資訊融入國小三年級數學分數單元教學之行動研究

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(1)國立屏東大學教育學系課程與教學碩士學位班碩士論文. 指導教授：郭明堂博士. 資訊融入國小三年級數學分數單元教學之行動研究. 研究生：施宜明撰. 中. 華. 民. 國. 1. 0. 5. 年. 0. 6. 月.

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(3) 誌. 謝. 時間過得很快，沒想到離開校園生活好幾年後，還有機會進入碩士班重溫當學生的樂趣，而轉眼間兩年的研究所生涯已進入尾聲，代表著我在這一階段學習總算告一段落，在完成論文的此刻，心中有著滿滿的感謝。首先要感謝我的論文指導教授－郭明堂博士，感謝郭教授在百忙之中，仍花時間悉心指導我，給我最精闢的意見與明確的方向，使我能夠順利完成論文。也要特別感謝麟洛國小蔡文正校長在我研究期間給予我寶貴的想法與修正建議，還有論文口試委員舒緒緯教授與鄭彩鳳教授細心審閱我的論文，提供許多具體指導與建議，讓論文更加完善。感謝研究所的所有同學，除了讓苦悶的研究所生涯多了許多樂趣，也讓我感受到大家的溫暖與不分彼此互相幫忙的學習態度。也要謝謝我任教學校的校長、主任、老師的包容與支持，還有班上 23 位天真活潑的學生們，謝謝你們認真的學習與參與，本論文才得以完成。最後要感謝家人的支持，感謝我的父母，謝謝你們在我求學生涯中一路支持、栽培與無怨無悔的包容，感謝我的公婆，讓我安心的念書而無後顧之憂，感謝我的弟妹們，在我求學過程中的關心、鼓勵與幫忙。最重要的是要感謝我的先生，你是我最溫暖的依靠，謝謝你這兩年不辭辛勞的接送我上下課，在我煩悶時聽我講話，總在緊要關頭時給予幫助，解決我的困難。還有當然不能忘記的是我最可愛的小寶貝，媽媽終於可以每晚好好陪伴你了。. 施宜明謹誌于國立屏東大學民國一百零五年六月. I.

(4) 摘要本研究主要透過行動研究的方式，探討國小教師運用均一教育平台實施資訊融入國小三年級數學分數單元教學歷程，可能遭遇的問題與因應方式，以及瞭解學生在研究歷程中數學的學習成就表現，並進一步探討學生學習數學態度的變化以及對於教師在運用均一教育平台實施資訊融入數學分數教學方法之接受程度。本研究之教學對象為三年級 A 班，共計 23 人，經過前導研究期、兩個階段行動循環共六個分數單元教學，研究者藉由同儕教師訪談、隨堂觀察記錄、學生晤談、學習單、單元前後測成績、問卷及研究者省思札等方面蒐集相關資料，並進行資料的整理與分析，獲致主要的研究結論下：一、教師運用資訊融入國小三年級數學分數單元教學需具備資訊能力方能克服問題。二、學生對資訊融入國小三年級數學分數單元教學之學習成效有顯著性的提升。三、學生對資訊融入國小三年級數學分數單元教學之學習興趣有顯著性的提升。四、學生對資訊融入國小三年級數學分數單元教學有高度接受程度。五、教師運用資訊融入國小三年級數學分數單元教學具有良好的教學成效。最後，研究者根據研究結果，提供相關建議作為未來研究之參考。關鍵詞：資訊融入教學、數位學習、分數. II.

(5) Abstract This study adopts the action research method to explore the difficulty and solution of elementary school teachers when using integrating information into the fraction teaching with Junyi Academy of the third graders.Furthermore,this research tries to understand the students’ learning performance of Mathematics,attitude change and acceptance level of the instruction method by integrating information into the fraction teaching with Junyi Academy.Twenty-three-third-graders from class A participated in this study were employed in the two action cycles and integraged into six fraction units. The author reached the following conclusions by colleague teachers’ and students’ interviews, class recording, learning sheet ,pre- and post-treament tests, questionnaire,as well as the teaching notes and preceeding data collection and analysis.The main conclusions are as follows. 1.Teachers must have information skills to overcome the difficulties when adopting integrating information into the fraction teaching of the third graders. 2.The students’ Mathematics learning performance is significantly enhanced by adopting integrating information into the fraction teaching of the third graders. 3. The students’ Mathematics learning attitude is significantly enhanced by adopting integrating information into the fraction teaching of the third graders. 4.The students have high level of acceptance for adopting integrating information into the fraction teaching of the third graders. 5. The instruction mode of this study is effective by adopting integrating information into the fraction teaching of the third graders. According to the conclusion, this study provides some suggestions that can be used for future reference. Keyword：Information technology integration、E-learning、Fraction. III.

(6) 目次誌謝 ................................................... I 摘要 .................................................. II Abstract ............................................ III 目次 ................................................. IV 圖次 ................................................. VI 表次 ............................................... VIII 第一章緒論 ................................................ 1 第一節研究背景與動機..............................................1 第二節研究目的與待答問題..........................................3 第三節名詞釋義....................................................4 第四節研究範圍與限制..............................................5. 第二章文獻探討............................................. 7 第一節兒童分數概念發展相關理論....................................7 第二節分數迷思概念之相關研究.....................................11 第三節分數教材分析...............................................14 第四節分數表徵...................................................20 第五節資訊融入教學...............................................24. 第三章研究設計與實施...................................... 35 第一節研究方法...................................................35 第二節研究流程...................................................37 第三節研究情境...................................................39 第四節教學規劃...................................................41 第五節資料蒐集與分析.............................................43. 第四章研究發現與討論...................................... 49 第一節前導研究期.................................................49 第二節第一次行動循環期...........................................59 第三節第二次行動循環期...........................................78 第四節綜合討論...................................................92 IV.

(7) 第五章結論與建議 ........................................ 103 第一節結論......................................................103 第二節建議......................................................106. 參考文獻 ................................................. 109 一、中文部分.....................................................109 二、西文部分.....................................................112. 附錄 ..................................................... 113 附錄一資訊融入三年級數學分數單元教學活動設計....................113 附錄二數學學習單................................................131 附錄三資訊融入分數教學回饋表....................................137 附錄四教學省思札記..............................................138 附錄五諍友觀察記錄表............................................139 附錄六資訊融入分數教學學生的學習感受晤談問題....................140 附錄七分數單元前、後測試卷......................................141. V.

(8) 圖. 次. 圖 2-1 登入畫面 ...............................................................................................................27 圖 2-2 知識地圖 ...............................................................................................................27 圖 2-3 均一教育平台課程影片 .......................................................................................28 圖 2-4 互動式出題系統 ...................................................................................................29 圖 2-5 學習歷程紀錄 .......................................................................................................29 圖 3-1 研究流程圖 ...........................................................................................................37 圖 4-1 建立均一帳號的方法 ...........................................................................................50 圖 4-2 均一班級的建立與設定 .......................................................................................51 圖 4-3「什麼是平分」學習影片 .....................................................................................53 圖 4-4 平分練習題 ...........................................................................................................54 圖 4-5 答題歷程 ...............................................................................................................56 圖 4-6 判斷圖形是否等分的作答表現 ...........................................................................57 圖 4-7 教室座位分配圖 ...................................................................................................60 圖 4-8 學生上課實況 .......................................................................................................61 圖 4-9 「什麼是分數」學習影片 ...................................................................................62 圖 4-10「什麼是七分之一包」學習影片 .......................................................................62 圖 4-11「用分數表示數量」練習題 ...............................................................................62 圖 4-12 認得分數的習題報告 .........................................................................................63 圖 4-13 練習題答題歷程 .................................................................................................63 圖 4-14 迷思練習題的內容 .............................................................................................64 圖 4-15 認得分數的第二次習題報告 .............................................................................65 圖 4-16 用分數表示數量作答表現 .................................................................................67 圖 4-17「八分之三個披薩」學習影片 ...........................................................................69 圖 4-18「三個八分之一」學習影片 ...............................................................................69 圖 4-19「九分之五包球」學習影片 ...............................................................................70 圖 4-20「五個九分之一包球」學習影片 .......................................................................70 圖 4-21「認得分數」練習題 ...........................................................................................70 圖 4-22「從圖形讀出分數」練習題 ...............................................................................71 圖 4-23「分數代表的數量」練習題 ...............................................................................71 VI.

