線對稱概念結構分析研究－以國小五年級學童為例
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(2) 摘 要 本研究的主要目的在於探究學童線對稱概念的結構，先由研究者根據國小九 年一貫數學領域課程，編製一份「國小五年級學童線對稱概念測驗」做為施測工 具，並以彰化縣某國小一班五年級全班 32 位學童為研究對象。施測後的結果， 採用試題關聯結構分析法（IRS）以)及相關電腦程式 IRSP，進行測驗資料的分析 及探討，以期從中獲得此班級學童在線對稱概念中所呈現的訊息。根據結構圖所 呈現的訊息，得到以下的結論： 一、線對稱圖形的作圖中，46.9％學生在幾何思考模式屬於視覺層次，而 53.1 ％學生在幾何思考模式屬於分析層次。 二、國小五年級學童在線對稱概念上，男、女生之間的表現並沒有顯著的差異。 三、對於國小五年級學童的線對稱概念，分析層次學童的線對稱概念明顯比視覺 層次學童的線對稱概念表現良好。 四、學生對線對稱概念發展的順序為： （1）了解全等的意義； （2）能找出對稱軸； （3）能找出對應邊、對應點、對應角； （4）知道對應邊、對應點、對應角一 樣大； （5）能完成線對稱圖形。 五、線對稱圖形中，傾斜的對稱軸、格點出現與否及圖形的複雜程度，會影響學 生在線對稱圖形的作圖。. 最後，根據研究的結果提出若干建議，提供教學者在教學活動、課程設計及 未來相關研究的參考。. 關鍵字：線對稱、試題關聯結構分析法、對稱軸. I.
(3) A study on structure analysis of line symmetrical concept -A case of of Fifth-Grade Elementary School student. ABSTRACT The purpose of this study is to explore the concepts structure of line symmetry for fifth graders in the elementary school. The researcher first designed a Line Symmetry Concepts Test for fifth graders according to the mathematics area in Grade 1-9 Curriculum. Secondly, the researcher tested 32 fifth graders in the same class of an elementary school in Changhua city by Line Symmetry Concepts Test. Thirdly, the researcher analyzed the datum by item relational structure (IRS) and its software called IRSP. Through the procedures of the analysis, some findings were summarized as follows: 1. In the mapping of line symmetric figures, 46.9% students belonged to the visual level among the geometry cognition levels and 53.1% students belonged to the analysis level. 2. There was no obvious difference between boys and girls according to the performances on Line Symmetry Concepts Test. 3. Students who belonged to analysis level performed better than those belonged to visual level. 4. The developmental orders of line symmetry concepts of fifth graders are: (1) understands the definition of congruence (2) discovers the axis of symmetry (3) discovers the corresponding sides, the corresponding points, and the corresponding angles (4) knows that the corresponding sides, the corresponding points, the corresponding angles are equal (5) has ability to complete the line symmetric figure. 5. In the line symmetric figure, the oblique of symmetrical axle, the appearance of the grid point and the complexity level of the graph will have influence on the students in mapping the line symmetric figures. Finally, some recommendations and suggestions for future research are provided. Key word: line symmetry, item relational structure analysis, symmetrical axle. II.
(4) 目. 次. 第一章 緒論 ......................................................................................1 第一節 研究動機 ................................................1 第二節 研究目的 ................................................3 第三節 名詞釋義 ................................................4 第四節 研究範圍與限制 ..........................................6. 第二章 文獻探討 ..............................................................................7 第一節 第二節 第三節 第四節. 兒童幾何概念發展理論 ....................................7 線對稱概念之分析 .......................................14 國小線對稱概念之課程與教材分析 .........................18 試題關聯結構分析法 .....................................22. 第三章 研究方法 ............................................................................34 第一節 第二節 第三節 第四節 第五節. 研究架構 ...............................................34 研究對象 ................................................35 研究工具 ...............................................35 研究流程 ...............................................44 資料處理 ...............................................45. 第四章 研究結果與分析 ................................................................46 第一節 試題性質分析 ...........................................46 第二節 試題關聯順序性係數分析 .................................56 第三節 線對稱試題關聯結構圖分析與討論 .........................60. 第五章 結論與建議 ........................................................................82 第一節 第二節. 結論 ...................................................82 建議 ...................................................85. 參考文獻 ............................................................................................87 壹、中文部分 ...................................................87 貳、英文部分 ...................................................90 參、日文部分 ...................................................92. III.
