兒童周長與面積相關概念的發展

根據 2003 年九年一貫課程綱要，數學領域五大主題的分類，周長屬於

「數與量」中的幾何（視覺）量，而面積則屬於「數與量」中的幾何（視 覺）量與「幾何」兩大主題。周長是長度量的延伸，屬於一維空間，而面 積則是一種依附在幾何圖形區域所產生的量，屬於二維空間。在國小階段

「數與量」與「幾何」兩大主題佔了相當的比重，對於學生往後數學領域 的學習有著一定的影響，所以本節欲針對兒童量與幾何概念的發展加以探 討，以提升及增進對周長與面積的認知和瞭解。

一、兒童量概念的發展

（一）量的意義與性質

「量」自人類有歷史以來，為了日常生活的各種需要，通常利用單位 量的點數與應用測量工具實際測量的方法，例如：家裡養了幾隻雞、自己 的農田有多大，就能得到所要計算之量的結果。由此可知「量」是由實物 的感官世界抽象衍生出來，而數的概念則是某種量與單位間的關係（甯自 強，1993c），所以量是數的基礎。

「量」在一般可分為離散量與連續量兩大類。「離散量」是指最小單位 量之間無法再進行分割或細分，單位量與單位量之間是間斷的，例如：班 上的男學生有幾人、停車場裡的車子有幾輛、辦公室的桌子有幾張……等 等，都是日常生活中常見的離散量，通常都是藉由最小單位量點數的方式 來計算；「離散量」是一種不連續的量，通常最小的單位量為「1」，對學生 的認知而言，「離散量」可以很快的讓學生掌握「1」的單位量，而國小階

段整數的學習，是指自然數（1、2、3、4…）和 0，是用來處理離散量的計 數與計算，所以整數是由離散量抽象化而來的，因此整數與離散量的學習 是相輔相成的。

「連續量」是指單位量之間可以再分割，因此連續量並無最小單位量的 存在，日常生活中也有許多連續量的存在，例如：身高有多高、體重有多 重、臺中到臺北的距離有多長……等等，可以發現需要實際測量的量，大 部分都是連續量，而相同連續量的測量與比較，從粗略且不精確的個別單 位比較，發展到普遍統一且精確的單位量的量測（趙明勳、甯自強，1988；

劉秋木，1996）。因此在九年一貫課程綱要中，量與實測所包含的長度、容 量、角度、面積、體積五種幾何（視覺）量，都屬於連續量的範疇，而國 小階段有理數（分數與小數）的概念的認知與學習，即是由連續量的抽象 化延伸出來的。

「連續量」又可分為內涵量與外延量兩種，非線性或非可加性的量稱 為內涵量，線性或可加性的量成為外延量（許天維、鍾靜，1997）。用來表 示強弱的量通常稱為內涵量，許多相同單位的內涵量合在一起，不能以加 法來求其全體總和的強弱（吳貞祥，1990），例如：物理學上用來測量聲音 強弱的單位－分貝（db），即是典型的內涵量，因為 30 分貝的聲音加上 10 分貝聲音，並不等於 40 分貝，而會小於 40 分貝。外延量是表示大小的量，

長度與面積皆屬之，因為兩者的部分組成全體時，可以用部分的相加求得 整體的長度或面積。而周長是長度量的延伸概念，看似可以將部分量以加 法方式求得合成之整體，但因為周長為平面幾何圖形之周界，若直接計算 兩平面幾何圖形的周長總和，則周長則可視為外延量；若先將兩部分幾何 平面圖形結合成一平面幾何圖形，則兩部分周長無法直接相加求出整體周 長。

（二）量概念的發展

人類量概念的發展，是先察覺離散量的存在，之後因為人類生活與文 明發展的需要，才有連續量的概念產生（陳鉪逸，1997）。瑞士生物學及心 理學家 Piaget，發現將物體的量維持不變，而只改變物體的形狀、位置或方 向，則稱為量的守恆性，而能辦識出量的守恆性則具備了量的保留概念。

Piaget 認為兒童必須具備量的保留概念，才能進行量的實測，並透過實驗對 兒童的保留概念作實際觀察，發現兒童約在六至七歲左右，開始有長度與 容量的保留概念，七至八歲左右開始有面積的保留概念，八至九歲左右開 始有重量的保留概念，十一至十二歲左右開始有體積保留概念。

Piaget,Inhelder and Szeminska（1960）曾對兒童自發性的測量活動作觀 察與研究，發現測量概念的發展可分成三個階段：

階段一：直觀比較（perceptual comparison）

此階段的兒童年齡約在四歲半以前，兒童在比較兩個量的大小時，是 透過視覺直觀的方式，來分辨與比較量的大小，但還無法使用共同單位量

（common measurement）來做比較。

階段二：應用位置的改變（change of position）

此階段的兒童年齡約在四歲半到七歲之間，在測量過程中，有時會移 動要比較的物體或移動第三物，以方便物體間量的比較，此時已有共同量 的預備經驗，但仍未具備遞移的邏輯概念。

階段三：真正的測量（true operation）

此階段的兒童年齡約在七歲以後，已能操作共同度量，並認知與理解 量的遞移性，即瞭解 X＝Y 又 Y＝Z，則 X＝Z，或 X＞Y 又 Y＞Z，則 X＞

Z，並使用遞移性來比較量的大小。劉秋木（1996）研究指出也可藉由測量 的媒介物，實際測量與比較兩個物體量的大小。

Piaget 強調上述的兒童測量能力發展階段論，是循序漸進式的發展而 來，須在上個階段發展完成後，才能繼續發展下一個階段，直到七歲以後 的兒童才具備實際測量的基礎與能力。