(9) 圖 4-24 認得分數作答表現 .............................................................................................72 圖 4-25 圖形讀出分數作答表現 .....................................................................................73 圖 4-26 分數代表的量作答表現 .....................................................................................73 圖 4-27「3 年級分數 07-真分數比大小」學習影片 ......................................................82 圖 4-28「分數與量」學習影片 .......................................................................................83 圖 4-29「生活中分數大小的比較」練習題 ...................................................................83 圖 4-30 生活中分數大小的比較作答表現 .....................................................................85 圖 4-31「3 年級分數 08-真分數的加減」學習影片 ......................................................87 圖 4-32「同分母的加法」學習影片 ...............................................................................87 圖 4-33「同分母的減法」學習影片 ...............................................................................87 圖 4-34「分數加法相同分母」練習題 ...........................................................................88 圖 4-35「分數減法相同分母」練習題 ...........................................................................88 圖 4-36「同分母分數的加減應用題」練習題 ...............................................................88 圖 4-37 分數加法相同分母作答表現 .............................................................................90 圖 4-38 分數減法相同分母作答表現 .............................................................................90 圖 4-39 同分母分數的加減應用題作答表現 .................................................................90 圖 4-40 均一學生能量點數、徽章與技能 .....................................................................99 圖 4-41 均一學生每日記錄 .............................................................................................99 圖 4-42 學生筆記內容 ................................................................................................. 1011. VII.

(10) 表. 次. 表 2-1 等分概念教材 ........................................................................................................15 表 2-2 單位量概念教材 ....................................................................................................16 表 2-3 真分數意義(部份/全體)教材 ................................................................................18 表 2-4 分數計算教材 ........................................................................................................19 表 2-5 資訊融入分數教學相關研究 ................................................................................30 表 3-1 教學課程計畫表 ....................................................................................................42 表 3-2 編碼對照表 ............................................................................................................45 表 4-1 平分的前測與後測試卷的得分情形 ....................................................................56 表 4-2 認識單位分數的前測與後測試卷的得分情形 ....................................................65 表 4-3 單位分數數學學習單作答表現 ............................................................................67 表 4-4 認識分數的前測與後測試卷的得分情形 ............................................................71 表 4-5 認識分數數學學習單作答表現 ............................................................................75 表 4-6 第一次行動循環前後測答對率 ............................................................................76 表 4-7 與 1 等值的分數的前測與後測試卷的得分情形 ................................................81 表 4-8 分數大小的比較的前測與後測試卷的得分情形 ................................................84 表 4-9 分數大小的比較數學學習單作答表現 ................................................................86 表 4-10 同分母分數加減的前測與後測試卷的得分情形 .............................................89 表 4-11 資訊融入分數教學的問題與行動策略 .............................................................92 表 4-12 平分單元成對樣本 t 考驗摘要表 ......................................................................95 表 4-13 單位分數單元成對樣本 t 考驗摘要表 ..............................................................95 表 4-14 認識分數單元成對樣本 t 考驗摘要表 ..............................................................96 表 4-15 與 1 等值分數單元成對樣本 t 考驗摘要表 ......................................................96 表 4-16 分數大小的比較單元成對樣本 t 考驗摘要表 ..................................................96 表 4-17 同分母分數加減單元成對樣本 t 考驗摘要表 ..................................................97 表 4-18 學生對資訊融入分數教學的喜愛情形 .............................................................97 表 4-19 學生對資訊融入分數教學的感受 ...................................................................101. VIII.

(11) 第一章緒論本章主要的目的在於闡明本研究的背景與動機、研究目的、確立待答問題、名詞釋義，並對研究的範圍與限制做整體之介紹。全章共分四節，第一節為研究背景與動機，第二節為研究目的與待答問題，第三節為名詞釋義，第四節為研究範圍與限制。茲將各節詳述如下：. 第一節研究背景與動機九年一貫課程為台灣教育改革主要政策之一，亦為該改革中最重要一環，將學科課程整合成為語文、數學、自然與生活科技、藝術與人文、社會、健康與體育和綜合活動七大學習領域課程，希望以學生為主體，規劃學校本位課程，以生活為重心，讓學生習得十大基本能力，將知識和生活作緊密的結合。國小數學課程向來採螺旋性方式進行編排，目的就是希望學生能藉由生活經驗與操作，察覺數、量、形的規律，進而理解數學知識與數學概念的意義，用來解決生活上的問題(教育部， 2008)。從九年一貫課程綱要中分析數學的分段能力指標發現，在國小階段，二年級到六年的學生，各項能力指標都有提到與分數學習相關概念，也就是說學生在每個年段的數學課程中都會學習到分數這個單元，由此顯示「分數」在數學課程中佔有極重要的角色，當兒童具備基本的分數概念後，才能進一步發展有理數概念、學習有關分數的四則運算問題。然而，許多研究指出兒童對分數的學習困難來自於「分數語言並未生活化」、「等分概念未建立」、「單位量的指認困難」、「視分數意義為幾個中的幾個」、「視分子和分母為兩個不相干的自然數」(陳明宏、呂玉琴，2005；游政雄、呂玉琴，2002；詹婉華、呂玉琴，2004)。這些迷思概念讓學生在分數概念學習時經常產生因難，不知分數是數且不知分數有大小之別，以致學習成效不佳。以本研究的教學現場經驗而言，尤其對剛學習分數的三年級學生，要把分數單元教好並且使學生理解，可說是件不容易的事。多數學生擅長於數學運算，但在面臨應用問題時卻感到困難，因為分數符號對三年級學生而言是很抽象的，很難跟自己的生活經驗相結合，且對學生而言分數的學習也是全新的概念。電腦輔助教學是指使用電腦作為輔助學習的教學方法，學生的學習進度依自己的能力而定，而且學生可經由電腦獲得立即的回饋。電腦輔助教學早期相關的研究 1.

(12) 多用在數學科的輔助教學上，而且顯示良好的成效。例如：史丹佛大學採用練習式 CAI於初等教學的數學課程、1976年費城的中小學以CAI來幫助數學及閱讀能力較差的學生、南非大學以CAI對小學五年級學生實施算術科補救教學、華盛頓特區對三至六年級學生做數學科輔助教學的實驗，以及史克懷從小學三至五年級中，對數學科成績較差的學生進行CAI教學等研究(引自曾琬淑，1994)。隨著資訊科技的快速發展、網際網路及電腦設備快速的普及，早期的電腦輔助教學是以教師為中心的方式傳達內容，到後來因為互動式的多媒體教材加入，便進入了教學情境是以老師與學生的互動方式，教學模式也從電腦輔助教學、多媒體教學、遠距教學乃至近期的資訊融入教學、數位學習等。傳統的學習模式主要是以教師為學習活動的中心，以教室為主要學習活動的場所；現今網路的發達與電腦的普及，促使學習模式進入以學生為中心的網路學習模式，強調自學性的學習型態，透過電腦和網路設備等電子媒介進行的學習活動，即為數位學習(賴阿福，2006)。具體言之，數位學習是指學習者和其它學習者及教師間，使用電腦為工具，透過網路取得數位教材，所進行的學習活動，帶給師生最重要的改變在於提供彈性的學習環境，使得課程更能符合學習者的個人需求。拜網路科技無遠弗屆之賜，各式教學網站林立，如可汗學院便是其中的佼佼者，也是全世界兩萬間中小學教室的教學幫手。網站提供全班每一個學生的即時學習紀錄，讓老師可以在課堂上針對個別學生的需要，立刻給予更適當的指導(賓靜蓀， 2013) 。有鑑於此，研究者為了解決學生在數學領域上的學習問題，結合網路教育平台免費且無時間、空間限制的特性，讓學生透過「均一教育平台」，把可汗學院的練習題中文化，並新增許多符合台灣教學情境影片的網路教育平台，讓學生可依學習進度自行觀賞教學影片及練習平台上的題庫，期能提供師生間一個更生動、有效率的教學模式。九十學年度國內中小學開始實施九年一貫課程，運用科技與資訊能力為十項基本能力之一，資訊教育列為六大議題之一，其重要性自不在話下(教育部，2008)。故資訊教育扮演的角色應該與七大學習領域的教學過程相結合，讓教學方式更加多元、更有彈性，以培養學生在資訊科技層面的運用能力，並提升學生在該領域的學習成效，由於資訊融入教學活動的方式沒有一致的程序或標準，其教學模式與教學成效非常值得探究，因此興起研究者嘗試了解的興趣，此為本研究動機之一。為了對此問題有初步了解，並試探資訊融入數學分數教學是否適用於研究者所任教之三年級班級，研究者參加 104 年屏東縣均一教育平台在教育上的應用教師增 2.

