結論

Jones et al.（1997）及 Jones et al.（1999）根據國小現行課程、文獻探討及 觀察，洞察兒童的機率思考背景，並根據兒童的想法，組織機率思考架構，將 機率的六個組成區分成四種發展層次，為主觀到量化的推論。

本研究在了解兒童對機率的直觀想法，並分析尚未學習過機率課程兒童的 機率思考層次，最後與國外文獻作比較。茲將這三部分，作為以下幾點結論：

壹、國小五年級高、中、低能力兒童在六個機率組成的直觀概念 一、樣本空間

高能力兒童能列出一階段隨機實驗之樣本空間，並能使用「衍生 性策略」回答二階段隨機實驗之樣本空間結果。在三階段隨機實驗 中，兒童在回答三階段隨機實驗之樣本空間的問題時，往往發生漏列 樣本點的情形，但在「排座位」之樣本空間問題時，能使用「衍生性 策略」回答，原因是兒童每學期排座位之方式均為 2 位一組，進行編 排，所以高能力兒童能類化自己排座位的生活經驗。

中能力兒童不會主動列出所有一階段隨機實驗之樣本空間，有時 會用主觀來判斷。在回答二階段隨機實驗之樣本空間時，僅能隨興回

答，但在「排座位」二階段隨機實驗之樣本空間結果，兒童會使用「衍 生性策略」正確回答，原因在於兒童每學期均有 2 人一組排座位之分 組活動，所以能依據自己的生活經驗順利解決分組問題。在三階段隨 機實驗之樣本空間中，兒童無法使用「衍生性策略」列出結果，甚至 連「排座位」之情境題也無法正確回答，中能力兒童無法像高能力兒 童一樣，能類化自己排座位之生活經驗。

低能力兒童無法以「衍生性策略」來回答一階段、二階段及三階 段隨機實驗之樣本空間，同時在回答「排位置」之二階段及三階段的 問題時，採隨興的方式回答。

二、實驗機率

n次抽取的隨機實驗中，高能力兒童對第n次抽取的結果，並不 會受到n-1 次結果的影響。中能力兒童及低能力兒童則會受到n-1 次 結果的影響，低能力兒童有時以主觀來判斷。

在投擲銅板之隨機實驗中，高、中、低能力兒童皆沒有大數法則 的概念，皆無法從已做出的隨機實驗次數統計表中發現，投擲次數越 多，正反面出現的次數和投擲總次數的比值越接近 1/2。

三、理論機率

高、中、低能力兒童大都能清楚判斷事件發生的可能性，中、低 能力兒童有時會將「不太可能」和「不可能」、「可能」和「一定」混 淆。在離散或連續情境(包含相鄰及非相鄰)下，探討兒童之理論機率 概念時，高能力兒童皆能使用分數正確回答最有可能發生事件的機 率。中能力兒童不管在離散情境或連續情境皆以目標物的數量來考 量。低能力不管在離散情境或連續情境皆以主觀來判斷最有可能發生 的事件。高、中、低能力兒童在離散情境及連續情境表現是一致的。

四、機率比較

在連續及離散情境中探討兒童之機率比較概念時，高能力兒童在 連續情境中，分割總區塊不同時，能正確使用數字判斷兩個發生情形 發生的機率，但因缺乏等值分數的概念，有時無法順利回答。在射中 紅色機率相同的飛鏢中，高能力兒童會因為紅色區塊相鄰而影響判 斷。在離散情形時（分母不同），雖能正確以分數表機率值，但因缺 乏等值分數的概念，有時無法順利回答。中、低能力兒童在連續情境

（分割總區塊不同）完全以主觀來判斷，離散情境（分母不同），並 無考慮到母群體的多寡，採用 Falk（1983）的「更多的目標事件策略」， 認為目標物較多的那組，被抽到目標物的機率就較大。高能力兒童在 離散情境和連續情境表現一致，中、低能力兒童在離散情境時答題情 形較好，不會出現如連續情境時完全以主觀判斷。

五、條件機率

在「置回」與「不置回」的情境下，探討兒童之條件機率概念時，

高能力兒童能以分數表示「置回」與「不置回」事件機率值的改變。

中能力兒童能說出「置回」與「不置回」事件發生的可能性有無改變，

但無法以分數表示一事件在某一條件下發生的機率。低能力兒童使用 主觀主觀想法說明「置回」和「不置回」事件。

六、獨立性

高、中、低能力兒童皆能以生活經驗或常理判斷「考試」和「秩 序比賽優勝」情境中，各事件是獨立的。

高能力兒童能肯定每一次抽糖果的獨立性，正確說出機率值，並 認為連續抽糖果五次，出現「草莓、牛奶、草莓、草莓、牛奶」的機 率和出現「草莓、草莓、草莓、草莓、草莓」的機率一樣大。中、低

