國立臺中教育大學數學教育系
在職進修教學碩士論文
指導教授：胡豐榮 博士
國小高年級學童面積與周長概念
國小高年級學童面積與周長概念
國小高年級學童面積與周長概念
國小高年級學童面積與周長概念
之錯誤類型研究
之錯誤類型研究
之錯誤類型研究
之錯誤類型研究
研究生：陳人豪 撰
中華民國一ΟΟ年六月
摘 要
本研究藉由研究者自編的面積與周長概念測驗，分析國小高年級學童對此份 測驗的應答狀況，來探討受試學童對面積與周長概念理解的情形，及比較不同 年級與不同性別的國小學童在面積與周長概念表現的差異情形。根據研究結 果，得到以下結論： 一、在面積與周長概念的測驗，學童若對試題概念無法清楚判斷時，常以「視 覺感官」、「直覺」及「猜測」來作答，晤談時大多無法清楚說明。 二、在周長與面積的初步概念，若試題以圖形呈現，則約有七成以上的學童答 對；但若改以文字敘述來表達，則大約只有五成的學童答對。 三、有六成以上的受試學童，對於周長或面積等量放大後，面積或周長的變化 為何，無法做出正確判斷。錯誤類型集中在周長放大幾倍，面積同時會放 大幾倍；面積放大幾倍，周長也同時放大幾倍。 四、在周長與面積的測量概念方面，受試學童因為誤用公式、對周長與面積概 念的混淆、認為等面積一定等周長，等周長也一定等面積及單位的認知不 清等，而產生錯誤。 五、在周長與面積的估測方面，受試學童的答對率偏低僅 20％－40％，經由晤 談發覺答錯學童對於估測，大多只憑藉視覺感官做直接的判斷，而缺乏估 測的量感與技巧。 六、在周長與面積的解題應用方面，受試學童常會忽略重要的線索或無法理解 題意，而產生解題上的疑惑。 七、不同年級的受試學童在周長與面積的測驗總分上，有顯著的差異存在，且 國小六年級在周長與面積測驗的總分表現優於五年級。 八、不同性別的受試學童在周長與面積的測驗總分上，並無顯著的差異存在。 關鍵字：周長、面積、錯誤類型Abstract
The research in area and the concept of perimeter test by researcher to analysis the response of the testing from the elementary high-grade students and to explore the students’ understanding in area and the concept of perimeter, and compare of
different grades and different genders of elementary students in area and the concept of perimeter of performance. According to the results, the following conclusions:
1.In area and the concept perimeter test, when students can not clearly determine the concept of questions , always answer by "visual sense" and " intuition" and "guess " , and can not clearly explain during the interview.
2.In the initial concept of perimeter and area, if the questions presented in graphical, there are about seventy percent of the students can correct answer; but if the
questions presented in words, then just fifty percent of the students can answer correctly.
3.There are over sixty percent of subjects students, for perimeter or area of equivalent amplification, changes in area or perimeter can not make the right judgments. Error Type concentrated in the perimeter of enlarged several times, the area will also enlarge several times; area enlarged several times, the perimeter also enlarged several times.
4.In the measurement of perimeter and area , the subjects students who misuse of the formula, the concept of perimeter and area of confusion, so that a certain equal to the perimeter, the area must be equal; equal to the area, the perimeter must be equal and clear recognition of such units, make an error.
5.Estimated in terms of perimeter and area, there are only 20%~40% of students answered correctly, after interviewing found that students got the wrong answer for the estimation, often directly determine by visual sense and lack of the estimating the sense of amount and skills.
ignore important clues or can not understand the meaning of the questions and have a problem and doubts.
7.The students in different grades who have significant difference at the perimeter and area test scores, and the sixth grade at the perimeter and area test score performance is better than fifth grade.
8.The subjects of different gender students in the perimeter and area test scores, and no significant differences.
目 錄
第一章 緒論... 1
第一節 研究動機 ... 1 第二節 研究目的與待答問題... 3 第三節 名詞定義 ... 4 第四節 研究限制 ... 6第二章 文獻探討... 7
第一節 兒童周長與面積相關概念的發展... 7 第二節 九年一貫周長與面積概念之教材分析... 15 第三節 學童在周長與面積的迷思概念... 34 第四節 選項特徵曲線... 42第三章 研究方法與過程... 45
第一節 研究架構 ... 45 第二節 研究對象 ... 46 第三節 研究工具 ... 47 第四節 研究過程 ... 58 第五節 資料處理 ... 59第四章 研究結果與討論... 61
第一節 試題選項特徵曲線分析... 61 第二節 學童在面積與周長概念理解的情形之探討... 94 第三節 不同年級之學童在面積與周長概念理解的表現... 160 第四節 不同性別之學童在面積與周長概念理解的表現... 169第五章 結論與建議... 171
第一節 結論 ... 171 第二節 建議 ... 184參考文獻 ... 187
一、中文部分 ... 187 二、英文部分 ... 193附錄
附錄一：單一選擇題試題檢核表... 197 附錄二：國小高年級面積與周長概念預試試卷初稿... 197 附錄三：國小高年級面積與周長概念預試試卷... 209 附錄四：面積與周長概念正式試卷試題內容架構分析表... 220 附錄五：面積與周長概念正式試題雙向細目表... 221 附錄六：國小高年級面積與周長概念正式試卷... 222表 次
