分數表徵

前述兒童分數概念發展可知分數學習雖為抽象概念之建立，課程安排是由具體 操作物切入，其原因在於分數的學習需要把具體操作轉變為抽象的概念。許多分數 教學相關研究證實，抽象概念具體化的教學過程，可藉由多元表徵策略獲得學習成 效(王淵智，2005；林亭妤，2012；林碧珍，1990)。以下就表徵的分類與表徵的功能，

說明如下。

一、表徵的分類

Brunner(l966)認為認知發展的歷程也就是形成表徵系統的過程，由運思方式的 觀點將表徵分成三種型式，包括：動作、圖像與符號表徵系統。

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(一)動作表徵(enactive representation)：

學童是藉由動作反應，或是操作的經驗來了解外在的世界，即個體需透過具體 物的操作來掌握概念及獲得知識。例如：操作積木、數點花片。

(二)圖像表徵(iconic representation)：

學童是藉由在感官內留下的圖像或是心像(mental image)來了解外在的世界，是 一種由觀察中學習的經驗，而「心像」是指外在實物之影像，即使具體物消失，在 學習者腦中仍留有心像。例如：1/2 和 2/4 比較大小，腦海中即浮現兩個圓形面積，

接著在腦海中對兩個圓進行切割並比較其單位分數所合成的面積大小，進而建立起 等值關係。

(三)符號表徵(symbolic representation)：

此期的學童可以透過語言符號來代表外界和自己的想法，是一種由思考中學習 的經驗，而符號與心像不同，其與實物之外形並無相似之處，只是一種任意選擇的 符號。例如：知道 1/2 和 2/4 一樣大，而 3/4 大於 2/4，所以得知 3/4 大於 1/2，學童 間接利用等值的兩分數轉換而順利解決異分母的比較活動。

所以 Brunner 主張學習的過程是由操作具體物的動作表徵，再進入圖像表徵，

待運思成熟後，最後進入能以符號代表知識的符號表徵，此時才表示學童的認知能 力已達到最高層次。

而 Lesh, Post 和 Behre 的研究中建議將 Brunner 的表徵模式延伸成五種表徵系 統，分別為實物、具體操作物、靜態圖像、書寫符號及語言。Lesh 等人指出「表徵」

是指心智過程模式化所使用的符號系統：圖像、符號、語言、具體操作物，也就是 學童內心的概念轉為看得見的、顯著的具體化之外在表現。他們從溝通觀點的分類，

提出數學學習有五種不同的表徵方式(引自林亭妤，2012)：

(一)real scripts(實物)：

用真實生活的情境或物品，來表示問題中的情境與內容。例如：以整盒雞蛋或 蛋糕實際進行等分的活動，從分雞蛋的問題情境中，瞭解 2/4 盒雞蛋和 1/2 盒雞蛋的 等值關係。

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(二)manipulative model(具體操作物)：

透過具體的操作物來學習新概念。例如：圖形分數板、百格板、積木、花片等，

以增進數學概念之理解。

(三)static picture(靜態圖像)：

一種靜態的圖形模式，也可認為是心像。例如：面積圖、數量圖、數線模式等。

(四)written symbols(書寫符號)：

用數學的符號或算則來表示。例如：1/2、1/3、1/4

(五)spoken language(語言)：

運用日常生活所使用的口語陳述，來表達一些數學概念、想法或解題過程。例 如：四分之一。

Lesh 等人所著重的是「表徵之間的關係」，並將這些表徵間之關係稱為「轉換 (translations)」，每一個轉換對學生而言就是一個概念的重新詮釋，Lesh 等人認為學 生必須具有以下三個條件才可算是了解一個概念(呂玉琴，199la):

(一)學生必須能將此概念放入各種不同的表徵系統間。

(二)在給定的表徵系統內，必須能很有彈性的處理這個概念。

(三)必須能夠很精確的將此概念從一個表徵系統轉換到另一個表徵系統。

二、表徵的功能

在美國數學課程原則與標準（NCTM,2000）提到表徵是數學學習過程中很重要 的一部分。數學表徵乃是指學習者在學習數學知識的過程中，透過各種不同的方式

（如具體物表徵、圖像表徵、口語表徵或抽象符號表徵等）內化知識，並藉由上述 之方式呈現個體之想法與解法。基於此，本研究將「分數表徵」定義為「分數學習 過程中，思考、解釋接收到的訊息，並用以表達思考結果的呈現，以及和他人溝通 的重要工具。」因此，此小節所提及的表徵功能如下：

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(一)使分數概念具體化：

數學文字題提供了文字的學習，具體物或圖像可以幫助學主將文字的訊息轉換 成另一種形式，產生了視覺化的作用，以獲得更具體的經驗。Piaget 將知識分為三 種類型，其中之一為具體的知識，而具體的知識也就是植基於經驗的知識，也就是 說經由具體物的操作經驗，可以增長知識的獲得(楊德清、洪素敏，2003）。林碧珍(1990) 指出在數學學習中使用圖象表徵的功能在於幫助學生瞭解概念的意義，因此，不論 是具體物或是圖像的表徵，皆提供解題者可操弄、可看見的輔助工具，以減少解題 時有關閱讀的工作負擔。

(二)可做為溝通的工具：

Lesh 從「溝通」的觀點將表徵分為實物、具體操作、圖像、書寫符號與語言。

解題者如果能靈活的運用不同表徵表示同一數學概念，並且選擇適當的表徵進行解 題，而不失去表徵原有的意義之下，就代表他對此一數學概念有完整而深入的了解。

而在此，表徵所具有的溝通範圍相當廣泛，可以是自己與他人之間的溝通，在課室 中，教師也可利用表徵與學生溝通題意、解題的歷程等數學想法，同樣的，學生也 可利用表徵與老師或其他同學進行溝通。

蔡職鴻與劉曼麗(2012)以國小三年級數學低成就學童為研究對象，指出學童極不 易在分數的表徵之間進行轉換。而在教學現場，學生在各種表徵之間的轉換有時會 出現困難，教師必須使用不同的表徵來協助學生建立新概念並連結舊經驗，才能讓 學生將「具體表徵」抽象化，進而推論出成人「算則」。

由上述可知，在分數的教學策略上，教學者應先重視分數概念的理解，再引導 學生把實物、具體操作物、靜態圖像、書寫符號及語言五種表徵作有意義的連結。

因此，研究者對於學童分數的學習，是透過均一教育學習平台不斷的提供學生練習 的機會，以動態圖形呈現等分割與合成的分數概念，並運用面積、離散量圖形模式 之圖像表徵呈現於教材中，希望藉由不同的圖像表徵連結數學符號及日常用語，期 能幫助學生建立正確的分數概念，進而提升學生的學習成效。

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