那當你要做它的 X 2 的時候，又要重新怎麼呢，是 不是要操作一次。那 X 3 是不是要重新再算它一
比如說它 3、 2、5、1 像這樣的矩陣，那我怎麼求它本 身的反方陣？你想應當怎麼做？要求 A 的反方陣，那
你怎麼做？耶，這個地方慢慢想一下吼，第一個這樣的 想法是，我 A 要乘於一個幾階的方陣？耶，反方陣這 裡很重要，這一定會碰到啦，考試什麼東西一定考不死 人的啦。所以通常在解這個題目上，第一個一定是令你 一個想法，令 B 是一個幾階的方陣？2 階。所以 x、y、
u、v 這樣來表示。那它會有什麼特性？3、5 還有多少，
1、2。乘以哪個數據？x、y 還有 u、v。這算出來答案
應該會變成多少？反方陣通常考試喔，這邊沒有什麼好考的，一定考很多。一 定乘出來是不是等於這樣子？其實 2 階的反方陣比 3 階重要。懂不懂？因為它 包括很多數學上的應用，幾乎都是講這一段。那你解這個題目上就可以這樣解 題，所以這不會說不過去啦。3x+y=1，x+2y 等於多少？是不是等於 0？還有一 組是不是 3x，3u 再加上 5v，剛好是等於 0。那就變成多少？u 再加上 2v 剛好 是等於多少？1。【學生提醒板書有誤】耶？【教師檢查板書，並且更正板書】
x+2y=0 對啦。那 3x，3u 再乘以它。喔，這邊是 5，對對對。是不是像這種情 況下？那最笨拙的方法就是解它的什麼？是不是聯立？那你知道解出來以 後，這 x 答案做出來是多少？x 做出來是 2，y 做出來是-1。所以它解出來以後，
x 是多少？x 是 2。y 是等於多少？-1。那這解出來以後，答案是變多少【指 u、
v 之解】？欣賞一下。v 等於 3 對不對？它是變成多少？-5。這答案是不是解出 來了？但是這種題目上我們會了解一下，我們希望我們解題的速度是不是非常 非常地怎麼？快。對不對？因為它可能只是在解題中間一個小小的運作，一個 小小的運作而已。所以通常我們希望能夠把它給公式化。那課本上寫了一個怪 怪的寫法【指矩陣的列運算】，那我想就不理它了，那方法是對高階來講非常 好用。那我想先把，大概把考試的東西先把它帶過去。
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【Clip2】影片總時間：06:04
影片來源：(影片 1) 10:28~~(影片 1) 16:32 內容：證明「2 階反方陣的公式」
聲音逐字稿 + 板書
另外有些人就覺得說，耶，這個題目上 A 假設它 是 a、b、c、d，那我要如何求它的什麼呢？反方 陣。這是不是所謂一個公式化的型態？可以吧？
那這種東西是一定，一定要會啦。那這種東西同 樣我們仿這型態，令 B 等於多少？令 B 等於多少 數據？x、y 還有多少，u、v。是不是可以這種型 態這樣來做？那可以從這題目上，可以得到 a、b 還有多少，c、d。乘以 x、y 還有多少，u、v。這 答案算出來是不是等於 1、0 還有多少，0、1。可 以嗎？結果一做，得到什麼數據？你看這題目上
從克拉瑪來做，其實解這題目上用克拉瑪來做也是很快，但它比較簡單。那它 ax+by 等於多少？1。還有一個 au+bv 剛好是等於多少？0。那還有一個是 cx+dy 等於多少？0。一個 cu+dv 剛好做出來是不是等於 1。喔，你慢慢抓到它的感覺 喔，克拉瑪它偉大的地方慢慢就呈現出來了。慢慢看喔，你這個題目上會發現 x 做出來的答案上是屬於它的什麼？是不是 det(A)【老師的發音是∆ 】，用從 克拉瑪來做，是不是 det(A)？那你這個東西是 1、0，還有 b 跟多少？b 跟 d。
所以解出來變成哪個數據？變成哪個數據啊？是不是解出來剛好是就是 d。那 你的 y 呢，做出來克拉瑪你看 det 多少？A 來做。它做出來是改變哪個數據？1、
0 以後，它這邊 a 跟多少？c。所以你做出來答案剛好是多少？是不是就-c。再 從這個題目上，它這個題目上同樣它的 u 做出來是等於多少？det(A)。它是 a、
