國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文
指導教授： 金鈐 博士
高中數學教師教學專業知識的個案研究
研 究 生： 沈湘媛
中 華 民 國 一 ○ 一 年 六 月
回首過往，大學畢業前從未考慮讀研究所；沒想到工作幾年後，回校園進修 的念頭漸漸萌生。雖然在公立高職當專任數學教師沒有什麼壓力，但是總覺得自 己的數學教學工作不夠專業。很幸運地，這兩年可以心無罣礙地回到師大數學來 進修，並且全神貫注地投入研究生活。
首先，我要感謝金鈐教授，加入您的計畫是我這期間最寶貴的經驗。您為我 們研究生開設了整套的課程，對於本論文的文獻探討和研究方法有很大的貢獻。
特別是，個人對寫作的基本規範稍嫌生澀，老師也非常有耐心地逐字校稿與修正，
使得本論文可以更趨成熟與完善。除此之外，在您的建議下，我所選修的課程對 本論文也有許多貢獻。例如，本論文的緒論內容得感謝曹博盛教授的資料提供，
量化統計的部分則得感謝程毅豪和蔡蓉青兩位教授的幫忙。最後，也非常感謝林 碧珍和蔡文煥兩位教授的撥冗指導，謝謝您們讓論文口試得以順利完成。
接著，我要感謝兩位個案教師的協助，以及專家諮詢教師的建議。雖然為了 個案隱私不能說出您們三人的大名，但是我內心真的是由衷地感謝。在您們身上，
我看到數學教師的多種風貌，也理解到數學教學是永不間斷的學習過程。再來，
我要感謝團隊裡的研究夥伴，若是沒有你們，我是不可能獨自完成論文的。特別 是，慧儒的影片拍攝、益安的信度校正、培棠的訪談整理、振甫的報告分擔、雪 芳的行政處理、亭瑋和名秀的論文分享。最後，我要謝謝師大數學系的同學們，
因為你們讓我的研究生活不孤單。特別是，建恆學姊的照顧與幫忙，在你身上我 學習到的不只是處理工作的方法，更重要的是面對生活的基本態度。
當然，我也要感謝桃園農工的全體師生，你們體諒我暫時拋下工作的決定。
尤其是，數理科辨公室的同事們，感謝你們包容我對學生生活的追求；這期間雖 然比想像中辛苦，但是也格外充實與滿足。最後，感謝我的親人與朋友們，在我 沉重的研究生活裡，幸好有你們增添一些風花雪月的色彩。特別是，我親愛的家 人們，感謝爸媽的關心和鼓勵，也感謝兄弟姊妹們的支持與陪伴。
最後，感謝自己對生活的認真與努力。若是本論文能為數學教育獻上微薄之 力，那麼我這兩年的留職停薪與辛苦工作就值得了。礙於筆者語言能力不足，英 文文獻的部分請務必找原文資料閱讀，以免有所誤會。然而，有鑑於近年來時有 抄襲疑慮，也請讀者務必遵守學術倫理與法律規範。謝謝大家！
湘媛 2012 年 6 月
第一章 緒論………..1
第一節 研究背景和研究動機………..1
第二節 研究目的和研究問題………..…3
第二章 文獻探討………..5
第一節 教師知識的內涵與特徵………..5
第二節 教師知識的教學實踐………12
第三節 數學教師的教學專業知識………21
第三章 研究方法………..………..31
第一節 研究場域和研究對象………31
第二節 個案研究的方法………32
第三節 研究設計………37
第四節 研究限制………57
第四章 研究結果………...….61
第一節 李師的數學教學專業知識………..…..61
一、第一階段研究（矩陣）………..…………....61
二、第二階段研究（排列組合）………..………69
三、第三階段研究（微積分）………..78
四、李師 MKT 的整體樣貌………...…90
第二節 邱師的數學教學專業知識………..………..95
一、第一階段研究（排列組合）………..…………95
二、第二階段研究（機率）………....104
三、第三階段研究（矩陣）……….……112
四、邱師 MKT 的整體樣貌………...………..120
一、進度單元的比較（矩陣）……….………125
二、複習單元的比較（排列組合）………135
三、李師和邱師 MKT 整體樣貌的比較……….145
第五章 結論與建議……….…….151
第一節 研究的省思與結論………..………151
第二節 實務與研究的建議………..155
附註……….…………...………157
參考文獻………157
附錄 1 參與觀察逐字稿的範本(李師：矩陣乘法 1、反方陣 1)………....163
附錄 2 教學事件編年表……….185
附錄 3 訪談逐字稿的範本(李師：矩陣、總結 1、總結 2)………....211
附錄 4 訪談結果摘要表……….277
附錄 5 文本證據的參考資料……….329
附錄 6 MQI 影片編碼詞彙表的中文翻譯………331
附錄 7 MQI 編碼與本研究教學觀察系統的修訂對照表………341
附錄 8 觀察系統登錄表中編碼項目的詞彙定義……….345
附錄 9 觀察系統登錄表的範本(李師：矩陣的乘法 1、反方陣 1)………351
附錄 10 觀察系統整理表………...353
附錄 11 觀察系統的信度結果………...363
附錄 12 關鍵教學事件的原稿內容(參與觀察逐字稿)………....371
附錄 13 李師第一階段研究的四個關鍵教學事件(矩陣)………439
附錄 14 李師第二階段研究的四個關鍵教學事件(排列組合)………443
附錄 15 李師第三階段研究的四個關鍵教學事件(微積分)………447
附錄 16 邱師第一階段研究的四個關鍵教學事件(排列組合)………451
附錄 17 邱師第二階段研究的四個關鍵教學事件(機率)………455
附錄 18 邱師第三階段研究的四個關鍵教學事件(矩陣)………459
表 2-1：筆者對教師知識理論的比較分析………...………….11
表 2-2：筆者對教師知識實徵研究的看法………20
表 2-3：筆者對 MKT 相關文獻的歸納……….29
表 3-1：本研究的 99 學年研究團隊人員………..31
表 3-2：社會科學主要研究策略的狀況………...……….34
表 3-3：本研究的兩位個案教師教學單元比較………38
表 3-4：本研究的質性或量化研究取向………39
表 3-5：個案研究設計的四種類型………...….40
表 3-6：實徵社會研究的品質標準………41
表 3-7：本研究的品質測試標準………43
表 3-8：本研究的資料或工具的正式代碼………44
表 3-9：本研究的個案研究設計的可能類型………45
表 3-10：本研究在各單元的主題教學事件………..46
表 3-11：本研究的文本證據來源………..52
表 3-12：本研究的教學觀察系統的修訂表………..53
表 3-13：本研究的 MKT 操作型定義………...………54
表 3-14：本研究的教學觀察系統的編碼項目………..54
表 3-15：量表信度的 Kappa 係數計算公式……….56
表 3-16：卡方檢定的 χ 值計算公式………....………57
表 3-17：本研究的教學觀察系統的信度不足的編碼項目……….59
表 4-1：李師第一階段研究的顯性知識(矩陣)……….…………67
表 4-2：李師第一階段研究的隱性知識(矩陣)……….69
表 4-3：李師第二階段研究的顯性知識(排列組合)……….77
表 4-5：李師第三階段研究的顯性知識(微積分)……….88
表 4-6：李師第三階段研究的隱性知識(微積分)……….90
表 4-7：李師在本研究的顯性知識………91
表 4-8：李師在本研究的隱性知識………94
表 4-9：邱師第一階段研究的顯性知識(排列組合)………...102
表 4-10：邱師第一階段研究的隱性知識(排列組合)…………..………….……..104
表 4-11：邱師第二階段研究的顯性知識(機率)……….…110
表 4-12：邱師第二階段研究的隱性知識(機率)……….111
表 4-13：邱師第三階段研究的顯性知識(矩陣)……….118
表 4-14：邱師第三階段研究的隱性知識(矩陣)……….119
表 4-15：邱師在本研究的顯性知識………121
表 4-16：邱師在本研究的隱性知識………123
表 4-17：李師和邱師相同進度單元的顯性知識(矩陣)……….133
表 4-18：李師和邱師在相同進度單元的顯著差異(矩陣)……….134
表 4-19：李師和邱師相同進度單元的隱性知識(矩陣)……….134
表 4-20：李師和邱師相同複習單元的顯性知識(排列組合)……….143
表 4-21：李師和邱師在相同複習單元的顯著差異(排列組合)……….145
表 4-22：李師和邱師相同複習單元的隱性知識(排列組合)……….145
表 4-23：相同單元的顯性知識(李師/邱師)………146
表 4-24：相同單元的隱性知識(李師/邱師)………147
表 4-25：本研究的顯性知識(李師/邱師)………148
表 4-26：本研究的隱性知識(李師/邱師)………149
圖 2-1：在脈絡中發展的教師知識……….7
圖 2-2：MKT 的範疇………..…...…10
圖 2-3：教師 SMK 發展的三時期………17
圖 3-1：本研究的資料處理程序……….…..39
圖 3-2：比較質性研究和量化研究的品質標準………...41
圖 3-3：本研究的四種研究設計模式關係圖……….…………..45