表 2-2-1 九年一貫課程綱要周長與面積教材的詮釋 ... 16 表 2-2-2 周長相關的能力指標 ... 17 表 2-2-3 面積相關的能力指標 ... 19 表 2-2-4 翰林版周長教材 ... 21 表 2-2-5 南一版周長教材 ... 22 表 2-2-6 康軒版周長教材 ... 23 表 2-2-7 翰林版面積教材 ... 25 表 2-2-8 南一版面積教材 ... 27 表 2-2-9 康軒版面積教材 ... 30 表 3-2-1 研究樣本數及分布一覽表 ... 46 表 3-3-1 面積與周長概念預試試卷試題內容架構分析 ... 48 表 3-3-2 面積與周長概念預試試題雙向細目 ... 50 表 3-3-3 預試試卷之信度分析 ... 54 表 3-3-4 預試試題之難度、鑑別度與點二系列相關係數分析 ... 55 表 4-2-1 周長初步概念試題各選項的選答率 ... 94 表 4-2-2 面積初步概念試題各選項的選答率 ... 99 表 4-2-3 周長保留概念試題各選項的選答率 ... 104 表 4-2-4 面積保留概念試題各選項的選答率 ... 108 表 4-2-5 周長測量概念試題各選項的選答率 ... 111 表 4-2-6 面積測量概念試題各選項的選答率 ... 120 表 4-2-7 周長與面積的關係試題各選項的選答率 ... 129 表 4-2-8 周長估測概念試題各選項的選答率 ... 136 表 4-2-9 面積估測概念試題各選項的選答率 ... 140 表 4-2-10 等長的繩子圍出不同圖形試題各選項的選答率 ... 148 表 4-2-11 已知周長求面積試題各選項的選答率 ... 150 表 4-2-12 給定單位方格求面積試題各選項的選答率 ... 153 表 4-2-13 面積與周長保留概念之解題應用試題各選項的選答率 ... 156表 4-3-1 不同年級在周長與面積概念測驗總分之 t 檢定統計量摘要... 160 表 4-3-2 不同年級在周長與面積概念測驗總分之變異數分析摘要 ... 160 表 4-3-3 不同年級在周長初步概念試題之卡方檢定摘要 ... 161 表 4-3-4 不同年級在面積初步概念試題之卡方檢定摘要 ... 161 表 4-3-5 不同年級在周長保留概念試題之卡方檢定摘要 ... 162 表 4-3-6 不同年級在面積保留概念試題之卡方檢定摘要 ... 162 表 4-3-7 不同年級在周長測量概念試題之卡方檢定摘要 ... 163 表 4-3-8 不同年級在面積測量概念試題之卡方檢定摘要 ... 164 表 4-3-9 不同年級在周長與面積關係的測量概念試題之卡方檢定摘要... 165 表 4-3-10 不同年級在周長估測概念試題之卡方檢定摘要 ... 165 表 4-3-11 不同年級在面積估測概念試題之卡方檢定摘要 ... 166 表 4-3-12 不同年級在周長與面積解題應用試題之卡方檢定摘要 ... 167 表 4-4-1 不同性別在周長與面積概念測驗總分之 t 檢定統計量摘要... 169 表 4-4-2 不同性別在周長與面積概念測驗總分之變異數分析摘要 ... 169
圖 次
圖 3-1-1 研究架構 ... 45 圖 3-3-1 面積與周長概念 ... 48 圖 3-4-1 研究過程 ... 58 圖 4-1-1 試題 1 之試題選項特徵曲線 ... 66 圖 4-1-2 試題 2 之試題選項特徵曲線 ... 67 圖 4-1-3 試題 3 之試題選項特徵曲線 ... 68 圖 4-1-4 試題 4 之試題選項特徵曲線 ... 69 圖 4-1-5 試題 5 之試題選項特徵曲線 ... 70 圖 4-1-6 試題 6 之試題選項特徵曲線 ... 71 圖 4-1-7 試題 7 之試題選項特徵曲線 ... 72 圖 4-1-8 試題 8 之試題選項特徵曲線 ... 73 圖 4-1-9 試題 9 之試題選項特徵曲線 ... 74 圖 4-1-10 試題 10 之試題選項特徵曲線 ... 75 圖 4-1-11 試題 11 之試題選項特徵曲線 ... 76 圖 4-1-12 試題 12 之試題選項特徵曲線 ... 77 圖 4-1-13 試題 13 之試題選項特徵曲線 ... 78 圖 4-1-14 試題 14 之試題選項特徵曲線 ... 79 圖 4-1-15 試題 15 之試題選項特徵曲線 ... 80 圖 4-1-16 試題 16 之試題選項特徵曲線 ... 81 圖 4-1-17 試題 17 之試題選項特徵曲線 ... 82 圖 4-1-18 試題 18 之試題選項特徵曲線 ... 83 圖 4-1-19 試題 19 之試題選項特徵曲線 ... 84 圖 4-1-20 試題 20 之試題選項特徵曲線 ... 85 圖 4-1-21 試題 21 之試題選項特徵曲線 ... 86 圖 4-1-22 試題 22 之試題選項特徵曲線 ... 87 圖 4-1-23 試題 23 之試題選項特徵曲線 ... 88 圖 4-1-24 試題 24 之試題選項特徵曲線 ... 89圖 4-1-25 試題 25 之試題選項特徵曲線 ... 90 圖 4-1-26 試題 26 之試題選項特徵曲線 ... 91 圖 4-1-27 試題 27 之試題選項特徵曲線 ... 92 圖 4-1-28 試題 28 之試題選項特徵曲線 ... 93 圖 4-3-1 不同年級在各試題答對百分比折線圖 ... 168 圖 4-3-2 不同年級在各試題答對百分比長條圖 ... 168 圖 4-4-1 不同性別在各試題答對百分比折線圖 ... 170 圖 4-4-2 不同性別在各試題答對百分比長條圖 ... 170
第一章 緒論
本研究旨在探討國小高年級學童的面積與周長概念，找出學童在面積與 周長概念潛藏的問題，期望能在教學與課程編排上提供些許幫助。在本章 中，第一節先說明研究動機，第二節敘明研究目的，第三節闡述待答問題， 第四節界定相關名詞，第五節列出研究限制。第一節 研究動機
幾何形體在人類的生活中普遍的存在，舉凡看的見、摸的到的物體皆有 它的幾何形狀；而幾何形體的構成，涵蓋點、線、面及空間幾何。自古以 來面積與周長的實測與發展，和人類的生活息息相關、密不可分，早在西 元前三千多年前地古埃及，由於古埃及的生命泉源尼羅河幾乎年年氾濫， 以致尼羅河旁廣大的耕作農地須從新測量、鑑界，每年都得由專業的人員 進行土地的丈量和劃分；而古中國遠在兩千多年前的戰國時代，在工匠與 水利工程師的專業領域，諸如：公輸般、墨子、西門豹、李冰、李二郎…… 等人，流傳的定量幾何知識乃是以一套既簡便又實用的測量公式，極可能 是中國古文明中幾何知識的創建者和繼承者；古中國距今約一千五百年 前，秦九韶所撰寫的《九章算數》，為古中國最重要的數學經典之ㄧ，書中 提及方田—長方形、圭田—三角形、箕田—梯形、邪田—直角梯形、圓田— 圓形、弧田—半圓形、宛田—球冠形與環田—環形……等等，形狀面積計 算的說明與解說；古希臘歐幾里得(Euclid)所著的《幾何原本》（Elements） 亦記載許多相關的面積與周長概念。 國民中小學九年一貫課程，自 90 學年度起由國民小學一年級開始實 施，於 93 學年度全面實施。綜觀 92 年國民中小學九年一貫課程綱要，在 數學領域中涵蓋五大主題：「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」和 「連結」，而面積和周長橫跨了「數與量」和「幾何」兩大主題。教育部（2003） 指出國小「數與量」的範圍較大，可在細分為「整數」、「量與實測」、「有 理數」和「估算」等子題；「量與實測」是國小數學的核心課程之ㄧ，其中量包含長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種 量。日常生活中，人類天生的視覺感官，遠比想像的要敏銳與豐富。典型 的視覺影像處理─如直線、圖形的邊緣、平行與垂直、對稱、全等操作、 放大縮小、圖形識別等，對人類大腦輕而易舉，卻是電腦處理的重大挑戰 （教育部，2003）。因此，在數學領域當中幾何主題不但重要，對學生而言 也是相對的有趣和淺顯易懂。 周長是一種長度的表現，屬於一維的概念，在九年一貫課程綱要中隸屬 數與量的範疇，在國小的教學與教材，通常都附屬於面積的單元中，看似 容易的周長概念，在許多中外學者多年的相關研究（高敬文，1989；譚寧 君，1995；王選發，2002；許嵐婷，2003；黃英哲，2006；Woodard＆Byrd,1983； Tierney,Boyd＆Davis,1990），發現從國小學童以至於職前教師，對於周長的 概念與理解仍存在許多的迷思概念。面積是一種平面的形體，屬於二維的 概念，在九年一貫課程綱要中橫跨數與量以及幾何兩大主題，國小階段從 一、二年級就開始學習簡單平面幾何形體的概念，而三、四、五、六年級 則開始介紹各種規則平面幾何圖形的各種特性及面積的計算方式，舉凡三 角形、正方形、長方形、菱形、梯形、平行四邊形、圓形……等，在小學 的數學領域教材與教學上，佔有相當的比重。 在周長與面積這兩個概念中，以周長概念較難被理解，原因出在計算周 長時，須先確認此周長是從該平面所圍繞出來的周界，然後才能正確地計 算或測量出周長的長度，而不像面積有明顯的單位面積方格可讓學生點數 （Fitzgerald,1979）。正因為周長概念的理解較面積概念困難，所以有學者研 究指出應將面積概念的教學置於周長概念之前，而不應該同時進行，等到 學生理解面積概念後，再教授周長的概念，學習效果會較為顯著 （May,1999）。在諸多學者過去的研究（高敬文，1989；譚寧君，1994，1995； 陳鉪逸，1996），發現國小面積課程與教材的教學，大多以講述法來教學， 較少使用面積覆蓋、單位面積點數……等，利用實物操作、輔助概念形成 與理解的學習過程，而偏重於規則性面積例如：三角形、正方形、長方形、 梯形、平行四邊形、圓形……等的公式記憶，因此，使學童的面積概念狹 隘的滯留於面積公式的套用與計算。
