學童在周長與面積的迷思概念

迷思概念（misconception）是指學童在日常生活中對某些現象或事件，

因為知識不健全、推理能力不足或邏輯架構不正確，導致所建構出的想法 及概念有所偏差、甚至錯誤，與目前科學家所訂定的概念與想法不同。張 木川（1995）指出個體在自然的情況下，對自己的舊經驗作抽象思考與分 類，逐漸形成自己的想法與概念，卻與專家學者所定義的想法與概念不相 容時，即稱為迷思概念。謝青龍（1995）認為迷思概念是指學生在某一學 科領域中，對其中的事件或現象的思維，有別於目前科學家所公認的想法。

迷思概念是源自於錯誤的思考與判斷，也是造成學習障礙的最大原因（陳 鉪逸，1996）。以下針對周長與面積相關的迷思概念，分別論述如下：

一、初步概念的迷思

（一）譚寧君（1995a）在訪談中發現，學生雖知道圓面積公式為「半徑×

半徑×3.14」，但卻無法理解圓面積是指圓形內部封閉區域的大小。

（二）譚寧君（1995c）研究指出大多數的師院生皆能了解面積的意義，但 往往只以公式來描述，而忽略面積定義的描述，因此形成重視面積計算而 不了解面積意義的的結果。

（三）楊瑞智（1996）研究指出有部份學生將線段誤認為面積。

（四）陳鉪逸（1996）研究指出學生對「有面積的圖形」有迷思概念存在，

例如：認為平平的、有單位、有標示長度、有面的或規則圖形才有面積；

曲線圍成的封閉區域沒有面積；沒有底和高的圖形無法求出面積；無法區 分圖形與區域的不同等。

（五）楊美惠（2002）研究指出：1.將「平面的大小」的意思，誤認為平面 圖形中有大也有小的圖形才有面積。2.誤認為立體的圖形只有體積沒有面 積，實際的物品必須將它壓平才有面積。3.誤認為判斷物體是否具有面積，

就看外表有沒有皮或殼。

二、保留概念的迷思

（一）蔡春美（1982）研究發現：1.面積保留與面積測量概念是平行發展的；

2.面積保留與面積測量概念是以長度保留概念為基礎，無論兒童的地區籍別 皆隨年齡增長而向上發展。

（二）高敬文（1989）研究指出國小高年級的學童有 23％欠缺面積保留的 概念。

（三）高敬文（1989）研究指出將甲、乙兩張大小相同的色紙，分別剪掉 8 個大小一樣但位置卻不同洞，問哪一張的面積較大？研究結果發現：臺灣 的答對率為 66.7％，英國則為 81.7％，臺灣兒童表現較差；相同問題，李 調棟（1994）研究發現四年級學童認為甲圖較大者佔 27.5％，而譚寧君

（1998b）研究發現三、四年級認為甲圖較大者分別佔 35％和 20.5％。

（四）譚寧君（1998b）研究發現國小三、四年級僅有約 30％及 50％的學 童具備面積保留概念。

（五）戴政吉（2001）研究發現約有 15.4％的學童受視覺的誤導，以圖形 的左右長度來決定面積的大小，缺乏保留概念；也發現國小四年級學童在 面積保留概念的通過率為 74.6％。

（六）王選發（2002）研究發現學童對於同底等高的不同三角形，會誤認 為兩腰的邊長較長的三角形面積較大。

（七）Piaget et al.（1960）研究發現面積保留與面積測量概念是平行發展的，

並認為面積保留是面積測量概念的先決條件，兒童必須理解等積異形的事 實之後，才能進行真正的測量。

（八）Wagman（1968）研究發現 8 歲兒童大部分已具備面積保留概念。

（九）Taloumis（1975）研究指出：1.面積保留概念並不一定要比面積測量 概念先具備，而面積測量概念也可促進保留概念的發展；2.兩概念的發展在 性別上無差異存在，且隨年齡的增加而提升。

三、測量概念的迷思

（一）高敬文與黃金鐘（1988）研究指出提供國小五、六年級學童邊長 1 公分的正方形，以覆蓋的方式測量長方形的面積，發現答對率臺灣為 91％、

英國為 87％；若將正方形邊長改為 0.5 公分，則答對率降為 20％和 17％，

且有 53％和 60％的學童錯誤的認為測得的長方形面積會變為第一題的兩倍 來作答。

（二）高敬文（1989）研究指出學生對於面積公式不甚了解，且對於單位 量與測量總量間的關係並不清楚，無法理解單位量愈小所測得的單位數就 愈多。

（三）陳鉪逸（1996）,Baturo and Nason（1996）研究指出學生將一維的長 度關係 1 公尺＝100 公分過度類化到二維的面積單位，而誤認為 1 平方公尺

＝100 平方公分。

（四）陳鉪逸（1996）、譚寧君（1998b）研究發現數學教學較偏重規則圖 形的面積公式的計算，而忽略面積公式的原理解釋與推演，而造成面積公 式的誤用，例如將三角型面積公式誤用為底×高。

（五）陳鉪逸（1997）研究發現約有 15～23％的學童，認為底一定位於水 平線上，高一定位於鉛直線上，也發現學童「畫高」的答對率約為 52～69

％之間。

（六）陳建誠（1998）研究發現學童對於規則圖形的測量，大都以直線法 來求解，對於不規則圖形，則以方格或格線的覆蓋來求解；在面積測量的 過程中常出現公式套用與計算的錯誤、缺少單位……等錯誤類型。

