邱師的數學教學專業知識

本小節將先討論邱師的三次研究階段，它們分別是：第一階段研究（排列組 合）、第二階段研究（機率）、第三階段研究（矩陣）。最後，筆者會跨階段討論 邱師整體呈現的 MKT 樣貌。

一、第一階段研究（排列組合）

（一）主題教學事件 1：排列

邱師在複習「排列」的數學概念時，第一堂課開始時先告訴學生「排列組合 的意義」為：分類、分階段、再計算；並期許學生要弄懂題目而不是多做題目。

在花費一些時間教導「集合」的各種概念與題目之後，他開始進入「計數的基本 原理」的教學，並且一再地強調「樹狀圖」的重要性。見附錄 16 的「關鍵教學 事件 1」，他告訴學生從「樹狀圖」概念會引進「加法原理」和「乘法原理」，它 們其實就是「分類」和「分階段」的方法。在教學事件編年表中，筆者發現一些 與此主題教學事件有關的教學專業知識，它們是邱師在「排列」相關主題的數學 教學內涵與特徵（B1-O、B1-O*）：

1.排列組合的思維取向：認為排列組合就是「分類、分階段、再計算」，也就是

「加法原理」和「乘法原理」；多次強調「樹狀圖」的重要性，也就是慢慢討 論的方式。

2.排列組合的題型：以「樹狀圖」解決了「乘法原理、排列、重複排列」的各種 題型；並且教「排容原理」題型的兩種解法。「有相同物的排列」是在乘法原 理中加入除法模式，會舉例並詳細說明「完全相異物的排列」和「不盡相異物 的排列」之間的倍數關係；「環狀排列」有兩種解法，一個是單純的乘法原理，

另一個加入除法模式。

數學教師教學專業知識除了包括顯性知識之外，在教學現場背後也有隱性知 識；本研究訪談後發現邱師在「排列」數學主題至少有五組隱性知識（B1-Y、

B1-Y*）。第一，他先從複習「集合的概念」開始教起，但選擇的題目不一定是

「文氏圖」可以處理的，他主要是為了方便學生去做「集合元素的計數」。筆者 認為這是「SCK 影響 KCT」和「KCS 影響 SCK」的證據。第二，他教學時用了 很多的「樹狀圖」，那是因為「加法原理」和「乘法原理」都是從它產生的；「組 合」雖然是「有相同物的排列」，但它有點像樹狀圖倒過來的情況，變成很多種

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類的同一種。筆者認為這突顯了「SCK 的重要性」，因為他認為「排列組合」的 源頭就是「樹狀圖」；同時這也屬於「SCK 影響 KCT」。第三，在討論「排列的 題目」時，遇到「否定情況的題目」會順便補充更難的類似題，這是因為學生通 常不會想到用「集合」來解題；而在同一題組裡，他也會將思考層次高一點的題 目調動成最後面再教。筆者認為這是「KCS 影響 KCT」，並且突顯了「KCS 的 重要性」，因為他會以學生的利益考量為主去補充或調整上課教材。

第四，在解決「環狀排列」的問題時，他知道「找標竿的解法」或「多合一 的解法」兩種模式各有利弊；雖然「找標竿的解法」學生比較容易聽得懂，但是 它的推廣性不足夠，因此他還是偏好「多合一的解法」。筆者認為這也是「SCK 影響 KCT」的證據，同時也突顯了「SCK 的重要性」，因為教師會分析兩解法的 利弊並做選擇。第五，對於專家諮詢教師所提出的「不盡相異物的排列」應使用

「組合的解法」，他以前也從來沒有想到這種方法；但他認為這種方法跟「組合」

的東西本來就是一體兩面，你用「組合的解法」當然就不需要用「除法模式」。

他覺得重點是教師能不能處理的好的問題，只要它的推演過程不是循環論證就合 理；但是教師先講「組合」而不先講「排列」，他認為不太合邏輯。筆者認為這 突顯了「CCK 的重要性」，因為教師若是限制於教學實務考量，很容易失去純真 思維的想法；而它也是屬於「KCT 影響 CCK」。

關於他在第二項的隱性知識，我們摘錄部分訪談內容示例如下：

邱師：【訪談者：老師為什麼要用這麼多次的樹狀圖來解題？某種情形排列組合只是在教 一種計數的方法，算，算數目的方法。算數目的方法裡，其實我如果回到最原始來講，排 列組合應該大概就講兩個東西，一個樹狀圖，你所謂乘法原理、加法原理哪裡來的？樹狀 圖來的，對不對。樹狀圖下來，乘法原理、加法原理。完了以後呢，排容原理，排列組合 幾乎就都可以講完了。所以我的概念就是樹狀圖，然後到組合的時候，或是到所謂的有相 同物的排列的時候，那只是再給她一個概念是，我把，那個有點像樹狀圖倒過來，是很多 種類的同一種。一種變很多種的時候，在樹狀圖就是，樹狀圖兩個概念吼，一個是，我比 較喜歡講一個概念是有點像灌木叢，那是加法原理，灌木叢的加法原理，一類一類一類。