周長和面積雖然分屬一維及二維的概念，看似相當容易理解也很好區 別，但研究者在教學實務現場，卻常常發現有部分小學學童會將周長與面 積的概念與計算混淆在一起，對面積與周長的概念理解，較不清楚面積與 周長的原始定義，而侷限於面積與周長公式的記憶，也使的學生們在評量 或練習解題時，會有部分學生產生解題概念錯誤或誤用公式的情形發生。 而回溯從民國 85 年起至今所進行的教育改革，就是為了剔除填鴨式的速成 型教學，及傳統考試領導教學的弊病，讓基礎的國民教育能回歸到以學習 者為主體，以知識完整面為教育的主軸，讓數學知識與數學能力不再只是 為了應付考試，而能成為日常生活及未來謀生應具備的基本能力，要把每 一位學生都帶上來，讓學生有帶著走的能力。基於上述教育理念，研究者 想利用本次研究機會，將目前學生對於周長與面積知識之理解與應用的錯 誤認知及迷思概念，設計一套研究的歷程與方法，將其根源及癥結找尋出 來，期望能對教學及課程的實務應用上，提出適切的解決方案，以幫助學 生在周長與面積的學習上，獲得正確且全面的相關知識，能對學生往後的 數學領域及相關的科學知識，有實質與正面的效益。
第二節 研究目的與待答問題
一研究目的
基於上述的研究動機，本研究的研究目的分為以下幾點： （一）應用TestGraf 98 軟體，
來探討國小高年級學童對面積與周長概念 理解的情形。 （二）探究不同年級的國小學童在面積與周長概念表現的差異。 （三）探究不同性別的國小高年級學童在面積與周長概念表現的差異。二、待答問題
根據以上的研究目的，本研究欲探討的研究問題如下： （一）根據
TestGraf 98 軟體
所呈現的圖表資料，探討國小高年級學童在 面積與周長概念的理解情形為何？（二）不同年級的國小學童在面積與周長概念的表現差異情形為何？ （三）不同性別的國小高年級學童在面積與周長概念的表現差異情形為 何？
第三節 名詞釋義
一、國小高年級學童
本研究中之國小高年級學童係指九十九學年度臺中市某國小五、六年 級共七班的學生。二、面積（Area）
本研究所稱的面積是指直線或曲線構成的周界所圍成封閉區域的大 小，是一種二維的度量概念，用單位面積覆蓋或計量來估算其大小。本研 究所探討的面積，僅限三角形、正方形、長方形、平行四邊形和梯形之面 積，以及不規則圖形的估算。三、周長（Perimeter）
本研究所稱的周長是指平面圖形之外圍，沿著封閉圖形邊緣所量測的 距離，為一封閉曲線之長度。本研究所探討的周長，僅限三角形、正方形、 長方形、平行四邊形和梯形之周長。
四、迷思概念（Misconcfption）
指學童在日常生活中對某些現象或事件，因為知識不健全、推理能力 不足或邏輯架構不正確，導致所建構出的想法及概念有所偏差、甚至錯誤， 與目前科學家所訂定的概念與想法不同。
五、核平滑法無參數試題特徵曲線估算法（kernel smoothing
approaches to nonparametric item characteristic curve estimation）
加拿大心理計量學者 Ramsay，於 1991 年首先應用直觀簡單之核平滑 化無參數迴歸函數法，估計試題特徵曲線及選項特徵曲線（劉湘川， 2001b），結合高低試題鑑別指數與核平滑無參數估算法，發展出正確選項 與誘答選項均可分析之核平滑法無參數試題特徵曲線估算法。Ramsay （1991）的研究指出此方法並未假設任何適當的模式，完全依據受試者實 際作答資料來進行分析，是一種無參數的試題反應理論。核平滑（kernel smoothing）是指被估計的受試者加以排序後的函數，和試題選項被選與否 （被選指示值顯示為 1，否則為 0），是一種二元變數（binary variable）之 間的關係（楊自強，2004）。
六、選項特徵曲線（option characteristic curve，OCC）
選項特徵函數是指試題選項反應的結果與受試者的能力之間的數學函 數關係。而將此函數關係轉化為曲線圖形，即稱為選項特徵曲線。選項特 徵曲線是以受試者的能力（團體中的排序）為橫軸，受試者在某一試題之 選答率為縱軸，事先並無假設其服從某一特定之試題反應理論，完全根據 受試者的作答資料，應用核平滑法所得的平滑曲線圖形（徐主銘，2010）。 選項特徵曲線將複雜及龐大的資料與數據圖形化，有利於簡化試題選項間 之分析與探討，相較於單純的數字或文字敘述來的更加簡便，也更一目了 然。
七、TestGraf 98 軟體
TestGraf 98 軟體是一套無參數（nonparameter）IRT 軟體，亦為一分享 軟體（shareware），由 J.O.Ramsay 根據核平滑法無參數試題特徵曲線估算法 的理論，於 1995 年發展出來，可用來估計選擇題之選項特徵曲線（option
characteristic curve，OCC），可分析測驗、問卷及心理量表，用於二元與多 元計分的試題，可以診斷試題和試題選項的特徵。
第四節 研究限制
本研究受限於人力、經費及時間各方面之考量下，有下列限制：一、樣本數量
本研究僅以研究者所服務之臺中市某國小五年級四個班與六年級三個 班共 190 人，為本次之研究樣本。二、結果推論
本研究以「國小周長與面積概念」為範圍，進行國小高年級學童周長 與面積概念的診斷研究，研究結果僅能作區域性的推論，不宜作全面性的 概括推論。若要推廣至其他年級、區域、或不同的數學相關概念時，應審 慎評估其可行性，做適度的調整與轉化。第二章 文獻探討
本研究旨在探討國小高年級學童對周長與面積概念的理解情形，並深 入探究所產生的迷思概念與錯誤認知，進而提出解決的策略與建議。第一節 兒童周長與面積相關概念的發展
根據 2003 年九年一貫課程綱要，數學領域五大主題的分類，周長屬於 「數與量」中的幾何（視覺）量，而面積則屬於「數與量」中的幾何（視 覺）量與「幾何」兩大主題。周長是長度量的延伸，屬於一維空間，而面 積則是一種依附在幾何圖形區域所產生的量，屬於二維空間。在國小階段 「數與量」與「幾何」兩大主題佔了相當的比重，對於學生往後數學領域 的學習有著一定的影響，所以本節欲針對兒童量與幾何概念的發展加以探 討，以提升及增進對周長與面積的認知和瞭解。一、兒童量概念的發展
（一）量的意義與性質 「量」自人類有歷史以來，為了日常生活的各種需要，通常利用單位 量的點數與應用測量工具實際測量的方法，例如：家裡養了幾隻雞、自己 的農田有多大，就能得到所要計算之量的結果。由此可知「量」是由實物 的感官世界抽象衍生出來，而數的概念則是某種量與單位間的關係（甯自 強，1993c），所以量是數的基礎。 「量」在一般可分為離散量與連續量兩大類。「離散量」是指最小單位 量之間無法再進行分割或細分，單位量與單位量之間是間斷的，例如：班 上的男學生有幾人、停車場裡的車子有幾輛、辦公室的桌子有幾張……等 等，都是日常生活中常見的離散量，通常都是藉由最小單位量點數的方式 來計算；「離散量」是一種不連續的量，通常最小的單位量為「1」，對學生 的認知而言，「離散量」可以很快的讓學生掌握「1」的單位量，而國小階段整數的學習，是指自然數（1、2、3、4…）和 0，是用來處理離散量的計 數與計算，所以整數是由離散量抽象化而來的，因此整數與離散量的學習 是相輔相成的。 「連續量」是指單位量之間可以再分割，因此連續量並無最小單位量的 存在，日常生活中也有許多連續量的存在，例如：身高有多高、體重有多 重、臺中到臺北的距離有多長……等等，可以發現需要實際測量的量，大 部分都是連續量，而相同連續量的測量與比較，從粗略且不精確的個別單 位比較，發展到普遍統一且精確的單位量的量測（趙明勳、甯自強，1988； 劉秋木，1996）。