(13) 能工作坊，藉由實務經驗分享與交流，進行多元教學範例分享回饋，鼓勵教師由知識的「教導者」轉型為顧及學生學習進程的「引導者」。但對均一教育平台融入數學分數單元的教學歷程仍有諸多疑問？例如教學單元是否能引起學生的學習動機；教學內容是否符合學生的需求；操作性的數位教材是否讓學生更容易參與學習，顯見均一教育平台融入數學的教學模式在班級教學時尚有進一步釐清之處，此為本研究動機之二。分數具有多重的意義與分割概念，在不同的問題情境中就有不同的意義，造成學生在學習分數時產生一連串相關的錯誤及迷思。如果學生不能真正的理解分數的概念，將來其分數的學習可能就會流於口訣的背誦和算則的記憶，僅學習到程序性知識，對於其背後所蘊涵的意義卻不了解(李國家、劉曼麗，2012)。而資訊融入的情境教學提供教師呈現多元豐富的具體操作機會，透過學習者動手操作的過程，增加對於分數意涵的瞭解，進而提昇相關的學習表現(王曉璿，2009)。由此可知，分數屬於抽象難懂的概念，學生對於學習分數是有困難，如果能透過電腦輔助教學來幫助教學者解決教學上的問題，藉由具體化的數位教材來釐清分數的迷思概念，將會對學習者有所助益。因此，教師如何依據課程需求，適當地將資訊融入教學中，在教師的引導下，讓學生更能理解分數概念進而提升學習成效，此為本研究動機之三。. 第二節研究目的與待答問題一、研究目的基於前述研究動機，本研究察覺到學生在學習分數單元所面臨的問題，擬採取教師行動研究的方法，以屏東縣春天國小(化名)三年級23名學生為研究對象，希望運用均一教育平台數位教材融入數學分數單元教學，探討這樣的課程設計在實際教學情境中，教師遭遇何種問題及其決解問題的因應方式，透過教學歷程與學生資料的蒐集以了解學生的學習成效與學習態度表現，擬達成研究目的如下： (一)瞭解教師以資訊融入國小三年級數學分數單元教學，遭遇何種問題。 (二)瞭解教師以資訊融入國小三年級數學分數單元教學，解決問題的因應方式。 (三)探討資訊融入國小三年級數學分數單元教學，學生學習情形之影響。. 3.

(14) 二、待答問題依據上述之研究目的，本研究欲以資訊融入國小三年級數學分數單元教學的模式，希望透過資訊科技的協助提供學生具體操作的機會，進而理解分數概念抽象的學習。因此本研究的待答問題如下： (一)教師運用資訊融入國小三年級數學分數單元教學，遭遇的問題為何？ (二)教師運用資訊融入國小三年級數學分數單元教學，解決問題的因應方式為何？ (三)資訊融入國小三年級數學分數單元教學，影響學生的學習情形為何？. 第三節名詞釋義本節針對本研究中的名詞或概念「均一教育平台」、「資訊融入教學」、「數學學習成效」加以界定，為使其意義更明確，茲分別釋義如下：. 一、均一教育平台均一教育平台是由財團法人誠致教育基金會創辦，目標是透過雲端平台，提供免費的一流教育給每一個人。均一教育平台除了翻譯可汗學院所提供之免費且完整的線上數理教材之外，為配合臺灣學童的學習需求，已將有關國中小的數學教學影片重新錄製，並提供平台教學內容與各版本教科書的相關課程對照，方便使用者快速找到符合自身需求的教材。. 二、資訊融入教學資訊融入教學是指資訊科技融入於課程、教材與教學中，讓資訊科技成為師生一項不可或缺的教學工具與學習工具，使得資訊科技的使用成為教室中日常教學活動的一部份，並且能延伸視資訊科技為一個方法或一種程序，在任何時間任何地點來尋找問題的解答(王全世，2000)。因此，教師可以透過資訊科技與學習領域的整合運用來輔助教學的進行，以提高學生的學習成效。在本研究中資訊融入教學是指教師利用電腦硬體設備，結合均一教育平台國小三年級數學分數單元的教學資源，設計課程教學，依單元難易程度，安排教學順序，學生藉由均一教育平台自我掌控學習進度及練習平台上的題庫，達成學習目標。. 4.

(15) 三、數學學習成效本研究的數學學習內容是指學習國小數學教科書第五、六冊的分數主題單元。數學學習成效是指教師實施資訊融入分數單元教學活動前後，學生在分數單元的數學成就表現差異與數學學習興趣的轉變情形，且確認分數迷思概念是否能釐清。評估的方式包含了數學學習單、教室觀察記錄、及學生在研究者根據均一教育平台的的練習題所設計的前、後測試卷，測驗分數愈高，表示學生在分數單元的學習成效愈好；反之則愈低。. 第四節研究範圍與限制本節旨在說明本研究之範圍與限制，主要分為兩部份說明，一為本研究之研究範圍，二為本研究之研究限制。分別論述如下：. 一、研究範圍本研究之研究領域為探討教師運用資訊融入國小三年級數學分數單元教學，對屏東縣春天國小(化名)三年級 A 班 23 名學生在學習數學分數單元的情形。研究時間自民國 104 年 9 月至 105 年 6 月結束為止，藉以瞭解教師在運用資訊融入數學分數單元教學時所遭遇的問題與可行的解決策略及對提升學生的學習成效情形為何。. 二、研究限制以下針對本研究之研究對象、研究時間、推論的限制加以說明：. (一)研究對象的限制本研究為行動研究，指在協助改進研究者在數學分數單元教學所面臨之實際問題。研究者限於時間、人力等各觀因素之影響，研究對象只限於研究者所任教學校之班級 23 名三年級學生，此研究結果與解釋只限於該班級的學生，不宜作過度的推論。. (二)研究時間的限制本研究僅以三年級數學教科書第五、六冊分數單元為教材，課程設計配合均一教育平台的學習資源，自 105 年 3 月至 4 月進行每週 2 節資訊融入數學分數單元教學的活動主題，共計 8 週 16 節課的教學時間。數學學習態度的改變需要長時間的教學累積，才能看出其顯著的變化，但教學研究時間有限，研究結果勿作過度的推論。 5.

(16) (三)推論的限制本研究以行動研究方法進行，研究者為現職國小教師，主要是觀察學生在分數單元的學習成效和學習態度情形，作為研究者反省教學回饋，研究對象的選取不具代表性和有其區域上的限制，故無法過度推論適用到其他的學校、班級及其他單元，研究結果亦為改進教學實務問題，而非為情境之外的問題提供推論的依據。. 6.

(17) 第二章文獻探討本研究旨在運用均一教育平台資訊融入國小三年級分數概念教學，以探究學生在此過程的學習成效與學習態度情形之行動研究。因此，本章文獻探討共分為六節：第一節為兒童分數概念發展相關理論；第二節為分數迷思概念之相關研究；第三節為分數教材分析；第四節為分數表徵的教學策略；第五節為資訊融入教學；第六節為資訊融入分數教學相關研究。. 第一節兒童分數概念發展相關理論學習與個體發展能力關係密切，在許多方面，兒童的認知發展是有其獨特的特質和順序的。國內外有關學生學習分數的研究大致有兩種取向：其一是兒童認知結構做為分析的主體，即探討學生對所持分數之意義及運思型態，特別重視兒童心中所持「單位」(unit)的變化，並據此區分不同的認知階段及各階段運思的特質，亦即以皮亞傑認知學說及建構主義為基礎，從認知結構的觀點切入是以學科知識做為分析參照；其二是以從數學學科知識出發，探討學生所持有的分數概念及迷思概念(或錯誤類型)(呂玉琴，1991a；詹婉華、呂玉琴，2004)。本節主要包含兩個部分，分別針對兒童分數概念發展及分數概念與運思活動之關係進行探討，茲分述如下。. 一、兒童的分數概念發展關於兒童的分數概念發展情形，國內外學者曾做過相當多的研究，本研究就 Piaget 的認知發展理論及 Vygotsky 的社會建構理論，說明如下：. (一) Piaget 的認知發展理論依據 Piaget, Inhelder 和 Szeminska(1960)認為兒童的認知發展是漸進的，且 Piaget 以其所主張的兒童認知發展論，觀察兒童對於分數概念的操作情形，發現從知覺分數(部份/全體)關係到操作的細分之間有很大的差別，提出兒童等分概念的發展階段如下(引自陳瑞發，2003)： 1.四歲到四歲半的兒童，對一物分為兩半感到困難，在分割之前沒有預想的計畫或基模(skema)。關於不同形狀的分割，長方形比較容易，圓形次之，正方形較難。這種階段的最大特徵是缺少部份與整體之間任何的關係，兒童不會注意到他所接觸的部份是某個比較大的全體之中所含的元素。 7.

