第二章 文獻探討
第三節 機率概念之實證性研究
壹、樣本空間 一、國外
Piaget & Inhelder（1975）認為在小學初階段的兒童可以在一階段 的實驗中列出所有可能的結果。但是 Jones（1974）卻認為在大多數 一至三年級的兒童無法列出一階段實驗所有結果且許多孩子出現不 願意去列出結果的情形。
Borovcnik & Bentz（1991）在 Green（1982）的研究中注意到超 過 62﹪的 11 歲兒童無法解決兩題（both of the）關於一階段的樣本空 間試題。
Piaget & Inhelder（1975）聲稱，前運思期的兒童（兩歲到七歲）
只用經驗的方式來組合出結果，一直要到具體運思期（七歲到十一歲）
才嘗試使用有系統的方式來解決二元序對，但他們並不總是使用成功 的，一直要到形式運思期，大約十一歲才能成功的使用。但只要在良 好的學習條件下，具體運思期（七歲到十一歲）的兒童能使用有系統 的方式來解決二元序對及三元序對的問題。
Schroeder（1988）指出四至六年級孩子在二階段實驗上，不情願 去詳盡闡述所有可能的結果。
English（1993）指出大多數七到十二歲的孩子能夠使用有效率的 方法去列出二元序對及三元序對（ordered pairs and ordered triples），
且解決二元序對的經驗能幫助他們解決三元序對。他們使用的策略從 嘗試錯誤到有效率的步驟列出所有可能組合的情況。
（一）二元的情形：
•策略 1
嘗試錯誤的策略，兒童以隨機的方式選取項目。
•策略 2 和 3
（二）三元的情形
解決三元的問題中，最有效率的方式是以最少的次數 改變主要常數（major constant 如策略 10 的 x1）及次要常數
（minor constant 如策略 10 的 y2），而不像策略 6 的 x1一直 在改變。
•策略 6
這個策略是嘗試錯誤的且易於犯錯。
•策略 7
兒童嘗試使用一個較有效率的方式，可惜並沒有整題都 使用此種方式。
•策略 8
兒童使用了一致的循環模式，但並沒有讓主要常數
（major constant）及次要常數（minor constant）達到最少的次 數。
•策略 9 和 10
此兩個策略最主要的特點是使主要常數（major constant）及次要常數（minor constant）達到最少的次數，是 最有效率的方式。
Ｙ１－Z1
Fischbein（1987）表示組合的樹狀圖是強而有力的教學設備，它 在把抽象的觀念轉成直覺的觀念上，扮演著非常重要的角色。但他強 調，對樹狀圖的直覺並不是一個人自然本能的特性。
Fischbein（1991）為了對兒童某些機率思考的直覺障礙有進一步 的了解，同時也為了擬定首度將機率引進小學的義大利數學課程，提 供機率教材設計的心理基礎，乃以國小四、五年級及國中一到三年級 兒童為對象，進行問卷調查，問卷內容包括「必然、可能和不可能事 件之辨認」、「具同一數學結構，但不同機率實驗情境時的兩事件之發 生機率比較」及「兩複合事件之發生機率比較」，發現多數受試兒童 似乎均已發展出「基於事件之樣本點個數，來評估比較同一樣本之間 中兩組複合事件之發生機率的大小」，唯仍欠缺「系統化」建構事件 之所有樣本點的能力，尤其不易將一個無順序的組合事件想成若干個 有順序排列的事件，例如不易將同時投擲兩粒骰子出現 5 點和出現 6 點的事件，想成包含（5,6）和（6,5）兩個樣本點，所以常誤以為「出 現不同元素之事件（如出現 5 點和 6 點）」與「出現相同元素之事件
（如兩個均出現 6 點）」的發生機率是相同的。
歸納上述，在樣本空間一階段的實驗研究上，雖然 Piaget &
Inhelder（1975）提示孩子在小學階段能夠判斷一階段實驗所有可能 的結果，但是 Jones（1974）推斷國小一至三年級的孩子不能列出一 階段實驗的結果。與 Jones（1974）發現一致，Borovcnik & Bentz（1991）
在 Green（1982）研究中注意到超過 62﹪的 11 歲兒童無法解決兩題 關於一階段的樣本空間試題。
在二階段的實驗研究上 Piaget & Inhelder（1975）、English（1993）、 Fischbein（1991）一致認為七至十二歲的兒童都能夠使用有效率的方 法去列出二元序對及三元序對，但 Fischbein（1991）卻特別指出，兒 童仍欠缺「系統化」建構事件之所有樣本點的能力，尤其不易將一個
無順序的組合事件想成若干個有順序排列的事件。
Fischbein（1987）、English（1993）皆認為樹狀圖能幫助兒童有 效率的列出二元序對及三元序對。
Jones（1974）及 Schroeder（1988）的研究皆顯示出，兒童「不 情願」列出樣本空間中所有可能的結果。
二、國內
陳順宇、鄭碧娥（民 82）指出大部分國中生已具有樣本空間和機 率事件的觀念，並能列出事件的可能結果。
朱雅瑋（民 85）為了對國小兒童機率的直觀概念做進一步研究，
以國小六級兒童（未正式接觸機率教學）332 位進行筆試及 52 位兒童 進行訪談，研究結果發現：有時兒童不知道樣本空間是如何形成的，
