第二章 文獻探討
第四節 試題關聯結構分析法
近年來，認知理論（Cognitive theory）快速發展，對於其他教育領域造成相 當的影響。在教育評量時應採認知成份分析的方式加以考慮，並注重所評量特定 認知領域裡專家與學習者之間知識結構和使用策略方式等方面的比較。
英國數學教育學家Skemp曾指出數學的重點是邏輯程序的推理，但數學教育 卻重視心理程序的推展（林義雄、陳澤民譯，1988），數學與數學教育兩者的意 涵是不同的。因此，理解學童心理程序的推展過程，才能使數學的教學活動能夠 順利展開。試題關聯結構分析法（Item relational structure analysis，簡稱IRS）可 以藉由分析一個班級學童的測驗反應，獲得學童學習概念能力方面所呈現成就的 結構圖，此稱結構圖可取代教師依教材的特性所建構的學習結構圖，或是依教科 書編者所編的教材地位分析圖，以改善教學方法與設計（許天維，1995）。由於 本研究主要是對一個班級進行線對稱圖形概念形成過程之考驗，因此較適合以試 題關聯結構理論作為分析基礎。
壹、試題關聯結構分析法的構想由來
學童在經過教學後，其概念能力在結構上是否產生變化，是教學上非常重要 的課題。美國學者Airasian & Bart 於1973年首先發表「次序理論」（Ordering theory）
在教育工學的功用（Airasian & Bart, 1973）。而日本學者Takeya（竹谷 誠）於1977 年在美國威斯康辛大學的研討會接觸到「次序理論」，返回日本後便致力於改良
「次序理論」的缺點，並於1979年發展出「試題關聯結構分析法」，1980年完成 試題關聯結構分析法的理論，開始使用於教育現場，證明其方法是一個有效的分 析工具。
Takeya（1991）將測驗試題的結果，按題目彼此間反應所得的順序關係，製
成有方向性的圖形結構，來分析試題的特性，此種方法稱之為試題關聯結構分析 法（Item relational structure analysis），簡稱IRS分析法；有了此種方法，能使班 級學習情況的分析獲得解決，因此有效幫助學習情況與教學成果的分析（許天 維，1995）。
貳、試題關聯結構分析法
現在將以一個實例來說明，試題關聯結構分析法的意義。假設有A、B兩組 學童，每組各有十位，兩組同時接受一份有六題題目的測驗，在測驗中答對的試 題，該題得一分，答錯者得零分，其得分情況如下表所示（劉湘川、許天維、林 原宏、郭伯臣，1994）：
表2-2 A、B組學童得分情形表
A 組 試題1試題2試題3試題4試題5 試題6 B 組 試題1 試題2 試題3 試題4試題5試題6 學童1 1 1 1 1 1 1 學童1 1 1 1 1 1 1
學童2 1 1 1 1 1 0 學童2 1 1 1 1 1 0
學童3 1 0 0 1 1 0 學童3 1 1 1 1 1 0
學童4 1 0 1 0 0 0 學童4 1 0 0 0 0 0
學童5 1 0 0 1 1 0 學童5 1 0 1 1 1 0
學童6 1 0 1 0 0 0 學童6 1 0 0 0 0 0
學童7 1 0 0 1 1 0 學童7 1 0 1 1 1 0
學童8 1 0 1 0 0 0 學童8 1 0 0 0 0 0
學童9 0 1 1 0 0 0 學童9 1 0 1 0 0 0
學童10 1 0 0 0 0 0 學童10 0 0 0 0 0 0
答對者數 9 3 6 5 5 1 答對者數 9 3 6 5 5 1
由上表可知兩組測驗後，兩組各試題之答對者人數均相同，為方便起見，改
最後，以各試題答對人數的多寡順序，由左而右排列，可得佐藤 S-P表（佐
試題5代表上位概念）。而1號、2號、3號的學童答對試題2，他們亦同時答對了 試題3，所以分別有3→2（試題3代表下位概念，試題2代表上位概念）、4→3（試 題4代表下位概念，試題3代表上位概念），但答對試題3的學童中，8號沒有答對 試題1，故沒有試題1到試題3的箭號。
