兒童分數概念發展相關理論

學習與個體發展能力關係密切，在許多方面，兒童的認知發展是有其獨特的特 質和順序的。國內外有關學生學習分數的研究大致有兩種取向：其一是兒童認知結 構做為分析的主體，即探討學生對所持分數之意義及運思型態，特別重視兒童心中 所持「單位」(unit)的變化，並據此區分不同的認知階段及各階段運思的特質，亦即 以皮亞傑認知學說及建構主義為基礎，從認知結構的觀點切入是以學科知識做為分 析參照；其二是以從數學學科知識出發，探討學生所持有的分數概念及迷思概念(或 錯誤類型)(呂玉琴，1991a；詹婉華、呂玉琴，2004)。本節主要包含兩個部分，分別 針對兒童分數概念發展及分數概念與運思活動之關係進行探討，茲分述如下。

一、 兒童的分數概念發展

關於兒童的分數概念發展情形，國內外學者曾做過相當多的研究，本研究就 Piaget 的認知發展理論及 Vygotsky 的社會建構理論，說明如下：

(一) Piaget 的認知發展理論

依據 Piaget, Inhelder 和 Szeminska(1960)認為兒童的認知發展是漸進的，且 Piaget 以其所主張的兒童認知發展論，觀察兒童對於分數概念的操作情形，發現從 知覺分數(部份/全體)關係到操作的細分之間有很大的差別，提出兒童等分概念的發 展階段如下(引自陳瑞發，2003)：

1.四歲到四歲半的兒童，對一物分為兩半感到困難，在分割之前沒有預想的計畫或 基模(skema)。關於不同形狀的分割，長方形比較容易，圓形次之，正方形較難。這 種階段的最大特徵是缺少部份與整體之間任何的關係，兒童不會注意到他所接觸的 部份是某個比較大的全體之中所含的元素。

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2.四歲到六歲的兒童對於規則的、小範圍的東西有分半的能力，但如果原來整體的 大小增大了，其分成一半的能力便要延緩。將物體分成相等 3 等份的能力尚未表現，

在分割圖形中利用長方形比較容易解決。

3.六歲到七歲能成功的實施 3 等份的分法，不用試誤的方法，但其對操作的瞭解，還 是在具體的操作層次。在這個階段的兒童具有整體性的保留概念，兒童瞭解到將各 個塊數合起來的總量與整個餅是一樣的。

4.十歲左右兒童能實施 6 等份的分法，首先用三分法分一個餅，然後將所得的三塊餅 再用二分法。

另外，他們的研究還發現兒童在了解分數運算之前，必須具有下列七個子概念 1.必須有一個可以除盡的全體才有分數的思考。

2.一個分數包含各部份的限定數，分配東西時，各部份必須與接受者相對應。

3.子分割活動中，全體必須除盡，沒有餘數(沒有剩餘)。

4.全體被切割成各部份的數與切割數間，有一個固定的關係。

5.分數的概念是指分割後的每一部份都是相等的。

6.當兒童操作了細分的部份概念時，他們瞭解到此細分的部份是全體的一部份，同 時此一細分的部份本身也是可再細分的全體。

7.因為部份的總和等於全體，其全體保持不變。

Piaget 也提出兒童認知發展的四個階段：感覺動作期（0-2 歲）、前運思期（2-7 歲）、具體運思期（7-12 歲）和形式運思期（12 歲以上）。此四個階段之認知發展是 循序漸進的，無法跳躍，即認知發展的順序不變。Piaget 認知發展階段的「具體運思 期」階段有以下特徵：具有守恆和可逆的概念、有清楚的邏輯思考能力且能依物體 的屬性來分類，而非單以物體的外型作分類依據（張春興、林清山，1992)。本研究 之研究對象為國小三年級學生，其認知發展正值需要藉由表徵（圖像、操作）強化 學習之具體運思階段。

(二) Vygotsky 的社會建構理論

Vygotsky 提出社會建構理論（social development theory），認為人類的學習與理解 是源自於一連串的人際心理與自我心理的心智運作歷程。且強調社會、文化、語言 等互動行為，對於學童之認知發展影響深遠，是促進學童學習的重要因素（張春興，

1994）。Vygotsky 也提出學生的學習與發展有兩種水平，一種是真正發展水平，即學 生已建立之現有水平；另一種是潛在發展水平，即經由教師引導或與同儕中較有能

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力者一起解決問題的過程，使學童達到更高層次的水平，兩種水平間之差距，即為 該學童的可能發展區（ZPD）。在發展可能發展區的過程中，別人所給予學童的協助，

稱為鷹架作用（scaffolding）。「鷹架」被喻作暫時性的支持學生，直到學生能自行學 習，這也是教師應扮演好之角色。

Vygotsky 發現人際互動對認知發展有深遠的影響，藉著成人或能力較高的同儕 幫助，學童能夠處理一些比較複雜而不會處理的問題。在教學的過程中教師的任務 是為學童搭起鷹架，而在提供之前，教師必須了解學習者是否具有足夠的先備知識，

以協助其達到教學目標。

二、分數概念與運思活動之關係

甯自強(1993、1997a、1997b)依據兒童在不同階段的運思方式所呈現的數概念 與分割活動為基準，利用分數詞作為區分，而將兒童的分數概念分為六個層次：

(一)分數的前置概念(分數概念的前身)