圖 3-4：本研究的關鍵教學事件的找法………...47
圖 3-5：本研究的類型 1 的研究設計模式………...47
圖 3-6：本研究的類型 2 的研究設計模式………...47
圖 3-7：本研究的第一次研究設計模式………...48
圖 3-8：本研究的 MKT 研究成果關係圖………49
圖 3-9：本研究的教學事件切割依據……….………..50
圖 3-10：本研究的主要資料關係圖……….51
圖 5-1：本研究的 MKT 結果示意圖………..……152
本研究採用個案研究法，分析並比較兩位資深高中數學教師的教學專業知識。
在 Ball 等（2008）所提出的教學用的數學知識（mathematical knowledge for teaching）
的理論架構下，收集並分析兩個案教師各三階段的實徵資料。教學單元包括四領 域的數學主題：李師的微積分、邱師的機率、李師和邱師的矩陣（進度教學單元）、
李師和邱師的排列組合（複習教學單元）。
資料收集的主要方法是參與觀察和訪談，其中，教學影片和訪談錄音的內容 都轉譯成逐字稿。為了在質性取向的研究裡加入量化分析，本研究使用教學觀察 系統來分析參與觀察的教學影片資料，它主要是修改自 LMT 計畫（2007）所設 計的「教學中的數學品質（mathematical quality of instruction）」的影片編碼詞彙 表。作者在詮釋參與觀察和訪談的內容之前，會參考一些文本證據以提升本研究 的品質。
作者將參與觀察的研究結果視為教師的顯性知識，而訪談的研究結果則視為 教師的隱性知識。在不同的研究階段裡，兩位個案教師顯性知識和隱性知識有許 多異同；在教師的顯性知識方面，雖然質性部分有許多相異之處，但是量化部分 卻是非常相似的；而在教師的隱性知識方面，穩定的教學表象背後具有複雜多變 的教學脈絡。
研究結果指出，專門的內容知識（specialized content knowledge）在高中數 學教師教學專業知識裡佔有舉足輕重的地位，尤其是對教師專業發展而言。對於 以教學工作為志業的高中數學教師來說，本研究在教學實務裡所描述的教學專業 知識有許多發人省思之處。對於國內數學教師知識的研究而言，本研究結果指出 了數學教學專業知識在不同面向的各種觀點。
關鍵詞：教學用的數學知識、教學中的數學品質、個案研究、參與觀察、訪談
This study applies case study research to analyze and compare the professional knowledge of teaching of two high school experienced mathematics teachers. On the theory of mathematical knowledge for teaching presented by Ball et al.(2008), the author collected and analyzed empirical data in the three phases of each teacher.
These mathematical topics cover four areas: calculus by Mr. Li, probability by Mr.
Chiu, matrix by Mr. Li and Mr. Chiu, and permutation and combination by Mr. Li and Mr. Chiu.
Major methods of the data collection were participant observation and interview, and the content of instruction films and interview recording was translated into a transcript. In order to acquire quantitative analysis in the qualitative-oriented study, this study used observation system to analyze the data of instruction films of participant observation. The observation system was modified from mathematical quality of instruction video coding glossary, which was designed by LMT project (2007). Before the author interpreted the content of participant observation and interview, she referred to some text for evidence in order to enhance the quality of this study.
While the research result of participant observation is regarded as explicit knowledge of the teacher, the research result of interview is regarded as implicit knowledge of the teacher. In the various research phases, there are many similarities and dissimilarities between explicit knowledge and implicit knowledge of the teachers.
In the dimension of the teachers’ explicit knowledge, there are many differences on the qualitative part, but they are similar on the quantitative part. However, in the dimension of the teachers’ implicit knowledge, there are complex and changeful contexts of instruction behind the presentation of stable instruction.
The research result implies that specialized content knowledge plays a vital role in the professional knowledge of teaching of high school mathematics teachers, especially in the professional development of teachers. For high school mathematics teachers who have ambition to engage in teaching, there are many points to stimulate deep thought in the professional knowledge of teaching described in the teaching practice of our study. For investigating domestic mathematic teachers’ knowledge, the result of this study points out the various views of the professional knowledge of teaching mathematics in different aspects.
Key words: Mathematical knowledge for teaching, Mathematical quality of instruction, Case study, Participant observation, Interview.
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第一章 緒論
本章共有兩個小節，它們分別為：研究背景和研究動機、研究目的和研究問 題。筆者會先從「數學」和「數學教育」的角度出發，接著描述數學教育裡有關 課程、學習、教學的常見想法，並且透過一些教學案例或生活經驗來輔助說明。
最後，我們指出「教學專業知識」確實是一個有價值的研究課題，尤其是對教師 專業發展而言。
第一節 研究背景和研究動機
「數學」是從具體世界的特殊事物中，抽象化出來的秩序（order）和形式