(18) 2.四歲到六歲的兒童對於規則的、小範圍的東西有分半的能力，但如果原來整體的大小增大了，其分成一半的能力便要延緩。將物體分成相等 3 等份的能力尚未表現，在分割圖形中利用長方形比較容易解決。 3.六歲到七歲能成功的實施 3 等份的分法，不用試誤的方法，但其對操作的瞭解，還是在具體的操作層次。在這個階段的兒童具有整體性的保留概念，兒童瞭解到將各個塊數合起來的總量與整個餅是一樣的。 4.十歲左右兒童能實施 6 等份的分法，首先用三分法分一個餅，然後將所得的三塊餅再用二分法。另外，他們的研究還發現兒童在了解分數運算之前，必須具有下列七個子概念 1.必須有一個可以除盡的全體才有分數的思考。 2.一個分數包含各部份的限定數，分配東西時，各部份必須與接受者相對應。 3.子分割活動中，全體必須除盡，沒有餘數(沒有剩餘)。 4.全體被切割成各部份的數與切割數間，有一個固定的關係。 5.分數的概念是指分割後的每一部份都是相等的。 6.當兒童操作了細分的部份概念時，他們瞭解到此細分的部份是全體的一部份，同時此一細分的部份本身也是可再細分的全體。 7.因為部份的總和等於全體，其全體保持不變。 Piaget 也提出兒童認知發展的四個階段：感覺動作期（0-2 歲）、前運思期（2-7 歲）、具體運思期（7-12 歲）和形式運思期（12 歲以上）。此四個階段之認知發展是循序漸進的，無法跳躍，即認知發展的順序不變。Piaget 認知發展階段的「具體運思期」階段有以下特徵：具有守恆和可逆的概念、有清楚的邏輯思考能力且能依物體的屬性來分類，而非單以物體的外型作分類依據（張春興、林清山，1992)。本研究之研究對象為國小三年級學生，其認知發展正值需要藉由表徵（圖像、操作）強化學習之具體運思階段。. (二) Vygotsky 的社會建構理論 Vygotsky 提出社會建構理論（social development theory），認為人類的學習與理解是源自於一連串的人際心理與自我心理的心智運作歷程。且強調社會、文化、語言等互動行為，對於學童之認知發展影響深遠，是促進學童學習的重要因素（張春興， 1994）。Vygotsky 也提出學生的學習與發展有兩種水平，一種是真正發展水平，即學生已建立之現有水平；另一種是潛在發展水平，即經由教師引導或與同儕中較有能 8.

(19) 力者一起解決問題的過程，使學童達到更高層次的水平，兩種水平間之差距，即為該學童的可能發展區（ZPD）。在發展可能發展區的過程中，別人所給予學童的協助，稱為鷹架作用（scaffolding）。「鷹架」被喻作暫時性的支持學生，直到學生能自行學習，這也是教師應扮演好之角色。 Vygotsky 發現人際互動對認知發展有深遠的影響，藉著成人或能力較高的同儕幫助，學童能夠處理一些比較複雜而不會處理的問題。在教學的過程中教師的任務是為學童搭起鷹架，而在提供之前，教師必須了解學習者是否具有足夠的先備知識，以協助其達到教學目標。. 二、分數概念與運思活動之關係甯自強(1993、1997a、1997b)依據兒童在不同階段的運思方式所呈現的數概念與分割活動為基準，利用分數詞作為區分，而將兒童的分數概念分為六個層次：. (一)分數的前置概念(分數概念的前身) 此時的兒童雖已具有數概念與分割活動，但其數概念只是序列與合成運思，而分割活動亦未能將子分割單位數值化，因此，此層次的兒童並未具有分數概念，故稱之為分數概念的前身。此一階段兒童所顯現的特徵為：l.只靠直覺做判斷，將一物撕裂使之成為一個撕得的部份和一個撕剩下的部份，撕裂過程中兒童只是靠知覺比較大小。2.只有部份而缺乏部份與全體的概念。例如：兒童可以知道是三份中的一份，但是如果將這一份再放回去，問兒童全部是多少時，兒童會回答四份。3.兒童無法使用不同分數詞去表示不同分割情境的意義。例如：「二分之一」只是將一物件分成二部份，而不代表將物件等分成兩份。. (二)起始單位分數當兒童能夠引入累進性合成運思於分數的情境時，他們開始如同在整數情境中聯絡兩個整數一般，將由子分割單位所構成的分子部份內嵌於由子分割單位構成的分母部份，此時的分數詞意義稱之為「內嵌並置類型」。舉例來說，l/4 是指「4 中間的 1」，由於分子是內嵌於分母之中，將分子移出分母，將導致分母的摧毀。「內嵌並置類型」的並置關係，並非明顯的部份/全體關係，而是隱約的部份/全體關係。以「內嵌並置類型」為其分數詞意義的學生無法進行單位分數的累積活動。因處於起始單位分數階段的兒童，視分子是內嵌於分母的一部份，無法脫嵌而出，無 9.

(20) 法獨立於分母之外，故無法累積單位分數。此時 l/4 尚不能成為被使用的分數單位，學童不能理解 3/4 是可以用三個 l/4 加以合成的。所以學童處理 1/4+1/4 的答案可能是 2/8，而不是 2/4。. (三)單位分數此時期的兒童已能利用部份/全體運思來同化數的情境，由於部份/全體運思的引入子分割活動中，造成子分割活動的質變。這時子分割活動的結果不但是可以被集聚的計數單位，同時也適用子分割單位集聚而成的集聚單位中的獨立部份單位，也就是原先內嵌於集聚單位中的子分割單位經過部份/全體運思的運作，已經自集聚單位中脫嵌而出，子分割單位自此開始成為所謂的單位分數。如單位分數 l/4 所指示的量是單位分量，指整體「1」透過等分割活動之後，每一等份的量，也就是分子為 1 的分數所表示的量，則合成單位分數可以集聚成其他的加法性分數單位。因此，當「起始單位分數」質變成「單位分數」之後，兒童方能開始瞭解所謂的「真分數」概念。. (四)加法性分數此時期的兒童具有子分割運思，與單向的部份全體運思時的分數概念。由於兒童能運思分數的累加活動，例如：知道 1/4 加 1/4 是 2/4，而非 2/8，因此稱為加法性分數。然而，此時期的兒童僅能解決單位分數的內容物單一個物的同分母分數合成及分解問題。此時期兒童所顯現的特徵為：1.能夠理解單位分數的內容是一個離散量的問題，以及單位分數的內容是多個離散量的問題。2.能夠理解集聚分數的內容是多個離散量的問題。3.能夠理解集聚分數的內容是多個，而且分數的內容為多個離散量的問題。4.由於兒童的部份全體運思是單向的，當從全部中拿取兩個次部份時，兒童會失去全部，而且在計算單位分數累加時會失去累加次數，亦無法掌握單位分數與部份分數(非單位分數)之間的關係。. (五)巢狀分數此時期的兒童具有子分割單位化概念，與雙向的部份全體運思，因此，兒童可以利用單位分數的再次分割，察覺等值分數的情形，知道兩個等值分數同為一份量的測量值，例如：兒童可以察覺到 8 個積木的 3/4 與 8 個積木的 6/8 是同一份量的測量值。單位分數就會由加法性分數質變成巢狀分數。此時兒童所顯現的特徵為：1. 10.

