

層次四的高能力小琳，能使用分數正確判斷最有可能發生的事件，正如同

Jones et al.（1997）層次四的研究個案，總是努力的採用數字描述。

高能力小琳在判斷事情發生的可能性時，能準確使用「一定」、「可能」或

「不可能」來描述事情發生的可能性程度，並能以量化的方式，用分數表示事 件發生的可能性程度，但仍無法用「1」來表示「一定」會發生的機率。中能 力的小瑜在此觀念清楚，只有在面對目標物太少，例如「箱子裡有 9 顆黑棋，

1 顆白棋」的問題時，會覺得白棋實在太少，所以「不可能」抽中，這點與 Munisamy＆Doraisamy（1998）、Fischbein（1991）的發現一致，認為兒童在「不 太可能」和「不可能」的名詞上，容易有混淆。小瑜在以數值表示事件發生的 可能性程度時，皆使用目標物的數量來表示，例如「因為骰子偶數點有 2、4、

6 三種，所以擲骰子有可能出現偶數點，機率是 3」，可見得其實小瑜對於樣本 空間及樣本點都常清楚，只是不知道機率值是要以樣本點數除以樣本空間的次 數來表示。低能力小亭，在大部分的題目當中，大都能藉由常理來推斷「一定」、

「可能」或「不可能」會發生，但無法正確說出機率值，小亭有時會將「不太 可能」和「不可能」及「非常可能」和「一定」這兩組名詞混淆，這點與 Munisamy

＆Doraisamy（1998）的發現一致，有時也以主觀的方式來判斷事件發生的可

＆Doraisamy（1998）的發現一致，有時也以主觀的方式來判斷事件發生的可