分數迷思概念之相關研究

在兒童學習數學的過程中，分數的學習往往是兒童最感困難以及最容易產生各 種錯誤類型的數學單元之一。問題的產生起因於學習的迷思概念，在分數的學習過 程，學童在建構其分數概念過程，容易出現某些自以為正確的概念，這些概念被稱 為「分數的迷思概念」。九年一貫課程數學學習領域綱要(教育部，2008)的分數主題，

包含了簡單分數概念(單位分數的內容物只有一個的真分數)、等分概念、單位量概 念、等值分數概念、分數大小比較、分數四則運算、不同的分數表示法及理解分數、

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小數、整數間的關係等。本研究著重於三年級學生的分數概念之瞭解，將針對簡單 分數概念、等分概念、單位量概念，以及分數大小比較概念等分數迷思概念加以探 討，作為改進教學之重要參考依據。

一、 簡單分數概念

分數的起源來自於「分東西」的概念，也就是當東西不夠做整個分配時，需要 將東西進一步做切割才能繼續分配，分數是用來解決不滿一個單位量的「量」的數 值問題(呂玉琴，1996)。現行國小的分數教學，是由分東西的經驗帶入，由生活語 言「一半」，連結對「二分之一」的概念，再帶入分數符號。因此，學習分數概念，

第一個要學習就是平分、等分的分數概念相關語言。研究顯示有些學童的生活經驗 無法與分數符號產生連結，游政雄與呂玉琴(2002)的研究中，台灣北部地區學童約 12.1%~25.4%的中年級學童對於平分並不瞭解，因而認為「平分成幾份」就是「分 成幾份」，或是「幾個一份」。Mack(1990)的研究發現，兒童擁有豐富的非正式分數 知識，例如：豐富的分割策略。可以藉著這些非正式知識，以有意義的方式和正式 的分數知識作連結。然而，在真實的生活情境，如果以分數呈現問題則常常發生錯 誤。例如：有兩個披薩，A 平分成 6 塊，B 平分成 8 塊，問兒童「各拿一塊，哪一 個大？」兒童能回答：「A」，因為「A 分成 6 塊比較少份，每份比較大」。若是只問：

「六分之一和八分之一，哪一個大？」大多數兒童則會回答：「八分之一」，因為「8 比 6 大」。

由文獻中，我們可以了解學童平分、等分的分數概念是較先發展的分數概念，

而且其發展是有順序的。學童在生活上雖有分東西的經驗，也能藉由分東西的經驗 逐步發展處理生活上分數問題的能力，然而對於簡單的分數卻無法從生活經驗中累 積，無法將生活中的經驗與簡單的分數符號加以連結。

二、 等分概念

等分是指將一連續量或離散量細分(subdivide)成好幾個部份，而每一個部份都要 一樣大(或一樣多)。在連續量中，一般以幾何圖形來做等分切割活動的對象，例如：

一塊披薩平分成 6 片。在離散量中，是以集聚單位為單位量，來進行等分活動，例 如：一袋糖果有 12 顆，平分成 3 包。游政雄與呂玉琴(2002)指出對國小中年級學童 來說，自行等分問題比判斷是否等分問題來得容易，約有 7.4%~10%的學童不知道 分數是代表「『平分成』幾份中的幾份」。大部份國小三年級學童在處理分數板的問

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題時，只注意到分數板分割成幾塊，而沒有注意到分割的每一塊是否相等。另外，

分割後各部份的形狀與面積也會影響兒童的等分概念(林福來、黃敏晃、呂玉琴，

1996)。多數國小三年級學童在面對分數問題時，並不會主動注意到每一塊的分割是 否相等。三年級學生雖然能把整個圖形分成規定的份數，卻忽略掉所分的東西必須 是在等分的狀況，或者在東西非等分的狀況下，卻認為已經是等分。在視覺上，當 圖形有所差異時，也會影響學生的等分概念。

三、 單位量概念

單位量概念又稱整體量概念(the concept of a whole)，也叫單位-整體(unit-whole) 概念。Behr, Wachsmuth 和 Post(1988)指出，單位量概念在連續量和離散量上，所需 的知識並不相同。一個連續量被平分成 3 等份之後，每一部份仍是單獨的連續量，