(21) 巢狀分數具有雙向的部份/全體運思與子分割單位化概念，因此，兒童可以利用單位分數的再次分割，察覺等值分數的情形。但是，因為缺乏彈性思考的緣故，對於非以再次等分單位分數而產生的等值分數，則無法判定，尚未能真正具備等值的分數概念。2.由於兒童的部份/全體運思是雙向的，當從全部中拿取兩個次部份時，兒童不會失去全部。3.具有分數乘法的概念。4.兒童具有共變的概念。. (六)有理數概念所謂的有理數是兩個部份全體的重組，兒童能將「部份與全體」的關係，分解為「部份對部份」的關係，兒童不僅具有部份/全體的雙向運思，更能以分數作為測量的單位。如比較 3/6 與 4/8，兒童知兩者皆是 12/24，所以 3/6 等於 4/8(兩個巢狀分數比較)。由於能同時思考二個分數，兒童有等比例運思的概念，因此稱為有理數數概念。此時兒童所顯現的特徵為：1.已經具有彈性思考的能力，能將不同分母的分數經由等分割活動加以比較。2.具有等值分數的概念。. 由以上文獻可知，兒童分數概念的發展具有若干層次性，四歲到六歲的兒童才開始有把東西分一半的能力，六歲到七歲的兒童具有整體性的保留概念，十歲左右的國小四年級兒童才知道怎麼做六等份切割，而且兒童在了解分數運算之前，必須具有一些子概念。而甯自強研究中所指出學童在不同階段下的運思方式，各有其所代表的分數詞意義，教學過程中，倘若僅以分數的運算規則做為教學方式，學生可能只是表面上會演算巢狀分數或有理數概念的問題，而未具備巢狀分數或有理數概念的思考。因此，應等兒童至少四年級以後，具備了一些分數的基本概念，再開始學習異分母分數加減的運算。. 第二節分數迷思概念之相關研究在兒童學習數學的過程中，分數的學習往往是兒童最感困難以及最容易產生各種錯誤類型的數學單元之一。問題的產生起因於學習的迷思概念，在分數的學習過程，學童在建構其分數概念過程，容易出現某些自以為正確的概念，這些概念被稱為「分數的迷思概念」。九年一貫課程數學學習領域綱要(教育部，2008)的分數主題，包含了簡單分數概念(單位分數的內容物只有一個的真分數)、等分概念、單位量概念、等值分數概念、分數大小比較、分數四則運算、不同的分數表示法及理解分數、 11.

(22) 小數、整數間的關係等。本研究著重於三年級學生的分數概念之瞭解，將針對簡單分數概念、等分概念、單位量概念，以及分數大小比較概念等分數迷思概念加以探討，作為改進教學之重要參考依據。. 一、簡單分數概念分數的起源來自於「分東西」的概念，也就是當東西不夠做整個分配時，需要將東西進一步做切割才能繼續分配，分數是用來解決不滿一個單位量的「量」的數值問題(呂玉琴，1996)。現行國小的分數教學，是由分東西的經驗帶入，由生活語言「一半」，連結對「二分之一」的概念，再帶入分數符號。因此，學習分數概念，第一個要學習就是平分、等分的分數概念相關語言。研究顯示有些學童的生活經驗無法與分數符號產生連結，游政雄與呂玉琴(2002)的研究中，台灣北部地區學童約 12.1%~25.4%的中年級學童對於平分並不瞭解，因而認為「平分成幾份」就是「分成幾份」，或是「幾個一份」。Mack(1990)的研究發現，兒童擁有豐富的非正式分數知識，例如：豐富的分割策略。可以藉著這些非正式知識，以有意義的方式和正式的分數知識作連結。然而，在真實的生活情境，如果以分數呈現問題則常常發生錯誤。例如：有兩個披薩，A 平分成 6 塊，B 平分成 8 塊，問兒童「各拿一塊，哪一個大？」兒童能回答：「A」，因為「A 分成 6 塊比較少份，每份比較大」。若是只問：「六分之一和八分之一，哪一個大？」大多數兒童則會回答：「八分之一」，因為「8 比 6 大」。由文獻中，我們可以了解學童平分、等分的分數概念是較先發展的分數概念，而且其發展是有順序的。學童在生活上雖有分東西的經驗，也能藉由分東西的經驗逐步發展處理生活上分數問題的能力，然而對於簡單的分數卻無法從生活經驗中累積，無法將生活中的經驗與簡單的分數符號加以連結。. 二、等分概念等分是指將一連續量或離散量細分(subdivide)成好幾個部份，而每一個部份都要一樣大(或一樣多)。在連續量中，一般以幾何圖形來做等分切割活動的對象，例如：一塊披薩平分成 6 片。在離散量中，是以集聚單位為單位量，來進行等分活動，例如：一袋糖果有 12 顆，平分成 3 包。游政雄與呂玉琴(2002)指出對國小中年級學童來說，自行等分問題比判斷是否等分問題來得容易，約有 7.4%~10%的學童不知道分數是代表「『平分成』幾份中的幾份」。大部份國小三年級學童在處理分數板的問 12.

(23) 題時，只注意到分數板分割成幾塊，而沒有注意到分割的每一塊是否相等。另外，分割後各部份的形狀與面積也會影響兒童的等分概念(林福來、黃敏晃、呂玉琴， 1996)。多數國小三年級學童在面對分數問題時，並不會主動注意到每一塊的分割是否相等。三年級學生雖然能把整個圖形分成規定的份數，卻忽略掉所分的東西必須是在等分的狀況，或者在東西非等分的狀況下，卻認為已經是等分。在視覺上，當圖形有所差異時，也會影響學生的等分概念。. 三、單位量概念單位量概念又稱整體量概念(the concept of a whole)，也叫單位-整體(unit-whole) 概念。Behr, Wachsmuth 和 Post(1988)指出，單位量概念在連續量和離散量上，所需的知識並不相同。一個連續量被平分成 3 等份之後，每一部份仍是單獨的連續量，孩童很清楚可以感受到，因此能清楚地概念化。另一方面，以一包 12 顆糖果的離散量為例，分成 3 等份時，每一部份都包含 4 個分開、沒有連結的個體。無論如何，在分割過程和概念化 12 顆糖果的 1/3 時，孩童必須將 12 顆糖果視為一個整體的單位量，也就是說這 12 顆糖果必須變成概念上的一個實體。這對孩童是困難的，因為分成 3 等份後的每一部份都還有 4 糖糖果，孩童必須將 4 顆糖果在心中想成是一個部份。因此，處理分數問題最重要的一個概念是單位量的指認。但是當學生在處理「部份/全部」和「子集/集合」的分數問題時，會有指認單位量的困難。其常見的迷思概念又可以細分為三類(呂玉琴，1991b；Figueras,1989)： (一)忽略給定的單位量：學生在回答一袋柳丁有 10 個，其中的 3 個是幾袋的問題時，會回答 3 個或十分之三個。這樣的反應顯示他們對於所給定的單位量「袋」和單位分量「個」之間的關係，並不確定。 (二)受分子的控制：解題時只考慮到分子的因素。例如：要學生在 10 個花片當中取出全部的五分之一，他們的反應是取出 1 個而非 2 個。 (三)受分母的控制：只考慮到問題中的分母，解題過程深受分母的影響。例如：請學生從 10 個花片中圈出全部的五分之一，學生受到分母五的影響而圈了 5 個花片。由上所述可知，學生不論是在連續量或離散量的情境下，都有單位量指認的困難，學生有時會忽略給定的單位量，或因分子和分母的因素而改變單位量。在未給定單位量的分數問題上，學生也會只依據題目所呈現的其他分數符號來比較，而未思考到單位量的問題。 13.

(24) 四、分數大小比較概念學童一開始學習數學，是從整數開始，他們會熟悉以自然單位「1」為計數單位，而分數概念卻將「1」視為整體，平分為相等的部份。許多學生由於不了解分數的意義，因而受整數基模的影響，將分數中的分子和分母視為兩個獨立的個體。在分數大小比較時，如果學生未把分數視為一個數，便無法針對兩個分數的量來做比較，學生會把分數的分子和分母看成獨立的兩個自然數，而產生了下列幾種迷思情況(呂玉琴，1991b；Behr, Wachsmuth, & Post, 1988；Mack,1990)： (一)以分母的大小來做比較。例如：3/8＞3/5，因為「8＞5」。又如學生知道一個大餅平均分成兩塊，其中的一塊就叫做二分之一(1/2)個。若把一個大餅分成相等的四塊，其中的一塊則可說成四分之一(1/4)個。因此，1/2 是切兩塊比較大，1/4 是切四塊比較小。但是若要他們在 1/2( )1/4 此類問題的括號中填入＞、＝或＜的符號時，他們卻回答＜，原因是 2 比 4 小。 (二)以分子的大小來比較。例如：5/8＞3/8，因為「5＞3」。此一原則在同分母分數的情境下是正確的，但是對於比較分母不同的分數或是等值分數，就會導致錯誤的結果。例如：學生認為 2/4＞1/2，因為 2/4 是塗兩塊，1/2 只有塗一塊，所以比較大。 (三)將分子、分母分別同加一數來比較。例如：「2/3＝4/5」，因為「2＋2＝4，3＋2 ＝5」。 (四)分別比較兩個分數的分母與分子。例如：「2/3＜4/6」，因為「2＜4，3＜6」。 (五)學生會將整數的解釋過度類推到分數概念上。例如：1/3 即是一個披薩切成三小塊。 (六)在分數加法的問題中，採用分子相加以及分母相加的方式來求得答案。例如：「1/3 ＋3/4＝4/7」，「1/4＋2/6＝3/10」。 (七)在異分母分數相減的問題中，採用分子相減以及分母相減的方式來求得答案。例如：「3/7－2/4＝1/3」，或認為「5/6－2/7」無法運算，因為 6 比 7 小不能減。以上提到有些學童受到整數基模概念的影響，拒絕接受「分數是數」的概念，將分數的分子與分母各自解讀，顯示了對於分數整體所代表的意義不理解，或是分數是數的概念不夠穩固。. 第三節. 分數教材分析. 目前的教科書是依據國民中小學九年一貫課程綱要(教育部，2008)來編定，因此本研究中以九年一貫課程綱要和市場佔有率大的教科書康軒、南一與翰林三家教 14.

