兒童幾何概念發展理論

平面線對稱概念是屬於平面幾何概念的一部分內容，因此本研究在探究兒童 的線對稱概念時，先探討與線對稱概念相關的兒童幾何概念。本節以兩部分來探 討兒童的幾何概念發展的理論，第一部分先說明 Piaget（1967）的空間概念理論；

接著第二部分以 van Hiele（1986）的幾何思考層次來探究； 最後，介紹 Duval

（1995）幾何圖形的認知理解。

壹、Piaget 的空間概念理論

在瑞士心理學家Piaget（1896-1980）的認知發展理論裡，認為兒童的認知發 展是以四個相同的階段順序來發展（林美珍，1996；黃慧真譯，1994；王真麗，

2003）。而Piaget也指出兒童在認知發展上，雖然有些孩子認知成熟發展比較快，

而有些孩子可能在某一階段會停留較久，但認知發展的順序是一樣而不會變的，

是無法跳過任一個階段。

在Piaget 的兒童認知理論的四個主要階段分別為：

一、感覺動作期：兒童年齡為出生到兩歲為感覺動作期，此時期的兒童會以反射

的原動力。

二、前運思期：兒童年齡為兩歲到七歲為前運思期，此時期的兒童會透過表徵來 解決問題，如語言、心象、繪畫。但其思考和語言均以自我為中心，不能適 切的表徵轉換，而只能表徵靜止情境。

三、具體運思期：兒童年齡為七歲到十一歲為具體運思期，此時期的兒童具反推 能力，能正確地表徵轉換及靜止情境，對於守恆概念較能理解。但仍無法考 慮所有合乎邏輯的可能性，也無法了解高度抽象概念。

四、形式運思期：兒童年齡大約為十一歲以後，為形式運思期，此時期的兒童能 以邏輯來解決各類問題，且能在符合科學的理論及思考下設計實驗，並以邏 輯的架構將實驗現象加以解釋。

因此，由Piaget 的認知理論來看，兒童的學習及概念發展是有階段、順序性 的，並且與年齡有關。而幾何概念之發展當然也會受到兒童年齡的成長影響。

Piaget 在兒童空間概念的論點，主要有兩項（Piaget & Inhelder ,1967）：

一、兒童空間的表徵是經由本身動作的組織（organization of the child’s motor）及 行動的內化（internalized actions）而來。其中，空間的表徵是從較早對環境 的行動操弄中建立，並非知覺上的「讀取」（read-off）空間環境。

二、兒童的幾何概念發展有明確的邏輯順序，而隨著兒童年齡的成長對於空間知 覺能力的進展，先是呈現拓樸性(topological)、接著為投影性(projective)、最 後則是依據歐幾里得性(Euclidean)。兒童幾何概念之形成即依上述三個階段 之順序。而這三種幾何體系分述如下（吳貞祥，1990；劉秋木，1996；張英 傑，2001；Piaget,1967）：

‧拓樸性幾何概念：在四歲以前的兒童之幾何概念為拓樸幾何概念。此階段 與兒童的運思前期認知發展階段有關，兒童只注意到圖形的內與外，

而有關直線與曲線、邊長、角度、大小等歐氏幾何關係都會忽視而不 會加以留意，完全是屬於基本拓樸幾何概念；換而言之，圓或四邊形

對於此階段的兒童而言都是連續簡單的封閉圖形，無法區隔兩者的差 異。另外，由於本階段的兒童由於缺乏可逆性與保留性，兒童無法以 相逆的次序重建該種次序，或當圖形被遮蔽時，即無法重繪該圖形（王 文科，1991）。

‧投影性幾何概念：在兒童約四~七歲為投影性空間概念，在此一階段的兒 童認知發展相當於運思前期到具體運思期認知發展階段。兒童對外界 的認知，只要經過視覺所承認的事物，他們才認為是真實的存在，而 蘊藏在視覺之外的事物都不真實，他們深信各種形狀都會原本照著視 覺的感受而變化。因此，視覺對於這個時期兒童認知發展的影響，比 其他因素來的重要。

‧歐氏幾何概念：兒童到七歲開始才有歐氏幾何概念，兒童隨著認知的發 展，漸漸會使用量尺工具以輔助測量，並且具備有線段長短、角度大 小及面積大小的概念。

總結而言，Piaget理論的研究重點在於兒童發展幾何概念的思考模式，及幾 何概念形成的運思程序，而兒童對於幾何概念的理解，與兒童本身的「智慧結構」

存在有密切的關聯，兒童對於幾何直覺的發展是透過行動將物體加以同化（施政 宏，2006）。兒童幾何概念發展的運思程序，先拓樸性幾何，然後是投影性幾何，

最後發展為歐氏幾何（劉秋木，1996）。在線對稱觀念中的「翻轉」概念，便是 屬於歐式幾何的轉換關係。

貳、van Hiele幾何思考層次

荷蘭數學家van Hiele 及van Hiele-Geldof夫婦在1957年，根據完形心理學的結 構論，以及Piaget的認知理論，對學童的幾何概念提出一個發展模式。

van Hiele夫婦提出的兒童幾何思考發展層次主要的論點認為：幾何的思考是 有著一定的發展層次，經由教師或引導者適當的引導，兒童的幾何思考層次可由 較低的思考層次逐步提升到較高的思考層次（薛建成，2003）。因此van Hiele的 理論乃是以物件導向為出發點，包含三大部分，即：領悟的本質、幾何思考的層 次、以及五階段學習模式。

