結論

一、國小高年級學童對於周長與面積概念的理解情形

（一）周長與面積的初步概念 1.周長初步概念

本研究藉由正式試卷第 2 題與第 4 題，來測驗高年級學童對於周長初 步概念的理解情形，第 2 題的答對率為 78.9％，第 4 題的答對率為 54.2％，

表示第 2 題對受試學童而言較簡單，第 4 題則較難。也顯示當試題以實際 圖形來呈現時，受試學童的答對率較高，而當試題以文字敘述來表達時，

受試學童的答對率降低了 24.7％，可見學童在判斷幾何圖形的周長是否存 在時，實際圖形的呈現有助於學童做出較正確的選擇。

高年級學童對於周長初步概念的解題策略如下：

（1）認為圖形的邊緣有「合起來」、「沒有斷掉」，就具有周長。

（2）認為圖形的「線段有連在一起」、「邊緣沒有漏縫」，就具有周長。

（3）認為能計算出周長的圖形，就具有周長。

（4）認為具有面積的圖形，就具有周長。

（5）認為圖形邊界的線段封閉，才具備周長。

（6）認為「圖形封閉」，才有周長。

高年級學童對於周長初步概念的錯誤類型如下：

（1）認為圖形「有直直的線」，就有周長。

（2）直接用看的，覺得圖形沒有很奇怪的，就具有周長。

（3）認為「有長和寬或底和高的圖形」就有周長。

（4）認為周長是邊的總和，所以有邊的圖形就有周長。

（5）認為圖形是由邊構成的，所以有邊的圖形就有周長。

2.面積初步概念

本研究藉由正式試卷第 1 題與第 3 題，來測驗高年級學童對於面積初 步概念的理解情形，第 1 題的答對率為 72.6％，第 3 題的答對率為 54.2％，

表示第 1 題對受試學童而言較簡單，第 3 題則較難。也顯示當試題以實際 圖形來呈現時，受試學童的答對率較高，而當試題以文字敘述來表達時，

受試學童的答對率降低了 18.4％，可見學童在判斷幾何圖形的面積是否存 在時，實際圖形的呈現有助於學童做出較正確的選擇。

高年級學童對於面積初步概念的解題策略如下：

（1）認為「圖形邊緣沒有開口」，才具有面積。

（2）認為「圖形的線段有連在一起」、「沒有開口」，就有面積。

（3）認為圖形都有「合起來」就有面積。

（4）認為圖形有「連起來」、「沒有空隙」，才具有面積。

（5）認為圖形「封閉」才有面積。

高年級學童對於面積初步概念的錯誤類型如下：

（1）看起來像是具有面積的圖形，就認為有面積。

（2）認為圖形「邊緣由直線組成」，就有面積。

（3）感覺「圖形正正的」就有面積。

（4）認為「有長和寬或底和高的圖形」，才算的出面積，面積才存在。

（5）認為每一種圖形都具有長和寬或底和高，所以滿足這個條件就有面積。

（6）認為「有角的圖形」就有面積。

（7）認為「有邊的圖形」就有面積。

（8）只想到三角形和四邊形所具備的條件，來判斷面積概念的敘述。

（二）周長與面積的保留概念 1.周長保留概念

本研究第 23 題是將桌子上相同數目的三角形紙卡，改變其排列方式的 情形下，所有紙卡的周長總和是否不同；第 27 題是將長方形切割成四個新 的長方形之後，周長的增減變化如何，藉由這二道試題測驗學生是否具備 週長的保留概念。受試學童在第 23 題答對率有 68.4％，有 31.6％的學童仍 無法理解周長的保留概念；另外，受試學童在第 27 題答對率僅 33.2％，表 示有 66.8％的學童對圖形切割後周長的變化概念仍不瞭解。

高年級學童對於改變圖形排列方式，測驗周長保留概念的解題策略如 下：

（1）認為圖形僅「改變排列方式」，所以周長不會改變。

（2）認為圖形僅「排列的位置不同」，周長總和並不會改變。

（3）將圖乙、圖丙的三角形，可以擺回圖甲的位置，所以周長總和會相等。

（4）用視覺判斷每個三角形紙卡都一樣大，點數桌上的紙卡數都一樣多，

所以周長總和都相同。

高年級學童對於圖形切割後周長增減概念的解題策略：對於將長方形 切割成四個新的長方形之後，周長增減變化的判斷，大多能察覺切割後多 出來的邊，再和乙圖切割前的邊加總起來，就是甲圖周長的 2 倍。

高年級學童對於改變圖形排列方式，測驗周長保留概念的錯誤類型如 下：

（1）認為圖形排列所佔區域的大小，和周長總和成正比。

（2）認為圖形排列的緊密程度，會影響周長總和的大小，愈緊密周長愈小，

愈鬆散周長愈大。

高年級學童對於圖形切割後周長增減概念的錯誤類型：

（1）認為乙圖由甲圖切割而來，周長維持不變。

（2）認為「面積相同周長就會相同」。

（3）認為被切割後多出四條切割線，所以周長變為 4 倍。

（4）以「面積覆蓋」的方式，來判斷周長的增減。

2.面積保留概念

正式試題第 26 題是將長方形切割成四個新的長方形之後，面積的增減 變化如何，藉由本試題測驗學生是否具備面積的保留概念。受試學童在本 題的答對率為 67.9％，表示有 32.1％的學童，對於圖形切割後的面積保留 概念仍不瞭解。