（form）（林清山，1977）。但是，「數學教育」卻常常忽視行動的角色（the role of actions），而只維持在語言的層級（the level of language）。或許是因為數學教師 擔心會違背此學科的理性特質；事實上，物理經驗（physical experience）和邏輯 數學經驗（logico-mathematical experience）兩個性質是並存的。舉例來說，孩子 在排小石子時，若發現了小石子的排列順序，就屬於行動角色或物理經驗；若他 知道小石子的總和為 10，就屬於語言層級或邏輯數學經驗（Piaget，1975）。
所有的數學都是數學家們在形成問題及解題過程裡創造出來的；但是，中小 學生看不到這些層面，因為，建造數學理論時所搭的建築鷹架已經拆掉了，留下 的只是完整的高樓大廈，老師在教學時也只是帶著學生在此建築物的各處走一圈
（引自 Kilpatrick，1985/黃敏晃譯，1988）1。Kilpatrick（1987）從數學教育方面 來思考「建構主義（constructivism）」，他主張建構主義至少存在一個被廣泛接受 的基本原則，那就是：「知識」是由認知對象主動建構的，而不是被動從環境中 接受。這有點類似於十六世紀 Vico 的名言「verum esse ipsum factum（拉丁文：
真理自身是被建構出來的）」，它意指人們只能知道自己所建構的事物。然而，這 樣的想法應用於臺灣的數學課程時，曾經引起一陣波瀾與爭議。舉例來說，有的 小學教師為了建構學生的數學思考，強制要求學生寫下 2×5=2+2+2+2+2=10 的計
1本論文所引用的中譯本，筆者會在它第一次出現時列出：原作者、原作出版年份、譯者、
譯本出版年份；而第二次引用時會省去譯者部分。
2
算過程，並且反對學生以背誦「九九乘法表」來寫下答案（周祝瑛，2003）。
那麼，數學課程的基本特質是什麼？Minnick（1939）主張「數學課程」必 須具備四種價值。第一，實用價值（practical value）能幫助學生將所學的數學知 識與技能應用到日常的現實生活裡。第二，訓練價值（disciplinary value）是指 藉由數學課程來訓練學生，使其獲得思考判斷等心理能力。第三，文化價值
（cultural value）是指將重要的數學內容傳遞給學生，使其能加以發揚光大。第 四，準備價值（preparatory value）能為學生將來的社會適應做必要的準備（引自 林清山，1977）。其中，前兩個觀點是數學界普遍的認識，它們分別代表了「數 學是科學的工具」和「數學是思維的過程」；第三個觀點強調的「數學是文化素 養」則尚未達成共識；而第四個觀點似乎與「學生未來的升學或就業」有密切關 係。
數學課程的教學目的最主要是為了學生的數學學習，而「數學學習」最重視 的是「過程（processes）」。林清山（1976；1977）主張，無論是 Gagné 的學習階 層（hierarchy of learning），或是 Bruner 強調經由發現而學習（learning by discovery）
都很重視過程；只是前者屬於「接受學習法」，後者屬於「發現學習法」。但是，
Howson（1996）研究許多國家的八年級課本後，他察覺到很多國家會介紹「負 整數的乘法」，但是往往將它視為常識（common sense），而非數學。他主張數學 不該與常識混淆或是被其限制；常識如果要變成真正的數學，至少必須被系統化 和組織化。即使在十八世紀，有一些數學家仍然對「負數」感到相當不安；但是，
大眾卻只記得「負負得正」的口訣，而不去思考這句話的緣由。Howson 收集了 許多 1930 年代的課本，卻發現只有一本曾提出相關的建議。令人驚訝的是，這 是由一位在職教師所提出的，他建議教師應該要能夠分辨：「已符號化的負數」
和「未符號化的數字的減法操作」兩者的不同。
也許是因為數學本身的抽象和其所建構的大量知識，使得有些教師在進行數 學教學時，常常不自覺地將「關鍵的數學概念」當作常識來教，以致於造成學生 數學學習的諸多困難。Cockbum（2008）認為「成功的教學」意指使孩子獲得知 識和理解的活動，這是許多人都會同意的看法。但是在「評量教師實務/實作/實 施（practice）」時，目前卻沒有一致的看法，特別是關於：評量什麼？誰來評量？
如何評量？他研究了英國（United Kingdom）的中學和小學職前數學教師，並且 對照了歐洲（European）某國的高中職前數學教師與中東（Middle Eastern）某國 的小學職前數學教師。大多數的職前教師覺得「課堂觀察」是有幫助的和有價值 的；但是，為了表現良好以通過審核，有些教師表示他們無法展現出真實的教學。
3
Cockbum 主張「持續的專業發展（continuing professional development，簡記為 CPD）」是教師提升數學概念的好方法；教師們可以藉由 CPD 的機會，來彌補當 初在師資培育課程階段裡忽略的一些知識和技能。舉例來說，歐洲該國會隨機抽 選教學單元來審核，它可以使教師更關照他們全部課程範圍的數學主題。
然而，在數學教師的專業發展中，職前教師所接受的師資培育似乎只是進入 教學現場的基本門檻。Ball、Lubienski 和 Mewborn（2001）發現，職前教師在大 學所學到的知識與信念，進了教學現場後會傾向將之消除。至於，在職教師的專 業訓練也很少是基於教師學習的觀點，它們通常只涉及智力的表面，與課程和學 習的深度議題是連結不起來的，並且本身就是破碎的與無法累積的。直到 1999 年，Ma 出版了基礎數學的知曉與教學（Knowing and Teaching Elementary Math- ematics）一書，才點燃了數學教育界對「教師的數學與教學知識」的注意，大家 開始意識到：教師的數學與教學知識對改善數學教學的重要。
第二節 研究目的和研究問題
「知識就是力量（培根/Bacon 的格言）」或「知識是萬事萬物的指路明燈（非 洲/Africa 的諺語）」這兩句話很相似，它們都突顯了「知識」的重要性。但是，
我們仍然無法具體描述「教師的數學與教學知識」到底有多重要？因此，讓我們 先來看一件真實的教學案例，這是有些高中數學教師上課會補充的數學題目：
林老師先讓學生思考一個數學問題：「電視節目主持人今天邀你來參加抽獎，台 上共有 3 個門，其中 1 個門的後面是一台車，而另外 2 個門的後面則是各一隻羊；
你可以打開其中一扇門，並拿走門後的獎品。遊戲規則如下：第一步驟，你必須 先從三個門當中選擇一扇門，但暫時不能打開門；第二步驟，主持人會從另外兩 個門當中，故意打開有羊的一扇門；第三步驟，主持人會問你是否要改變最初的 選擇，並請你打開剩下兩個門當中的一扇門。問題如下：在換門與不換門的兩種 情況裡，何者抽到車子獎品的機率比較高？」全班學生幾乎都認為換門比較容易 抽到車子，但是對於「換門抽到車子獎品的機率是多少」產生了不同看法。此時，
林老師該如何處理呢？
這是一個很著名的數學問題，常見到的有兩種解法，筆者簡略地寫下它們的計算 過程： × 0 + × 1 = （解法一）、 × + × = （解法二）。但是，相同的數 學題目為什麼會有不同的答案呢？有人說，第一種解法才是正確的，第二種解法
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騙倒了許多數學家。然而，筆者卻對此抱持存疑的態度，因為「條件機率」的問 題必須考慮到：「樣本空間」被縮小至什麼條件下？
因此，我們忍不住好奇，高中數學教師到底需要什麼樣的「教學專業知識」
呢？而這樣的知識又會如何地影響數學教學實務？或許，筆者應該思考這個名詞 所代表的含意。第一，在專業發展的需求中，「教學工作」本身就是不自然的
（unnatural）和紛亂的（intricate）。應該要將「實務」放置於師資培育的正中央，
如此才能提升數學教學和師資培育的專業精神（professionalism）（Ball和 Forzani，
2009）。第二，「專業（profession）」是企圖管理自身的一種職業（occupation），
它會發展出從事者必須知道以及能夠做到的共同意見，也會發展出評鑑系統以確 保知識和技能得以傳達。當政府組織公開地承認這個系統時，一個職業就會變成 一個專業（Wise，2005）。第三，「知識（knowledge）」的本質雖然受到了哲學家 們的長期關注，但是，它的名詞卻很難達成統一的定義。在認識論中，「知識」
一詞在傳統上被最廣泛地定義為「被證明的真實信念」（范良火，2003）。第四，
「專業知識（professional knowledge）」通常意指為了在特定職業裡成功地運作所 需要的知識或技能。這樣的知識通常有兩個普遍接受的程序：工作或任務的分析、
在特定領域裡人類社群的一致同意。而「個人知識」和「專業知識」至少有兩種 關係，一種關係是專業知識依賴於個人的認知架構，另一種是關係是個人特質會 影響專業知識的應用（Tamir，1991）。因此，筆者對「教學專業知識」的定義為：
能在專業發展中改善教學實務的知識，此知識是教學工作的必備條件，並且得到 教育界相關人士的認可。