(25) 材來分析分數單元的教學目標。雖然每個版本在教材順序安排上不盡相同，但是由教學目標可以看出學生在修習完三年級的課程後必須具備的分數能力為：具有分數的初步概念，以及能進行同分母真分數的合成、分解與比較。其中分數概念的初步認識強調：等分概念、單位量概念、真分數意義(部份/全體)。以下就研究者任教的學校所採用的翰林版本三年級教材進行分析，並以內容區分為分數概念和分數計算 (同分母真分數的合成、分解與比較)。. 一、分數概念分數概念強調「等分」、「單位量」和「真分數意義(部份/全體)」三部份，以下就此三部份來進行探討。. (一)等分概念教材單一個物的等分切割是學生學習分數的先備概念，完備的等分概念是學生學習分數的一大重點。呂玉琴(1991a)指出在「部份/全體」的分數意義中，分割的每部份都要相等，在連續量和離散量的不同情境中有不同的解釋。連續量是將全部分為「同大小」的部份，「同大小」有兩層意義，一個是分割後的分量是同形狀的全等圖形，另一個為分割後的分量能經過切割拼湊後成為全等的圖形；離散量則是將全部的分散之個物分成「等量」的子集合。除此之外，全體必須分割窮盡也是等分要件之一(甯自強，1993)。由上述可知，等分的概念應包含：等分、切割後的量要相等，以及全體需被分割窮盡。國小三年級等分概念教材的編排如表 2-1：表 2-1 等分概念教材年級. 教學活動. 活動情境. 用詞. 三上. 1 條蛋糕平分成 5 份，拿出其中的 1 份，就. 連續量. 平分. 是(. 具體物操作. 等分. )條，讀作(. )。. 請學生以具體物進行實際等分。三上. 1 張葱油餅平分成 8 份，1 份是 1/8 張，拿其連續量中的 3 份是(. 三上. )張，8 份全拿是(. )張。. 1 盒麻糬平分成 9 個，弟弟拿了 1 個，也可以說是拿了幾盒麻糬？. 15. 平分. (圖形切割) 離散量. 平分.

(26) 表 2-1(續) 三上. 1 公升的水平分成 10 份，1 份剛好可以裝滿 1 瓶養樂多，所以 1 瓶養樂多是(. 三下. )公升。具體物操作. 1 條橘色積木平分成 10 份，1 份和 1 個白色. 連續量. 積木一樣長，我們可以說 1 個白色積木是. 具體物操作. ( 三下. 連續量. 也是(. )包糖果。. 平分. 平分. 具體物操作. 桌上有 15 枝冰棒，把全部冰棒平分成 5 份，離散量 1 份是 3 枝，3 枝是全部冰棒的(. 三下. 裝滿. )條橘色積木。. 1 包糖果有 14 顆，平分成 7 份。1 份是 2 顆，離散量. 三下. 平分. 平分. )。. 1 條繩子平分成 9 份，5/9 條繩子和 2/9 條繩. 離散量. 平分. 子，一共是幾條繩子？由表 2-1 可以發現，教材上出現的等分概念只是在題目中出現「平分成」的語詞，也就是請學生進行等分並呈現出等分好的例子。活動的重點在透過具體物的操作，學生從實際的體驗，建立分數的概念。但是在具體物分割的過程並未強調，切割後的量要相等，例如：1 條蛋糕平分成 5 份，學生也許將 1 條蛋糕切成 5 份，但未注意每一份的量是否相等。因此，在教學過程中仍須不斷的提醒平分後的量均相等的概念，讓學生將分數符號能和等分概念之間作連結。而全體必須分割窮盡這個概念，雖然在題目的語詞並未提及，但在教材的具體情境中有清楚的呈現。. (二)單位量概念教材指認單位量是處理分數問題最重要的一個概念，因為無論是處理部份/全體意義、子集/集合意義、比的意義之分數問題，或是將分數視為數線上的一個點的值，確認單位量是解決這些問題的重要關鍵(呂玉琴，1996)。單位量概念又稱為整體量概念，也就是描述數量的單位。舉例來說：3/4 瓶可樂，l 瓶可樂就是單位量；如果是 3/4 箱可樂，一箱可樂才是單位量。國小三年級單位量概念教材的編排如表 2-2：表 2-2 單位量概念教材年級. 教學活動. 活動情境. 用詞. 三上. 1 條彩帶平分成 4 份，1 份是 1/4 條彩帶。2. 連續量. 2 份是幾. 份是幾條彩帶？. 條 16.

(27) 表 2-2(續) 三上. 三上. 1 張葱油餅平分成 8 份，1 份是 1/8 張，拿其連續量. 3 份是幾. 中的 3 份是(. 張. )張，8 份全拿是(. )張。 (圖形切割). 1 盒麻糬平分成 9 個，弟弟拿了 1 個，也可. 離散量. 幾盒. 1 條橘色積木平分成 10 份，1 份和 1 個白色. 連續量. 幾個. 積木一樣長，我們可以說 1 個白色積木是. 具體物操作. 幾條. 以說是拿了幾盒麻糬？三下. ( 三下. 三下. )條橘色積木，5 個 1/10 條是(. )條。. 1 包糖果有 14 顆，平分成 7 份。1 份是 2 顆，離散量. 幾份. 也是(. 幾包. )包糖果。8 顆是(. )份，(. )包。具體物操作. 1 包豆干有 36 塊，哥哥有 7/18 包豆干，弟弟離散量. 幾個. 有 11/18 包豆干，誰的豆干多？多幾包？. 幾包. 根據表 2-2，可以發現單位量教材中並沒有涉及辨認單位量的活動，但這些教學活動都必須具備單位量的概念才能解題。研究者強調單位視為單位量的活動來進行分析，教學時宜引導學生釐清「份」、「個」、「條」、「張」、「包」等單位之間的關係。在離散量情境中，因為會出現兩個單位(整體的 1 與內容物的 1)，學生學習時容易產生混淆。因此，在教材中宜多呈現讓學生思考兩個單位之間轉換的提問，「1 個麻糬和 1/9 盒麻糬，一樣多嗎？」或「2/7 包糖果是幾份？也是幾顆糖果呢？」. (三)真分數意義(部份/全體)教材分數學習的起點是等分切割與合成活動，也就是藉著等分切割數份(分母)在進行合成數份(分子)來建立分數的概念。分數的問題都是用「○○的幾分之幾」敘述的，在此也包含單位分數的意義。單位分數是對「1」單位進行平分數份的活動後，要求學生以原始的「l」為單位(也就是單位量)進行一份分量的命名，分數的意義可強調分量獲得的過程。例如：3/4 是描述把 1 個物件平分成 4 份，取出其中 3 份合起的量。因此，真分數的描述有三種方式：單位量等分成幾份中的幾份(3/5 顆蘋果)、幾個單位分數(3 個 1/5)，以及其中的幾份是全部的多少(全部的 3/5)。一開始建立真分數概念是將單位量等分成幾份中的幾份，以便和單位分數的意義相連結，指導計算時再讓學生了解真分數是幾個單位分量組成的。國小三年級真分數意義(部份/全體) 教材的編排如表 2-3： 17.

