研究的省思與結論

整體而言，筆者無論是在資料收集或資料分析的階段，都儘量依循著個案研 究的基本設計模式（見圖 3-3）。而筆者也建立了質性資料和量化資料的處理程序

（請參照圖 3-4 到圖 3-10），並且，在研究結果裡盡力展現個案教師數學教學專 業知識的內涵與特質。由於，兩位個案教師在眾多的高中數學教師裡面，都被許 多人認可為具有專家教師程度的資深教師；而筆者也在一位數學師資培育者和一 位專家諮詢教師的指導下，與團隊裡其他四位研究生分工合作，共同專注於 MKT 對臺灣的高中數學教師教學專業知識的助益與啟示。在每個研究階段的特定數學 教學單元裡，筆者雖然只挑選四個關鍵教學事件（請參照附錄 13 到附錄 18），

但是本研究也將相關的其它教學事件一併討論，希望能夠向讀者展示個案教師數 學教學實務的真實樣貌。

雖然本研究對於個案教師的顯性和隱性知識有比較深入的描述，但是仍然有 許多美中不足的地方，我們可以從下述兩個觀點來了解。第一，測驗實務本身的 方法會自然地伴隨著數學教學核心活動的數學分析；而捕捉教室中的關鍵數學事 件，可以反映出教師的數學知識如何影響教學實務（Ball 和 Bass，2000；Ball 等，2001；LMT 計畫，2011）。儘管本研究仔細地挑選一些關鍵教學事件，但是 仍然有許多遺珠之憾；限於論文篇幅以及研究人力不足，筆者無法細心詮釋所有 的關鍵教學事件。第二，數學教師知識的學術研究大部分都聚焦在特定的數學教 學單元裡（例如：Even 和 Tirosh，1995；Ma，1999；An 等，2004；Chinnappan 和 Lawson，2005；Davis，2009），而質性或量化資料的分析，通常會有一組可 比較或可測量的變項（variables）（例如：Yin，1994/2001；Aron 等，2006/ 2009；

Creswell & Clark，2007/ 2010；Creswell，2004/ 2011）。然而，在本研究相同教 師的不同的教學單元裡，筆者無法建立質性或量化的研究比較，畢竟，它們的數

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學本質不同且教學觀察時間長短也不同。而相同教學單元雖然可以用來比較不同 個案教師的數學教學專業知識，因為，本研究兩位個案教師分別任教高三的自然 組和社會組，在他們三次研究階段裡還是會出現一次無法比較的不同教學單元。

圖 5-1：本研究的 MKT 結果示意圖

見圖 5-1，筆者整理出李師和邱師共六次研究階段的綜合結果；它可以辨認 出，個案教師課堂數學教學的顯性 MKT 與隱性 MKT 的異同。在顯性數學教學 知識方面，課堂教學裡最常出現的是 CCK，但是 SCK 出現的比例也很高，KCS 和 KCT 則一起佔有部分的重要性；但是，HCK 似乎受到教學單元的限制，只有 在「微積分」教學單元裡才明顯呈現出來。在隱性數學教學知識方面，高中數學 教師教學專業知識會受到「個案教師」與「教學單元」的影響，本研究至少有下 列幾個發現。第一，個案教師們最重視的是 SCK。CCK 雖然是課堂教學裡最常 出現的顯性知識，但是，在教師教學背後的隱性知識裡它卻很少被突顯。第二，

CCK 與 HCK 在隱性知識裡彼此呈現相互消長的情勢，這可能是受到教學單元的

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影響。舉例來說，「排列組合」只需要學生操作小學課程的基本四則運算，但是，

「矩陣」和「微積分」卻容易被教師連結到大學數學的必修課程。第三，KCS 與 KCT 之間的強弱程度不一。雖然 KCS 大部分是比 KCT 還要被重視的，但是 我們仍然無法確定：為什麼李師在「微積分」教學單元裡公平對待兩者，而邱師 在「排列組合」教學單元裡卻較不重視 KCS？這是一個有待繼續探究的問題。

至於 MKT 這五種類別知識之間的角色關係，筆者無法從教學課堂裡觀察到，

只能從教師的隱性知識裡來理解它們如何影響彼此，請參照圖 5-1。第一，對兩 位教師而言，「SCK 影響 KCT」是最緊密的角色關係。其中，對「排列組合」和

「微積分」兩單元的影響強度明顯高於對「矩陣」和「機率」兩單元，筆者懷疑，

這可能是教學單元本身屬性造成的。第二，在兩位教師各自的研究階段裡，整體 的角色關係在不同教學單元裡具有多元的樣貌。李師較為依賴的是「KCS 影響 SCK」，但是，有時他也反應出「KCS 影響 KCT」或「HCK 影響 SCK」；邱師則 是依賴「KCS 影響 SCK」或「KCS 影響 KCT」。筆者猜想，這可能也是教學單 元本身屬性造成的。舉例來說，李師在教「微積分」時會特別需要 HCK，邱師 在教「排列組合」時則特別需要 KCS；但是，這也有可能反映出教師的個人特 質，畢竟，兩位教師在相同教學單元裡的 MKT 角色關係是明顯不同的。

由於 MKT 模型的分類是靜態的，令人好奇 MKT 各個子類別在高中數學教 學課堂上會扮演什麼樣的不同角色（Ball 等，2009）？除了小心地繪製與測量教 師知識以外，最好能解釋這些知識是如何有效地使用在教學裡（Ball 等，2008）。