孩童很清楚可以感受到，因此能清楚地概念化。另一方面，以一包 12 顆糖果的離散 量為例，分成 3 等份時，每一部份都包含 4 個分開、沒有連結的個體。無論如何，

在分割過程和概念化 12 顆糖果的 1/3 時，孩童必須將 12 顆糖果視為一個整體的單 位量，也就是說這 12 顆糖果必須變成概念上的一個實體。這對孩童是困難的，因為 分成 3 等份後的每一部份都還有 4 糖糖果，孩童必須將 4 顆糖果在心中想成是一個 部份。因此，處理分數問題最重要的一個概念是單位量的指認。但是當學生在處理

「部份/全部」和「子集/集合」的分數問題時，會有指認單位量的困難。其常見的迷 思概念又可以細分為三類(呂玉琴，1991b；Figueras,1989)：

(一)忽略給定的單位量：學生在回答一袋柳丁有 10 個，其中的 3 個是幾袋的問題時，

會回答 3 個或十分之三個。這樣的反應顯示他們對於所給定的單位量「袋」和單位 分量「個」之間的關係，並不確定。

(二)受分子的控制：解題時只考慮到分子的因素。例如：要學生在 10 個花片當中取 出全部的五分之一，他們的反應是取出 1 個而非 2 個。

(三)受分母的控制：只考慮到問題中的分母，解題過程深受分母的影響。例如：請 學生從 10 個花片中圈出全部的五分之一，學生受到分母五的影響而圈了 5 個花片。

由上所述可知，學生不論是在連續量或離散量的情境下，都有單位量指認的困 難，學生有時會忽略給定的單位量，或因分子和分母的因素而改變單位量。在未給 定單位量的分數問題上，學生也會只依據題目所呈現的其他分數符號來比較，而未 思考到單位量的問題。

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四、 分數大小比較概念

學童一開始學習數學，是從整數開始，他們會熟悉以自然單位「1」為計數單位，

而分數概念卻將「1」視為整體，平分為相等的部份。許多學生由於不了解分數的意 義，因而受整數基模的影響，將分數中的分子和分母視為兩個獨立的個體。在分數 大小比較時，如果學生未把分數視為一個數，便無法針對兩個分數的量來做比較，

學生會把分數的分子和分母看成獨立的兩個自然數，而產生了下列幾種迷思情況(呂 玉琴，1991b；Behr, Wachsmuth, & Post, 1988；Mack,1990)：

(一)以分母的大小來做比較。例如：3/8＞3/5，因為「8＞5」。又如學生知道一個大 餅平均分成兩塊，其中的一塊就叫做二分之一(1/2)個。若把一個大餅分成相等的四 塊，其中的一塊則可說成四分之一(1/4)個。因此，1/2 是切兩塊比較大，1/4 是切四 塊比較小。但是若要他們在 1/2( )1/4 此類問題的括號中填入＞、＝或＜的符號時，

他們卻回答＜，原因是 2 比 4 小。

(二)以分子的大小來比較。例如：5/8＞3/8，因為「5＞3」。此一原則在同分母分數 的情境下是正確的，但是對於比較分母不同的分數或是等值分數，就會導致錯誤的 結果。例如：學生認為 2/4＞1/2，因為 2/4 是塗兩塊，1/2 只有塗一塊，所以比較大。

(三)將分子、分母分別同加一數來比較。例如：「2/3＝4/5」，因為「2＋2＝4，3＋2

＝5」。

(四)分別比較兩個分數的分母與分子。例如：「2/3＜4/6」，因為「2＜4，3＜6」。

(五)學生會將整數的解釋過度類推到分數概念上。例如：1/3 即是一個披薩切成三小 塊。

(六)在分數加法的問題中，採用分子相加以及分母相加的方式來求得答案。例如：「1/3

＋3/4＝4/7」，「1/4＋2/6＝3/10」。

(七)在異分母分數相減的問題中，採用分子相減以及分母相減的方式來求得答案。

例如：「3/7－2/4＝1/3」，或認為「5/6－2/7」無法運算，因為 6 比 7 小不能減。

以上提到有些學童受到整數基模概念的影響，拒絕接受「分數是數」的概念，

將分數的分子與分母各自解讀，顯示了對於分數整體所代表的意義不理解，或是分 數是數的概念不夠穩固。