從上述幾個觀點可以知道，臺灣的高中數學教師必須要具備某些基本的教學 專業知識；只是，我們要如何知道它們是什麼？筆者猜想，從個別教師課堂的數 學教學實務來深入探索它們，這或許是一個可行的研究方式。最後，我們提出本 論文的兩個研究目的及其相應的研究問題。
一、研究目的：
1.找出高中數學教師教學專業知識的內涵與特徵。
2.理解高中數學教師教學專業知識的教學實踐。
二、研究問題：
1.高中數學教師的教學專業知識是什麼？
2.高中數學教師如何將教學專業知識實踐於課堂的教學實務？
5
第二章 文獻探討
本章共有三個小節，分別說明教師知識的內涵與特徵、教師知識的教學實踐、
數學教師的教學專業知識。為了回應研究的目的和問題，筆者將從文獻裡找出一 些相關資料來分析。在「教師知識的內涵與特徵」方面，將先介紹一些學者的理 論架構，接著分析它們之間的異同與優劣；在「教師知識的教學實踐」方面，會 先收集幾個實徵研究，並且整理出它們對本研究的助益與啟示。最後，為了探討
「數學教師的教學專業知識」，筆者會在特定的理論和實徵研究中，收集並分析 更多的相關文獻，以此來形成本研究的理論基礎，並且指出本研究的個人立場。
第一節 教師知識的內涵與特徵
雖然教師知識的相關理論架構很多，由於本研究關注的是包括數學教師的教 學專業知識，因此本小節將先介紹五組學者所建立的理論架構：Shulman、
Fennema 和 Franke、Ma、范良火、Ball 等人。在依序描述不同時期的教師知識 理論之後，筆者會試圖分析這些理論架構之間的異同與優劣，並且說明本研究的 個人立場。
一、Shulman 的理論
Shulman（1986）檢視了美國（America）在加州（California）約百年前的教 師檢定，發現內容知識（content knowledge）和教育學（pedagogy）的區分仍然 明顯。早期忽略了教育學，而當時則忽略了內容知識；他認為「教師的內容知識」
無論在政治或研究領域上，都可以被稱之為失落的典範（the missing paradigm）。
他將教師的內容知識分成三個類別：
1. 學科內容知識（subject matter knowledge，簡記為 SMK）：它是教師心智中的 知識本身的總數和組織。
2. 學科教學知識（pedagogical content knowledge，簡記為 PCK）：就「教學用的 學科知識」的維度而言，它是超越學科知識的「教育學知識」。
3. 課程知識（curricular knowledge）：它代表課程大綱的全部範圍。例如：給定 層級的「特定學科和主題的教學」、與此大綱相關的「各種可用的教學素材」、
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「特定課程的使用」或「特定環境的大綱素材」所需具備的「指示和禁忌的特 徵」。
進一步地，Shulman（1986）建議「教師知能（teacher competency）的評量」
至少要測量這三大知識。第一，在 SMK 方面，他同意 Schwab（1961）所主張的
「學科架構包含實在架構（substantive structure）和句法架構（syntactic structure）」， 他認為教師必須理解的不只是某些事是如此，還要更進一步理解它為什麼如此。
第二，在 PCK 方面，他主張教師必須表徵化和公式化本學科，使得該學科對他 人而言是可理解的；同時，教師也必須知道不同年齡和背景的學生可能擁有的觀 念和迷思觀念。第三，在課程知識方面，他認為專家教師應該要熟悉「橫向課程 知識」和「縱向課程知識」；前者是指教師要熟悉「本學科」和「學生同時間所 學的其它學科」，後者是指教師要熟悉「本學科曾經教過的主題」和「本學科即 將要教的主題」。
Shulman（1987）認為「教師知識基礎的類別」可以細分成七種來看；除了 前文所提的三大內容知識，另外四種知識分別為：一般的教育學知識（general pedagogical knowledge）、學習者及其特質的知識（knowledge of learners and their characteristics）、教育脈絡的知識（knowledge of educational contexts）、教育目標 與價值及其哲學與歷史背景的知識（knowledge of educational ends, purpose, and values, and their philosophical and historical grounds）。在這七種知識類別中，他最 感興趣的是 PCK；他將 PCK 重新定義為（Shulman，1987，第 320 頁）：
唯一於教師活動範圍的「內容和教育學的特別結合」，並且是他們自己專業理解 的特別形式。
二、Fennema 和 Franke 的理論
為了形成「教師知識的組成（component）」，Fennema 和 Franke（1992）從 各種不同觀點的學術研究或文獻資料中，綜合出「教師知識研究的模型（a model for research on teachers’ knowledge）」。他認為教師知識的組成至少包含了：
1. 數學知識（knowledge of mathematics）：它包含概念、程序、問題解決的教師 知識。例如：它是知識被組成的手法、它能指出眾多數學想法之間的關係。
2. 教育學知識（pedagogical knowledge）：它包含教學程序的教師知識。例如：
教室慣例、行為管理技巧、教室組織的程序、引起動機的技巧。
3. 學習者認知的知識（knowledge of learners’ cognitions）：它包含如何使學生思
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考和學習的知識。例如：學生如何獲得被處理過的數學內容知識、理解學生將 使用的過程以及學生可能會發生的困難和成功。
Fennema 和 Franke（1992）認為教師知識的組成是經由教學逐步形成的，它 們在教室互動裡是可以被轉換（transform）的；他們所提的「轉換」是來自於 Shulman 的一段陳述（Shulman，1987，第 327 頁）：
「辨別教學知識基礎的關鍵」是位於內容和教育學的交叉點，它是在於教師是否 有能力將「他或她擁有的內容知識」轉換為「教育學上有威力」並且「對於不同 能力和背景的學生都適合」的一種形式。
見圖 2-1，這些組成必須在相互之間的關係裡被研究，它們是不能分離的；同時，
此模型的動態本質也是必須被考慮的，畢竟它是在教室脈絡下發生的。這三種組 成的互動作用形成了特殊脈絡的知識（context specific knowledge），同時它也伴 隨著「教師信念」，並且驅動著「教室行為」。當特殊脈絡的知識無法利用時，教 師必須使用「與各種情境有關且更一般化的知識」，或者使用「較接近或符合此 情境的知識」。當知識被帶進另一個新的情境時，此知識可以被適應與貯存，並 被視為一個「與當時情境有關的新知識」。
圖 2-1：在脈絡中發展的教師知識
（資料來源：Fennema 和 Franke，1992，第 162 頁。）
三、Ma 的理論
Ma（1999）認為 PCK 就是教師所具有的 SMK 的另一種形式，意指教師表 徵並公式化本學科使得他人能夠理解。他發現中國（China）有一些小學數學教 師具有「基礎數學的深刻理解（profound understanding of fundamental mathematics，
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簡記為 PUFM）」，它不只是一個良好的「數學的概念理解」，它也是固有的「數 學的概念架構」和「數學的基本態度」的覺察。具有 PUFM 的教師能在概念架 構上提供一個基礎的能力，並且將那些基本態度徐徐教導給學生。他認為基礎數 學（fundamental mathematics）必須滿足三個意義：
1. 它是基石的（foundational）：因為它為學生更高深的數學學習提供一個基石。
2. 它是初始的（primary）：因為它包含更高等的數學概念的雛形。
3. 它是入門的（elementary）：因為它位於數學學習的開始。
Ma（1999）主張 PUFM 必須具有深度（depth）、廣度（breadth）、透徹度
（thoroughness）。他定義「深度」是連結本學科在概念上較有威力的想法，「廣 度」是連結那些相似的或較少概念威力的想法。其中，深度和廣度都是依賴在透 徹度之中；而「透徹度」是指貫穿領域中全部主題的能力，它能將數學知識編織 成一致性的整體。接著，他主張「PUFM 的教學與學習」具有下述四個性質：連 通性（connectedness）、基本觀念（basic ideas）、多元觀點（multiple perspectives）、
縱連貫（longitudinal coherence）。這四種性質是相互關連的，「連通性」是 PUFM 的一般樣貌，「基本觀念、多元觀點、縱連貫」則分別連結到深度、廣度、透徹 度。