c，它用 0、1 來做。所以做出來剛好是多少？是哪個數據？耶？【從答案發現 寫錯】有沒有記錯？喔，老師寫顛倒。0、1 還有多少，b、d。所以做出來剛好 是不是等於-b。那這時候它的 v 做出來以後，剛好是 det(A)。這時候變成 a、c，
它用多少，0、1 來代。做出來是不是等於 a。所以所以，一個重要的東西就出 來啦。B 的反方陣【寫錯，應是「A 的反方陣」】做出是什麼樣子？det 多少？
A。分之多少數據？這題目上是 d 跟 a 兩個是不是怎樣呢，是不是顛倒？對不 對？然後這邊加上什麼符號？這兩個顛倒，這邊加上什麼符號？是不是-b 跟-c 就出來了。對不對？所以從這題目上我們發現到一個特性。第一個這邊一定 要，能不能等於 0【指 det(A)】？這萬一等於 0 的話，它有沒有辦法，有沒有 解？無解。所以通常題目上 B 的，B 整個就出來了。以後看到這種方陣，然後 只要它 det(A)，它怎麼樣呢？不等於 0。其實這公式就出來了。
那你看這題目上做出來是 ad-bc【指反方陣公式的右邊矩陣】，剛好是 ad-bc【指 公式中的 det(A)】。剛好是消掉，剛好是不是等於 1？因為它符合這一個條件【指
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「行列式的乘法性質」】，A 的方陣跟 A 的反方陣，乘出來是不是等於 I？有沒 有等於 1？有。所以你如果說覺得忘掉它，你就稍微從第三個把它想一下，應 該就不會記錯。ad-bc 嘛，然後每個位子都要變。那這兩個剛好把位子顛倒，
這兩個同時變成什麼符號？加個負號。那就是它的什麼？反方陣。可以嗎？所 以你看這題目上做出來【指上一片段的例子】，老師在寫說，老師亂寫的啦。
那為什麼老師寫個 1 在這邊？因為我希望它的 det 就比較簡單一點點。不然做 出來就一堆的什麼？分數就跑出來。可以吧？那這種東西是屬於怎麼樣呢？一 定要背的東西啦。不要說什麼東西都要理解，因為這東西操作太頻繁了。它是 任何東西以後，你上了大學以後，那些線性變換、推移，很多東西都，旋轉，
很多東西都要用它的啦。可以吧？【和學生私下短暫閒聊】好，看一下來，耶，
這東西一定要把它給記起來。那如果記不住，你就知道它同時 ad-bc，那每個 位子都會變，所以它顛倒、變號。每個都在變啦，兩個變位子，兩個變符號，
那就 ad-bc。這個正的、這個負的，正的就是怎麼樣呢？顛倒順序。那負的就 同時加上什麼符號？負號。我就用這種方式記它，就會比較容易。可以吧？所 以吼，這 2 階的部分吼，理論上就這樣就結束了。
【Clip3】影片總時間：04:53
影片來源：(影片 1) 16:32~~(影片 1) 21:25 內容：舉兩個例子驗證「2 階反方陣的公式」
聲音逐字稿 + 板書
那我想我們做一兩個例子，來稍微印證一下說，
我們想法到底是對還是錯？比如說 10、2、7、3
【算 A 的反方陣】，來，那我們看這題目上，你 要怎麼求它的一個反方陣？那這種東西吼，其實 你就發現，這邊是不是變-1。然後就把 2 跟 10 兩個顛倒，這邊-7、-3。然後這時候一寫出來就 變成哪個數據？-2、7，還有多少，3，是不是還 有-10。所以乘負號是不是同時每個都放進去？
然後你看做出來有沒有等於多少？-1【指 det 部分】。因為它-1，它一定要是-1 嘛，相乘才會多少？是不是才會等於 1。那我們另外找一個 C，【算 C 的反方陣】
假設它是 3、7，這假設 5，它是 8。這有點可怕了，對不對？做出來是不是等 於-19？我們來印證看看，那 C 的反方陣就是變 1/19，負 19。那這邊 7 跟 3 兩 個顛倒，那-5 跟-8。結果你看做出來，剛好是多少？你看這做出來以後是，這 做出來是-1/19，那做出來以後答案變成等於多少？7、3，多少數據？很可怕，