高年級學童對於面積保留概念的解題策略如下：

（1）認為乙圖是由甲圖切割而成，面積不會改變。

（2）認為將乙圖「合併」成甲圖，就能知道面積不變。

（3）以乙圖來「覆蓋」甲圖的方式，判斷出面積相等。

高年級學童對於面積保留概念的錯誤類型如下：

（1）以甲圖「覆蓋」乙圖的方式，但連同乙圖中間空白區域一起拿來覆蓋。

（2）認為乙圖切割成 4 份，面積也變為甲圖的 4 倍。

（3）認為乙圖的長方形變小，所以面積總和跟著變小。

（三）周長與面積的測量概念 1.周長測量概念

本研究藉由正式試卷第 9、10、13 和 14 題，來測驗高年級學童對於周 長測量概念的理解情形。受試學童在第 9 題的答對率為 68.9％，表示有大 約七成的受試學童，已經有給定單位長度方格的點數周長測量之能力；第 10 題的答對率為 60.0％，表示有六成的受試學童，已經具備利用周長的基 本定義，來測量圖形周長的能力；第 13 題的答對率為 46.8％，表示還有 53.2

％的受試學童，對於等積異形的圖形，利用長度的基本觀念，來判斷周長 的大小有概念上的迷思；第 14 題的答對率為 81.6％，表示大約有八成的受 試學童，已經具備對生活中周長單位的認知能力。

高年級學童對於周長測量概念的解題策略如下：

（1）對於給定單位長度方格，來測量出周長之能力，唯一判斷的準則是「點 數周長的方格邊數」。

（2）對於利用周長的基本定義，來表示出梯形周長的能力，大多數學童判 斷的準則為：「圖形所有邊長的總和」、「圍成圖形的所有邊加起來」

就是周長。

（3）對於藉由等積異形的長方形與平行四邊形，利用長度的基本觀念，來 判斷周長的大小，大多數學童利用「兩平行線間的直線越斜距離越 長」、「兩平行線間的垂直線最短」。

（4）對於生活中常用周長單位的認知情形，判斷的準則大多依據：「長度 單位可作為周長的單位」、「之前的經驗」。

高年級學童對於周長測量概念的錯誤類型如下：

（1）對於給定單位長度方格，來測量出周長之能力，造成錯誤的原因大多 因為粗心，而點數錯誤；有少數學童憑直覺、用看的或猜測來作答。

（2）對於利用周長的基本定義，來表示出梯形周長的能力，錯誤的類型以

「誤用面積公式來算周長」佔大多數，少數學童將圖形中標示的所有 線段都看成周長的一部分，或以（上底＋下底）×高來算梯形的周長

（3）對於藉由等積異形的長方形與平行四邊形，利用長度的基本觀念，來 判斷周長的大小，錯誤的類型認為以「面積相同的圖形周長就會相同」

或以「面積的大小關係，直接套用到周長的大小關係」來作答，少數 學童憑直覺、視覺、猜測或粗心而判斷錯誤的。

（4）對於生活中常用周長單位的認知情形，彙整答錯學生的錯誤類型有：

平常都會用到的單位就可當作周長單位、誤用長度單位造成錯誤、面 積和周長單位的混淆、認為只要可以「計算」的單位，就可當作周長

單位等。

2.面積測量概念

本研究藉由正式試卷第 8、11、12、15 和 17 題，來測驗高年級學童對 於面積測量概念的理解情形。受試學童在第 8 題的答對率為 95.8％，表示 有大約九成五的受試學童，對於給定單位面積方格，已經具備點數或計算 面積之能力；第 11 題的答對率為 84.7％，表示有大約八成五的受試學童，

已經能應用面積公式，求出平行四邊形的面積；第 12 題的答對率為 78.4％，

表示大約有八成左右受試學童，對於等積異形的圖形，能利用面積的相關 概念，來判斷面積的大小；第 15 題的答對率為 74.7％，表示大約有 7 成五 的受試學童，已經具備對生活中面積單位的認知能力；第 17 題的答對率為 79.5％，表示有大約八成的受試學童，已經對於各種圖形的面積公式能清楚 的認知。

高年級學童對於面積測量概念的解題策略如下：

（1）對於給定單位面積方格來測量面積的大小，判斷的唯一準則是「點數 單位面積方格數」來計算面積。

（2）對於是否能應用面積公式，求出平行四邊形的面積，判斷的唯一準則 是先確認平行四邊形的底和高，再代入面積公式求出面積。

（3）對於兩平行線間的長方形與平行四邊形，利用面積的相關概念，來判 斷面積的大小，大多認為長方形的長和平行四邊形的底相同，兩平行 線間的垂直距離相等，得知面積都相同；將平行四邊形切割補成長方 形來判斷；認為兩平行線間的垂直距離相等，再以面積公式來判斷；

將長方形看成平行四邊形的一種，利用同底等高來判斷。

（4）對於生活中面積單位的認知情形，判斷的準則大多依據：平常有用過 這些面積單位、有平方的就是面積單位、將不是面積的單位扣除等來 作答。

（5）對於正方形、長方形、三角形、平行四邊形和梯形的面積公式，都能

（5）對於正方形、長方形、三角形、平行四邊形和梯形的面積公式，都能