第一章 緒論
第二節 研究目的與待答問題
一研究目的
基於上述的研究動機，本研究的研究目的分為以下幾點：
（一）應用
TestGraf 98 軟體，
來探討國小高年級學童對面積與周長概念 理解的情形。（二）探究不同年級的國小學童在面積與周長概念表現的差異。
（三）探究不同性別的國小高年級學童在面積與周長概念表現的差異。
二、待答問題
根據以上的研究目的，本研究欲探討的研究問題如下：
（一）根據
TestGraf 98 軟體
所呈現的圖表資料，探討國小高年級學童在 面積與周長概念的理解情形為何？（二）不同年級的國小學童在面積與周長概念的表現差異情形為何？
（三）不同性別的國小高年級學童在面積與周長概念的表現差異情形為 何？
第三節 名詞釋義
一、國小高年級學童
本研究中之國小高年級學童係指九十九學年度臺中市某國小五、六年 級共七班的學生。
二、面積（Area）
本研究所稱的面積是指直線或曲線構成的周界所圍成封閉區域的大 小，是一種二維的度量概念，用單位面積覆蓋或計量來估算其大小。本研 究所探討的面積，僅限三角形、正方形、長方形、平行四邊形和梯形之面 積，以及不規則圖形的估算。
三、周長（Perimeter）
本研究所稱的周長是指平面圖形之外圍，沿著封閉圖形邊緣所量測的 距離，為一封閉曲線之長度。本研究所探討的周長，僅限三角形、正方形、
長方形、平行四邊形和梯形之周長。
四、迷思概念（Misconcfption）
指學童在日常生活中對某些現象或事件，因為知識不健全、推理能力 不足或邏輯架構不正確，導致所建構出的想法及概念有所偏差、甚至錯誤，
與目前科學家所訂定的概念與想法不同。
五、核平滑法無參數試題特徵曲線估算法（kernel smoothing approaches to nonparametric item characteristic curve estimation）
加拿大心理計量學者 Ramsay，於 1991 年首先應用直觀簡單之核平滑 化無參數迴歸函數法，估計試題特徵曲線及選項特徵曲線（劉湘川，
2001b），結合高低試題鑑別指數與核平滑無參數估算法，發展出正確選項 與誘答選項均可分析之核平滑法無參數試題特徵曲線估算法。Ramsay
（1991）的研究指出此方法並未假設任何適當的模式，完全依據受試者實 際作答資料來進行分析，是一種無參數的試題反應理論。核平滑（kernel smoothing）是指被估計的受試者加以排序後的函數，和試題選項被選與否
（被選指示值顯示為 1，否則為 0），是一種二元變數（binary variable）之 間的關係（楊自強，2004）。
六、選項特徵曲線（option characteristic curve，OCC）
選項特徵函數是指試題選項反應的結果與受試者的能力之間的數學函 數關係。而將此函數關係轉化為曲線圖形，即稱為選項特徵曲線。選項特 徵曲線是以受試者的能力（團體中的排序）為橫軸，受試者在某一試題之 選答率為縱軸，事先並無假設其服從某一特定之試題反應理論，完全根據 受試者的作答資料，應用核平滑法所得的平滑曲線圖形（徐主銘，2010）。
選項特徵曲線將複雜及龐大的資料與數據圖形化，有利於簡化試題選項間 之分析與探討，相較於單純的數字或文字敘述來的更加簡便，也更一目了 然。
七、TestGraf 98 軟體
TestGraf 98 軟體是一套無參數（nonparameter）IRT 軟體，亦為一分享 軟體（shareware），由 J.O.Ramsay 根據核平滑法無參數試題特徵曲線估算法 的理論，於 1995 年發展出來，可用來估計選擇題之選項特徵曲線（option
characteristic curve，OCC），可分析測驗、問卷及心理量表，用於二元與多 元計分的試題，可以診斷試題和試題選項的特徵。
第四節 研究限制
本研究受限於人力、經費及時間各方面之考量下，有下列限制：
一、樣本數量
本研究僅以研究者所服務之臺中市某國小五年級四個班與六年級三個 班共 190 人，為本次之研究樣本。
二、結果推論
本研究以「國小周長與面積概念」為範圍，進行國小高年級學童周長 與面積概念的診斷研究，研究結果僅能作區域性的推論，不宜作全面性的 概括推論。若要推廣至其他年級、區域、或不同的數學相關概念時，應審 慎評估其可行性，做適度的調整與轉化。
第二章 文獻探討
本研究旨在探討國小高年級學童對周長與面積概念的理解情形，並深 入探究所產生的迷思概念與錯誤認知，進而提出解決的策略與建議。
第一節 兒童周長與面積相關概念的發展
根據 2003 年九年一貫課程綱要，數學領域五大主題的分類，周長屬於
「數與量」中的幾何（視覺）量，而面積則屬於「數與量」中的幾何（視 覺）量與「幾何」兩大主題。周長是長度量的延伸，屬於一維空間，而面 積則是一種依附在幾何圖形區域所產生的量，屬於二維空間。在國小階段
「數與量」與「幾何」兩大主題佔了相當的比重，對於學生往後數學領域 的學習有著一定的影響，所以本節欲針對兒童量與幾何概念的發展加以探 討，以提升及增進對周長與面積的認知和瞭解。
一、兒童量概念的發展
