第四章 研究結果
第一節 李師的數學教學專業知識
第一節 李師的數學教學專業知識
本小節將先討論李師的三次研究階段，它們分別是：第一階段研究（矩陣）、
第二階段研究（排列組合）、第三階段研究（微積分）。最後，筆者會跨階段討論 李師整體呈現的 MKT 樣貌。
一、第一階段研究（矩陣）
（一）主題教學事件 1：矩陣乘法
見附錄 13 的「關鍵教學事件 1」，李師在正式介紹「矩陣乘法」的相關數學 概念前，先以「轉移矩陣的例子」告訴學生：若是用「矩陣乘法的模式」取代「聯 立方程組」，就可以省去許多計算空間。他花了不少時間驗證「矩陣乘法的代數 性質」，並且強調「矩陣乘法」的「運算性質不成立的部分」，接著演示例題。在 教學事件編年表中，筆者發現一些與此主題教學事件有關的教學專業知識，它們 是李師在「矩陣乘法」相關主題的數學教學內涵與特徵（A1-O、A1-O*）：
1.矩陣的思維取向：認為「矩陣乘法的意義」就是為了簡化「聯立方程組的計算」。 2.矩陣乘法的代數性質：找出反例來證明「運算性質不成立的部分」，包含「交
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換律、乘積為零、消去律」。不特別強調「運算性質成立的部分」，並且幾乎沒 有證明它們，包含「結合律、分配律、轉置矩陣」。會特地比較「矩陣」和「行 列式」在「係數積的乘法結合律」方面的不同之處。
3.矩陣的題型：學校講義上的題目除了「轉移矩陣的題型」，其它的題目大多數 涉及「矩陣乘法的性質」是否熟練，有些則涉及「旋轉矩陣」或「嚴格上三角 矩陣」等較高難度的題目。
數學教師教學專業知識除了包括顯性知識之外，在教學現場背後也有隱性知 識；本研究訪談後發現李師在「矩陣乘法」數學主題至少有四組隱性知識（A1-Y、
A1-Y*）。第一，他在教「矩陣乘法」時使用了「轉移矩陣的兩個例題」當作起 始例，這是為了向學生強調「矩陣的生活化」，並且，考量到後面講「轉移矩陣」
時也會使用它們。筆者認為這是「KCS 影響 SCK」和「SCK 影響 KCT」；同時 也突顯「SCK 的重要性」，因為，教師所挑選的起始例是經過深思熟慮後的決定。
第二，他認為「矩陣乘法」上課時用「解聯立方程組」去講會比較適當，並且符 合數學上的發展；「兩個資料的表格」的詮釋方式雖然比較活潑，但是不夠嚴謹；
而「基本矩陣的列運算」理論上是「高階矩陣」都能使用的，但它有點太數學化。
筆者認為這是「SCK 影響 KCT」和「HCK 影響 SCK」；同時也突顯「SCK 和 HCK 的重要性」，因為教師知道多種表徵數學概念的方法，並且會受到自己在高 等數學上的學習經驗而影響其看法。
第三，為了學生的考試需要和記憶性，他在「矩陣乘法的代數性質」只強調
「與實數不一樣的代數性質」。筆者認為這是「KCS 影響 KCT」；並且呈現「KCS 的重要性」，因為教師上課時是以學生考試需求為主要考量。第四，他上課時完 全不證明「矩陣乘法的結合律」，如果學生有要求也只打算用「二階方陣」來說 明；他認為這只是數學發展時剛好可以適用的性質，真的要在上課時證明實在太 麻煩了。筆者認為這是「KCT 影響 SCK」。
關於他在第三項和第四項的隱性知識，我們摘錄部分訪談內容示例如下：
李師：喔，那考試比較有需要。因為其實我們是覺得說，矩陣它有很多很多的性質，那你 叫學生去所有的性質都背它，那是不太可能。那它就是有個特性，就沒有交換律啊，就沒 有那乘法反元素，就這兩個東西而已嘛。那像比如說，A 乘 B 可能會等於零。那其實你一 直跟學生強調說，其實這兩個東西不能夠成立，其它通通可以成立啦。那其實學生至少它 記憶各方面來講，都會比較方便啦。所以平常有時候，你比如說 10 個性質，那很多其實 都會跟前面完全一模一樣。那平常都有帶過去，我就舉例帶過去給她們去看吼，那看過以 後，那學生不可能去特別強調它，只有強調說它跟實數裡頭性質不一樣。(單元性訪談 1：
問題 2)
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李師：【意指：矩陣乘法的結合律】所以平常我們都會舉一些那種例子，喔，就寫一些例 子在上面。就說你看 A 乘 B 然後再乘 C，會多少？然後 B 乘 C，然後 A 再乘它，會等於多 少？那讓學生會感受到它本身應當會怎麼呢，相等這種概念。【訪談者：所以如果學生問 你，你會舉例子，你不會真的去證？】對，對。這如果要證，太麻煩了。就好像說，學生 常，因為我們在教，時常補充一個概念，det(AB)=det(A)det(B)。那個，頂多學生如果問，
我就講 2 階給她看。然後她如果 3 階，我說回家自己證。那 4 階，回家不要理它。那種東 西根本就是等於說，它有這種的一個行列式，但是你要證它，其實就會大費周章，花很多 很多的時間啦。(總結性訪談 1：問題 9)
（二）主題教學事件 2：轉移矩陣
見附錄 13 的「關鍵教學事件 2」，李師正式介紹「轉移矩陣」的數學概念時，