(5) 附錄....................................................................................................93 附錄一 國小五年級學童線對稱概念測驗 ...........................93 附錄二 國小五年級學童線對稱概念測驗選擇題試題檢核表 ....................106 附錄三 國小學童線對稱概念測驗試題專家效度調查表 ...................107. IV.
(6) 表. 5. 4. 表 2-1 表 2-2 表 2-3 表 2-4 表 2-5 表 2-6 表 2-7 表 2-8 表 3-1 表 3-2 表 3-3 表 4-1 表 4-2 表 4-3 表 4-4 表 4-5 表 4-6 表 4-7 表 4-8 表 4-9 表 4-10 表 4-11 表 4-12 表 4-13. 目. 次. 「對稱」課程比較表 ........................................18 A、B 組學童得分情形表 .....................................23 A、B 組學童得分情形簡表 ...................................24 A、B 組學童試題得分排序表 .................................24 A、B 組學童試題得分、人數排序表 ...........................25 試題i、j答對與答錯人數統計表 ..............................28 試題順序性係數 ............................................29 試題的順序關係 ............................................30 線對稱圖形概念測驗試題目雙向細目表 ........................38 線對稱圖形作圖概念細目表 ..................................39 預試試題分析總表 ..........................................43 Cronbach’s α信度分析........................................47 正式施測試題難易度 ........................................50 正式施測試題鑑別度 ........................................51 男生和女生在線對稱概念測驗表現情形 ........................54 不同幾何思考層次學童在線對稱概念測驗表現情形 ..............55 試題關聯順序性係數（1） ...................................57 試題關聯順序性係數（2） ...................................58 順序性係數之 0-1 矩陣表（1） ...............................59 順序性係數之 0-1 矩陣表（2） ...............................59 「判斷鏡射圖形」之試題分析 ................................60 「正多邊形的邊數與對稱軸關係概念結構」試題分析 ............64 「正確完成線對稱圖形概念」試題分析 ........................69 學童在線對稱圖形作圖的概念試題分析 ........................74. V.
(7) 圖 圖 2-1 圖 2-2 圖 2-3 圖 2-4 圖 2-5 圖 3-1 圖 3-2 圖 3-3 圖 4-1 圖 4-2 圖 4-3 圖 4-4 圖 4-5 圖 4-6 圖 4-7 圖 4-8 圖 4-9 圖 4-10 圖 4-11 圖 4-12 圖 4-13 圖 4-14 圖 4-15 圖 4-16 圖 4-17 圖 4-18 圖 4-19 圖 4-20 圖 4-21 圖 4-22 圖 4-23 圖 4-24 圖 4-25 圖 4-26 圖 4-27. 目. 次. 鏡射圖形...................................................................................................... 15 平移圖形...................................................................................................... 16 旋轉圖形...................................................................................................... 16 A、B 組學生試題關聯結構圖.................................................................. 27 試題關聯結構圖之簡化 ............................................................................. 31 研究架構圖 ................................................................................................. 34 線對稱概念專家結構圖 ............................................................................. 36 研究流程圖 ................................................................................................. 44 視覺層次學童試題 29 的作圖情形 ........................................................... 52 視覺層次學童試題 30 的作圖情形（1） ................................................. 52 視覺層次學童試題 30 的作圖情形（2） ................................................. 52 分析層次學童試題 29 的作圖情形（1） ................................................. 