李師和邱師數學教學專業知識的比較

本小節將先討論李師和邱師兩次相同教學單元數學教學專業知識的比較結 果，它們是進度單元的比較（矩陣）和複習單元的比較（排列組合）。最後，筆 者會以這兩次比較的結果，討論兩位教師在相同單元上整體的 MKT 研究成果；

接著，以他們三階段的研究結果為主，討論兩位教師在整體 MKT 樣貌的異同。

一、進度單元的比較（矩陣）

（一）主題教學事件 1：矩陣乘法

見附錄 13 和附錄 18 的「關鍵教學事件 1」，李師以「轉移矩陣的例子」來 說明「矩陣乘法」，並且認為「矩陣乘法的模式」可以簡化「聯立方程組的計算」；

邱師則是以「兩個資料的表格」來說明「矩陣乘法」，並且認為「矩陣」可以視 作「數個向量的並列」，而「矩陣乘法的乘積元素」可以用「向量內積」來取代。

在解題方面，李師上課所講解的學校講義題目中，有的涉及「矩置矩陣、旋轉矩 陣、嚴格上三角矩陣」等較高難度的題目；邱師則沒有向學生提出這一類的題目。

另外，李師會特地比較「矩陣」和「行列式」在「係數積的乘法結合律」方面的 不同之處；邱師會特地將「矩陣的代數性質」和「實數的代數性質」做比較，包 含「單位矩陣」也是如此處理。

李師和邱師的相似之處很多，他們上課時都花了不少時間驗證「矩陣乘法的 代數性質」，並且強調「矩陣乘法」的「運算性質不成立的部分」；然後，接著演 示相關的例題。關於「矩陣乘法的代數性質」方面，他們都找出反例來證明「運 算性質不成立的部分」，包含「交換律、消去律、乘積為零」；但是不會特別強調

「運算性質成立的部分」，並且幾乎沒有證明「結合律、分配律」。除了在上課時 會講解「轉移矩陣的題型」之外，他們所講解的題目大多數涉及「矩陣乘法的性 質」是否熟練（A1-O、B3-O）。

然而，李師和邱師在課堂教學背後也潛藏了一些想法，這是關於他們如何將

「矩陣乘法」方面的知識實踐於課堂的數學教學活動中。李師將課綱規定的數學 內容順序做大幅度調整，這是因為考慮到「聯立方程組」對「矩陣乘法」的重要 性；但是，邱師並沒有如此的考量。邱師認為使用「兩個資料的表格」會讓學生 容易接受「矩陣乘法」的規則性；但是，李師則覺得它確實是比較生動活潑的教 學，可是不適用於高三這個學習階段。李師和邱師都認為「基本矩陣的列運算」

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在高中數學教學並非是必要的，邱師甚至認為它和「矩陣乘法」的關係不大，並 且可能只是學生學習上的負擔（A1-Y、B3-Y）。

關於「矩陣乘法」方面的隱性知識，我們摘錄兩位個案教師的部分訪談內容，

示例如下：

李師：所以有很多那種為什麼這樣乘它，其實她們就懂得說這種都是一種人為上的規定啦。

也就說為了解決某個問題，我把它設定成這樣的方式，那後面有些沿它的方式慢慢去發展。

那她們就會發現說，喔，原來要這個乘這個，那第二列就等於這個乘這個，那第三列就是 要乘它。吼，那以後，我假設我要求它的解，我只要求它的反方陣，乘在這邊，那整個答 案就出來了。所以她們學生就很自然覺得說，喔，那因為它當初是因為必然的一個需要，

引發這種的一個乘法。所以通常是先有行列式，矩陣是後面才有的東西，吼，這種時空背 景有時候是不太一樣。那這樣講，學生就覺得乘法好像很理所當然的事情，它當初是為了 克服方程組的問題，這樣產生出來的。所以為什麼當初在上課的時候，沒有按照課綱的順 序在上課，這樣，因為每個人都覺得說，那課綱安排有點說，矩陣我就給它下定義，那學 生茫茫然不知道所以然來了。所以當初從 2-3 開始上的道理就是這樣，還是回歸到它本身 的一個，原始的面目啦。(總結性訪談 1：問題 5)

李師：其實我覺得真正數學的來源是方程組，但是那個不夠生動活潑。喔，所以有些會利 用到像，比如說像各種版本的寫法也都是不太一樣。那整個的一個，如果從比較嚴謹的角 度，應該是方程組比較貼切啦。那有些人就比較把它講得活潑有趣一點點啦，比如說矩陣 的加法，他就把它個資料的一個，反正各種講法也是很多啦。所以有一種是，我是覺得如 果是方程組來講，比較能夠貼切它矩陣從哪邊來，它要處理哪些問題。那利用到兩個東西 的相加，好像是比較生活化，比較貼切。【…】像我覺得說，矩陣的列運算其實是理論上 是很好的，因為它是比較高階的。其實真的是以現實生活面來講，你真的是，比如說像求 反導函數【口誤：反方陣】，你真的會去用像這種矩陣的列運算去算嗎【意指：基本矩陣 的運算】？不太可能。【…】那有時候高一我們可能會比較用這種方式來做，但高二到高 三我覺得已經不太合適了【意指：兩個表格資料的詮釋方式】。(總結性訪談 2：問題 4)