四、范良火的理論
范良火（2003）認為「知識」是主客體間一種交互作用的智力結果；他主張
「教師知識」可定義為教師所擁有的知識，因為它的「認知者」是教師，它的「被 知體」是教師所知道的東西。他整理了一些學者對此名詞的定義，並且認為教師 知識包含教師的信念、教師的記憶、教師的理解。他主張教師知識大致有「知道 某事、知道什麼、知道怎樣」三種基本類型，以及「隱性的知識、顯性的知識」
兩種分類分式。
美國的「全國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，
簡記為 NCTM）」曾在 1991 年提出數學教學的專業標準，它將「教師的教學知 識」分類為五個組成：關於包括技術在內的教學素材與資源的知識、關於表達數 學概念和過程的方式的知識、關於教學策略及課堂組織模式的知識、關於促進課 堂交流和培養數學集體意識的途徑的知識、關於評定學生數學理解的方法的知識
（引自范良火，2003）。在教師的教學知識方面，范良火（2003）認為 NCTM 的 前三項組成是大多數研究者較重視的部分，並且分別稱之為教學的課程知識、教
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學的內容知識、教學的方法知識。他主張「教學的課程知識」是關於知道某事，
「教學的內容知識」是關於知道怎樣，而「教學的方法知識」是知道什麼和知道 怎樣。
五、Ball 等人的理論
Hill、Sleep、Lewis 和 Ball（2007）分析了四種不同機構的教師評鑑紙筆測 驗，並且對「教學用的數學知識（mathematical knowledge for teaching，簡記為 MKT）」有了新的洞察。本質上這四種不同測驗都可以組成 MKT 的內涵，它們 各自形成了不同的分類方式，而且都無法符合 Shulman 的 PCK。以「LMT（Learn- ing Mathematical for Teaching）計畫」的題型為例，它涵蓋教師知識的三種範疇；
其中，內容知識又可以分成兩個子範疇：
1. 內容知識（content knowledge）：「共通的內容知識（common content knowledge，
簡記為 CCK）」意指教師必須發展於學生身上的數學知識；同時，它也是其他 職業也會出現的數學工作。而「專門的內容知識（specialized content knowledge，
簡記為 SCK）」意指使用於教學中的數學知識，但是教師不會直接將它教給學 生；它是非常數學的，並且是未教學的成人所無法做的數學工作。
2. 內容和學生的知識（knowledge of content and students，簡記為 KCS）：意指關 於學生如何學習內容的知識；它是對應於 Shulman 的 PCK 的一種形式。
3. 內容和教學的知識（knowledge of content and teaching，簡記為 KCT）：意指教 學演示所設計的數學知識，它包含了如何選擇例子和表徵，以及如何指引學生 朝正確數學想法做討論；它是對應於 Shulman 的 PCK 中的一種形式。
Hill、Ball 和 Schilling（2008）首次提出了「MKT 的模型」；他們確定了 CCK、
SCK、KCS、KCT 在模型中的位置，將「knowledge at the mathematical horizon」
和「knowledge of curriculum」暫時放置在模型中。見圖 2-2，Ball、Thames 和 Phelps
（2008）在「MTLT（Mathematics Teaching and Learning to Teaching）計畫」和
「LMT 計畫」的工作上來發展 MKT 的模型；他們先將 Shulman 的 SMK 和 PCK 做為此模型的兩大主類別，並且假設 SMK 可以被區分成 CCK 和 SCK，而 PCK 可以被區分成 KCS 和 KCT。他們暫時地將「內容和課程的知識（knowledge of content and curriculum，簡記為 KCC）」放在 PCK 的主類別裡，並且也暫時將「眼 界的內容知識（horizon content knowledge，簡記為 HCK）」放在 SMK 的主類別 裡。
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圖 2-2：MKT 的範疇
（資料來源：Ball 等，2008，第 403 頁。）
六、本研究的立場
雖然 Shulman（1987）將「教師知識基礎」細分成七大類別，但是，其中最 令人注目的仍然是「教師的內容知識」的三大類別。筆者認為，雖然教師的知識 基礎是適用於教師的專業發展，卻只有內容知識可以顯示出不同學科教師的專業 需求。第一，在 SMK 方面，因為數學教師必須具備比一般學生還多的數學知識，
所以社會大眾對高中數學教師學科知識程度的期待也相對提高。第二，在 PCK 方面，它並非單純意指內容和教育學的交集部分，筆者認為關鍵是「如何將內容 和教育學結合」以讓學生真正習得數學知識。國小或國中的數學教師有時會被人 輕視為專業地位容易取代，就是因為許多人誤以為「知道數學和知道教學」就等 同於「知道數學教學」。第三，在課程知識方面，有些國家都是由政府機關來制 定學校數學的課程範圍，它是學校數學內容知識的主要地圖。臺灣高中數學教師 幾乎都很熟悉數學課程大綱的基本樣貌，那是因為它可以預測學生已學過或未來 要學的數學知識，並且可以使學生的數學知識和它科知識相輔相成。
對於上述五組學者所建立的理論架構，筆者針對數學教師知識理論做了一些 比較分析，請參照表 2-1。首先，對於這些理論架構的相異部分，筆者暫不考慮 Fennema 和 Franke 提及的「教育學知識」或范良火主張的「教學的方法知識」； 但是這並不表示本研究忽略它們在數學教師教學專業知識的重要性或地位。由於 臺灣高中數學教育方面的學術研究並非屬於教育科系的一個分支，而是較傾向於
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數學科系的一種應用或延伸；受限於筆者個人的能力範圍所及，本研究的立場會 以「數學」為主要考量，將「教育」視作輔助角色。接著，有關這些理論架構的 相同部分，筆者察覺到「將教師知識做分類」可能是一種常見且合適的研究策略。
雖然教師知識是不可能完全清楚地切割，但是，這個策略確實可以幫助本研究找 出教師知識的內涵與特徵。除此之外，筆者認為 SMK 和 PCK 的想法會出現在 這些理論架構是很自然的，因為，從數學教師教學專業知識的角度來看，SMK 是專業能力的必備條件，而 PCK 是緊扣於教學工作現場的執行能力。
表 2-1：筆者對教師知識理論的比較分析
學者 Shulman Fennema 和 Franke Ma 范良火 Ball 等人 年份 1986 年 1992 年 1999 年 2003 年 2008 年 理 論
名稱
教師的內容 知識
教師知識研究的模型 PUFM 教師的教學知識 MKT
相異 1.SMK 2.PCK 3.課程知識
1.SMK 2.教育學知識 3.學習者認知的知識
1. PCK（教師所 具 有 的 另 一 種 SMK 形式）
1.教學的課程知識 2.教學的內容知識 3.教學的方法知識
1.CCK 2.SCK 3.KCS 4.KCT 5.KCC 6.HCK 相同 1.除 Ma 之外，其它四組學者明顯對教師知識做分類。
2.都有涉及 SMK 和 PCK 的想法，前者是「數學知識的主體」，後者是「教學實務中的數學知識」。 3.都適合於「數學教師的教學專業知識」的研究。
優點 1. 較明確的 分類 2. 最早提出
PCK 想法
1.動態模型
2.強調「實務脈絡」
3.提供數學教學研究 的基礎
1.以 PUFM 仔細 說明 SMK 如何 變為 PCK
1.較明確的分類 1.更細的分類
缺點 1.靜態模型 2. 非數學教 學的研究
1.結合「信念」 1. 小 學 數 學 教 學 的 觀 點 不 一 定 適用於高中
1.靜態模型 1.未完全成熟的 分類形式 2.靜態模型
誠如屈原名言「尺有所短，寸有所長」，這些理論架構對於本研究都有可取 之處；為了公正客觀地評價這些理論架構以揚長避短，筆者列出它們在數學教師 知識研究上可能的優缺點，請參照表 2-1。第一，Ma 在小學數學教學研究上所 看到的「PUFM 教師的特質」，它啟發了本研究對高中數學教師是否具備 PUFM 的好奇；只可惜「將高中數學視為基礎數學」的研究想法，它似乎很難獲得學術 界的承認。第二，為了有助於本研究的理論架構的形成，筆者決定採取明確或仔 細的分類方式；雖然 Shulman 的理論架構是獲得較多人支持的，但是在臺灣課 程大綱的規範下，「課程知識」必定隱含於數學教師的 SMK 或 PCK 裡而難以脫