二、兒童幾何概念的發展

兒童幾何概念是如何發展的呢？教育部（2003）九年一貫課程綱要指 出，人類是視覺動物，天生對於「形」與「幾何」的直覺，非常的豐富與 多樣化。在人類的日常生活當中，舉凡直線、曲線、垂直與平行、圖形的 邊緣、圖形的辦別、全等、對稱、圖形的放大與縮小……等視覺影像處理，

對人類的大腦而言是易如反掌，也是人類生活上必備的知識；因此，幾何

主題的學習是數學教育中極為重要的重要課題。

兒童幾何概念的發展理論，研究者將針對 Piaget 的相關研究與 van Hiele 幾何思考層次的理論，加以探討如下：

（一）Piaget 的相關研究

Piaget,Inhelder and Szeminska（1960）研究指出兒童對於幾何概念的理 解有其發展的先後順序，兒童必須先理解拓樸幾何的性質，才能理解投影 幾何與歐氏幾何的性質。針對上述三種幾何性質探究如下：

1.拓樸幾何（topological geometry）階段：

Piaget et al.（1960）研究指出，在 2 到 4 歲的兒童處在前運思期的發展 階段，僅能掌握拓樸學的圖形概念。對於長度或角度的差異，無法仔細觀 察與察覺，而針對直線與曲線，也無法嚴格的區別，至於左右位置的辨認，

常常不知所措（吳貞祥，1990）；只能依據圖形是否封閉，來區辨圖形的內 外。在此階段，兒童能理解三角形、四邊形及圓形都是簡單封閉的幾何圖 形，但卻無法分辨這些圖形的差異（劉秋木，1996）；如果要此階段的兒童 畫出三角形、長方形……等常見的簡單幾何圖形，各邊常常畫得凹凸歪曲 不平，畫出的各角也較為渾圓。

2.投影幾何（projective geometry）階段：

Piaget et al.（1960）研究指出，在 4 到 7 歲的兒童處在前運思期邁向具 體運思期的發展階段，已經漸漸發展到投影幾何的圖形概念。在此階段兒 童著重於自己本身的視覺觀察，認為只有經過視覺認定的形體，才是真實 存在的，而在視覺之外的事物都是虛無、不真實的（劉秋木，1996）。可以 看出，視覺在這個階段對於幾何概念的發展，是扮演舉足輕重的關鍵角色。

此階段的兒童，會因為幾何圖形所擺放位置的角度與遠近的不同，而覺得 幾何圖形的形狀與大小有所改變。

3.歐式幾何（Euclidean geometry）階段：

Piaget et al.（1960）研究指出，在 7 到 11 歲的兒童處在具體運思期的發 展階段，開始能掌握歐式幾何的圖形概念，也逐漸具備長度與距離保留的 概念。此階段的兒童開始理解線段長短、角度與平面大小的意義（朱莉文，

2005）；Piaget and Inhelder（1967）研究指出，兒童因為具備長度與距離保

留的概念，開始發展出測量的概念，兒童最初是以自己最方便取得與最熟 悉的東西作為測量工具，例如：自己的手掌、腳掌、手臂以及身體軀體部 位的長度，Piaget 將此測量方式稱為「手的遷移」及「軀體遷移」。隨著認 知概念逐漸成熟，兒童逐漸學會使用標準單位的量尺作為測量工具，在此 階段也發展出面積保留概念（吳貞祥，1990）。

在 Piaget and Inhelder（1967）的研究中，將兒童幾何概念的發展分為 二個層次：一為知覺層次，是藉由視覺與觸覺…等感官方式來學習；一為 概念層次，是透過想像與思考的方式來學習（陳鉪逸，1997）。針對上述二 各幾何概念的發展層次探究如下：

1. 知覺層次：Piaget and Inhelder（1967）在實驗中採用觸摸的方式，讓兒 童伸手進入袋中觸摸圖形板，在依照觸覺來判斷圖形為何，是一種將觸覺 經驗轉換為視覺心像的歷程。此實驗發現兒童以觸覺來判斷圖形板的能力 發展可分為三階段：

（1）階段一：此階段的兒童約在 2 到 4 歲，起初僅能分辨日常生活中常見 的圖形，如：湯匙、筷子……等，後來漸漸能分辨拓樸圖形中封閉與 非封閉圖形之差異（王選發，2002）。

（2）階段二：兒童約為 4 到 6 歲時，已能區別直線與曲線所構成幾何圖形 之不同，但是對於同樣是直線所構成的幾何圖形，還是存在辨別上的 困難。

（3）階段三：兒童約在 7 歲以後就發展至此階段，最大的特徵在於已能夠 清楚分辨，直線所構成的幾何圖形間的不同點，例如：三角形、長方 形、正方形與菱形……等的差異。

2. 概念層次：Piaget and Inhelder（1967）在實驗中讓兒童模仿繪畫出所見 到的圖形，但兒童常常是畫其所知，而非畫其所見。例如：兒童在畫公共 汽車時，會將其畫成透視的狀態，為了將車上的乘客也一併畫出來，但圖

2. 概念層次：Piaget and Inhelder（1967）在實驗中讓兒童模仿繪畫出所見 到的圖形，但兒童常常是畫其所知，而非畫其所見。例如：兒童在畫公共 汽車時，會將其畫成透視的狀態，為了將車上的乘客也一併畫出來，但圖