以相同的方法來看，在B組的學童中，如果1號學童答對試題6，也同時答對 了試題2，也就是說，答對試題6的學童同時也答對試題2，此時就有試題2到試題 6的箭頭，可以記作2→6，其意義為：試題2代表下位概念，試題6代表上位概念；
同理，1號、2號、3號及7 號的學童答對試題2，這些學童也同時答對了試題4、
試題5，所以分別有4→2（試題4代表下位概念，試題2代表上位概念）、5→2（試 題5代表下位概念，試題2代表上位概念）；另一方面，1號、2號、3號、5號、7 號答對試題4、試題5，他們亦同時答對了試題3，所以分別有3→4（試題3代表下 位概念，試題4代表上位概念）、3→5（試題3代表下位概念，試題5代表上位概 念）。此外，4↔5為等價關係，代表的意涵為試題4與試題5具相同的概念，也就 是說答對試題4的學童也會答對試題5，答對試題5的學童也會答對試題4；最後，
答對試題3的學童，同時都答對試題1，所以有1→3，即試題1代表下位概念，試 題3代表上位概念。
從以上分析，如果定義答對率為
試題答對率＝
則以答對率為縱座標，可將所有相關的指向箭頭標示出來，成為完整的試題 關聯結構圖，如下圖所示：
受試者答對人數 全體受試者的人數
答對率 A 組 答對率 B 組
0.20 6 0.20 1
0.30 2 0.30 2
0.40 0.40
0.50 4 5 0.50 4 5
0.60 3 0.60 3
0.70 0.70
0.80 0.80
0.90 1 0.90 1 圖 2-4 A、B 組學童試題關聯結構圖
由上圖可看出兩個試題關聯結構圖兩者截然不同，僅管兩個表的試題其答對 率雖然相同，然而兩組學童的理解結構卻不相同。左圖顯示A組有兩個系列存在，
即試題3、2、6的系列以及試題1、4、5、6的系列，而右圖顯示B組的試題形成一 個單純的一元化系列。另一方面，左圖亦可改為兩個理解不同的結構而答對均質 的 S-P 表（試題2、3、6 及試題1、4、5、6）。故試題關聯結構圖可看出在S-P 表所觀察不到的各試題間的順序關係，可作有方向性的圖性判讀。
肆、試題關聯結構順序係數
試題關聯結構分析法是將兩測驗題目之間的順序性係數建立起來，作為試題 高低概念層次之基礎，然後利用此種關係建立試題關聯結構圖，而試題關聯結構
一、建立項目順序性係數
順序性係數 rij∗ 表示試題 i 指向試題 j 的順序性程度，亦即相對而言，試 題 i 為下位概念（lower concept），而試題 j 為上位概念（upper concept）的程 度。另外，順序性係數是一個數值，若此數值超過閥值，則表示順序性存在，反 之則否。根據Takeya（1991）的研究，以 0.5 為閥值（threshold），亦即：
1. rij∗ <0.5，則試題 i 及試題 j 沒有順序關係。
2. rij∗ ≥0.5，則試題 i 及試題 j 有順序關係。
另外，減少閥值，可以讓順序性指向增加；增加閥值，則可以讓順序性指向 減少。一般閥值介於0.4到0.6之間。
二、建立試題間的順序關係
根據試題間之順序性係數，整理出所有試題兩兩之間是否有順序關係。以表 2-4 中 A 組學童作答情形為例，可算出試題的順序性係數：
表 2-7 試題順序性係數
表2-10 表示試題 i 指向試題 j 的順序性係數，以閥值 0.5 為標準，得到試 題之間的順序關係，若 rij∗ 大於 0.5 以上，則以 1 代表，表示試題 i 指向試題 j；
反之，則以 0 代表，表示試題 i 與試題 j 沒有關係。如此簡化試題的順序可表 試題j
試題i 1 2 3 4 5 6
1 - -2.333 -0.667 1 1 1
2 -0.111 - 0.286 0.143 0.143 1
3 -0.111 1 - -0.500 -0.500 1