53 分析層次學童試題 29 的作圖情形（2） ................................................. 53 分析層次學童試題 30 的作圖情形 ........................................................... 53 概念錯誤之學童試題 29 的作圖情形 ....................................................... 53 概念錯誤之學童試題 28 的作圖情形 ....................................................... 53 概念錯誤之學童試題 26 的作圖情形 ....................................................... 53 概念錯誤之學童試題 30 的作圖情形 ....................................................... 54 概念錯誤之學童試題 33 的作圖情形 ....................................................... 54 視覺層次學童「判斷鏡射圖形」的概念結構圖 ..................................... 61 分析層次學童「判斷鏡射圖形」的概念結構圖 ..................................... 61 全體學童「判斷鏡射圖形」的概念結構圖 ............................................. 61 視覺層次學童「正多邊形的邊數與對稱軸關係」概念結構圖 ............. 65 分析層次學童「正多邊形的邊數與對稱軸關係」概念結構圖 ............. 65 全體學童「正多邊形的邊數與對稱軸關係」概念結構圖 ..................... 65 視覺層次學童「正確完成線對稱圖形的概念」概念結構圖 ................. 70 分析層次學童「正確完成線對稱圖形的概念」概念結構圖 ................. 70 全體學童「正確完成線對稱圖形的概念」概念結構圖 ......................... 71 視覺層次學童在線對稱圖形作圖的概念結構圖 ..................................... 75 分析層次學童在線對稱圖形作圖的概念結構圖 ..................................... 76 全體學童在線對稱圖形作圖的概念結構圖 ............................................. 76 試題 31......................................................................................................... 78 試題 32......................................................................................................... 78 試題 33......................................................................................................... 78 試題 23......................................................................................................... 79 VI.
(8) 圖 4-28 圖 4-29 圖 4-30 圖 4-31. 試題 30......................................................................................................... 79 試題 31......................................................................................................... 81 試題 27......................................................................................................... 81 試題 19......................................................................................................... 81. VII.
(9) VIII.
(10) 第一章. 緒論. 國小現行的九年一貫課程精神中，特別強調生活化的教學活動，以培養學生 帶得走的知識。另外，在實施要點中特別強調，教師教學應以學生為主體，以學 生的數學能力發展為考量，而且，在教學活動後，教師必須檢視教學成效，分析 學生的學習問題。因此，有效、適切的教學評量，將協助教師獲得相關的訊息， 並且幫助教師了解學生的知識結構，讓教師做適當的診斷、導引與解決。本研究 將針對國小學童線對稱的概念編製試題，並且使用試題關聯結構分析法（IRS） ， 了解國小學童在線對稱的知識結構。 本章將分為四節：本研究之研究動機、研究目的、名詞釋義及研究範圍與限 制，分述如下。. 第一節. 研究動機. 數學科的學習不只關係兒童心智的發展、推理與思考能力的進步與日常數學 問題的解決關鍵，數學同時也是與個人生涯發展與潛能充分發揮密切關聯的學科 （魏麗敏，1996）。在我國，數學科一直是國小科目中最容易引起學生焦慮，也 是讓學生感到最困難的（詹志禹，1997）。也因此，教育部八十二年公佈了第九 次修訂的「國民小學課程標準」（教育部，1993），其中數學科新課程將數、量、 形等概念融合，分成六大領域，分別為：（1）數與計算；（2）量與實測；（3） 圖形與空間；（4）統計圖表；（5）數量關係；（6）術語與符號。到了民國八 十九年則又進行一次課程改革，公佈的「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」 （教 育部，2001），將數學領域分成了（1）數與量；（2）圖形與空間；（3）統計 與機率；（4）代數；（5）連結等五大主題。這兩次修訂的課程標準中，前四項 即為構成數學知識的四項基本要素，教學時就是以此四項要素為內容來發展學生. 1.