能力兒童並不認為每次試驗的結果是獨立的，對先前的試驗結果做分 析以預測下次的結果。

貳、國小五年級高、中、低能力兒童在六個機率組成的思考層次。

一、高能力兒童

依照 Jones et al.（1999）的「學生機率推論六組成四層次」架構，

兒童在樣本空間達到層次三至層次四之間，在實驗機率達到層次三，

在理論機率達到層次四，在機率比較達到層次三到層次四之間，在條 件機率達到層次四，在獨立性達到層次四。

二、中能力兒童

依照 Jones et al.（1999）的「學生機率推論六組成四層次」架構，

兒童在樣本空間達到層次一，在實驗機率達到層次一至層次二之間，

在理論機率達到層次二，在機率比較達到層次二，在條件機率達到層 次三至層次四之間，在獨立性達到層次二。

三、低能力兒童

依照 Jones et al.（1999）的「學生機率推論六組成四層次」架構，

兒童在樣本空間達到層次一，在實驗機率達到層次一，在理論機率達 到層次一，在機率比較達到層次一至層次二之間，在條件機率達到層 次一，在獨立性達到層次二。

參、國小五年級兒童答題情形，與國內外相關研究的相似或差異之處 一、樣本空間

中能力的小瑜和低能力的小亭不習慣將所有情況列出，會偏向選 擇其中一個，這點與 Jones（1974）、Schroeder（1988）的情形相符。

Jones et al.（1997）亦指出兒童在陳述樣本空間的結論時，他們不給 一個完整的答案，傾向主觀的認為什麼較可能發生，而較高層次孩童 的特徵之一是從來沒有主動的列出所有的結果，從未接受攪亂是隨機 的過程。

二、實驗機率

低能力小亭，從投硬幣一枚硬幣 10 次、100 次、200 次及 1000 次的統計表中，完全以主觀的方式來決定出現正面和反面的機率，和 Jones et al.（1997）的層次一的研究個案相類似，不理會已做出的隨 機試驗資料，使用主觀判斷去處理最有可能或最不可能事件。

三、理論機率

中能力的小瑜在預測哪一事件較有可能發生時，採用 Acredolo et al.（1989）的「分子策略」。Jones et al.（1997）也指出層次二的兒童 會使用量化來表示機率，但他們總是使用單一的策略，例如，使用較 多的目標物來判斷。低能力的小亭雖具備「部分－全體」的概念，但 仍完全以主觀的判斷來預測最有可能發生的事件，在 Jones et al.

（1997）的研究中亦提到，典型層次一的兒童他們常找一些枯燥冗長 的非數量推理去支持他們判斷。

在事件發生的可能性中，中能力的小瑜及低能力小亭觀念清楚，

只有在面對目標物太少時，把「不太可能」和「不可能」及「非常可 能」和「一定」這兩組名詞混淆，這點與 Munisamy＆Doraisamy（1998）、 Fischbein（1991）的發現一致。低能力小亭有時也以主觀的方式來判 斷事件發生的可能性， Fischbein（1991）亦指出，兒童在判斷一個 事件「可能」、「不可能」或「必然」發生時，傾向用主觀的想法來取 代數學上的思考。

四、機率比較

在連續情形下，高能力的小琳雖能了解紅色區塊面積比例相等，

但有時還是受轉盤上顏色分佈的影響，返回主觀的判斷，認為紅色區 塊連在一起的較容易被射中，Jones et al.（1997）指出非相鄰的結果 阻止了兒童數字的想法，使他回復到一個不準確的定量方式。

中能力小瑜在離散情形下，採用 Falk（1983）的研究中，「更多 的目標事件」策略，使用目標物的數量來判斷發生機率，並無考慮到 母群的大小。

五、條件機率及獨立性

中能力的小瑜和低能力的小亭雖會對先前的試驗結果做分析以 預測下次的結果，符合了 Kahneman & Tversky（1982）及朱雅瑋（民 85）的「正時近效應」之迷思概念，Piaget & Inhelder（1975）、Fischbein

（1987）及施能宏（民 86）的研究結果亦指出，兒童會出現以上次出 現結果來預測下次結果之迷思概念。中能力及低能力兒童認為試驗結 果交替出現似乎是比較合理的，符合了 Kahneman & Tversky（1982）

及朱雅瑋（民 85）的「理想母群分配典型」之迷思概念。