（一）量的意義與性質
「量」自人類有歷史以來，為了日常生活的各種需要，通常利用單位 量的點數與應用測量工具實際測量的方法，例如：家裡養了幾隻雞、自己 的農田有多大，就能得到所要計算之量的結果。由此可知「量」是由實物 的感官世界抽象衍生出來，而數的概念則是某種量與單位間的關係（甯自 強，1993c），所以量是數的基礎。
「量」在一般可分為離散量與連續量兩大類。「離散量」是指最小單位 量之間無法再進行分割或細分，單位量與單位量之間是間斷的，例如：班 上的男學生有幾人、停車場裡的車子有幾輛、辦公室的桌子有幾張……等 等，都是日常生活中常見的離散量，通常都是藉由最小單位量點數的方式 來計算；「離散量」是一種不連續的量，通常最小的單位量為「1」，對學生 的認知而言，「離散量」可以很快的讓學生掌握「1」的單位量，而國小階
段整數的學習，是指自然數（1、2、3、4…）和 0，是用來處理離散量的計 數與計算，所以整數是由離散量抽象化而來的，因此整數與離散量的學習 是相輔相成的。
「連續量」是指單位量之間可以再分割，因此連續量並無最小單位量的 存在，日常生活中也有許多連續量的存在，例如：身高有多高、體重有多 重、臺中到臺北的距離有多長……等等，可以發現需要實際測量的量，大 部分都是連續量，而相同連續量的測量與比較，從粗略且不精確的個別單 位比較，發展到普遍統一且精確的單位量的量測（趙明勳、甯自強，1988；
劉秋木，1996）。因此在九年一貫課程綱要中，量與實測所包含的長度、容 量、角度、面積、體積五種幾何（視覺）量，都屬於連續量的範疇，而國 小階段有理數（分數與小數）的概念的認知與學習，即是由連續量的抽象 化延伸出來的。
「連續量」又可分為內涵量與外延量兩種，非線性或非可加性的量稱 為內涵量，線性或可加性的量成為外延量（許天維、鍾靜，1997）。用來表 示強弱的量通常稱為內涵量，許多相同單位的內涵量合在一起，不能以加 法來求其全體總和的強弱（吳貞祥，1990），例如：物理學上用來測量聲音 強弱的單位－分貝（db），即是典型的內涵量，因為 30 分貝的聲音加上 10 分貝聲音，並不等於 40 分貝，而會小於 40 分貝。外延量是表示大小的量，
長度與面積皆屬之，因為兩者的部分組成全體時，可以用部分的相加求得 整體的長度或面積。而周長是長度量的延伸概念，看似可以將部分量以加 法方式求得合成之整體，但因為周長為平面幾何圖形之周界，若直接計算 兩平面幾何圖形的周長總和，則周長則可視為外延量；若先將兩部分幾何 平面圖形結合成一平面幾何圖形，則兩部分周長無法直接相加求出整體周 長。
（二）量概念的發展
人類量概念的發展，是先察覺離散量的存在，之後因為人類生活與文 明發展的需要，才有連續量的概念產生（陳鉪逸，1997）。瑞士生物學及心 理學家 Piaget，發現將物體的量維持不變，而只改變物體的形狀、位置或方 向，則稱為量的守恆性，而能辦識出量的守恆性則具備了量的保留概念。
Piaget 認為兒童必須具備量的保留概念，才能進行量的實測，並透過實驗對 兒童的保留概念作實際觀察，發現兒童約在六至七歲左右，開始有長度與 容量的保留概念，七至八歲左右開始有面積的保留概念，八至九歲左右開 始有重量的保留概念，十一至十二歲左右開始有體積保留概念。
Piaget,Inhelder and Szeminska（1960）曾對兒童自發性的測量活動作觀 察與研究，發現測量概念的發展可分成三個階段：
階段一：直觀比較（perceptual comparison）
此階段的兒童年齡約在四歲半以前，兒童在比較兩個量的大小時，是 透過視覺直觀的方式，來分辨與比較量的大小，但還無法使用共同單位量
（common measurement）來做比較。
階段二：應用位置的改變（change of position）
此階段的兒童年齡約在四歲半到七歲之間，在測量過程中，有時會移 動要比較的物體或移動第三物，以方便物體間量的比較，此時已有共同量 的預備經驗，但仍未具備遞移的邏輯概念。
階段三：真正的測量（true operation）
此階段的兒童年齡約在七歲以後，已能操作共同度量，並認知與理解 量的遞移性，即瞭解 X＝Y 又 Y＝Z，則 X＝Z，或 X＞Y 又 Y＞Z，則 X＞
Z，並使用遞移性來比較量的大小。劉秋木（1996）研究指出也可藉由測量 的媒介物，實際測量與比較兩個物體量的大小。
Piaget 強調上述的兒童測量能力發展階段論，是循序漸進式的發展而 來，須在上個階段發展完成後，才能繼續發展下一個階段，直到七歲以後 的兒童才具備實際測量的基礎與能力。
二、兒童幾何概念的發展
兒童幾何概念是如何發展的呢？教育部（2003）九年一貫課程綱要指 出，人類是視覺動物，天生對於「形」與「幾何」的直覺，非常的豐富與 多樣化。在人類的日常生活當中，舉凡直線、曲線、垂直與平行、圖形的
兒童幾何概念是如何發展的呢？教育部（2003）九年一貫課程綱要指 出，人類是視覺動物，天生對於「形」與「幾何」的直覺，非常的豐富與 多樣化。在人類的日常生活當中，舉凡直線、曲線、垂直與平行、圖形的