因此在九年一貫課程綱要中，量與實測所包含的長度、容 量、角度、面積、體積五種幾何（視覺）量，都屬於連續量的範疇，而國 小階段有理數（分數與小數）的概念的認知與學習，即是由連續量的抽象 化延伸出來的。 「連續量」又可分為內涵量與外延量兩種，非線性或非可加性的量稱 為內涵量，線性或可加性的量成為外延量（許天維、鍾靜，1997）。用來表 示強弱的量通常稱為內涵量，許多相同單位的內涵量合在一起，不能以加 法來求其全體總和的強弱（吳貞祥，1990），例如：物理學上用來測量聲音 強弱的單位－分貝（db），即是典型的內涵量，因為 30 分貝的聲音加上 10 分貝聲音，並不等於 40 分貝，而會小於 40 分貝。外延量是表示大小的量， 長度與面積皆屬之，因為兩者的部分組成全體時，可以用部分的相加求得 整體的長度或面積。而周長是長度量的延伸概念，看似可以將部分量以加 法方式求得合成之整體，但因為周長為平面幾何圖形之周界，若直接計算 兩平面幾何圖形的周長總和，則周長則可視為外延量；若先將兩部分幾何 平面圖形結合成一平面幾何圖形，則兩部分周長無法直接相加求出整體周 長。 （二）量概念的發展 人類量概念的發展，是先察覺離散量的存在，之後因為人類生活與文 明發展的需要，才有連續量的概念產生（陳鉪逸，1997）。瑞士生物學及心 理學家 Piaget，發現將物體的量維持不變，而只改變物體的形狀、位置或方 向，則稱為量的守恆性，而能辦識出量的守恆性則具備了量的保留概念。
Piaget 認為兒童必須具備量的保留概念，才能進行量的實測，並透過實驗對 兒童的保留概念作實際觀察，發現兒童約在六至七歲左右，開始有長度與 容量的保留概念，七至八歲左右開始有面積的保留概念，八至九歲左右開 始有重量的保留概念，十一至十二歲左右開始有體積保留概念。
Piaget,Inhelder and Szeminska（1960）曾對兒童自發性的測量活動作觀 察與研究，發現測量概念的發展可分成三個階段： 階段一：直觀比較（perceptual comparison） 此階段的兒童年齡約在四歲半以前，兒童在比較兩個量的大小時，是 透過視覺直觀的方式，來分辨與比較量的大小，但還無法使用共同單位量 （common measurement）來做比較。 階段二：應用位置的改變（change of position） 此階段的兒童年齡約在四歲半到七歲之間，在測量過程中，有時會移 動要比較的物體或移動第三物，以方便物體間量的比較，此時已有共同量 的預備經驗，但仍未具備遞移的邏輯概念。 階段三：真正的測量（true operation） 此階段的兒童年齡約在七歲以後，已能操作共同度量，並認知與理解 量的遞移性，即瞭解 X＝Y 又 Y＝Z，則 X＝Z，或 X＞Y 又 Y＞Z，則 X＞ Z，並使用遞移性來比較量的大小。劉秋木（1996）研究指出也可藉由測量 的媒介物，實際測量與比較兩個物體量的大小。 Piaget 強調上述的兒童測量能力發展階段論，是循序漸進式的發展而 來，須在上個階段發展完成後，才能繼續發展下一個階段，直到七歲以後 的兒童才具備實際測量的基礎與能力。 二、兒童幾何概念的發展 兒童幾何概念是如何發展的呢？教育部（2003）九年一貫課程綱要指 出，人類是視覺動物，天生對於「形」與「幾何」的直覺，非常的豐富與 多樣化。在人類的日常生活當中，舉凡直線、曲線、垂直與平行、圖形的 邊緣、圖形的辦別、全等、對稱、圖形的放大與縮小……等視覺影像處理， 對人類的大腦而言是易如反掌，也是人類生活上必備的知識；因此，幾何
主題的學習是數學教育中極為重要的重要課題。
兒童幾何概念的發展理論，研究者將針對 Piaget 的相關研究與 van Hiele 幾何思考層次的理論，加以探討如下：
（一）Piaget 的相關研究
Piaget,Inhelder and Szeminska（1960）研究指出兒童對於幾何概念的理 解有其發展的先後順序，兒童必須先理解拓樸幾何的性質，才能理解投影 幾何與歐氏幾何的性質。針對上述三種幾何性質探究如下： 1.拓樸幾何（topological geometry）階段： Piaget et al.（1960）研究指出，在 2 到 4 歲的兒童處在前運思期的發展 階段，僅能掌握拓樸學的圖形概念。對於長度或角度的差異，無法仔細觀 察與察覺，而針對直線與曲線，也無法嚴格的區別，至於左右位置的辨認， 常常不知所措（吳貞祥，1990）；只能依據圖形是否封閉，來區辨圖形的內 外。在此階段，兒童能理解三角形、四邊形及圓形都是簡單封閉的幾何圖 形，但卻無法分辨這些圖形的差異（劉秋木，1996）；如果要此階段的兒童 畫出三角形、長方形……等常見的簡單幾何圖形，各邊常常畫得凹凸歪曲 不平，畫出的各角也較為渾圓。 2.投影幾何（projective geometry）階段： Piaget et al.（1960）研究指出，在 4 到 7 歲的兒童處在前運思期邁向具 體運思期的發展階段，已經漸漸發展到投影幾何的圖形概念。在此階段兒 童著重於自己本身的視覺觀察，認為只有經過視覺認定的形體，才是真實 存在的，而在視覺之外的事物都是虛無、不真實的（劉秋木，1996）。可以 看出，視覺在這個階段對於幾何概念的發展，是扮演舉足輕重的關鍵角色。 此階段的兒童，會因為幾何圖形所擺放位置的角度與遠近的不同，而覺得 幾何圖形的形狀與大小有所改變。 3.歐式幾何（Euclidean geometry）階段： Piaget et al.（1960）研究指出，在 7 到 11 歲的兒童處在具體運思期的發 展階段，開始能掌握歐式幾何的圖形概念，也逐漸具備長度與距離保留的 概念。此階段的兒童開始理解線段長短、角度與平面大小的意義（朱莉文， 2005）；Piaget and Inhelder（1967）研究指出，兒童因為具備長度與距離保
留的概念，開始發展出測量的概念，兒童最初是以自己最方便取得與最熟 悉的東西作為測量工具，例如：自己的手掌、腳掌、手臂以及身體軀體部 位的長度，Piaget 將此測量方式稱為「手的遷移」及「軀體遷移」。隨著認 知概念逐漸成熟，兒童逐漸學會使用標準單位的量尺作為測量工具，在此 階段也發展出面積保留概念（吳貞祥，1990）。
在 Piaget and Inhelder（1967）的研究中，將兒童幾何概念的發展分為 二個層次：一為知覺層次，是藉由視覺與觸覺…等感官方式來學習；一為 概念層次，是透過想像與思考的方式來學習（陳鉪逸，1997）。針對上述二 各幾何概念的發展層次探究如下：
1. 知覺層次：Piaget and Inhelder（1967）在實驗中採用觸摸的方式，讓兒 童伸手進入袋中觸摸圖形板，在依照觸覺來判斷圖形為何，是一種將觸覺 經驗轉換為視覺心像的歷程。此實驗發現兒童以觸覺來判斷圖形板的能力 發展可分為三階段： （1）階段一：此階段的兒童約在 2 到 4 歲，起初僅能分辨日常生活中常見 的圖形，如：湯匙、筷子……等，後來漸漸能分辨拓樸圖形中封閉與 非封閉圖形之差異（王選發，2002）。 （2）階段二：兒童約為 4 到 6 歲時，已能區別直線與曲線所構成幾何圖形 之不同，但是對於同樣是直線所構成的幾何圖形，還是存在辨別上的 困難。 （3）階段三：兒童約在 7 歲以後就發展至此階段，最大的特徵在於已能夠 清楚分辨，直線所構成的幾何圖形間的不同點，例如：三角形、長方 形、正方形與菱形……等的差異。
2. 概念層次：Piaget and Inhelder（1967）在實驗中讓兒童模仿繪畫出所見 到的圖形，但兒童常常是畫其所知，而非畫其所見。例如：兒童在畫公共 汽車時，會將其畫成透視的狀態，為了將車上的乘客也一併畫出來，但圖 形中並沒有顯示出車上的人。所以兒童在繪畫時，並非全然憑藉對圖形的 視覺，而是經常加入自己對於圖形的知覺與瞭解。Piaget & Inhelder 將兒童 模仿繪畫圖形的能力發展區分為四階段：
畫。 （2）階段一：兒童約在 3-4 歲時發展至此階段，已能畫出拓樸圖形，並能 區辨封閉與非封閉之圖形，而忽略歐式幾何的性質（王選發，2002）。 此階段的兒童所畫出的幾何圖形，其邊經常歪七扭八、凹凸不平，其 角也常呈現圓滑的情況，所以模仿繪畫出來的多邊形，看起來都像不 規則的圓形，但圖形的開口與封閉已能清楚畫出。 （3）階段二：此階段的兒童約在 4-7 歲，起初僅能分辨直線與曲線圖形之 不同，漸漸的對於簡單多邊形，例如：三角形、長方形、正方形…… 等，以及圓形與橢圓形，也開始能辨別它們的差異。 （4）階段三：兒童約在 7 歲以後發展至此階段，最大的特點在於兒童已 能模仿畫出常見的幾何圖形，例如：三角形、長方形、正方形與菱 形……等。 由上述可知，Piaget 對於兒童的幾何發展理論，是屬於以年齡區分的階 段論，雖然如此，但並非以絕對的年齡來切割或分界兒童的幾何發展，而 是強調兒童會因為身體與心理的發展與成熟，讓兒童的幾何發展進入到更 高的階段，而且其中也包含了兒童本身的個別差異，和 Piaget 的認知發展 論可以相互對應。從 Piaget 的理論可發現，兒童的幾何發展過程，一個階 段一個階段的逐漸成長，是循序漸進的，發展的快慢雖有個別差異的存在， 但每個兒童所要經歷的階段順序是不變的。 （二）van Hiele 幾何思考層次的理論