再次引進與「矩陣乘法」相同的起始例；他除了提及「轉移矩陣的封閉性」，也 說明「馬可夫矩陣」的想法。他上課時很強調「轉移矩陣」和「馬可夫矩陣」的 解題模式，也提及它們所具備的一些特性。值得注意的是他在教完「反方陣」後，
又花費一節課將「轉移矩陣」重新講解過。在教學事件編年表中，筆者發現一些 與此主題教學事件有關的教學專業知識，它們是李師在「轉移矩陣」相關主題的 數學教學內涵與特徵（A1-O、A1-O*）：
1.矩陣的思維取向：「轉移矩陣」的特色是它的「封閉性」；而「馬可夫矩陣」則 是「轉移矩陣」在長時間下的一種穩定狀態。
2.矩陣的題型：認為它是操作解題上的固定模式，先將題意畫成表格型態，並寫 出「矩陣乘法的模式」，計算時要注意「機率矩陣」的各元素和為 1。
訪談後發現，李師的數學教學專業知識仍然包含一些隱性知識，它在「轉移 矩陣」數學主題上至少有四方面考量（A1-Y、A1-Y*）。第一，他認為教學時先 把題目寫成「聯立方程組」，之後再換成「轉移矩陣」；這樣學生很容易看出來「各 行的總和都是等於 1」，因為「轉移矩陣」畢竟是「封閉性」的。筆者認為這是
「KCT 影響 CCK」和「HCK 影響 KCS」。第二，雖然他知道「馬可夫矩陣」和
「轉移矩陣」有所不同，但教學時不想去強調「數學專有名詞」，以免造成學生 學習上的負擔。筆者認為這是「SCK 影響 KCT」和「KCS 影響 SCK」；並且呈 現「SCK 和 KCS 的重要性」，因為教師在選擇教學方法時深受個人對數學教學 看法的影響，同時也會考量到學生的學習。
第三，雖然他很清楚課綱已經不如早期重視「馬可夫矩陣」，但是為了學生 考試上的需求，他仍然花很多時間教授某些特定題目。筆者認為這是「KCS 影 響 KCT」；同時突顯「KCS 的重要性」，因為教師教學的考量主要是以學生考試
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為主。第四，他早期在舊教材要求「馬可夫矩陣的證明」時，因為高中實在是太 難教這麼困難的東西，所以教學時只好閃避掉這一段內容。筆者認為這是「HCK 影響 SCK」和「SCK 影響 KCT」；同時也突顯「HCK 和 SCK 的重要性」，因為 教師在「高等數學」和「教學專業知識」上的深度，會影響他能展現的教學內容 範圍。
關於他在第四項的隱性知識，我們摘錄部分訪談內容示例如下：
李師：【意指：馬可夫矩陣】其實它 75 年版的時候喔，它是用推的，然後推到變成等於說，
在講馬可夫的時候，它要去用那個，n 階大概這樣子推出來的數列，然後證明它本身的極 限存在。那你就發現到一個特性，光那極限到底有沒有存在？整個其實全都跨掉了，上課 根本就沒辦法上。通常都已經有鎖定它已經是極限存在的東西。那它當初的時候，它當初 要考的東西就是判別極限是否存在，極限，要判別極限是否存在。那等到在講 88 年版的 時候，其實都已經把它怎麼呢，已經就有點是鎖定它極限存在的題目，才去碰它。【…】
像在寫 95 課綱的時候，它本身也是鎖定在這一個原則底下。然後 99 課綱的時候，就把極 限的東西完全怎麼樣呢，抹殺掉。所以它只有求，就是求操作一次，操作兩次，頂多操作 到三次，就不講它最後的東西在哪裡啦。所以它其實是，這幾個版本就有點它的差異性。
也就說它不談極限的問題，所以這邊更絕，它不談極限的問題。【訪談者：所以老師你那 時候一定要教它的證明時，你怎麼處理？】閃掉！因為那東西根本是一個完全不可能教的 東西。所以我是覺得說當初那個 75 年版，有些教授可能是，他本身太強，他不知道怎麼 編執筆，他以為這東西這樣子做就可以了。但最後發現根本就沒辦法教，一個沒辦法教的 東西。(總結性訪談 2：問題 5)
（三）主題教學事件 3：反方陣
見附錄 13 的「關鍵教學事件 3」，李師先介紹「反方陣的定義」及「反方陣 的性質」，並以例題來告訴學生：「反方陣的目的」是「解聯立方程組」，不要在 意「列運算求反方陣」的解法。他在教完「反方陣的所有解題方法」後，花了一 節課複習「矩陣」的所有內容，接著，才帶學生完成學校講義及週考考卷上的題 目。在教學事件編年表中，筆者發現一些與此主題教學事件有關的教學專業知識，
它們是李師在「反方陣」相關主題的數學教學內涵與特徵（A1-O、A1-O*）：
1.矩陣的思維取向：除了介紹「反方陣之行列式求法」的兩種方法，最重視的是
「解聯立方程組」的基本想法，卻有意地忽視課本上的「列運算求反方陣」。
2.矩陣的題型：除了典型的「求反方陣的題型」，大部分都是結合「矩陣乘法的 代數性質」的一些運算；特別強調「是非題的題型」，認為這是學生學習矩陣 時最容易做錯的地方。
訪談後發現，李師在「反方陣」內容主題的數學教學專業知識至少有三方面
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考量（A1-Y、A1-Y*）。第一，他早期教書時曾經叫學生用「高斯消去法求反方
考量（A1-Y、A1-Y*）。第一，他早期教書時曾經叫學生用「高斯消去法求反方