（七）譚寧君（1998b）研究指出：1.國小五、六年級的學生大都能解決單 位量為 1 格的問題，但單位量若變為 1

4 格或多格時，則僅有 20～30％的學 生答對。2.國小高年級學生對於單位量的再分割答對率不到四成，若再加上 形狀的干擾因素，則答對率不及三成。3.國小高年級學生約有九成已能瞭解 各別單位的覆蓋意義與在具備圖形輔助下的化聚關係，並能藉由切割過

程，掌握單位個數，但對於自訂單位量的活動仍感困難。4.國小高年級學生 解決面積問題時，仍受視覺極大的影響。

（八）譚寧君（1999）研究發現：1.先給單位量來描述被測量量，當兩者形 狀不同時，受試者的答對率高達九成，若兩者形狀相同，則通過率低於兩 成；而原因大都受視覺及形狀的影響。2.比較兩不同形狀的多邊行大小，當 圖形有提供暗隱線索時，答對率高達八成，而造成錯誤的原因大都是學生 採取視覺處理及切割策略時，在切割過程忽略選取的單位量必須相同。3.

非整數格之點數與合成，答對率約為七成，而錯誤的原因大都是學生將非 整數格以半格計算。4.經由分割活動得到更小的單位量，再進行合成活動，

答對率皆在三成以上，而錯誤的類型中，有三成左右的學生採用點數封閉 區域內的黑點所致。

（九）戴政吉（2001）研究國小四年級學童面積測量概念指出：1.有些學生 要畫出一個與原來圖形相同面積的圖形時，會以原來圖形的「高度」為主 要參考依據。2.部分學生在點數圖形的面積大小時，認為「高度」較高者面 積一定較大。3.有些學生解題時，只會利用圖形上有標示的數字來求解。

（十）李宏彥（2001）研究發現學生對於不同為度間的轉換較難掌握，圖 形的縮小與放大實際上與圖形相似的概念有關，透過實際操作較能理解為 度之間的關係。

（十一）Wagman（1968）研究指出 10 歲與 11 歲兒童在面積測量概念上並 無顯著差異。

（十二）Dickson,Brown and Gibson（1984）研究指出約有 33％13 歲到 17 歲的學生還無法實際測量出三角形的周長，學生對於測量圖形的周長或多 段長度相加的問題感到困擾。

（十三）Fuys et al.（1988）,Clement and Battista（1989）研究指出學生會將 平行四邊形底邊的鄰邊，誤認為是高。

（十四）Tierney et al（1990）,Simon and Blume（1994）研究發現有許多準 老師認為以邊長為 1 公分的正方形，用覆蓋的方式來測量形體面積時，當 正方形的邊長加倍，所測量的形體面積也跟著加倍。

（十五）Robert（1993）研究指出部份學生會以長＋寬來計算長方形的面積，

原因是因為教師的疏忽，導致學生接收到錯誤的訊息。

（十六）Nunes et al.（1994）教導 8 至 11 歲的學童，利用方瓦去代直尺，

以一列方瓦的個數與列數的乘績來求面積大小，對於學童發現面積公式的 解法有顯著的提升。

（十七）Outhrd and Mitchelmore（1996）針對一到四年級的學童進行長方 形面積測量策略之研究發現，學生利用操作性的覆蓋與點數策略，是先於 其他策略，而經由邊長的測量來求得面積的策略，可說是最高層次。

四、估測概念的迷思

（一）周武男（1988）研究指出針對國中生面積估測概念來施測，答對率 約 63％。

（二）高敬文（1989）研究發現面積估測對學生而言是較困難的的問題，

通過率僅 32.7％，原因是估算經驗較少所致。

（三）譚寧君（1995c）針對師院學生估測概念做研究發現，答對率為 85.2

％，對於平方公分的量感較佳，但對於較大的面積單位如平方公尺，則較 無法掌握。

（四）陳建誠（1998）研究指出學生對於規則圖形的估測，大都採直線測 量法，例如長方形的估測，會先估算出長和寬，再算出面積；對於不規則 圖形的估測能力明顯較差。

（五）譚寧君（1998b）研究指出由於一般課堂上較少進行估測活動，即使 提供單位面積，甚至可以使用其他工具，也僅有六成的通過率。造成迷思 概念的原因有「採視覺處理」、「用工具與公式解題」及「周長與面積概念 的相互混淆」等。

（六）莊為展（2001）研究發現五年級學童在長度、面積、容量與重量的 估測中，面積估測的表現較差，而估測的策略包栝不知道、憑感覺或經驗 的猜測、普遍單位的直接比較、個別單位比較、分解與重組以及運用數學 公式等。

（七）戴政吉（2001）針對國小四年級學童估測概念的研究發現：1.其答對 率約五成左右，且對於較大面積的估測，答對率較低，而傾向將面積高估，

原因是學童對於平方公分的量感不足。2.學童對於估測的解題策略有「先估 測長和寬，再以面積公式求解」、「畫出單位方格來點數」、「先估測相鄰兩 邊的單位格子數再相乘」及「刪除認為不可能的答案」等。

（八）Hart（1981）指出英國 CSMS 研究 11 至 16 歲學童面積估測概念，

答對率約四成。

（九）Hildreth（1983）研究發現學生長度與面積的策略有：1.使用問題中 有用的分割線索，再將長度與面積加以分割。2.使用問題中有用的相關訊 息。3.以單位長度或單位面積進行累計。4.將待測務與其他物件做比較。5.

（九）Hildreth（1983）研究發現學生長度與面積的策略有：1.使用問題中 有用的分割線索，再將長度與面積加以分割。2.使用問題中有用的相關訊 息。3.以單位長度或單位面積進行累計。4.將待測務與其他物件做比較。5.