(11) 的數學能力（張靜嚳，2000）。 現行的九年一貫課程中，「學校本位課程」 （School-based curriculum）是 課程的重要精神，賦予學校有決定課程的權力，也就是說，教師擁有相當的彈性 去發展課程、編製教材及教學活動。也因此，在數學領域中，教師必須對數學知 識、學童的認知發展及數學的教學知識，有相當程度的了解與掌握（教育部， 2003） 。因此，教師除了要了解兒童的知識背景以外，更要了解數學的概念結構， 如此才能達到預期的教學目標。 在我們的生活週遭，處處可見由「幾何圖形」構成的事物，而「幾何」也是 數學領域的三個學習主軸「數」、「量」、「形」中的一個主軸，也就是在探討 圖形與空間關係。而空間能力和視覺心像與數學的思考能力及學習具有高度相關 （Wheately,1991）。van Hieley將學生在幾何概念的發展分成五個層次，而人 類的幾何概念是可以藉由學習來提升，可以透過相關的教學活動來獲得（Clements & Battista,1992）。由此可知，幾何概念在數學領域中的重要性絕對不亞於數與 量的計算。 日常生活及自然現象的幾何圖形中，呈現「對稱」現象的圖形處處可見，學 生在也常藉由經驗對稱性質而形成其對稱概念基模中的概念心像（左台益、陳天 宏,2002）。另外，學童學習對稱概念有許多好處（Johnson & Bomhalt,2000）： 一、激發學童對稱、平衡及次序的本能知覺；二、先行訓練學生的數學眼；三、 幫助學生依據組成成分將事物分類；四、引起學生對周遭環境與生具有的好奇 心；五、讓學生的幾何概念獲得啟蒙。 我國在82年公佈實施的數學課程綱要中（教育部，1993），國小二年級上學 期，開始透過摺紙、剪紙及鏡射活動來觀察並經驗線對稱的現象。到國小六年級 時，透過操作活動，來認識並製作線對稱圖形。 目前公佈的九年一貫課程綱要（教育部，2003），在數學領域能力指標中更 明列對稱概念的能力發展，S-2-7能辨認平面圖形上的線對稱關係。（第二階段， 2.
(12) 國小四、五年級）顯示我國對稱概念在數學課程發展的重視。 另外，van Hiele（1986）及Piaget & Inhelder（1967）雖然對於學童的幾何思 考層次都提出論述，但對於學童的線對稱概念結構並未詳加研究。因此，研究者 希望藉質性研究法，先編製一份國小學童線對稱概念的試題，做為本研究的工 具，並將施測資料利用試題關聯結構分析法，建立學童經教學後的線對稱概念結 構圖，從而分析了解學童在知識結構上的不足，以期了解並診斷學生線對稱概念 的知識結構。. 第二節. 研究目的. 本研究的主要目的在於編製一份評量國小學童在線對稱概念結構的試題，並 藉由試題關聯結構分析法，來了解受試學生在線對稱的學習結構圖，以提供教師 在進行線對稱教學時參考的依據。本研究具體的目的如下： 壹、編製一份具信度、效度並且能評量線對稱概念的優良試題，並分析學童的幾 何思考模式。 貳、探討不同性別的學童在線對稱概念的表現。 參、探討不同幾何思考層次的學童在線對稱概念的表現。 肆、應用試題關聯結構分析法，繪製及探討國小五年級學童線對稱概念的知識結 構。. 3.
(13) 第三節. 名詞釋義. 以下將就本研究之相關名詞釋義或界定如下：. 壹、線對稱圖形 將一個平面圖形，沿著一條直線對摺，被這條直線分成的兩個部分會彼此全 等，並且可以完全疊合在一起，這個圖形稱之為線對稱圖形。. 貳、對稱軸 將一個線對稱圖形，沿著一條直線對摺，圖形被這條直線分成的兩個部分會 彼此全等，並且可以完全疊合在一起，這條直線稱為「對稱軸」。. 參、對稱點 線對稱圖形中，在對稱軸一側的任一點，均可以在另一側找到和它相疊合的 點，這個點稱之為「對稱點」 。. 肆、對稱邊 線對稱圖形中，在對稱軸一側的任一線段，均可以在另一側找到和它相疊合 的線段，這個線段稱之為「對稱邊」。. 伍、國小五年級學童 本研究之「國小五年級學童」是指九十五學年度五年級的學生。. 陸、試題編製. 4.