(28) 表 2-3 真分數意義(部份/全體)教材年級. 教學活動. 活動情境. 用詞. 三上. 1 條蛋糕平分成 5 份，拿出其中的 1 份，就. 連續量. 1/5、五. 是(. 具體物操作. 分之一. 三上. )條，讀作(. )。. 1 張葱油餅平分成 8 份，1 份是 1/8 張，拿其連續量. 1/8. 中的 3 份是(. 3/8. )張，8 份全拿是(. )張。 (圖形切割). 8/8 三上. 1 盒麻糬平分成 9 個，弟弟拿了 1 個，也可. 離散量. 以說是拿了幾盒麻糬？3 個是幾盒麻糬？三上. 1 公升的水平分成 10 份，1 份剛好可以裝滿 1 瓶養樂多，所以 1 瓶養樂多是( 將 2 瓶倒入量杯中是(. 三下. 3/9 連續量. )公升，具體物操作. 1/10 2/10. )公升？. 1 條橘色積木平分成 10 份，1 份和 1 個白色. 連續量. 1/10. 積木一樣長，我們可以說 1 個白色積木是. 具體物操作. 5/10. ( 三下. 1/9. )條橘色積木，5 個 1/10 條是幾條？. 1 包糖果有 14 顆，平分成 7 份。1 份是 2 顆，離散量. 1/7. 也是(. 3/7 包是. )包糖果。3/7 包是幾份？也是幾顆具體物操作. 糖果？8 顆糖果是幾包？. 幾份？ 8 顆是幾包？. 三下. 三下. 桌上有 15 枝冰棒，把全部冰棒平分成 5 份，離散量. 全部的. 1 份是 3 枝，3 枝是全部冰棒的(. 1/5. )。. 1 包豆干有 36 塊，哥哥有 7/18 包豆干，弟弟離散量. 7/18. 有 11/18 包豆干，誰的豆干多？多幾包？. 11/18. 由表 2-3 可知，教材在建立單位分數概念直接介紹 1/5、1/8、1/10 等分切割數量。因此，在教學前應先連接學生在二年級時習得的等分概念分數(1/2、1/4 在連續量的情境中，比較單位分數的大小)。接著才能在課程內容的等分情境中，進行分數的命名和說、讀、聽、寫等活動，最後進行認識分子、分母和分數的意義，並做出指定的分數量。在「單位分數的內容物為單一個物」的離散量情境下，進行分數的命名活動，透過具體情境中解決分數的比較問題。 18.

(29) 教材中關於真分數的解釋部份，是以「平分成幾份中的幾份」說明分母和分子的意義，完成指定的單位分數量，在進行分數的合成與分解活動前，必須先發展真分數是由單位分數合成的概念，也就是 2/5 是 2 個 1/5 合成的，3/8 是 3 個 1/8 合成的，並在「全部」的語詞下，認識真分數量的意義。. 二、分數計算本研究中，分數計算是指同分母真分數的合成、分解與比較。學生一開始學習真分數時，為了避免學生對於真分數和單位分數中分子和分母的解釋不同，一開始以單位量等分成幾份中的幾份的「部份/全體」模式來進行命名，例如：五分之二是將一個東西平分成五份，取出兩份合起來的量。但是進行同分母真分數的合成與分解，必須建立真分數是由單位分數合成而來的概念，也就是甯自強(1993)提出的子分割的單位化概念。學生能把子分割每次的結果視為單位量，並進行合成與分解運算，也就是以五分之一為單位，把五分之二視為是 2 個五分之一合起來的量。國小三年級分數計算教材的編排如表 2-4：表 2-4 分數計算教材年級. 教學活動. 活動情境. 三上. 1 個喜餅平分成 16 份，哥哥拿了 3 份，弟弟拿 4. 連續量(合成). 份，兩人一共拿了幾個喜餅？三上. 1 盒蠟筆可以裝 12 枝，先放進 5 枝，再放進 4 枝，離散量(合成) 一共放進幾盒蠟筆？. 三上. 1 盒月餅有 6 個，廷廷吃了 5 個，剩下幾盒？. 離散量(分解). 三上. 1 條緞帶平分成 9 份，奇奇用去 6 份，剩下幾條？連續量(分解). 三上. 一條繩子平分成 3 份，1/3 條和 2/3 條，哪一個比. 連續量(比較). 較長？三上. 三下. 三下. 1 盒巧克力有 15 顆，英英拿了 6/15 盒，美美拿了離散量(不同單 8 顆，誰拿的多？. 位，同分母比較). 1 條繩子平分成 9 份，5/9 條繩子和 2/9 條繩子，. 連續量(同分母加. 一共是幾條繩子？. 法). 1 包豆干有 36 塊，哥哥有 7/18 包豆干，弟弟有 11/18 離散量(同分母減包豆干，誰的豆干多？多幾包？ 19. 法)).

(30) 在分數合成與分解活動中，教科書一開始先以學生的先備知識為主引入，也就是以「部份/全體」模式解釋分數的意義，再透過具體情境，解決同分母分數合成與分解問題，並不需要引導學生列出算式，強調透過具體物的操作做分割物的合成或分解後，再以「部份/全體」模式來進行解釋合成或分解後的分數，做為分數加減法的前置活動。比較分數大小則為分數加減算式的預備活動，進一步強化子分割的單位化概念之觀點來進行解題，也就是 1/3＜2/3，是因為 1 個 1/3 比 2 個 1/3 小，比較活動中在離散量情境下，採用不同單位，進行同分母的比較，避免學生以分子大小的比較作為解題策略，應注意到單位量的不同，協助學生建立單位量概念，並了解同分母分數大小的比較。經過分數合成和比較活動中，真分數是由單位分數合成而來，和子分割的單位化概念建立，同分母的加減活動中直接以單位分數的加減來進行運算，並記錄算式；也就是教科書在分數加減活動中並無進行宣告只要分子加減就可求出答案，而是透過子分割的單位化進行分數加減活動。若學生已經察覺同分母分數加減，分母不動，只要分子相加減即可，教師可以給予肯定，但仍須確認學生是否掌握了分數的單位量，避免學生在分數加減算式中，受到整數基模的影響。. 第四節分數表徵前述兒童分數概念發展可知分數學習雖為抽象概念之建立，課程安排是由具體操作物切入，其原因在於分數的學習需要把具體操作轉變為抽象的概念。許多分數教學相關研究證實，抽象概念具體化的教學過程，可藉由多元表徵策略獲得學習成效(王淵智，2005；林亭妤，2012；林碧珍，1990)。以下就表徵的分類與表徵的功能，說明如下。. 一、表徵的分類 Brunner(l966)認為認知發展的歷程也就是形成表徵系統的過程，由運思方式的觀點將表徵分成三種型式，包括：動作、圖像與符號表徵系統。. 20.

(31) (一)動作表徵(enactive representation)：學童是藉由動作反應，或是操作的經驗來了解外在的世界，即個體需透過具體物的操作來掌握概念及獲得知識。例如：操作積木、數點花片。. (二)圖像表徵(iconic representation)：學童是藉由在感官內留下的圖像或是心像(mental image)來了解外在的世界，是一種由觀察中學習的經驗，而「心像」是指外在實物之影像，即使具體物消失，在學習者腦中仍留有心像。例如：1/2 和 2/4 比較大小，腦海中即浮現兩個圓形面積，接著在腦海中對兩個圓進行切割並比較其單位分數所合成的面積大小，進而建立起等值關係。. (三)符號表徵(symbolic representation)：此期的學童可以透過語言符號來代表外界和自己的想法，是一種由思考中學習的經驗，而符號與心像不同，其與實物之外形並無相似之處，只是一種任意選擇的符號。例如：知道 1/2 和 2/4 一樣大，而 3/4 大於 2/4，所以得知 3/4 大於 1/2，學童間接利用等值的兩分數轉換而順利解決異分母的比較活動。. 所以 Brunner 主張學習的過程是由操作具體物的動作表徵，再進入圖像表徵，待運思成熟後，最後進入能以符號代表知識的符號表徵，此時才表示學童的認知能力已達到最高層次。而 Lesh, Post 和 Behre 的研究中建議將 Brunner 的表徵模式延伸成五種表徵系統，分別為實物、具體操作物、靜態圖像、書寫符號及語言。Lesh 等人指出「表徵」是指心智過程模式化所使用的符號系統：圖像、符號、語言、具體操作物，也就是學童內心的概念轉為看得見的、顯著的具體化之外在表現。他們從溝通觀點的分類，提出數學學習有五種不同的表徵方式(引自林亭妤，2012)：. (一)real scripts(實物)：用真實生活的情境或物品，來表示問題中的情境與內容。例如：以整盒雞蛋或蛋糕實際進行等分的活動，從分雞蛋的問題情境中，瞭解 2/4 盒雞蛋和 1/2 盒雞蛋的等值關係。 21.