荷蘭數學家 van Hiele 夫婦根據完形心理學理論與 Piaget 的認知發展 論，針對人類從小到大幾何概念思考的學習型態作縝密的研究，在 1957 年 提出著名的「van Hiele 幾何思考層次論」。van Hiele 幾何思考層次的理論， 將人類學習幾何的歷程分為五個層次，但國內外學者對五個層次有不同的 表示方式，部分學者用「層次一、層次二、層次三、層次四、層次五」（吳 德邦，1998；van Hiele,1986），部分學者則用「層次Ο、層次一、層次二、 層次三、層次四」（劉湘川、劉好等，1994；劉好，1998）。本研究採前者 的說法，茲將五個層次分別敘述如下：
1.層次一－視覺期（visualization） van Hiele（1986）研究指出，此一層次的兒童是藉由視覺來觀察幾何圖 形的外觀與形體，從圖形的輪廓來獲得幾何圖形的概念，他們可以辨別及 比較日常生活中幾何圖形的差異，甚至可以知道幾何圖形的名稱，但並不 了解這些幾何圖形的真正定義（盧銘法，1996）。例如：兒童知道御飯糰看 起來像三角形、液晶電視的平面看起來像長方形、飛盤看起來像圓形，但 卻不知道三角形、長方形、圓形的定義為何。朱莉文（2005）研究指出此 階段兒童對於幾何圖形的思考及推理，受視覺感官的影響很大。 2.層次二－分析期（analysis） 此一層次的兒童開始了解幾何圖形的構成要素，也具備了區辨不同圖 形特徵的能力（劉好，1998）。van Hiele（1986）研究指出，兒童利用分析 的方法，來了解幾何圖形的構成要素，並藉由實際的操作，例如：覆蓋、 翻轉、尺量、單位格子的觀察……等方式，來察覺相似圖形間的共同規則 與性質，但無法推理與比較不同圖形間其構成要素的關係（吳德邦，1998）。 例如：兒童能觀察與分析出正方形四個邊都一樣長，長方形有二個長邊和 二個短邊，但卻無法推理出兩個圖形的關係為何（王選發，2002）。 3. 層次三－關係期（relation）或非形式演繹期（informal deduction） van Hiele（1986）研究指出，此一層次的兒童可以經由非正式的論證， 把先前已經理解的幾何圖形性質作邏輯性的結合，來發現兩個圖形間的屬 性與包含關係。例如：只要知道四邊形四個角都是九十度，不必將其他屬 性詳細描述，就能確定此四邊形必為長方形，而正方形四個角也都是九十 度，所以正方形是長方形的一種，也就是說正方形包含於長方形的性質之 中。兒童使用幾何圖形的定義與公式，整理已知的圖形性質，進行非正式 的推理或討論（吳德邦，1998）。 4. 層次四－形式演繹期（formal deduction） 此一層次的人，能夠利用抽象與邏輯推理的方式，來證明各種幾何性 質，而且知道證明的途徑不只一種（吳德邦，1998）。王選發（2002）研究 指出，他們不再只是記憶幾何圖形的性質，也不必靠記憶公式來證明幾何 問題，知道幾何圖形的充要條件，並發現正逆命題間的差異（王欽麟，2001；
朱莉文，2005）。例如：正方形四個邊等長，但四個邊等長的四邊形不一定 是正方形。 5. 層次五－嚴密性（rigor）或公理性（axiomatic） van Hiele（1986）研究指出，此一層次的人可以在不同的公理系統中建 立定理，並且分析或比較這些系統的特性，已經能區辨歐式幾何和非歐幾 何的差異（王欽麟，2001），也可以理解抽象推理幾何，甚至可以創造出另 一種幾何公設系統（葛曉冬，2000）。劉好（1998）研究指出，要達到此一 階層的人非常的少，即使專家學者也不易發展到此階層。 van Hiele 幾何思考層次的理論，五個層次有其先後順序，前面的層次 為後面層次的基礎，必須具備前面層次的能力後，才有機會繼續往下一個 層次發展；而人們即使心智與身體發展皆已成熟，也不見得能夠將 van Hiele 幾何思考的五個層次發展完全。劉好（1998）研究指出，國小低年級的學 童大都在層次一－視覺期，中年級的學童大都發展至層次二－分析期，高 年級學童約可達到層次二與層次三－關係期的過渡時期。
三、結論
經由探討兒童量與幾何概念的發展，研究者發現這些理論與九年一貫 課程綱要周長與面積教材的架構，及國小數學學習領域周長與面積之教材 內容編排的順序，前後呼應及相互契合；也讓研究者更加了解學童對於量 與幾何發展的順序與重點，以便在編製「國小高年級學童面積與周長概念 測驗」的試題時，能以這些文獻理論為參考基礎，更能切合受試者在量與 幾何的發展層次，掌握學童量與幾何的學習順序的先備知識，而期望能診 斷出受試者在面積與周長概念上的迷思。 而教師在教學現場，教授數學領域量與幾何的相關主題時，若能對於 兒童量概念的發展、Piaget 的幾何概念發展研究與 van Hiele 幾何思考層次 的理論，有深入級全面的了解，則教師的教學活動的設計一定能更貼近學 童的能力與需要，學生學習起來有會更輕鬆，老師也能有效掌握學生學習 的限制。第二節 九年一貫周長與面積概念之教材分析
一、九年一貫周長與面積概念能力指標之分析
數學之所以被納入國民教育的基礎課程，有三個重要的原因：一、數 學是人類最重要的資產之一，二、數學是一種語言，三、數學是人類天賦 本能的延伸（引自教育部，2003）。根據教育部 2003 年所頒布之國民中小 學九年一貫課程綱要數學學習領域，周長教材屬於「數與量」的主題中， 量與實測的一環；面積教材則屬於「數與量」與「幾何」兩個主題。在國 小幾何形體學習，著重於察覺、操作、構造與推證明……等等面向。小學 的幾何教學可以引入幾何歷史的發展，引發學生的幾何直覺，在實際操作 中，認識各種簡單幾何形體與其性質，再慢慢加入簡單的推理性質與不同 幾何形體之間的關係（教育部，2003）。 在國小的量與實測是課程的核心之ㄧ，其中量包含長度、重量、容量、 時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量。因為長度保留概念是學 童最早成熟的量，也是最容易的操作的量，因此在教學最為關鍵。而長度、 容量、角度、面積、體積屬於幾何（視覺）量，在教學上可以藉由學生對 日常生活的幾何經驗入手，學生較容易理解（教育部，2003）。上述的幾何 （視覺）量，在學習及教材的安排上，可分成下列四個階段來進行：初步 概念與直接比較；間接比較與個別單位；常用單位的約定；常用單位的換 算（教育部，2003）。將此四階段轉換成周長與面積教材的詮釋如表 2-2-1。表 表表 表 2-2-1 九年一貫課程綱要周長與面積教材的詮釋九年一貫課程綱要周長與面積教材的詮釋九年一貫課程綱要周長與面積教材的詮釋九年一貫課程綱要周長與面積教材的詮釋 九年一貫課程綱要（教育部，2003） 周長教材的詮釋 面積教材的詮釋 （黃琡懿，2007） （a）初步概念與直接比較：首先， 透過感官直接感覺該量，再對兩同 類量作直接比較，最後是量的複 製，這是（b）的前置經驗。另外， 也包括利用測量工具之刻度直接描 述一量。量的複製包括：整體複製、 合成複製與等量合成複製。 1.透過感官建立周長 的初步概念。 2.周長的直接比較。 3.周長的整體複製、 合成複製與等量合 成複製。 4.利用公分刻度的直 尺直接描述周長。 1.透過感官建立面積 的初步概念。 2.面積的直接比較。 3.面積的整體複製、 合成複製與等量合 成複製。 4.利用平方公分板直 接描述面積。 （b）間接比較與個別單位：對無法 直接比較的兩同類量，能透過媒介 量，分別作直接比較，並利用比較 結果，做出兩量之比較(涉及量的保 留概念與量的遞移律)。能作間接比 較，便能使用個別單位作測量。 1.透過媒介物先對兩 物的周長分別作直 接比較，並利用比較 結果，進行周長的間 接比較。 2.周長的個別單位比 較。 1.透過媒介物先對兩 物的面積分別作直 接比較，並利用比較 結果，進行面積的間 接比較。 2.面積的個別單位比 較。 （c）常用單位的約定：認識某類量 之常用單位，並能運用此單位，作 量的比較、加、減、乘、除。 1.認識周長常用單 位：公分、公尺。 2.能運用周長常用單 位作周長的比較、 加、減、乘、除。 1.認識面積常用單 位：平方公分、平方 公尺、公畝、公頃。 2.能運用面積常用單 位作面積的比較、 加、減、乘、除。 （d）常用單位的換算：在測量時， 首先能用大小單位的複名數來描述 測量結果。然後再學習使用單位換 算的約定，來進行換算。 1.使用長度單位描述 周長測量的結果。 2.使用周長單位換算 的約定。 1.使用複名數描述面 積測量的結果。 2.使用面積單位換算 的約定。 ※其中「周長」、「面積」、「體積」 有中文簡記之計算公式。 簡單圖形周長公式 的應用。 簡單圖形面積公式 的應用。