(14) 本研究試題的編製係由研究者依據教育部國民中小學九年一貫課程綱要(教 育部，2003)，以及參考南一出版社、翰林出版社、康軒出版社等第十冊數學科 教學指引，再經過試測、徵詢專家教師意見修改編製而成。. 柒、試題關聯結構分析法 本研究的試題分析分法，係採用由日本學者竹谷 誠（1991）所提出試題關 聯結構分析法(Item relational structure analysis)，簡稱IRS 分析法，來分 析試題的測驗結果，並依據題目彼此間反應所得的順序性關係，製成具有指向性 的圖形結構，來分析試題的特性。. 捌、視覺層次學童 視覺層次學童，係指學童幾何思考模式為van Hiele（1986）提出的兒童幾 何思考發展層次中，屬於第０層次之學童，這個層次的學童可以分辨、稱呼、比 較及操弄幾何圖形，受視覺外觀的影響很大。. 捌、分析層次學童 分析層次學童，係指學童幾何思考模式為van Hiele（1986）提出的兒童幾 何思考發展層次中，屬於第一層次之學童，這個層次的學童，具有辨別圖形特徵 之能力，可以利用實際操作方式，發現、歸納圖形的共有性質或規則。. 捌、鏡射圖形 將一圖形水平或垂直翻轉180度，使圖形產生位移所形成的新圖形，稱之為 鏡射圖形（reflectional figure） 。. 5.
(15) 第四節. 研究範圍與限制. 本研究是以受完九年一貫數學領域第二階段課程之五年級的學童為對象，利 用試題關聯結構分析法，了解五年級學童線對稱概念的學習情況。而本研究之範 圍與限制，分述如下：. 壹、研究範圍 本研究基於時間、人力、物力之限制及立意抽樣，無法擴大本研究的範圍及 人數，受試樣本僅限於中部地區的彰化縣的某一國小五年級學童，因此本研究所 得的結果受到區域限制，不宜推論到全國五年級學童，因此，僅能提供研究者或 教師進行線對稱教學與設計時的參考。. 貳、研究內容 本研究之數學課程教材分析，主要內容為九年一貫數學領域中，國小五年級 學童線對稱圖形的相關概念。. 6.
(16) 第二章. 文獻探討. 本研究之目的要藉由試題關聯結構分析法（IRS） ，了解國小五年級學童在線 對稱的概念結構，並探討不同層次的學童在線對稱概念的差異。 本章分成四節，首先探討兒童幾何概念發展理論，其次分析探討國小五年級 學童在線對稱圖形的概念；然後探討國小線對稱概念的課程與教材分析，最後介 紹試題關聯結構分析法。. 第一節. 兒童幾何概念發展理論. 平面線對稱概念是屬於平面幾何概念的一部分內容，因此本研究在探究兒童 的線對稱概念時，先探討與線對稱概念相關的兒童幾何概念。本節以兩部分來探 討兒童的幾何概念發展的理論，第一部分先說明 Piaget（1967）的空間概念理論； 接著第二部分以 van Hiele（1986）的幾何思考層次來探究； 最後，介紹 Duval （1995）幾何圖形的認知理解。. 壹、Piaget 的空間概念理論 在瑞士心理學家Piaget（1896-1980）的認知發展理論裡，認為兒童的認知發 展是以四個相同的階段順序來發展（林美珍，1996；黃慧真譯，1994；王真麗， 2003）。而Piaget也指出兒童在認知發展上，雖然有些孩子認知成熟發展比較快， 而有些孩子可能在某一階段會停留較久，但認知發展的順序是一樣而不會變的， 是無法跳過任一個階段。 在 Piaget 的兒童認知理論的四個主要階段分別為： 一、感覺動作期：兒童年齡為出生到兩歲為感覺動作期，此時期的兒童會以反射 性動作為基礎來發展複雜的行為，兒童的身體與物體的互動為兒童認知發展 7.