(32) (二)manipulative model(具體操作物)：透過具體的操作物來學習新概念。例如：圖形分數板、百格板、積木、花片等，以增進數學概念之理解。. (三)static picture(靜態圖像)：一種靜態的圖形模式，也可認為是心像。例如：面積圖、數量圖、數線模式等。. (四)written symbols(書寫符號)：用數學的符號或算則來表示。例如：1/2、1/3、1/4. (五)spoken language(語言)：運用日常生活所使用的口語陳述，來表達一些數學概念、想法或解題過程。例如：四分之一。. Lesh 等人所著重的是「表徵之間的關係」，並將這些表徵間之關係稱為「轉換 (translations)」，每一個轉換對學生而言就是一個概念的重新詮釋，Lesh 等人認為學生必須具有以下三個條件才可算是了解一個概念(呂玉琴，199la): (一)學生必須能將此概念放入各種不同的表徵系統間。 (二)在給定的表徵系統內，必須能很有彈性的處理這個概念。 (三)必須能夠很精確的將此概念從一個表徵系統轉換到另一個表徵系統。. 二、表徵的功能在美國數學課程原則與標準（NCTM,2000）提到表徵是數學學習過程中很重要的一部分。數學表徵乃是指學習者在學習數學知識的過程中，透過各種不同的方式（如具體物表徵、圖像表徵、口語表徵或抽象符號表徵等）內化知識，並藉由上述之方式呈現個體之想法與解法。基於此，本研究將「分數表徵」定義為「分數學習過程中，思考、解釋接收到的訊息，並用以表達思考結果的呈現，以及和他人溝通的重要工具。」因此，此小節所提及的表徵功能如下：. 22.

(33) (一)使分數概念具體化：數學文字題提供了文字的學習，具體物或圖像可以幫助學主將文字的訊息轉換成另一種形式，產生了視覺化的作用，以獲得更具體的經驗。Piaget 將知識分為三種類型，其中之一為具體的知識，而具體的知識也就是植基於經驗的知識，也就是說經由具體物的操作經驗，可以增長知識的獲得(楊德清、洪素敏，2003）。林碧珍(1990) 指出在數學學習中使用圖象表徵的功能在於幫助學生瞭解概念的意義，因此，不論是具體物或是圖像的表徵，皆提供解題者可操弄、可看見的輔助工具，以減少解題時有關閱讀的工作負擔。. (二)可做為溝通的工具： Lesh 從「溝通」的觀點將表徵分為實物、具體操作、圖像、書寫符號與語言。解題者如果能靈活的運用不同表徵表示同一數學概念，並且選擇適當的表徵進行解題，而不失去表徵原有的意義之下，就代表他對此一數學概念有完整而深入的了解。而在此，表徵所具有的溝通範圍相當廣泛，可以是自己與他人之間的溝通，在課室中，教師也可利用表徵與學生溝通題意、解題的歷程等數學想法，同樣的，學生也可利用表徵與老師或其他同學進行溝通。蔡職鴻與劉曼麗(2012)以國小三年級數學低成就學童為研究對象，指出學童極不易在分數的表徵之間進行轉換。而在教學現場，學生在各種表徵之間的轉換有時會出現困難，教師必須使用不同的表徵來協助學生建立新概念並連結舊經驗，才能讓學生將「具體表徵」抽象化，進而推論出成人「算則」。由上述可知，在分數的教學策略上，教學者應先重視分數概念的理解，再引導學生把實物、具體操作物、靜態圖像、書寫符號及語言五種表徵作有意義的連結。因此，研究者對於學童分數的學習，是透過均一教育學習平台不斷的提供學生練習的機會，以動態圖形呈現等分割與合成的分數概念，並運用面積、離散量圖形模式之圖像表徵呈現於教材中，希望藉由不同的圖像表徵連結數學符號及日常用語，期能幫助學生建立正確的分數概念，進而提升學生的學習成效。. 23.

(34) 第五節. 資訊融入教學. 本研究的資訊融入教學是指教師運用「均一教育平台」所提供的線上教學影片與互動式練習題，作為呈現學習內容以及當作學習素材的媒介。本節首先擬討論資訊科技融入教學的意涵，次則探討資訊科技融入教學的範疇，再次則介紹「均一教育平台」的簡介，最後則是資訊融入分數教學相關研究。. 一、資訊科技融入教學的意涵雖然電腦、資訊科技與科技三個名詞的範圍不同，但是它們在融入教學的內涵都是指電腦與網路相關科技，在資訊科技的觀點上，王全世(2000)定義資訊科技融入教學就是將資訊科技融入於課程、教材與教學中，讓資訊科技成為師生另一種有效率的教學工具與學習工具，使得資訊科技的使用成為教室中教學活動的一部份，並且能延伸地視資訊科技為一個方法或一個程序，在任何時間、地點來尋找問題的解答。所謂的「資訊科技融入教學」陳裕隆(2000)認為包含兩種不同的意涵，一種是「工具導向」，另一種則是「內容導向」。所謂「工具導向的融入教學」是把電腦當成教與學的媒介(computer as a medium)，將資訊科技運用於各學習領域的教學活動中，以輔助傳統教學工具的不足。例如：運用各種軟體或電腦網路來輔助教學活動的進行。而「內容導向的融入教學」則是將電腦科技視為學科中的一部份，在各學科的教學內容中，適時引入資訊科技的相關議題。何榮桂(2002)從九年一貫課程特色中，推論資訊融入教學是在各學習領域的教學活動時，於適當的時機運用資訊科技輔助教學，以提升教學效果。理想的結果應是要融入得「不留痕跡」，也就是教學流程不會因該議題的融入而顯得十分突兀，同時學生也能習得主體課程與融入議題的知識。資訊科技融入教學，應是在「有需要」的前提下進行，即教學活動中，某一項概念的呈現，或是某一項學習活動的進行，將因資訊科技的引入而有所助益，而非為融入而融入。綜合上述，「資訊科技融入教學」其意義在於將電腦整合教學，使科技資訊的使用成為教學活動的一部份，且讓資訊科技融入教學如同資訊科技融入生活一般，是自然而非壓迫，讓學生能很習慣地利用資訊科技來達到輔助學習的目的。概括來說，資訊科技融入教學乃希望透過資訊科技與學習領域的整合，可以提升學生在該領域上的學習成效，同時，學生的資訊能力亦能獲得提升。 24.

(35) 二、資訊科技融入教學的範疇資訊融入教學有它適合的範疇，王全世(2000)從資訊科技與學習的角度來看，資訊科技融入教學的策略應包含： (一)學習資訊科技的知識與技能：目的在培養學生的電腦素養或資訊素養。 (二)從資訊科技來學習：將資訊科技視為傳遞系統或教學媒體，包括電腦輔助教學(學習)、電視廣播教學、網際網路線上學習等相關資訊科技的媒體教學與學習。 (三)用資訊科技來學習：將資訊科技視為學習工具，這部份是資訊科技融入教學的重點。張國恩(1999)提出幾點適合用於電腦輔助教學的教材範圍： (一)將抽象化的教材轉成視覺化的教材：抽象教材學生不易了解，常造成學習動機低落。如果將抽象化教材以視覺化展現，將可提高學習動機及效果。展現視覺化最好的工具就是電腦，電腦多媒體的多樣性容易表達易於理解的效果。 (二)需要讓學生實際操作練習的教材：有些教材需要讓學生實際操作練習來獲取經驗並增加印象。 (三)學校無法提供問題解決的環境：課程中有些重要教學活動要利用校外資源或不易取得的資源，以往老師會省略這些活動。現今網際網路的發達提供相常多樣化的資料庫，使得這些教學活動容易完成。 (四)學校缺乏師資的學科：若學校缺乏專業化的老師就能利用遠距教學補足師資，有助於學生接受到課程的完整性。 (五)引起學生學習動機：結合文字、圖片、動畫、音效等教材的展現，比較能引起學生的學習動機，讓學生注意力集中提高學習效果。 (六)自我診斷、自我評量或即時診斷評量：利用電腦線上評量、診斷系統、或高互動即時回饋系統，可減輕老師負擔也可得到學生知識診斷結果。綜合以上可以得知，本研究以「均一教育平台」提供的線上教學影片與互動式練習題，結合電腦與網際網路的特性，作為呈現學習內容以及當作學習素材之媒介融入國小三年級分數教學，就是用資訊科技來學習，將抽象化的教材轉成視覺化的教材，讓學生易於理解、提高學習效果；能引起學生學習動機，讓學生注意力集中、提高學習效果；而且能即時診斷評量，學生得到立即回饋，老師也可減輕在教學上及批改作業的負擔。. 25.