邱師：應該是兩個主要的重點啦。一個讓她，去，應該怎麼講，去接受矩陣乘法，這樣的 一個，乘法的這樣的一個規則。所謂去接受它就是，覺得這樣的規則有它的合理性。因為 我的鋪陳就是，矩陣就是，把一些資料表格化，做二維的表格就變作矩陣嘛。那就是我從 既有的資料表格，要產生一個新的表格的時候，在什麼情況，如同什麼樣的情況下，我可 能會用到乘法嘛。那這樣的情況下我要用到乘法，就是我要產生一個新的表格嘛，得到一 個新的資料的時候，在某種情況下。所以我通常都比較會舉像升學考試這樣的一個例子來 產生，這是第一個鋪程。第二個鋪程是為了今年講這個三階反方陣的這樣一個需求。(單 元性訪談 3：問題 1)

邱師：因為前面的課綱都會先講列運算，在正式教矩陣之前，甚至正是定義矩陣之前，都 會先講列運算。就是會講高斯消去法，就是先講方程式，方程式講完會講，講矩陣列運算，

然後就不講。因為矩陣大部分，前面的課綱都是這樣教，然後矩陣都是在後面。那，我比

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較還沒有仔細去看，像 99 課綱這時候第四冊他們在這部分的時候怎麼寫。還是一樣先進 來列運算，或者是矩陣講完再去講運算，不知道，這一部分我不知道。不過列運算和矩陣 的運算，其實沒有太大關連吧。【…】你列運算，以現在課綱來講他幾乎包括我們平常對 學生，都不把行列式跟矩陣弄在一起。那玩這個的人是比較喜歡把矩陣的部分，把他弄清 楚【意指：基本矩陣的運算】。所以他把每一個列運算都看做基本矩陣去乘，乘法這樣去 做，也就是我用這樣的乘法把它做出來。但是，這個東西就是，除非你這樣要求，我不會 這樣子教學生。因為列運算，我把他當獨立，沒有什麼關聯，因為列運算他只是在處理方 程式的問題而已。【…】反正這些東西都會有人有偏愛嘛。有偏愛就會這樣講，很好啦，

要讓學生知道這些觀念，很好啊。但是，很多東西都很好，但是教學上本來就是要取捨。

學生能吃掉多少東西，你要取捨嘛。(總結性訪談 2：問題 9)

（二）主題教學事件 2：轉移矩陣

見附錄 13 和附錄 18 的「關鍵教學事件 2」，李師正式介紹「轉移矩陣」的 數學概念時會強調它的「封閉性」，並且說明「馬可夫矩陣」的想法；邱師則強 調「轉移矩陣」在生活上的應用，他以課本上的起始例來討論，並且先以「機率 樹」解題，之後，再從解法過程中運用「向量的內積」寫出「轉移矩陣的乘法模 式」。另外，李師上課時告訴學生「轉移矩陣」所具備的一些特性，並且在教完

「反方陣」後，又將「轉移矩陣」重新講解了一節課；而在邱師的教學中卻沒有 出現過。

李師和邱師的相似之處很多，他們都認為：「馬可夫矩陣」是「轉移矩陣」

在長時間下的一種穩定狀態。他們上課時很強調「轉移矩陣」和「馬可夫矩陣」

的解題模式：先將題意畫成表格型態，並寫出「矩陣乘法的模式」，計算時要注 意「機率矩陣」的各元素和為 1（A1-O、B3-O）。

然而，李師和邱師在課堂教學背後也潛藏了一些想法，這是關於他們如何將

「轉移矩陣」方面的知識實踐於課堂的數學教學活動中。李師會特別向學生介紹

「馬可夫矩陣」，這是因為該校學生的考試需求，並且會以「轉移矩陣」為主題 進行兩次的教學；但是邱師認為不需要特別介紹它，因為「轉移矩陣」現在課程 幾乎只是用於處理「機率問題」。李師和邱師都認為「馬可夫矩陣」在高中數學 只能教到它穩定狀態時的解題方法，而它的證明師生而言太難也沒有必要性

（A1-Y、B3-Y）。

關於「轉移矩陣」方面的隱性知識，我們摘錄兩位個案教師的部分訪談內容，

示例如下：

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李師：因為其實你一開始，因為我是覺得這邊的落差真的是很大啦。【…】然後會去想到 說，那何必把，在中間卡一個很難的東西，然後想說，好，反正 2-3 已經帶完了，就把整 個帶過去，那後面等到有時間比較充裕一點點喔，再來完整把它講這一段。因為通常我們 在教馬可夫，有時候通常有個特性吼，你可能聽，有些學生一聽就懂，但是有些學生她不 太能夠體會。所以平常以我們教書的經驗來講，大概講兩次，學生才真的懂。(單元性訪 談 1：問題 3)

李師：【訪談者：老師為什麼想要講馬可夫矩陣？】因為轉移矩陣喔，在考那個數甲是很 會考的一段。因為通常在考那個指考，會強調那生活情境化，很多命題都有那個傾向。那 轉移矩陣它，因為通常吼，它都只有講這東西變成這個矩陣，那後面都沒有下文。那以【匿 名：本校】學生的程度來講，她需要的是一個比較完整，因為萬一考試考到以後，不管他

李師：【訪談者：老師為什麼想要講馬可夫矩陣？】因為轉移矩陣喔，在考那個數甲是很 會考的一段。因為通常在考那個指考，會強調那生活情境化，很多命題都有那個傾向。那 轉移矩陣它，因為通常吼，它都只有講這東西變成這個矩陣，那後面都沒有下文。那以【匿 名：本校】學生的程度來講，她需要的是一個比較完整，因為萬一考試考到以後，不管他