一、van Hiele提出的五個幾何思考層次（吳德邦，1998；葛曉冬，2000；劉 好，1998；盧銘法，1996；van Hiele，1986；松尾七重，2003）：

‧第０層次：視覺/辨識期（Visualization/Recognition）

這個層次的兒童可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形，並藉著圖形的輪 廓由觀察判斷得知圖形形狀，學童也可以依據形體之外觀，說出形狀，兒 童具有從其外形輪廓來辨認形的概念，譬如：像門的形狀是長方形，像盤 子的形狀像圓形。此階段兒童的思考推理，受視覺外觀的影響很大，可以 透過具體物的操作，例如旋轉或移動，來辨別圖形之異同，他們可以知道 各種圖形，但是卻無法了解這些圖形的真實意義。

‧第一層次：描述/分析期(Descriptive/Analysis)

這個層次的兒童，具有辨別圖形特徵之能力，能說出構成元素的名稱，並 且利用構成元素之間的關係來分析圖形的異同。兒童也可以利用實際操作

（如摺疊、尺量）的方式，發現、歸納某一群圖形的共有性質或規則，譬 如：能察覺到等腰三角形有三個邊，三個角，且有兩個邊、兩個角相等，

梯形四個長，四個角，且一對邊互相平行；但不能解釋圖形性質間的關係，

例如兒童並不一定能知道當其邊長不相等時，其面積亦有可能相等，此階

段的學童尚無法藉由推理得知其中之關係。

‧第二層次：關係/非形式演繹（Relation/Informal deduction）

這個層次的兒童能夠了解構成各種圖形的元素，並且能夠進一步使用定義 去理解並發現其中的特性，並能以非正式的討論去理解相關之關係，並且 開始建構不同類型圖形之間的關係。例如，平行四邊形的兩雙對邊相等；

當平形四邊形其中一角為90°時，這個四邊形就是長方形；正方形是菱形 的一種；任何三角形的內角合是180°；n邊形的內角和為180°×（n-2）。

學童會使用公式表示及使用定義，整理先前發現的性質，給一非正式的討 論，並跟著給一演繹上的討論。

‧第三層次：演繹期（Deduction）

這個層次的學童可以用演繹邏輯證明定理，用幾何的方式推論其所理解之 幾何圖形之意義，來證明各種幾何問題，同時能夠知道證明的方法不只一 種，換言之，兒童不必靠記憶公式來證明幾何問題。此外，兒童不必透過 拿實體物來操作，就能夠證明幾何的性質。

‧第四層次：統期（Rigor）

這個層次是屬於最高層次，對於這個層次的兒童來說，可以在不同之公設 體統中，分析非歐幾何（non-Euclidean Geometry）及比較不同公設系統，

也可瞭解抽象幾何概念。

二、van Hiele幾何思考層次的特性，van Hiele（1986）曾指出幾何思考層次 具有某些基本固定的特性存在。而Crowley（1987）針對van Hiele 幾何思考層次 的特性的描述，提出了五個特性，茲將這五個特性分述如下（左台益、陳天宏，

2002；譚寧君，1993；Crowley,1987；Wu,1994）：

‧序列性（Sequential）：在van Hiele幾何思考的發展層次中，學習者的發展層次 一定是循序漸進，任何一個層次要成功的發展，必須擁有前一層次的各項

個層次觀念的基礎。

‧進展性（Advancement）：從一個層次進階到另一個更高的層次，並非因為年 齡增而提升，而是需要教師適當的教學與引導才可以提升學童的幾何思考 概念，但是也沒有任何一種教學方法能使學童跳過某一層次，而直接進入 到到下一層次。

‧內蘊與外顯（Intrinsic and Extrinsic）：在某一層次的性質是屬於內蘊的性質，

到了下一個層次，此一性質就有可能成為外顯的性質。

‧語言性（Linguistics）：在每一層次中，均有屬於自己的符號語言和這些符號 的相互關連系統，因此，不同層次有不同的術語名詞，甚至相同的術語所 指的是不同的幾何概念（Eberle,1989）。

‧不配合性（Mismatch）：處於不同思考層次的人，彼此間不能相互的溝通、暸 解。因此，教學配合兒童的認知層次，否則期望的學習歷程或是教學效果 就不可能會發生。

參、Duval幾何圖形的認知理解

Duval(1995)認為圖形的認知理解方式會因人而異，他提出了四種認知理解 的方式（左台益、陳天宏，2002；朱莉文，2004）：

一、知覺性理解(Perceptual apprehension)

知覺性的理解，是兒童體認知道圖形的組織法則與繪圖線索，並將這些訊息 組織成一個整體性的辨認。我們可以把知覺的圖形以平面或透視的方式去分辨並 給予圖形的一些子圖形，這些子圖形可能就是它的組成要素，但不一定能架構出 整個圖形。

二、構圖性理解(Sequential apprehension)

構圖性理解，是兒童構造一個圖形或描述結構的一種認知歷程。當我們在構

圖的過程、或是描述該圖形的結構時，是以數學的性質來對圖形作構圖性的理 解。在構圖的過程中，圖形的不同單位元件則會依序的浮現，若在構圖中受到干 擾，而無法表達出圖形性質之間的關係時，圖形則無法被瞭解。

三、論述性理解(Discursive apprehension)

三、論述性理解(Discursive apprehension)