(17) 的原動力。 二、前運思期：兒童年齡為兩歲到七歲為前運思期，此時期的兒童會透過表徵來 解決問題，如語言、心象、繪畫。但其思考和語言均以自我為中心，不能適 切的表徵轉換，而只能表徵靜止情境。 三、具體運思期：兒童年齡為七歲到十一歲為具體運思期，此時期的兒童具反推 能力，能正確地表徵轉換及靜止情境，對於守恆概念較能理解。但仍無法考 慮所有合乎邏輯的可能性，也無法了解高度抽象概念。 四、形式運思期：兒童年齡大約為十一歲以後，為形式運思期，此時期的兒童能 以邏輯來解決各類問題，且能在符合科學的理論及思考下設計實驗，並以邏 輯的架構將實驗現象加以解釋。 因此，由 Piaget 的認知理論來看，兒童的學習及概念發展是有階段、順序性 的，並且與年齡有關。而幾何概念之發展當然也會受到兒童年齡的成長影響。 Piaget 在兒童空間概念的論點，主要有兩項（Piaget & Inhelder ,1967）： 一、兒童空間的表徵是經由本身動作的組織（organization of the child’s motor）及 行動的內化（internalized actions）而來。其中，空間的表徵是從較早對環境 的行動操弄中建立，並非知覺上的「讀取」（read-off）空間環境。 二、兒童的幾何概念發展有明確的邏輯順序，而隨著兒童年齡的成長對於空間知 覺能力的進展，先是呈現拓樸性(topological)、接著為投影性(projective)、最 後則是依據歐幾里得性(Euclidean)。兒童幾何概念之形成即依上述三個階段 之順序。而這三種幾何體系分述如下（吳貞祥，1990；劉秋木，1996；張英 傑，2001；Piaget,1967）： ‧拓樸性幾何概念：在四歲以前的兒童之幾何概念為拓樸幾何概念。此階段 與兒童的運思前期認知發展階段有關，兒童只注意到圖形的內與外， 而有關直線與曲線、邊長、角度、大小等歐氏幾何關係都會忽視而不 會加以留意，完全是屬於基本拓樸幾何概念；換而言之，圓或四邊形 8.
(18) 對於此階段的兒童而言都是連續簡單的封閉圖形，無法區隔兩者的差 異。另外，由於本階段的兒童由於缺乏可逆性與保留性，兒童無法以 相逆的次序重建該種次序，或當圖形被遮蔽時，即無法重繪該圖形（王 文科，1991）。 ‧投影性幾何概念：在兒童約四~七歲為投影性空間概念，在此一階段的兒 童認知發展相當於運思前期到具體運思期認知發展階段。兒童對外界 的認知，只要經過視覺所承認的事物，他們才認為是真實的存在，而 蘊藏在視覺之外的事物都不真實，他們深信各種形狀都會原本照著視 覺的感受而變化。因此，視覺對於這個時期兒童認知發展的影響，比 其他因素來的重要。 ‧歐氏幾何概念：兒童到七歲開始才有歐氏幾何概念，兒童隨著認知的發 展，漸漸會使用量尺工具以輔助測量，並且具備有線段長短、角度大 小及面積大小的概念。 總結而言，Piaget理論的研究重點在於兒童發展幾何概念的思考模式，及幾 何概念形成的運思程序，而兒童對於幾何概念的理解，與兒童本身的「智慧結構」 存在有密切的關聯，兒童對於幾何直覺的發展是透過行動將物體加以同化（施政 宏，2006）。兒童幾何概念發展的運思程序，先拓樸性幾何，然後是投影性幾何， 最後發展為歐氏幾何（劉秋木，1996）。在線對稱觀念中的「翻轉」概念，便是 屬於歐式幾何的轉換關係。. 9.