4 0.111 0.333 -0.333 - 1 1
5 0.111 0.333 -0.333 1 - 1
6 0.012 0.259 0.074 0.111 0.111 -
示成下表：
表 2-8 試題的順序關係 試題j
試題i 1 2 3 4 5 6
1 - 0 0 1 1 1 2 0 - 0 0 0 1 3 0 1 - 0 0 1 4 0 0 0 - 1 1 5 0 0 0 1 - 1 6 0 0 0 0 0 -
三、根據試題間有無順序性關係，畫出試題關聯結構圖
（一）以縱軸座標表示通過率，座標越上方表示通過率越低，座標越下方表 示通過率越高，將試題依通過率高低，將試題題號於標示座標上。
（二）以「→」箭號來表示兩試題之間的關係，若兩試題間有順序關係，即 表2-8之矩陣表為時，則有「→」箭號；若兩試題間沒有順序關係，亦 表2-8之矩陣表為0，則無「→」箭號，如圖2-5（1）所示。
（三）兩試題間若能以直接或間接相連結時，則應除去直接連結的箭號，以 簡化試題關聯結構圖，增加可讀性，如圖 2-5（2）所示。
（四）在圖2-5之試題結構圖中，試題4和試題5具高度相關，可視為同一性質 試題，換而言之兩試題等價關係，因此又可把試題關聯結構更簡化成 如圖2-5（3）。
答對率 試題關聯結構圖 答對率 試題關聯結構圖
0.20 6 0.20 6
0.30 2 0.30 2
0.40 0.40
0.5 4 5 0.5 4 5
0.60 3 0.60 3
0.70 0.70
0.80
將遞移指 向消除
0.80
0.90 1 0.90 1
（1） （2）
答對率 試題關聯結構圖
0.20 6
0.30 2
0.40
0.5 4、5
0.60 3
0.70 0.80
0.90 1
（3）
圖2-5 試題關聯結構圖之簡化（摘自蔡長添，1993；Takeya,1991）
伍、試題關聯結構分析法的功能
許天維（1995）指出試題關聯結構分析法有下列五種功能：
一、教學設計
在單元教學活動前，教師可以將課程內容的先前經驗概念對學童加以施測，
並依據施測資料以試題關聯結構分析法進行分析，如此可以考驗出學童先前經驗 概念不足之處，進而作為教學活動設計的參考依據。
二、形成性評量（formative evaluation）
在單元教學活動後，教師可以利用知識結構分析出題，編製形成性評量來施 測，並將施測資料以試題關聯結構分析法進行分析，可以協助教師了解學童學習 後的知識結構，以及學童概念不清楚之處，作為補救教學依據。
三、認知學習構造
教師也可利用形成性評量的反應結果，依據佐藤S-P表獲得的注意係數，偵 測出異質性的學童，並把此類學童所畫出結構圖與班上的結構圖互為比較，即可 診斷學童異質的原因，從而加強輔導教學。
四、概念形成過程
學童概念的形成過程有層次之分，教師再進行評定學童時有四層次，即操作 經驗層次、知覺內化層次、言語抽象層次、因果論理層次，以此四層次來評定各 年級班上學童的概念形成過程，可以建立各年級的結構圖，知道學童的概念形成 過程的發展。另外，藉由結構圖，也可以幫助教師了解班上學童概念形成過程的 分布。
五、課程教材構造
對教科書編者而言，知道一般學童的學習構造，是貴重的資料。所以，我們 可由母群體隨機抽出樣本進行考驗後，透過試題關聯結構分析法進行構圖，建立 學童的學習構造，對於教科書編輯或分析典範教師的學習指導構造圖的特質，都 有很大的作用。
另外，郭伯臣（1995）的研究指出，藉由試題關聯結構分析法的分析結果，
可以瞭解學童由低到高的能力以及試題間結構變化的情形，並進一步瞭解學童學 習的發展過程。盧銘法（1996）的研究中發現，利用IRS可以把原來的幾何認知 發展階段再細分出結構發展層次。
以上的研究或報告實已將試題關聯結構分析法的功能道出，因此有了試題關 聯結構分析法，便可使學童學習情況的分析與教師教學成果的分析獲得解決。