現行的九年一貫課程綱要數學領域，將九年的國民教育區分為四個學習 階段，階段一為一到三年級，階段二為四到五年級，階段三為六到七年級， 階段四為八到九年級。「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個 主題的能力指標以三碼編排，其中第一碼表示主題，分別以字母 N、S、A、 D 表示；第二碼表示階段，分別以 1, 2, 3, 4 表示第一、二、三和四階段； 第三碼則是能力指標的流水號，表示該細項下指標的序號。雖以主題與階 段來區分，仍有若干能力指標採跨主題方式同時編列，如「數與量」、「幾 何」，以強調其連結，此類指標皆以相關連結編碼註記（引自教育部，2003）。 將數學領域五大主題，與周長及面積相關的能力指標，分別敘述如下。 （一）九年一貫周長概念能力指標之分析 周長是屬於長度的一種量，茲將九年一貫課程綱要中，與周長相關的 能力指標，以表列的方式羅列如表 2-2-2： 表 表表 表 2-2-2 周長相關的能力指標周長相關的能力指標周長相關的能力指標周長相關的能力指標（（（教育部（教育部教育部，教育部，，2003）， ）） ） 階段 能力指標編碼 能 力 指 標 N-1-11 能由長度測量的經驗，透過刻度尺的方式來認識數 線，並標記整數值。 N-1-14 能對兩個同類量作直接比較。 N-1-15 能作兩個同類量的間接比較與個別單位的比較。 N-1-16 能使用日常測量工具進行實測活動，理解其單位和 刻度結構，並解決同單位量的比較、加減與簡單整 數倍的問題。 N-1-17 能做量的估測。 S-1-03 能認識周遭物體中的角、直線和平面。 階段一 S-1-04 能認識平面圖形的內部、外部及其周界。
表 表表 表 2-2-2（（（續（續續）續））） 階段 能力指標編碼 能 力 指 標 N-2-17 能理解長方形面積、周長與長方體體積的公式。 （S-2-07） 階段二 A-2-04 能使用中文簡記式記錄常用的公式。 N-3-16 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面 積。（S-3-04） 階段三 S-3-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的 影響，並認識比例尺。 由表 2-2-2 可知在階段ㄧ（ㄧ到三年級），藉由感官的直接觀察，由直 線段的長度初步概念入手，進而進行兩個同類量的直接比較，接著進行間 接比較與個別單位的比較，也培養對量的估測，認識周遭物體的角、直線 和平面，如此循序漸進的引入並分辨平面圖形的內部、外部與周界，此時， 學生對於周長的概念已有初步的認識。到了階段二（四到五年級），學生開 始學習簡單幾何圖形例如：三角形、正方形、長方形之周長計算及公式； 階段四（六到七年級），學會圓周長的計算與公式，能認識平面圖形放大、 縮小對長度的影響。量的教學，重視培養量感，學習量的估測，從日常生 活的常用單位著手，才能與別人溝通觀察的結果（教育部，2003）。由此看 來，九年一貫課程綱要對於周長教材的安排，是由直線段入門，進而分辨 平面圖形的內部、外部與周界，到最後才進入平面圖形周長的計算。 （二）九年一貫面積概念能力指標之分析 面積屬於「數與量」及「幾何」兩大主題，是日常生活中經常接觸到 的數學概念，也是國小階段非常重要的量與幾何的知識，茲將九年一貫課 程綱要中，與面積相關的能力指標，以表列的方式羅列如表 2-2-3：
表 表表 表 2-2-3 面積相關的能力指標面積相關的能力指標面積相關的能力指標面積相關的能力指標（（（教育部（教育部教育部，教育部，，2003）， ）） ） 階段 能力指標編碼 能 力 指 標 N-1-14 能對兩個同類量作直接比較。 N-1-15 能作兩個同類量的間接比較與個別單位的比較。 N-1-16 能使用日常測量工具進行實測活動，理解其單位和 刻度結構，並解決同單位量的比較、加減與簡單整 數倍的問題。 N-1-17 能做量的估測。 S-1-03 能認識周遭物體中的角、直線和平面。 S-1-04 能認識平面圖形的內部、外部及其周界。 S-1-05 能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單 圖形。 階段一 S-1-07 能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象。 N-2-15 能認識測量的普遍單位，並處理相關的計算問題。 N-2-16 能理解普遍單位間的關係，並在描述一個量時，作 不同單位間的換算。 S-2-01 能運用簡單幾何形體的組成要素，作不同形體的分 類。 S-2-02 能理解垂直與平行的意義。 S-2-03 能透過操作，認識簡單平面圖形的性質。 S-2-07 能理解長方形面積、周長與長方體體積的公式。 （N-2-17） 階段二 S-2-08 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形 的面積公式。（N-2-19）
表 表表 表 2-2-3（（（（續續續）續）） ） 階段 能力指標編碼 能 力 指 標 階段二 A-2-04 能使用中文簡記式記錄常用的公式。 S-3-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的 影響，並認識比例尺。 S-3-03 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估 算其面積。（N-3-15） 階段三 S-3-04 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面 積。（N-3-16） 在九年一貫課程綱要中，幾何課程的學習，從階段一強調幾何形體的 認識、探索與操作，學生對幾何形體中的幾何要素，也許能指認，但並不 清楚結構的意義；階段二學生開始結合「數」與「形」，學習運用幾何形體 的構成要素（如角、邊、面）及其數量性質（如角度、邊長、面積）；階段 三透過形體的分割、拼合、截補、變形及變換等操作，來了解形體的性質 與幾何量的計算及非形式化推理（引自教育部，2003）。 由表 2-2-3 可以理解九年一貫課程綱要對於面積教材的安排，於階段ㄧ （一到三年級）能運用感官察覺日常生活週遭物體的角、直線和平面，分 辨平面圖形的內部、外部與周界，並透過實際操作，將簡單圖形切割重組 成另一已知簡單圖形，也要認識水平、鉛直、平行與垂直的現象。於階段 二（四到五年級）能對簡單幾何形體做分類，理解垂直和平行的意義，並 透過實際操作，認識簡單平面圖形的性質，進而理解其面積公式。於階段 三（六到七年級）能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響， 理解圓面積的公式，並計算簡單扇形面積，也能以適當的正方形單位，對 曲線圍成的平面區域估算其面積。
二、九年一貫周長與面積概念之教材分析
在九年一貫課程綱要，周長屬於「數與量」的主題中，「量與實測」的 子題；而面積則橫跨「數與量」及「幾何」兩大主題。因此本節將針對國 小數學課程中有關周長與面積的教材，選擇翰林版、南一版與康軒版做歸 納與整理，以期掌握不同版本對不同年級周長與面積教材與課程安排的情 形。 （一）國小數學領域周長教材 1.翰林版 表 表表 表 2-2-4 翰林版周長教材翰林版周長教材翰林版周長教材翰林版周長教材 冊別（出版年） 單元名稱 教學目標 第一冊 （2009d） 二、比一比 1.直觀比較長短，並描述長。 2.進行長度的直接比較並辨認直線和曲線。 3.複製直線物、彎曲物的長。 第二冊 （2010c） 二、長度的比較 1.進行長度的間接比較、個別單位比較及實測與估測。 2.兩物件長的結合、分解與比較 第三冊 （2009a） 三、認識公分 1.認識尺。 2.用尺進行實測活動。 3.做出指定長度。 4.長度的分與合。 5.用布尺和身體部位進行實測與估測。 第四冊 （2010a） 二、認識公尺 1.公尺的實測與估測。 2.公分、公尺間複名數的化聚。 第四冊 （2010a） 八、角、邊、面 1.認識角。 2.認識正三角形與正方形。 3.認識面與邊。 4.認識正方體和長方體。 第五冊 （2009a） 二、平面圖形 1.認識周界、內部、外部。 2.認識周長並測量周長。 3.藉由簡單切割，將一個圖形重組成另一個以之圖形。 第六冊 （2010a） 四、角與圓 1.認識角的構成要素。 