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鈎；儘管 Ball 等人的理論架構未完全成熟，但是，這也意味著它有許多地方有 待研究者進一步釐清。第三，范良火的「教師的教學知識」雖然是靜態模型的理 論架構，但他對「教師知識」的分類方式卻值得本研究參考；筆者認為「顯性知 識」和「隱性知識」的二分法，它或許是動態模型的初步構成要素。第四，Fennema 和 Franke 的「教師知識研究的模型」是動態的，他們所強調的「特殊脈絡的知 識」重視教師的實務與教學情境，筆者十分認同這個理論架構的周延與嚴謹；雖 然「教師知識」和「教師信念」是密不可分的，但此理論所強調的「教師信念」
卻不是本研究的重點。
第二節 教師知識的教學實踐
本小節將從兩個面向來整理相關的實徵研究，它們分別為 SMK 或 PCK 的 實徵研究、數學教師知識的實徵研究。最後，筆者會整理出它們對本研究的助益 與啟示，從研究資料歸納出數學教師知識的可能樣貌，並且說明本研究的個人立 場。
一、SMK 或 PCK 的實徵研究
（一）SMK
在大多數人的學校學習經驗裡，數學似乎一直扮演著令人畏懼的角色！
Gellert（2000）研究了 42 位職前小學教師，發現他們對數學和數學教學也傾向 負面的態度。大部分的教師都表示希望數學課能上得開心，但是，對於開心的定 義卻是很模糊；有些人只重視表面的包裝技巧，他們似乎都把數學看成很可怕的 東西，以致於不能直接告訴學生正在做數學。除了在教學裡隱藏數學，職前教師 因為擔心學生在學習上會受挫，也容易不小心限制了學生的學習空間。舉例來說，
職前教師對「抽象想法」是比較貶抑的，並且看重「算術操作」；他們沒有察覺 到，真正的安全空間（safe space）是可以接受任何問題的挑戰或冒險。同時，他 們過分重視故事和遊戲的趣味性，以致於這些教學活動無法與數學連結；而這一 切可能是因為職前教師的 SMK 不足所導致。
既然 SMK 是如此重要的教師知識，那麼它在數學教學上可以有什麼程度的
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影響力呢？Fennema 和 Franke（1992）收集了數學、物理、生物、歷史教師的教 學研究資料，發現到 SMK 對「教室教學的架構」確實是直接相關的。舉例來說，
同一位教師在不同教學領域的熟悉程度，會影響課堂教學的豐富和變化的程度，
也會影響教師是否能看出課本內容的錯誤，甚至會影響學生與學科概念本質的互 動。但是，他們也發現許多學術文獻都曾指出的「教師所修過的大學數學課程數 量與學生學習成就無關」。Zazkis 和 Zazkis（2011）訪談了 5 位數學師資培育者，
以了解高等數學知識對大學教材教法課程的影響。雖然只教過小學職前教師，但 是，這些師資培育者都同意「SMK 的深度」是教師知識不可或缺的部分。
數學教師若具備更高深的 SMK，對於數學教學雖然有幫助，但是，對於學 生學習的幫助卻不那麼明顯。Even（1990）發現，現今的數學教育家都很強調兩 個觀點，第一，數學教學必須是理解的和有意義的；第二，教師扮演著幫助學生 學習的角色；因此，SMK 就變成相對重要的一種教師知識。於是，他試圖建立
「教學用的 SMK（subject matter knowledge for teaching）」的架構，來分析幾位 中學實習教師在「函數」概念上的知識。研究發現，實習教師大部分的數學知識 是來自於中小學和大學的課程，而且，他們在「函數」領域的知識很薄弱。最後，
他建議除了正規的數學課程之外，職前教師應該要修習「專門為教師設置的數學 課程」；這些數學課程主要是探索一些不熟悉的數學經驗，以幫助教師建立教學 用的 SMK。雖然 Even 在特定數學主題的研究上劃分出 SMK 的七種類別，但是，
Huillet（2009）不同意 Even 的看法，他認為這七種類別並非都屬於 SMK。他主 張，若想要在不涉及教學實務下去描述 SMK 是非常困難的，因為，SMK 和 PCK 的分界是模糊且難以分辨的。
（二）PCK
很顯然地，教師知識的教學實踐不能只考慮到 SMK，因此，許多學者轉而 聚焦在 PCK 的實徵研究，特別是有關學習者認知的教師知識。第一，在 Putnam 和 Leinhardt（1986）的研究中發現，專家教師從來不需要考慮學生的思考過程；
他們主張「思考學生學習過程」或許不是專業教學的重要組成（引自 Fennema 和 Franke，1992）。第二，Carpenter 等人（1989）做了一個教學實驗，他們先讓 實驗組教師了解「加減法」上有關學生想法的知識，一年以後發現實驗組教師比 對照組教師具有更良好的數學教學演示；他們在課堂上會更重視學生的想法，而 學生在計算技巧和問題解決方面的能力也較佳（引自 Fennema 和 Franke）。第三，
Isiksal 和 Cakiroglu（2011）分析土耳其（Turkish）17 位小學職前數學教師在「分
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數乘法」教學單元的訪談資料後，他們發現教師們為了處理學生的迷思概念或學 習困難，共展現出三種策略來幫助學生。有的教師是使用各種不同的教學方法，
有的教師則從數學的內容知識來著手，也有的教師著重於學生數學態度的正向情 意面。
到底 PCK 是否需要考慮學生？以及該使用何種策略來幫助學生？這似乎無 法達成一致的意見。但是可以肯定的是，數學教師的教學表現確實會影響學生學 習。An、Kulm 和 Wu（2004）研究中國和美國的中學數學教師的「深切的 PCK
（profound pedagogical content knowledge）」，主要是比較他們在中學課程的「分 數、比率、比例」的數學內容程度。美國方面在德州（Texas）選了 28 位五到八 年級的數學教師，中國方面在江蘇省選了 33 位五到六年級的數學教師。在收集 的眾多資料裡，他們最主要是分析「數學教學問卷」，並且辨識出十八項不同類 別；他們將這些類別劃分成「PCK 的四個組成」：建立有關分數的學生想法、處 理學生的迷思概念、使學生參與數學學習、提高關於數學的學生想法。研究結果 顯示這兩組教師有很大的差異，而 PCK 確實深切影響他們的教學實務。中國教 師重視「程序性和概念性知識」，並且是「較為傳統而嚴格的實務現場」；美國教 師重視「各種創造性或探究性的教學活動」，以幫助學生發展「數學概念的理解」。
為了理解 PCK 的內涵與特徵，許多學者在實徵研究裡將 PCK 的特質做了延 伸。Grossman（1990）研究中學英文教師，他提出 PCK 的四組成分別為：學生 理解能力的知識、課程的知識、教學策略的知識、教學目的（引自 Graeber 和 Tirosh，
2008）。Mark（1990）訪談五年級數學教師並關注於他們在「分數」主題的教學，
他提出了 PCK 的四組成分別為：學生的理解、為了教學目的之學科、教學媒介、
教學過程（引自 Graeber 和 Tirosh）。Cochran 等人（1993）承認 PCK 這個架構 可以增廣教學的形式，但是，他們覺得 Shulman 太著重於學科的轉換；他們將 PCK 修改為「學科教學知曉（pedagogical content knowing）」，並定義其為「教師 對教育學、學科內容、學生特質、學習環境脈絡四組成的一種理解」（引自 Graeber 和 Tirosh）。他們不只是將「課程知識」包含在 PCK 裡，也延拓了 PCK 四組成 的定義。
（三）SMK 與 PCK
雖然 SMK 的定義是較為明確的，但是，PCK 的定義位於「內容知識」和「教 育學知識」的邊界卻是模糊不清。Even 和 Tirosh（1995）分析美國 162 位實習 教師有關「函數」概念的問卷或訪談，並且研究 33 位以色列（Israel）的中學數
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學老師對於「未定義的運算」的看法。他們認為，雖然大家都支持 SMK 和 PCK 有某種程度的關係，但是它的證據不夠具體；尤其是，PCK 內容表徵的知識方 面，教師必須先理解學生的思考方式。第一，他們主張 SMK 的基礎部分是「知 道那些（knowing that）」的內容知識，但是，這只能幫助教師判斷學生的答案是 否正確；教師還必須具有「知道為什麼（knowing why）」的內容知識，才能幫助 學生建構出自己的知識。第二，雖然 PCK 包含許多相關的觀點，他們認為兩個 重要的來源是 SMK 和關於學生的知識（knowledge about student，簡記為 SK），
特別是 SK 重視學生能有意義學習。他們主張 SK 或許也能分類成兩觀點，「知道 那些」意指學生共通的錯誤和思考方式，「知道為什麼」意指特定觀念與特定學 生回應的可能來源。
雖然，SMK 與 PCK 的關係仍然有許多值得探索的地方，我們暫時將它放置 一旁，先從教學實務中理解它們可能的發展。Rowland、Huckstep 和 Thwaites
（2005）研究職前小學教師的 SMK 和 PCK，他們收集了 12 位教師共 24 堂課的 相關資料。他們從個案的影片中編碼出十八種項目，並且辨認出「知識四重奏