那乘法原理是什麼？比較像喬木，中間再分，這是這樣，這是這樣，你整個，整個樹狀圖 概念就是像這樣，灌木或是喬木這樣的一個觀念。加法、乘法，當我沒辦法把它變成一棵 樹是很整齊的樹的時候，我就必須要跟，一段一段的去算，整個概念是這樣。然後回過頭 來說，為什麼說同物排列，同物排列我基本上我教是，你看這樣教是直線排列，直線排列 基本上當然是透過樹狀圖來講。然後接下來是有相同物的排列，我是從同物排列去除嘛(口 誤：直線排列)，你的公式也是去除嘛。(單元性訪談 1：問題 3)

（二）主題教學事件 2：組合

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邱師在正式介紹「組合」的數學概念之前，先舉兩個類似題型說明「排列」

和「組合」的不同之處，也就是思考「所排之物是否有順序性」。見附錄 16 的「關 鍵教學事件 2」，他利用示範例題的機會建立了「組合的直線排列模型」，並以此 介紹「組合」的符號和意義。接著他利用解題的機會示範了答案不同的兩種解法，

並讓學生思考何者是正確解法，藉此提醒學生「組合常見的錯誤想法」。在教學 事件編年表中，筆者發現一些與此主題教學事件有關的教學專業知識，它們是邱 師在「組合」相關主題的數學教學內涵與特徵（B1-O、B1-O*）：

1.建立「組合的直線排列模型」解決問題：將「組合」視為「不盡相異物的排列」

的一種特例，並且用「打勾」和「打叉」的畫圖方式表徵物件是否被選取。

2.排列組合的思維取向：「組合」和「排列」的不同之處在於「所排之物是否有 順序性」；「組合常見的錯誤想法」就是將一個沒有順序性的選法拆成「先選」

和「後選」，使得它出現有順序性的排列思維。

3.排列組合的題型：「組合」就是要注意是否有順序性，並且建立「組合的直線 排列模型」來解決問題；「組合」可以解釋「巴斯卡定理」和「二項式定理」。

「組合」和「分組分堆」題型的最大不同是選物件或分物件；在做「分組分堆」

的題型時，要先將物件標上記號並以「不盡相異物的排列」來處理，最後再用

「除法模式」解決多出來的記號。而「重複組合」題型有兩種解法可以處理。

訪談後發現，邱師的數學教學專業知識仍然包含一些隱性知識，它在「組合」

數學主題上至少有三方面考量（B1-Y、B1-Y*）。第一，他在講解「組合的題目」

時故意用了「答案不同的兩種解法」讓學生猜想何者有迷思概念？之後更進一步 舉例示範類似題目；他會花費一些時間去介紹這個是考量到「學生常會犯的典型 錯誤模型」，並期望透過教學的提醒可以減少學生的錯誤。筆者認為這是「KCS 影響 KCT」。第二，他建立的「組合的直線排列模型」有一個很特別的教學模型，

它可以用「除法模式」去解釋「不盡相異物的排列」，同時也以「不盡相異物的 排列」來表徵「組合的意義」。筆者認為這是「SCK 影響 KCT」，同時也突顯了

「SCK 和 KCT 的重要性」，因為教師會將「排列」和「組合」用一種可見的表 徵模型做連結。第三，他認為「分組分堆」的題型通常是放在「組合」來講，但 除非題目很明確的時候才需要用「組合的 符號」來處理。尤其是「分東西的 題目」學生往往搞不清楚它們是「排列」還是「組合」？他建議先把整個題目的 邏輯做出來之後再去計算，例如用「學校頒獎貼名字」的方式去處理「分東西的 題目」。筆者認為這是「SCK 影響 KCT」和「KCS 影響 KCT」的證據，這也突 顯了「KCT 的重要性」，因為教師可以視題目情境使用不同的教學手法。

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關於他在第一項和第二項的隱性知識，我們摘錄部分訪談內容示例如下：

邱師：應該是在，在特別處理這個東西。這個東西是學生在排列組合中間最容易做錯，而 且做錯以後不知道怎麼做錯，然後每次會跑來問，老師我這樣的想法為什麼不對？各至少 選一個的時候，學生一定會從奇數先選一個、偶數先選一個，然後剩下，剩下就任意選一 個嘛。邏輯上這個是對的，邏輯上這樣選法是對的，它可以達到這個工作。但是，就工作 的邏輯是對的，就著我現在的目的不是說選完這件事，我的目的是說算有幾種選法，技術 來講會是錯。【…】但是這樣，錯就是說一定會把，一定會重複嘛。所以這個要舉很多次 的例子去告訴他們，那這樣的情況就會稍微減少一下她們在這個東西上犯的錯嘛。【…】

這保證是那排列組合中間，那屬一屬二典型的錯誤模型。(單元性訪談 1：問題 14) 邱師：【訪談者：你 C 也是打圈叉，是不是在這邊你就是用同物排列的那種 model？】對，

有一點用同物排列的 model。對，所以是從這個模式下，它變做一個滿核心的一個東西。

(單元性訪談 1：問題 23)

（三）主題教學事件 3：重複組合

見附錄 16 的「關鍵教學事件 3」，邱師在正式介紹「重複組合」之前，就花 費將近一節課的時間用「畫表格的方法」解決「重複組合的題目」；最後才帶學 生回憶起高二使用的「不盡相異物的排列」解法，也就是學生命名其為「紅豆餅

見附錄 16 的「關鍵教學事件 3」，邱師在正式介紹「重複組合」之前，就花 費將近一節課的時間用「畫表格的方法」解決「重複組合的題目」；最後才帶學 生回憶起高二使用的「不盡相異物的排列」解法，也就是學生命名其為「紅豆餅