對不對？21，-19，對不對？然後它主要是要做這個數據啦，你看，這-7/19，
然後 19 分之多少，5，這東西變 8/19，19 分之多少，是不是就-3。耶，你看這
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地方喔，det(C)它做出來答案是多少？它做出來就-1/19【弄錯，應是-19】。那 這種東西你看一個數據喔，它乘出來【指 det(C-1)】，耶？它-19【更正板書】，
老師亂寫。它-19 對不對？那乘出來以後它是多少？它是乘進去【指 C-1】有一 個 19，19 分之 1，所以它變成 19 的幾次方？平方。可以吧？那這邊，耶，這 邊怎麼會？喔，這邊也是一個-7 啦。所以它做出來以後同樣是多少，負多少？
是不是-19。看它消掉以後，剛好是就是-1/19。兩個相乘有沒有剛好等於 1，一 定都會有。所以有時候通常在考矩陣和行列式和考這個觀念。矩陣把它乘於 19 進去，它每個都變成多少？1/19。但這做它的行列式的時候會變多少？是不是 就 1/192。所以會時常考那個什麼 5，矩陣 A，那 5A 到底什麼樣子？那行列式 5A，行列式變多少？那完全都不一樣。這上次講過了，我們大概有點概念，對 不對？好啦，這種題目上後面還有很多。所以，2 階行列式其實就不要把它想 得太多，它只是一種很機械化的一種操作模式啦。這可以接受吧？可以吼？
耶，我跟你講這東西還有一種方式是用列運算來算啦，但根據老師的經驗法 則，列運算教了以後，對你們來講都是一種敗筆，因為列運算算錯的比例太高 了，比例太高了。你要用列運算來算，倒不如直接解方程組還比較快一點點，
因為解的東西速度本身是滿快的嘛。但是我想以你們的記憶力來講，2 階它是 沒有多大的問題。可以吧？好啦，那就講完 2 階啦。那我們接著講幾階？3 階 吼，可以吼？這確定可以吼？
【Clip4】影片總時間：06:17
影片來源：(影片 1) 21:25~~(影片 2) 03:50 內容：舉例說明「反方陣」的應用
聲音逐字稿 + 板書
所以在做這邊的時候，來，老師 再舉個例子，你看一下。舉個例 子來講【老師似乎是拿一本書的 題目照抄】，比如說 A 是 4、5、
7、9，B 是 4、3。這可以吧？耶，
老師問你們一件事情吼。第一 個，假設 A 乘以 B，假設等於多
少？【擦掉重寫】AX 假設，你要求 X，你要怎麼辦？求 X。第二個，X 乘 A 假設等於 B，要求它的 X 那該怎麼辦？耶，這兩個答案會不會一樣？我把它改 成 Y【更改板書】，不要讓你會覺得都一樣。X 會不會等於 Y？耶，我們一直強 調一個概念，矩陣的乘法有沒有交換律？【學生答：沒有。】沒有交換律對不 對？是不是強調這個概念？所以在做這題目上時候，你可以發現你要怎麼辦？
我們先做這個方陣來，A 的反方陣變多少？馬上可以求出來喔，它是不是就變
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成等於 1，不理它。所以就直接把這個 9 跟 4 兩個把它顛倒，這邊加上一個什 麼符號？負號。這樣整個是不是就出來了。然後它行列式是 1【指 A】，它行式 是要多少【指 A-1】？那肯定沒有問題。對不對？喔，那老師問你喔，耶，這 題目上你要怎麼，才能夠把它給驗證數據？唯一的方法是不是要把 A，AX 剛 好等於多少？我可不可以同乘一個什麼數據？A 的反方陣。可不可以？它乘法
成等於 1，不理它。所以就直接把這個 9 跟 4 兩個把它顛倒，這邊加上一個什 麼符號？負號。這樣整個是不是就出來了。然後它行列式是 1【指 A】，它行式 是要多少【指 A-1】？那肯定沒有問題。對不對？喔，那老師問你喔，耶，這 題目上你要怎麼，才能夠把它給驗證數據？唯一的方法是不是要把 A，AX 剛 好等於多少？我可不可以同乘一個什麼數據？A 的反方陣。可不可以？它乘法