（knowledge quartet，簡記為 KQ）」。也就是說，這些編碼項目歸納出的四組類 別包括基礎（foundation）、轉換（transformation）、連結（connection）、偶發事件
（contingency）。這四類的編碼項目有些微的變動和調整，它們在 2008 年和 2011 年的出版物中是不太一樣的。雖然 KQ 這四組類別目前還在測試階段，但是，它 們確實可以支持教師發展 SMK 和 PCK（引自 Rowland，2008；Turner 和 Rowland，
2011）。
二、數學教師知識的實徵研究
（一）教師知識的結構與來源
除了從 SMK 或 PCK 的角度來看，另一方面也可以從數學教師知識的相關 研究來看。Ma（1999）比較 23 位美國小學數學教師和 72 位中國小學數學教師 的「數學學科知識的訪談內容」，研究的數學主題包含了重組的減法、多位數的 乘法、分數的除法、封閉圖形的周長和面積。研究資料顯示，中國教師在展開他 們的教學職業時，比起大多數的美國小學教師具有較好的「小學數學的理解」。
其中，「知識包裹（knowledge package）」是中國小學數學教師知識的重要特色，
這樣的教師會有自己一套的數學學習理論。每一個數學主題都可以形成一個知識 包裹，每一個包裹中央都有一連串由淺到深的例題來形成「知識鏈（sequence）」，
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同時在相關的數學主題之間都會有一個「連接環（cycle）」。如此線性的知識鏈 並非是獨自發展，而是由其它數學主題所支持的，並且，有些連接環與許多知識 包裹相關。正因為這些數學主題的支持，中央的知識鏈的發展會變得更有數學上 的顯著和概念上的豐富。
每一個知識包裹裡都包含一些「關鍵片段（key piece）」，它是比其它成員都 還重要的或困難的。有的關鍵片段是在線性的知識鏈中，有的則是在連接環裡。
舉例來說，「20 以內的加減法」是學習「重組的減法」的關鍵片段，而「兩位數 的乘法」是學習「多位數乘法」的關鍵片段，它們是造成事半功倍或事倍功半的 重要因素。另一種知識包裹的關鍵片段是「概念結（concept knot）」。舉例來說，
在處理「分數的除法的意義」時，「分數的乘法的意義」是它的概念結。在知識 包裹裡，「程序的主題」和「概念的主題」是相互交織的。教師若是具有此主題 的概念理解，他會傾向於促進學生「概念的學習」，同時也不會忽視「程序性知 識」。當教師在教學時，他們會根據教學脈絡去組織他們的知識包裹。數學主題 之間的連結是隨著教學波動而改變的；同樣的知識包裹面對不同的數學主題時，
它的重要性也會跟著改變（Ma，1999）。
是什麼造成數學教師知識結構的豐富或貧乏？見圖 2-3，Ma（1999）主張教 師的 SMK 發展是一個循環過程，它具有三個時期：學校教育（schooling）、師資 培育（teacher preparation）、教學（teaching）。它在中國是螺旋地向上發展來支持 教師，但是，在美國卻只有阻礙發展的情況。美國普遍接受「小學數學是基本的、
表面的、通常地被理解的」，但是，事實上教師應該使它以「令人理解的方式」
來呈現；而 PCK 可能就是兩個國家的小學教師擁有「不同架構的數學知識」的 原因。為了改善這些問題，他提出一些建議：
1. 同時處理「教師知識」與「學生學習」。
2. 提高「教師的學校數學」和「教師如何教數學」兩者的互動。
3. 重新聚焦在「師資培育」。
4. 了解課程素材（包含課本）在改革上也許會扮演的角色。
5. 了解改革的關鍵在於，無論教室互動是什麼形式，都應聚焦在實質的數學。
雖然，圖 2-3 是數學教師 SMK 發展的三時期，但是，它也能反映出 PCK 發 展是與教師的教學年資有關。年輕教師才剛開啟了教學工作，而資深教師已經具 有多年的教學經驗，他們的教師知識來源自然會有所異同。范良火（2003）從美 國芝加哥（Chicago）市區二十五所成績優秀的高中裡，分層隨機抽樣出三所高 中共 77 位數學教師；並且，使用問卷來調查他們對數學教學知識的看法。他發
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現高中數學教師的教學知識確實有不同的來源，而這些來源對「教師教學知識發 展」也有不同的貢獻。以下描述他對數學教師教學知識發展的研究結論：
1. 最重要的來源：自身的教學經驗和反思、和同事的日常交流。
2. 相對重要的來源：在職培訓、有組織的專業活動。
3. 不重要的來源：作為學生時的經驗、職前培訓、閱讀專業書刊。
其中，年輕教師相對於資深教師會更重視「和同事的日常交流、作為學生時的經 驗、職前培訓」。
圖 2-3：教師 SMK 發展的三時期
（資料來源：Ma，1999，第 145 頁。）
（二）教師知識的實務需求
為了發展教師知識，我們應該要理解教師知識的實務需求是什麼。美國曾經 在小學數學大綱上發展「數學架構」和「學生如何學習數學」兩個重點，它提供 了精心設計的學習活動、教學決策所需要的指引、評量的方式。Stephens（1982）
研究了它的實施情形以後發現，雖然，這是個完美的課程教材，但是，無法確實 向教師傳達相關作者的知識、信念、目標，教師不知道該如何使用它；甚至對教 師而言，它並非是實務上最有用的數學教學（引自 Fennema 和 Franke，1992）。
對於數學教師而言，或許教學實務上所需要的不是改善課程教材，而是改善 教師本身的數學教學能力。Chinnappan 和 Lawson（2005）試圖研究「解構
（deconstruct）內容知識」的教師需求，他們訪談了 5 位專家教師和 5 位生手教 師有關「幾何領域」的 13 個數學主題。他們發現兩組教師的「幾何知識（knowledge of geometry）的量化特徵」都相當豐富，但是，「教學用的幾何知識（knowledge of geometry for teaching）的質性關係」卻是明顯不同。然而，他們在分析這些教 師的「教學用的內容知識」的連通性地圖（connected map）時，發現這兩組教師 的教學知識都缺乏應用性（application）。
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數學教師的教學知識缺乏應用性是很自然的，畢竟，他們的教學場合是學校 而非業界；或許，我們可以從師資培育者投身學校教學的研究裡，來理解數學教 師知識的實務需求是什麼。從 1996 年起，Bass 這位數學家和 Ball 這位教育研究 家兼小學教師一起合作，兩人利用各自的專業去探索「實務中的數學和教育學」
的相互影響。他們分析 Ball 在教室教學中的工作，並且，收集一些資料來分析
「教學實務中教師所使用的數學內容」。他們發現，雖然個人的學科知識被期望 是成熟的和壓縮過的，但是在教學上卻不一定合適。為了陪伴學生學習，教師有 時候需要「解壓縮（decompress）數學內容知識」或「重組（decompose）數學 任務（task）」；而「鬆綁（unpack）教師知識」可以幫助學生學習「高度壓縮的 知識」（Ball 和 Bass，2000）。
另一方面，Ball 他們的團隊認為：PCK 是一個很特別的教師知識，它糾纏 了「內容」和「教學與學習的觀點」。他們從文獻上許多「有關特定數學主題的 教師教學實務的研究」中發現，教師如果長時間對特定年齡的孩子教相同的數學 主題，他就比較能夠在教學中數學地遊走（mobilize mathematically）。研究者要 調查的不只是「教師」和「教師知道什麼」，更應該要調查的是「教學」和「什 麼是被拿來教的」。簡而言之，研究者應該要測驗實務本身，而這個方法會伴隨 著數學教學的核心活動（core activities of mathematics teaching）的數學分析（Ball 和 Bass，2000；Ball 等，2001）。接著，Ball 等（2001）主張「教學實務」同時 具有規則性（regularity）和不確定性（uncertainty）；PCK 可以解決「實務中的規 則性」，但是卻無法解決「實務中的不確定性」。他們認為 PCK 是一種知識的特 別形式，它捆綁「數學知識」和「學習者、學習、教育學的知識」。由於，闡述 教師實務的複雜性是需要相當大的數學深度與彈性，因此，數學教師只具有 PCK 是不夠的，應該要有另一種純粹的數學知識，並且它在教學上是有用的。當數學 教師在遇到新的情境時，他們必須要考慮內容、學生、學習、教育學；數學教師 必須要能夠做出教學上的推理，而不只是指出策略或答案。他們將這樣的教師知 識 稱 之 為 「 教 育 學 上 有 用 的 數 學 理 解 （ pedagogically useful mathematical understanding）」，並且認為它能縮短「內容知識」和「教學實務」之間的隔閡。