2.認識圓的圓心、圓周、半徑、直徑。 3.透過畫圓了解半徑、直徑間的關係。表 表表 表 2-2-4（（（（續續續）續）） ） 冊別（出版年） 單元名稱 教學目標 第六冊 （2010a） 七、認識毫米 1.公分、毫米間的化聚。 2.認識 1000 毫米＝1 公尺。 第七冊 （2009a） 五、周長與面積 1.認識平方公尺，及平方公分、平方公尺間的關係， 並進行相關的計算。 2.求出簡單複合圖形的面積與周長。 第八冊 （2010a） 二、公里與概數 1.認識公里，進行公里、公尺複名數的加減與化聚。 2.認識概數。 3.認識四捨五入法、無條件進入法及無條件捨去法。 4.進行概數的計算。 第十二冊 （2010d） 一、圓周率與圓周 長 1.能運用圓周率，求各種圓的圓周長和直徑長。 2. 能運用圓周率，求扇形弧長和周長。 2.南一版 表 表表 表 2-2-5 南一版周長教材南一版周長教材南一版周長教材南一版周長教材 冊別（出版年） 單元名稱 教學目標 第一冊 （2009a） 八、比長短 1.直觀比較長短。 2.比較直線與曲線。 3.直觀比較高矮、厚薄。 4.直接比較長短、高矮、厚薄。 第二冊 （2010a） 二、長度 1.長度的直接和間接比較。 2.使用個別單位進行長度的複製及比較。 3.長度的合成和分解。 第三冊 （2009a） 二、幾公分 1.公分的認識。 2.實測與估測。 3.畫出指定長度。 4.長度的加減。 第四冊 （2010a） 二、幾公尺 1.使用以公尺為刻度單位的工具。 2.認識 1 公尺（m）。 3.以 1 公尺為單位，進行估測、實測及同單位的計算。 4.公分、公尺的關係及換算。 第五冊 （2009a） 三、周界和周長 1.分辨平面圖形的周界、內部和外部。 2.點數和實測平面圖形的周長。 3.用指定的長度畫出長方形或正方形。
表 表表 表 2-2-5（（（（續續續）續）） ） 冊別（出版年） 單元名稱 教學目標 第五冊 （2009a） 五、幾毫米 1.認識 1 毫米（mm）。 2.毫米的實測和估測。 3.畫出指定長度。 4.毫米、公分和公尺的換算。 5.毫米和公分、公分和公尺的計算。 第五冊 （2009a） 十、圓 1.辨認圓形並認識圓心、圓周、半徑、直徑。 2.學會使用圓規。 3.了解圓的特殊性質。 第七冊 （2009a） 五、長度 1.認識 1 公里的長度。 2.了解公里和公尺的關係，並進行換算。 3.進行公里和公尺複名數的加、減、乘、除計算。 第七冊 （2009a） 八、面積和周長 1.認識面積的普遍單位（1 平方公分、1 平方公尺）， 應用在生活中面積的實測和估測活動。 2.能用乘法簡化長方形面積的點算。 3.認識長方形、正方形的面積公式。 4.了解平方公分與平方公尺間的關係。 5.進行平方公分與平方公尺的換算。 6.應用長方形和正方形面積公式解決問題。 7.認識周長公式。 8.了解面積與周長的關係。 第十一冊 （2009a） 八、圓面積 1.了解圓周率的意義及求法。 2.進行直徑、圓周長的估測和實測活動。 3.以圓周率進行圓周長、直徑的估測和實測。 4.透過各種不同的方式找出圓面積公式。 5.理解扇形面積的求法及其運用。 3.康軒版 表 表表 表 2-2-6 康軒版周長教材康軒版周長教材康軒版周長教材康軒版周長教材 冊別（出版年） 單元名稱 教學目標 第一冊 （2009d） 二、比長短 1.能描述物件的長。 2.能直接比較物件的長度。 3.能複製及記錄物件的長度，並做間接比較。 4.認識直線、曲線。
表 表表 表 2-2-6（（（（續續續）續）） ） 冊別（出版年） 單元名稱 教學目標 第二冊 （2010d） 三、有多長 1.能間接比較物件的長短。 2.能利用個別單位實測物件的長度，並比較長短。 3. .能利用個別單位做長度的合成分解。 第三冊 （2009d） 二、量長度 1.能理解用不同個別單位測量同一長度時，其數值不 同，並能說明原因。 2.認識「公分」，並使用公分刻度尺測量長度。 3.透過實測培養長度的量感，並進行估測。 4.能畫出兩點間的線段，並測量其長度。 5.能使用直尺畫出或做出指定長度的線段。 6.能做長度的分解和合成。 第四冊 （2010d） 五、公分和公尺 1. 認識公尺，並進行公分和公尺的化聚。 2.透過實測培養量感，並進行估測。 3.能做公尺的加減計算。 第五冊 （2008b） 三、周長與面積 1.認識簡單封閉圖形的內、外部及其周界。 2.認識周長，並能做周長的實測與計算。 3.能將簡單圖形切割重組成另一椅之簡單圖形（含經 驗面積的保留概念）。 4.利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同面 積的大小。 第六冊 （2010c） 五、周長與面積 1.認識平方公分，並以平方公分為單位進行實測。 2.能用平方公分板進行面積的實測，進而使用乘法簡 化面積的點算。 3.能進行平面圖形周長的計算（以公分為單位的一位 小數）。 4.能理解平面圖形等面積不一定等周長，且等周長不 一定等面積。 第六冊 （2010c） 九、長度 1.認識毫米，並以毫米為單位進行實測。 2.知道公尺、公分、毫米間的關係並做化聚。 3.長度的測量與計算。 4.認識整數和小數數線，並在數線上做加減的操作。 第七冊 （2009b） 六、公里 1.能認識長度單位「公里」，知道公里、公尺和公分的 關係，並作化聚。 2.能估測和實測 1 公里的長，並培養量感。 3.能以公里、公尺為單位做加減乘除計算。
表 表表 表 2-2-6（（（（續續續）續）） ） 冊別（出版年） 單元名稱 教學目標 第八冊 （2010b） 八、周長與面積 1.能使用中文簡記式，描述矩形的周長與面積。 2.能用乘法簡化矩形面積的點算。 3. 認識平方公尺，培養量感，並以平方公尺為單位的 實測與估測。 4.能知道平方公分與平方公尺的關係。 5.能以同單位表達的量，做面積的形式計算。 6.能計算簡單複何圖形的面積。 第十一冊 （2009d） 七、圓周長 1.察覺圓周長與直徑的數量關係。 2.認識圓周率及其意義。 3.應用圓周率求算圓周長或直徑（或半徑）。 （二）國小數學領域面積教材 1.翰林版 表 表表 表 2-2-7 翰林版面積教材翰林版面積教材翰林版面積教材翰林版面積教材 冊別（出版年） 單元名稱 教學內容重點 第一冊 （2009d） 四、認識形狀 1.依照物體外觀進行分類與堆疊活動。 2.認識圓形、正方形、長方形、三角形。 3.製作和實物相同的面。 第二冊 （2010c） 七、圖形的排列 1.透過疊合，認識全等。 2.能依給定圖示，做簡單圖形體的平面鋪設與立體堆 疊。 3.認識無空隙的鋪設與堆疊。 第四冊 （2010a） 五、直線與平面 1.認識直線與平面。 2.認識水平面、水平線與鉛直線。 3.認識平面與垂直。 4.面積的比較。 第四冊 （2010a） 八、角、邊、面 1.認識角。 2.認識正三角形與正方形。 3.認識面與邊。 4.認識正方體和長方體。 第五冊 （2009a） 二、平面圖形 1.認識周界、內部、外部。 2.認識周長並測量周長。 3.藉由簡單切割，將一個圖形重組成另一個以之圖形。
表 表表 表 2-2-7（（（（續續續）續））） 冊別（出版年） 單元名稱 教學目標 第五冊 （2009a） 九、平方公分 1.認識 1 平方公分的意義，並進行實測。 2.平面圖形面積的實測、合成與分解活動。 第六冊 （2010a） 四、角與圓 1.認識角的構成要素。 2.認識圓的圓心、圓周、半徑、直徑。 3.透過畫圓了解半徑、直徑間的關係。 第七冊 （2009a） 二、垂直與平行 1.認識並檢驗平行與垂直。 2.畫出平行與垂直線段。 第七冊 （2009a） 五、周長與面積 1.認識平方公尺，及平方公分、平方公尺間的關係， 並進行相關的計算。 2.求出簡單複合圖形的面積與周長。 第七冊 （2009a） 八、角與量角器 1.認識旋轉程度、直角、銳角、鈍角、平角與周角。 2.認識角的測量單位「度」，並進行角的測量與繪製。 3.認識角量的合成與分解。 第八冊 （2010a） 六、全等、三角形 與四邊形 1.認識平面圖形全等性質。 2.根據角和邊的大小，進行三角形的命名。 3.認識正三角形和等腰三角形的性質。 4.認識四邊形的鄰邊、對邊、鄰角及對角。 5.認識平行四邊形、梯形、菱形、箏形。 6.從平行、垂直、邊長、角等概念，統整四邊行的性 質。 第九冊 （2009a） 四、面積 1.以平方公分為單位，進行面積點數。 2.利用切割、拼組，理解平行四邊形、三角形、梯型 的面積公式。 3.運用面積公式，解決複合圖形的面積問題。 第九冊 （2009a） 八、重量與面積的 大單位 1.認識公噸。 2.解決重量的大單位計算問題。 3.認識公畝、公頃和平方公里。 4.解決面積的大單位計算問題。 第十一冊 （2009d） 二、三角形與扇形 1.從了解兩線之平行與垂直的關係開始，進而學會找 出及畫出多邊形的的高。 2.從了解任意兩條平行線所形成的內錯角相等及同側 內角互補的關係，進而知道平行四邊形的對角相等及 鄰角互補。 3.學會反向思考平面圖形的邊角性質及對角線的性質