往往只根據猜測，自情境中隨意配取任何給定的訊息或數字來推測事 件的機率。例如：「投擲兩個硬幣，出現一個正面，與投擲四個硬幣，
出現兩個正面，哪一個較容易？」兒童若未考慮到，兩種情形下樣本 發生的機率不等，而只以「實驗次數」和「出現次數」來判斷，就容 易以為這兩種情形，出現正面的機率是一樣的(1/2＝2/4)。
施能宏（民 86）為了解五、六年級兒童在機率教學前後概念的轉 換，對 646 位兒童實施筆測、72 位兒童實施晤談。在其高年級兒童機 率文字題解題表現的研究上，發現兒童對於樣本空間概念比大數法則 較容易理解。
在陳欣民（民 91）的三個訪談個案中（四年級、五年級及六年級 各一位），顯示出孩童在求「同時投擲兩粒骰子」的樣本空間中，該 用乘的運算卻用加的運算，經研究者鼓勵他們寫出所有的情形後，他 們三人皆能馬上發現自己的錯誤而改口成 36 種，顯示出他們已有排 列組合的概念，且能運用「衍生性策略」求出樣本空間了。
歸納上述，陳順宇、鄭碧娥（民 82）、陳欣民（民 91）的研究指
出，國小中、高年級至國中的兒童已能以有系統的策略列出樣本空間 所有可能的結果。但朱雅瑋（民 85）指出，有時兒童不知道樣本空間 是如何形成的，造成從情境中隨意配取任何給定的訊息或數字來推測 事件的機率。所以教師在有關指導樣本空間的問題時，除了注意兒童 是否已會使用系統性策略來解題，更應注意兒童是否確實了解樣本空 間的涵義。
綜合國內外研究，國小兒童在經過教學後，皆能使用有系統的策 略列出樣本空間中所有可能的結果。因此，兒童若想更有效率的列出 樣本空間中二元、三元序對所有可能的情形，應輔以樹狀圖的學習。
貳、實驗機率 一、國外
Piaget & Inhelder（1975）提出兒童知道某一事件成功的機率大的 話（如一個飛鏢有 2 個區域，紅色部分佔 2/3），選擇該事件在長期下 來較為有利。投一個般子、丟一個硬幣、轉一個陀螺，會出現哪一事 件純粹是碰巧的，但大數法則使他們知道，若試驗無數次，則事件成 功的機率相當穩定，例如投一顆骰子很多次，則出現六點的機率是 1/6，所以多次實驗的結果依然有規則管理，亦即受制於機率的規則。
Piaget & Inhelder（1975）指出，在第三層次的兒童（十四歲以上）， 在對稱性機率實驗裡，兒童已能發現「大數法則」概念。
Kahneman & Tversky（1972）提出兒童在面對機率問題時，會誤 以為所有次數的分配會有回歸至平均數的順向，甚至產生了所謂大數 法則的迷思。
根據Konold（1983，1989）的研究兒童會有「結果取向」。兒童 會以「可能性相等」來表示「所有的結果都可能發生」且並不認為單 一次的試驗結果是多次試驗結果的其中之一，而是為了下一次結果做
出決定，即一個關於「事件發生的機率」之問題，容易被誤解為「這 樣的事件在下一次試驗當中『會不會發生』？」，以「100﹪」代表「一 定會發生」、「50﹪」代表「不一定會發生」、「0﹪」代表「不可能發 生」，例如：兒童會認為率在50﹪以上不只是可能發生，而且是將要 發生，若氣象預報降雨率是80﹪，但沒下雨，就認為是氣象預報錯了；
兒童也無法從具體情境中抽離相同的數學結構，認為同時進行
N
個獨 立實驗和分別進行n個相同的獨立實驗，所得某事件發生的機率不 同。例如：用一枚一元硬幣丟3次，和丟三枚一元硬幣，出現三次正 面的機率是不一樣的。歸納上述，Piaget & Inhelder（1975）指出，在第三層次的兒童（十 四歲以上），在對稱性機率實驗裡，兒童已能發現「大數法則」概念。
但Kahneman & Tversky（1972）指出，兒童會誤以為樣本空間中的情 形會交錯出現（符合「隨機過程」典型）、所有次數的分配會有回歸 至平均數的順向（符合「理想母群分配」典型），甚至產生了所謂大 數法則的迷思。
Fischbein在1987及1991年的研究皆指出，兒童了解擲硬幣或骰子 時，每次各種情形出現的機率相等，但是仍潛存有下一次較會出現之 前沒有出現的情形之迷思概念，這點與Kahneman & Tversky（1982）
研究中的「負時近效應」相似。
二、國內
根據施能宏（民 86）之研究，兒童存有「結果取向」及「大數法 則」之另有概念。在投幣試驗中，存在「正面與反面出現次數恰為其 試行次數之半的機會，隨著試行次數越多，機會越高」或「正面與反 面出現次數與試行次數之半的絕對次數差異，會隨試行次數之增加而 縮減」之二種另有概念。
林燈茂（民 81）為了瞭解兒童和教師對機率概念的認知與學習，
針對國內數學教材的課程標準和教學目標（依據民國 64 數學科課程 標準所編訂的機率教材）中有關機率的單元作過一系列的研究，並且 設計了相關的情境問題，以探討兒童和教師對機率概念的認知。他曾 採文獻分析及調查研究方式，以國一及高一兒童為對象，探討國內十 一至十六歲兒童之「相對差異」（relative difference）與「大數法則」
的概念，發現目前國小之機率單元「簡單的機率」（依據民國 64 數學
的概念，發現目前國小之機率單元「簡單的機率」（依據民國 64 數學