此時的兒童雖已具有數概念與分割活動，但其數概念只是序列與合成運思，而 分割活動亦未能將子分割單位數值化，因此，此層次的兒童並未具有分數概念，故 稱之為分數概念的前身。此一階段兒童所顯現的特徵為：l.只靠直覺做判斷，將一物 撕裂使之成為一個撕得的部份和一個撕剩下的部份，撕裂過程中兒童只是靠知覺比 較大小。2.只有部份而缺乏部份與全體的概念。例如：兒童可以知道是三份中的一 份，但是如果將這一份再放回去，問兒童全部是多少時，兒童會回答四份。3.兒童 無法使用不同分數詞去表示不同分割情境的意義。例如：「二分之一」只是將一物件 分成二部份，而不代表將物件等分成兩份。

(二)起始單位分數

當兒童能夠引入累進性合成運思於分數的情境時，他們開始如同在整數情境中 聯絡兩個整數一般，將由子分割單位所構成的分子部份內嵌於由子分割單位構成的 分母部份，此時的分數詞意義稱之為「內嵌並置類型」。舉例來說，l/4 是指「4 中間 的 1」，由於分子是內嵌於分母之中，將分子移出分母，將導致分母的摧毀。「內嵌 並置類型」的並置關係，並非明顯的部份/全體關係，而是隱約的部份/全體關係。

以「內嵌並置類型」為其分數詞意義的學生無法進行單位分數的累積活動。因 處於起始單位分數階段的兒童，視分子是內嵌於分母的一部份，無法脫嵌而出，無

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法獨立於分母之外，故無法累積單位分數。此時 l/4 尚不能成為被使用的分數單位，

學童不能理解 3/4 是可以用三個 l/4 加以合成的。所以學童處理 1/4+1/4 的答案可能 是 2/8，而不是 2/4。

(三)單位分數

此時期的兒童已能利用部份/全體運思來同化數的情境，由於部份/全體運思的引 入子分割活動中，造成子分割活動的質變。這時子分割活動的結果不但是可以被集 聚的計數單位，同時也適用子分割單位集聚而成的集聚單位中的獨立部份單位，也 就是原先內嵌於集聚單位中的子分割單位經過部份/全體運思的運作，已經自集聚單 位中脫嵌而出，子分割單位自此開始成為所謂的單位分數。如單位分數 l/4 所指示的 量是單位分量，指整體「1」透過等分割活動之後，每一等份的量，也就是分子為 1 的分數所表示的量，則合成單位分數可以集聚成其他的加法性分數單位。因此，當

「起始單位分數」質變成「單位分數」之後，兒童方能開始瞭解所謂的「真分數」

概念。

(四)加法性分數

此時期的兒童具有子分割運思，與單向的部份全體運思時的分數概念。由於兒 童能運思分數的累加活動，例如：知道 1/4 加 1/4 是 2/4，而非 2/8，因此稱為加法 性分數。然而，此時期的兒童僅能解決單位分數的內容物單一個物的同分母分數合 成及分解問題。此時期兒童所顯現的特徵為：1.能夠理解單位分數的內容是一個離 散量的問題，以及單位分數的內容是多個離散量的問題。2.能夠理解集聚分數的內 容是多個離散量的問題。3.能夠理解集聚分數的內容是多個，而且分數的內容為多 個離散量的問題。4.由於兒童的部份全體運思是單向的，當從全部中拿取兩個次部 份時，兒童會失去全部，而且在計算單位分數累加時會失去累加次數，亦無法掌握 單位分數與部份分數(非單位分數)之間的關係。

(五)巢狀分數

此時期的兒童具有子分割單位化概念，與雙向的部份全體運思，因此，兒童可 以利用單位分數的再次分割，察覺等值分數的情形，知道兩個等值分數同為一份量 的測量值，例如：兒童可以察覺到 8 個積木的 3/4 與 8 個積木的 6/8 是同一份量的測 量值。單位分數就會由加法性分數質變成巢狀分數。此時兒童所顯現的特徵為：1.

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巢狀分數具有雙向的部份/全體運思與子分割單位化概念，因此，兒童可以利用單位 分數的再次分割，察覺等值分數的情形。但是，因為缺乏彈性思考的緣故，對於非 以再次等分單位分數而產生的等值分數，則無法判定，尚未能真正具備等值的分數 概念。2.由於兒童的部份/全體運思是雙向的，當從全部中拿取兩個次部份時，兒童 不會失去全部。3.具有分數乘法的概念。4.兒童具有共變的概念。

(六)有理數概念

所謂的有理數是兩個部份全體的重組，兒童能將「部份與全體」的關係，分解 為「部份對部份」的關係，兒童不僅具有部份/全體的雙向運思，更能以分數作為測 量的單位。如比較 3/6 與 4/8，兒童知兩者皆是 12/24，所以 3/6 等於 4/8(兩個巢狀分 數比較)。由於能同時思考二個分數，兒童有等比例運思的概念，因此稱為有理數數 概念。此時兒童所顯現的特徵為：1.已經具有彈性思考的能力，能將不同分母的分

所謂的有理數是兩個部份全體的重組，兒童能將「部份與全體」的關係，分解 為「部份對部份」的關係，兒童不僅具有部份/全體的雙向運思，更能以分數作為測 量的單位。如比較 3/6 與 4/8，兒童知兩者皆是 12/24，所以 3/6 等於 4/8(兩個巢狀分 數比較)。由於能同時思考二個分數，兒童有等比例運思的概念，因此稱為有理數數 概念。此時兒童所顯現的特徵為：1.已經具有彈性思考的能力，能將不同分母的分