表 表表 表 2-2-7（（（（續續續）續））） 冊別（出版年） 單元名稱 教學目標 第十一冊 （2009d） 四、圖形的面積公 式 1.從切割、拼合的操作過程中，理解平行四邊形、三 角形、梯形的面積公式。 2.利用平行四邊形、三角形、梯形的面積公式，計算 複合圖形的面積問題。 第十二冊 （2010d） 四、圓面積 1.估算非直線型的平面區域之概略面積。 2.利用公式算出圓面積和扇形面積（含複合圖形面 積）。 第十二冊 （2010d） 九、幾何公式與代 數律 1.結合未知數的概念，將幾何公式、具有交換律和結 合律的加法和乘法及具有分配律的算式，做通則的表 示。 2.南一版 表 表表 表 2-2-8 南一版面積教材南一版面積教材南一版面積教材南一版面積教材 冊別（出版年） 單元名稱 教學目標 第一冊 （2009a） 二、認識形狀 1.認識平面和曲面。 2.立體堆疊。 3.辨識物體的外形並分類。 4.認識長方形、正方形、圓形、三角形、正方體、長 方體、圓柱體和球體，並使用標準名稱描述。 第二冊 （2010a） 六、圖形和形體 1.圍出三角形、正方形、長方形。 2.用圖形板排基本圖形。 3.利用積木堆疊出給定的立體物。 4.依給定圖示或實物，透過拼圖，進行平移、翻轉、 重疊、比對…全等操作。 第三冊 （2009a） 九、面的大小 1.面積的初步認識。 2.認識平面。 3.面的直接比較。 第四冊 （2010a） 七、水平和鉛直 1.透過具體操作，認識生活中水平、鉛直、平行和垂 直的現象。 第四冊 （2010a） 十、平面圖形和立 體圖形 1.認識三角形、長方形和正方形的構成的要素。 2.了解正三角形的 3 個邊一樣長。 3.了解長方形有 2 雙等長的邊。 4.了解正方形的 4 個邊一樣長。 5.認識長方體和正方體的構成要素，及頂點、邊、平 面、邊長的關係。
表 表表 表 2-2-8（（（（續續續）續）） ） 冊別（出版年） 單元名稱 教學目標 第五冊 （2009a） 十、圓 1.辨認圓形並認識圓心、圓周、半徑、直徑。 2.學會使用圓規。 3.了解圓的特殊性質。 第六冊 （2010a） 四、角和面積 1.認識角並比較角的大小。 2.排出圖形的面積。 3.認識平方公分。 4.切割重組圖形。 第七冊 （2009a） 三、角度 1.認識旋轉角。 2.認識直角、銳角、鈍角和平角。 3.使用量角器量角和畫角。 4.角度的估測和計算。 第七冊 （2009a） 八、面積和周長 1.認識面積的普遍單位（1 平方公分、1 平方公尺）， 應用在生活中面積的實測和估測活動。 2.能用乘法簡化長方形面積的點算。 3.認識長方形、正方形的面積公式。 4.了解平方公分與平方公尺間的關係。 5.進行平方公分與平方公尺的換算。 6.應用長方形和正方形面積公式解決問題。 7.認識周長公式；了解面積與周長的關係。 第七冊 （2009a） 十一、三角形 1.認識基本三角形。 2.繪製基本三角形。 3.認識一組三角板。 4.了解平面圖形的全等。 第八冊 （2010a） 九、四邊形 1.了解垂直與平行的意義。 2. 辨認比較正方形、長方形、菱形、梯形和平行四邊 形的性質。 3.認識四邊形的對角線。 第九冊 （2009a） 七、平行四邊形和 三角形的面積 1.能在平方公分板上，透過圖卡的移轉、拼湊活動， 察覺平行四邊形和長方形的面積關係；三角形和平行 四邊形的面積關係。 2.用長方形的面積公式，導出平行四邊形的面積公式。 3.用平行四邊形的面積公式，導出三角形的面積公式。 4.能畫出平行四邊形和三角形在指定底的高。 5.了解平行四邊形（三角形）底和高的變化，與平行 四邊形（三角形）面積的關係。
表 表表 表 2-2-8（（（（續續續）續）） ） 冊別（出版年） 單元名稱 教學目標 第九冊 （2009a） 九、梯形的面積和 應用 1.了解梯形面積的求法和算式。 2.能畫出梯形的高。 3.了解梯形上底、下底和高的變化與面積的關係。 4.面積公式的應用。 第十冊 （2010a） 一、生活中的大單 位 1.認識公噸。 2.認識公斤和公噸的關係，並利用此關係進行整數和 小數的換算。 3.認識公畝。 4.認識公頃。 5.理解平方公里、平方公尺、公畝和公頃間的關係， 並進行整數和小數的換算。 第十冊 （2010a） 六、扇形 1.認識扇形。 2.認識圓心角和周角。 3.認識 12 圓、 14 圓……的特殊扇形。 4.能繪製扇形。 第十一冊 （2009a） 六、公秉、公噸和 公畝 1.認識 1 公秉，及公秉、公升、毫公升的關係。 2.認識 1 公噸，及公斤和公噸的關係及換算。 3.認識 1 公畝、1 公頃。 4.公畝、公頃、平方公尺、平方公里的關係及換算。 第十一冊 （2009a） 八、圓面積 1.了解圓周率的意義及求法。 2.進行直徑、圓周長的估測和實測活動。 3.以圓周率進行圓周長、直徑的估測和實測。 4.透過各種不同的方式找出圓面積公式。 5.理解扇形面積的求法及其運用。 第十一冊 （2009a） 十一、面積公式的 應用 1.三角形、平行四邊形、梯形面積公式的應用。 2.了解柱體、錐體的性質，利用長方形、正方形、平 行四邊形、三角形、圓形等面積公式，算出柱體和錐 體的表面積。
3.康軒版 表 表表 表 2-2-9 康軒版面積教材康軒版面積教材康軒版面積教材康軒版面積教材 冊別（出版年） 單元名稱 教學目標 第一冊 （2009d） 六、方盒、圓罐、 球 1.辨認、描述與分類簡單立體圖形。 2.辨認、描述與分類簡單平面圖形。 3.使用標準名稱描述簡單平面圖形。 4.用平面圖形作平面造型設計。 第二冊 （2010d） 十、做圖形 1.能認識形狀大小一樣的圖形。 2.能仿製基本平面圖形（三角形、正方形、長方形、 圓形）。 3.能依給定圖示，做簡單圖形的平面鋪設。 4.能依給定圖示，做簡單形體的立體堆疊。 第三冊 （2009d） 六、比比看 1.能認識容量，並做直接比較。 2.能認識重量，並做直接比較。 3.能認識面積，並做直接比較。 4.能在具體情境中認識遞移律。 第三冊 （2009d） 八、水平和鉛直 1.能認識水平線和水平面。 2.能認識鉛直線。 3.能認識生活中的平行現象。 4.能認識生活中的垂直現象。 第四冊 （2010d） 九、平面圖形與立 體形體 1.認識生活中物體上的角、邊與平面（含簡單立 體形體）。 2.認識三角形、正方形和長方形的邊長關係。 3.認識正方體、長方體及其邊長關係。 第五冊 （2008b） 三、周長與面積 1.認識簡單封閉圖形的內、外部及其周界。 2.認識周長，並能做周長的實測與計算。 3.能將簡單圖形切割重組成另一椅之簡單圖形 （含經驗面積的保留概念）。 4.利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不 同面積的大小。 第五冊 （2008b） 八、圓與角 1.認識圓及其構成要素。 2.能使用圓規畫圓及測量長度。 3.認識角並比較大小。
表 表表 表 2-2-9（（（續（續續）續））） 冊別（出版年） 單元名稱 教學目標 第六冊 （2010c） 五、周長與面積 1.認識平方公分，並以平方公分為單位進行實測。 2.能用平方公分板進行面積的實測，進而使用乘法簡 化面積的點算。 3.能進行平面圖形周長的計算（以公分為單位的一位 小數）。 4.能理解平面圖形等面積不一定等周長，且等周長不 一定等面積。 第七冊 （2009b） 二、角度 1.認識量角器和使用，並知道「度」的意義。 2.能做角度的估測與實測，以及角的繪製。 3.了解角的旋轉程度和角的關係。 4.認識順時針及逆時針方向旋轉。 5. 認識平角與直角。 6.解決角的合成與分解問題。 第七冊 （2009b） 四、垂直與平行 1.能理解平面上的直角。 2.能理解平面上兩線垂直（互相垂直）的意義。 3.能使用三角板、直尺或量角器畫出直角。 4.能理解平面上兩線平行（互相平行）的意義。 5.能使用直尺或三角板畫出兩平行線。 第七冊 （2009b） 八、三角形 1.認識三角形的構成要素。 2.認識正三角形和等腰三角形及其性質。 3.認識直角三角形和等腰直角三角形及其性質。 4.認識全等圖形。 5.認識全等三角形（對應點、對應邊、對應角）。 第八冊 （2010b） 三、四邊形 1.認識四邊形的構成要素。 2. 透過邊、角的測量和其關係，察覺正方形、長方形、 平行四邊形、梯形、菱形等平面圖形的性質。 3.透過操作，做出各種四邊形。 4.認識四邊形的對角線，並能找出沿著一條對角線剪 開，會有兩個全等三角形的四邊形。 5.能畫出各種四邊形。