Davis 和 Simmt（2006）同意 Ball 等人主張的「教學所需要的 SMK 並不是 從正式數學裡直接潑灑出來的，它是數學工作中嚴格且必要的需求」；而他們也 是從數學教學工作本身來研究的教師知識。Davis 和 Simmt 使用複雜科學
（complexity science）當作詮釋用的架構，以此討論教師需要知道的「教學用的 數 學 （ mathematics for teaching ， 簡 記 為 MfT ）」； 並 且 ， 辨 認 出 數 學物 件
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（mathematical objects）、課程結構（curriculum structures）、集體動態（collective dynamics）、主觀理解（subjective understanding）四個相互糾纏的觀點。他們主 張，這四種觀點如築巢般彼此套疊，並且，可能在不同時間點呈現出相似的動態。
藉由調查 24 位在職教師所組織的研習團體，他們認為「教師教學用的數學課程」
是比「包含基礎課程在內的數學概念」還要更遠或更多的；並且主張，「數學教 師需要知道的數學品質」是不同於「他們學生所要精熟的數學」。他們確信從資 深數學教師的教學實務中，才有機會看到 MfT 的多種樣貌。Davis 和 Renert（2009）
研究 11 位在職教師的研習團體對乘法概念的探索時，發現 MfT 與傳統數學知識 是有所區別的。雖然，數學教師們都同意「數學」是明確的、固定的、邏輯的、
真實的，但是，他們卻一致認為「乘法」是含蓄的、逐步形成的、類比的、被詮 釋的。
三、本研究的立場
對於上述幾個實徵研究所提出的研究證據，筆者整理了它們對本研究帶來的 助益與啟示，請參照表 2-2。關於 SMK 或 PCK 方面，這兩者確實是教師知識不 可缺少的必要成份；其中，SMK 至少包含了「知道那些」和「知道為什麼」的 內容知識，而 PCK 的主要來源是「SMK」和「關於學生的知識」。雖然大多數 研究者都承認這兩者在教師知識上的重要性，最令筆者感到好奇與疑惑的卻是
「它在研究上的爭議」。為什麼 SMK 和 PCK 會如此難以分辨？為什麼它們在教 學實務上的效果忽大忽小？SMK 和 PCK 的關係到底該如何描述？PCK 的特質到 底是什麼？筆者初步猜想，SMK 是關於「教師的學科內容知識」的一種「理論 知識」，但是，PCK 卻企圖將「理論與實務結合」，以致於人們在動態又複雜的 數學教學實務裡，無法明確地描述出這兩者的真實樣貌及關係。
或許，直接從數學教師知識裡可以找到本研究需要的答案，尤其是，在專家 教師或資深教師的相關研究中。請參照表 2-2，在特定的數學教學單元裡，專家 教師比生手教師有更多的「教學用的內容知識」，以及更豐富實用的「知識包裹」；
資深教師可以看到「教學用的數學」的多種樣貌，而生手教師則較重視「和同事 的日常交流、作為學生時的經驗、職前培訓」。筆者主張，在一位教師成為專家 教師或資深教師的過程中，很自然地先從學生時期的經驗發展出 SMK 的雛形，
然後，在師資培育的課程裡打下 SMK 的根基並且形成 PCK 的粗胚；但是，在 實際進入教學課堂的現場工作之後，才是真正發展教師 SMK 與 PCK 的最好時 機。然而，如果 PCK 無法解決教學實務中的不確定性，那麼，數學教師該如何
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解決這個工作難題呢？筆者猜想，或許可以從兩個方向來思考，一方面深入研究 專家數學教師的 SMK，另一方面，則試著理解資深數學教師的課程知識對教學 帶來的影響。
表 2-2：筆者對教師知識實徵研究的看法
研究範圍 SMK 或 PCK 數學教師知識
對本研究 的助益
1.教師的 SMK 如果不足，會導致教 學只重視「算術操作」，而貶抑了
「抽象想法」。
2.SMK 對「教室教學的架構」確實 是直接相關的，它會影響課堂教學 的豐富程度，也會影響教師是否能 看出課本內容的錯誤。
3.PCK 深刻影響教師的教學實務。
4.SMK 是「知道那些」和「知道為 什麼」的內容知識。
5. PCK 有兩個重要的來源：SMK、
關於學生的知識。
1.考慮到「學校教育、師資培育、教學」三個時期的 循環過程，至少要注意以下幾個重點。(1)提高「教 師的學校數學知識」和「教師如何教數學」兩者的互 動。(2)了解課程素材在改革上也許會扮演的角色。(3) 無論教室互動是什麼形式，都應聚焦在實質的數學。
2.專家教師和生手教師的「內容知識」都相當豐富，
而「教學用的內容知識」則是明顯不同的質性關係。
3.教師如果長時間對特定年齡的孩子教相同的數學主 題，他就能夠在教學課堂中數學上地遊走。這也表 示，在資深教師的教學實務中，才比較有機會看到「教 學用的數學」的多種樣貌。
4.研究者應該要測驗實務本身，而這個方法會伴隨著 數學教學核心活動的數學分析。
對本研究 的啟示
1.「教師所修過的大學數學課程數 量」與「學生學習成就」無關。
2.想要在不涉及教學實務下去描述 SMK 是非常困難的，因為 SMK 和 PCK 的 分 界是 模 糊且 難 以分 辨 的，並且有許多學者將 PCK 的特 質做了各種延伸。
3.除了正規的數學課程之外，職前 教師應該要修習「專門為教師設置 的數學課程」。
4.專家教師可能不需要考慮學生的 思考過程，因為幫助學生學習的策 略很多。但教師若理解特定主題上 學生可能的各種想法，會有助於教 師教學和學生學習。
5.雖然大家都支持 SMK 和 PCK 有 某種程度的關係，但是它的證據不 夠具體。
6.「教師知識的研究」或許可以支 持教師發展 SMK 和 PCK。
1.「知識包裹」是專家教師自有的一套數學學習理論，
每個數學主題都可以形成一個知識包裹。每個知識包 裹裡都包含一些「關鍵片段」或「概念結」，它是比 其它成員都還重要的或困難的。教師在教學時，會根 據教學脈絡去組織他們的知識包裹；同樣的知識包裹 面對不同的數學主題時，它的重要性也會跟著改變。
2.教師教學知識發展的最重要來源是：自身的教學經 驗和反思、和同事的日常交流。其中，年輕教師相對 於資深教師會更重視：和同事的日常交流、作為學生 時的經驗、職前培訓。
3.教師的教學知識都缺乏應用性。
4.教師在教學上有時候需要「解壓縮數學內容知識」
或「重組數學任務」；而「鬆綁教師知識」可以幫助 學生學習「高度壓縮的知識」。
5.「教學實務」同時具有規則性和不確定性；PCK 可 以解決「實務中的規則性」，但是，卻無法解決「實 務中的不確定性」。
6.教師們都同意「數學」是明確的、固定的、邏輯的、
真實的，但是，他們卻一致認為「教學中的數學」是 含蓄的、逐步形成的、類比的、被詮釋的。
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第三節 數學教師的教學專業知識
自從 Shulman 提出了「教師的內容知識」共有三大類別，二十多年來吸引了 許多學者的注意，特別是 PCK 的部分。本研究將採用 Ball 等（2008）所提倡的 MKT 理論架構，企圖從更仔細的分類形式中理解「數學教師教學專業知識」的 教學實踐（請參照圖 2-2）。有許多實徵研究的證據顯示，從專業且資深的數學教 師的教學實務裡，才有機會看到 MKT 各類別的重要程度與彼此的關係。
據此，本小節將從兩方面來整理相關的文獻資料，一方面聚焦於說明 MKT 的重要性，另一方面，筆者也會仔細地闡述 MKT 的角色，並且，從圖 2-2 的左 至右、上至下來描述理論架構的六種知識類別。最後，筆者會整理出 MKT 對本 研究的助益與啟示，從研究資料歸納出數學教師教學專業知識的可能樣貌，並且 說明本研究的個人立場。
一、MKT 的重要性
目前在數學教育的學術領域中，大致有三組不同的團隊在研究「教師知識與 其在教學中的角色」：Davis 等人研究「教學用的數學（MfT）」、Rowland 等人研 究「知識四重奏（KQ）」、Ball 等人的「教學用的數學知識（MKT）」。這三組團 隊雖然具有不同的觀點，但是，他們都高度概念化「教師知識與實務的關係」，
並且都試著分析以下兩個研究數學教師知識的問題（Ball、Charalambous、Thames 和 Lewis，2009）：
1. 數學教學的工作中需要什麼樣的數學知識本質？以及它如何被決定？
2. 這樣的知識如何在教學中實踐？我們又如何知道？
其中，MKT 意指實施「數學教學工作所需要的數學知識」；此定義是開始於「教 學」而非「教師」，它關心數學教學中所涉及的任務，以及這些任務的數學需求。
目前 MKT 在教學實務上進行質與量的分析，並且主要涉及兩個研究問題（Ball 等，2008）：
1. 什麼是數學教學會一再發生的任務和問題？教師在教數學時，做了些什麼？
2. 為了處理這些數學教學的任務，什麼樣的數學知識、技能、感覺是必備的？
MKT 的相關研究也很多樣化，我們可以從以下三個例子看出端倪。第一，
Bednarz 和 Proulx（2009）也研究 Ball 的 MKT，他們在加拿大（Canada）的魁 北克（Quebec）與數學教師合作，從實務中去反思中學數學師資培育計畫的發展。