並且，什麼樣的數學知識實際上是伴隨在教學裡？以及它如何被使用（Ball 等，

2001）？以下筆者將會從 Shulman（1986；1987）著名的三大知識類別的角度出 發，分別闡述第四章研究結果與第二章文獻探討中的異同。

首先，在 SMK 方面，第一，它的深度仍然是教師知識不可或缺的考量，但 是，為何許多學術文獻都曾指出「教師所修過的大學數學課程數量」與「學生學 習成就」無關呢（例如：Fennema 和 Franke，1992；Zazkis 和 Zazkis，2011）？

筆者以為這十分合理，因為，課堂教學裡主要向學生展現的是 CCK 而非 HCK，

高中數學教師通常會依據教學單元的數學本質，來決定 CCK 和 HCK 在教學背 後的變動程度。第二，許多學者都贊同 Schwab（1961）的想法，那就是 SMK 至 少 有 兩 個 基礎 部 分 ， 一 個 是 「 知 道 某 事是如 此 」 的 實在 知 識 （ substantive knowledge），另一個是「理解某事為什麼如此」的句法知識（syntactic knowledge）

（例如：Shulman，1986；Even 和 Tirosh，1995；Ma，1999；Ball 等，2008）。

筆者認為這樣的二分法暗示了 SCK 的重要性，因為，數學家在發展數學的高度

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或深度時，他們努力將個人的 CCK 往 HCK 方向前進；但是，數學教師卻是有 截然不同的方向，為了幫助學生學習，他們會比較傾向將個人的 CCK 放入 SCK 領域來思考。從本研究的問題討論可以發現，雖然 SCK 是個案教師們在課堂教 學裡的次要考量，但是，它卻是教學背後最重要的教師知識元素。根據教學單元 的數學主題不同，SCK 某些情況下會需要借助 HCK 的支持，但是，SCK 與 PCK 的角色關係卻較為複雜。

其次，在 PCK 方面，想要在不涉及數學教學實務而去描述 SMK 是非常困 難的，因為，SMK 和 PCK 的分界是模糊且難以分辨的（Huillet，2009）。專業 教育應該更聚焦在 SCK 和 PCK 方面，因為，數學教師對它們是感到困難且重要 的（Hill，2010）。雖然有學者主張在跨國比較時，CCK 是 MKT 最重要的部分，

因為它可能會影響 KCS 或 SCK（Delaney 等，2008）。但是，在專家或資深教師 的數學教學專業知識方面，本研究卻顯示了完全不一樣的結果。筆者試圖從德國 的「教授法三角」來說明，這樣的方式有點類似於 Fennema 和 Franke（1992）

的理論架構（請參照圖 2-1）。筆者將 SCK、KCS、KCT 視作唯一於教師工作的 需求，它們分別代表教學實務中的「數學理解、學生學習、教師教學」角色。第 一，「SCK 影響 KCT」是最重要的，它暗示著教師在理解數學知識之後，才決定 如何教學。第二，「KCS 影響 SCK」和「KCS 影響 KCT」的變動程度不一。或 許這是因為，教師知道學生學習的需求後，會受到教學單元或教師信念的脈絡情 境牽制，之後才能決定該從「數學」或「教學」來著手，以處理數學教學專業知 識所遭遇到的困境。

接著，在 KCC 方面，它似乎都能摻和進 MKT 所有角色裡；尤其是在國家 所規範的課程大綱下，高中數學教師的教學專業知識很難跳脫出此框架。第一，

KCC 有助於職前教師學習 SMK 和 PCK，但是，不同的課本組織影響的範圍與 程度也不同（Davis，2009）。然而，再完美的課程教材，教師如果不知道該如何 使用它，就無法達到有效的數學教學（Fennema 和 Franke，1992）。筆者猜測，

生手教師可能因為缺乏實務經驗，所以只能倚重 KCC 而非 SCK；也就是說，他 們必須大量仰賴課程知識來教學。然而，專家教師擁有較為穩固的 SCK 以後，

他們的 KCC 是經過 SCK 所支持或修改的；對於課本內容或課程大綱等相關素材 的規範，他們會考量到教學實務困境而有所評價和取捨。第二，Shulman（1986）

主張，專家教師應該要熟悉「橫向課程知識」和「縱向課程知識」。然而，數學 教師的教學知識卻通常是缺乏應用性的（Chinnappan 和 Lawson，2005），雖然數 學在科學裡被廣泛應用著，但是，高中數學內容卻很難在日常生活裡展現它的應

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用性。即使不談教學知識的應用性，筆者認為高中數學教師的「橫向課程知識」

通常是很薄弱的，也因此這個領域還有許多發展與持續研究的空間。就數學教師 工作的實務需求而言，「縱向課程知識」是受到較多人青睞的，因為這與大多數 教師的學習經驗相符合，並且能有效地幫助學生學習與改善教師教學，同時還能 培養學生的數學思維能力。

由於各國的課程教材會提供教師工作的基本架構，因此，實務上的教學脈絡 是非常地方性的（Petrou 和 Goulding，2011）。然而，教學不僅僅是根基於內容 和課程的知識，它必須得考慮到學生的數學想法（An 等，2004）。教師的「內容 知識」原則上都很豐富，而專家教師的「教學用的內容知識」與生手教師比起來，

具有更複雜的樣貌（Chinnappan 和 Lawson，2005）。在不同數學主題或不同教師 教學時，高中數學教師教學專業知識的表象和脈絡是不同的。第一，雖然教學專 業知識在參與觀察的質性部分有許多迥然不同之處，但是，它們在教學觀察系統

具有更複雜的樣貌（Chinnappan 和 Lawson，2005）。在不同數學主題或不同教師 教學時，高中數學教師教學專業知識的表象和脈絡是不同的。第一，雖然教學專 業知識在參與觀察的質性部分有許多迥然不同之處，但是，它們在教學觀察系統