(19) 貳、van Hiele幾何思考層次 荷蘭數學家van Hiele 及van Hiele-Geldof夫婦在1957年，根據完形心理學的結 構論，以及Piaget的認知理論，對學童的幾何概念提出一個發展模式。 van Hiele夫婦提出的兒童幾何思考發展層次主要的論點認為：幾何的思考是 有著一定的發展層次，經由教師或引導者適當的引導，兒童的幾何思考層次可由 較低的思考層次逐步提升到較高的思考層次（薛建成，2003）。因此van Hiele的 理論乃是以物件導向為出發點，包含三大部分，即：領悟的本質、幾何思考的層 次、以及五階段學習模式。 一、van Hiele提出的五個幾何思考層次（吳德邦，1998；葛曉冬，2000；劉 好，1998；盧銘法，1996；van Hiele，1986；松尾七重，2003）： ‧第０層次：視覺/辨識期（Visualization/Recognition） 這個層次的兒童可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形，並藉著圖形的輪 廓由觀察判斷得知圖形形狀，學童也可以依據形體之外觀，說出形狀，兒 童具有從其外形輪廓來辨認形的概念，譬如：像門的形狀是長方形，像盤 子的形狀像圓形。此階段兒童的思考推理，受視覺外觀的影響很大，可以 透過具體物的操作，例如旋轉或移動，來辨別圖形之異同，他們可以知道 各種圖形，但是卻無法了解這些圖形的真實意義。 ‧第一層次：描述/分析期(Descriptive/Analysis) 這個層次的兒童，具有辨別圖形特徵之能力，能說出構成元素的名稱，並 且利用構成元素之間的關係來分析圖形的異同。兒童也可以利用實際操作 （如摺疊、尺量）的方式，發現、歸納某一群圖形的共有性質或規則，譬 如：能察覺到等腰三角形有三個邊，三個角，且有兩個邊、兩個角相等， 梯形四個長，四個角，且一對邊互相平行；但不能解釋圖形性質間的關係， 例如兒童並不一定能知道當其邊長不相等時，其面積亦有可能相等，此階. 10.
(20) 段的學童尚無法藉由推理得知其中之關係。 ‧第二層次：關係/非形式演繹（Relation/Informal deduction） 這個層次的兒童能夠了解構成各種圖形的元素，並且能夠進一步使用定義 去理解並發現其中的特性，並能以非正式的討論去理解相關之關係，並且 開始建構不同類型圖形之間的關係。例如，平行四邊形的兩雙對邊相等； 當平形四邊形其中一角為90°時，這個四邊形就是長方形；正方形是菱形 的一種；任何三角形的內角合是180°；n邊形的內角和為180°×（n-2）。 學童會使用公式表示及使用定義，整理先前發現的性質，給一非正式的討 論，並跟著給一演繹上的討論。 ‧第三層次：演繹期（Deduction） 這個層次的學童可以用演繹邏輯證明定理，用幾何的方式推論其所理解之 幾何圖形之意義，來證明各種幾何問題，同時能夠知道證明的方法不只一 種，換言之，兒童不必靠記憶公式來證明幾何問題。此外，兒童不必透過 拿實體物來操作，就能夠證明幾何的性質。 ‧第四層次：統期（Rigor） 這個層次是屬於最高層次，對於這個層次的兒童來說，可以在不同之公設 體統中，分析非歐幾何（non-Euclidean Geometry）及比較不同公設系統， 也可瞭解抽象幾何概念。 二、van Hiele幾何思考層次的特性，van Hiele（1986）曾指出幾何思考層次 具有某些基本固定的特性存在。而Crowley（1987）針對van Hiele 幾何思考層次 的特性的描述，提出了五個特性，茲將這五個特性分述如下（左台益、陳天宏， 2002；譚寧君，1993；Crowley,1987；Wu,1994）： ‧序列性（Sequential）：在van Hiele幾何思考的發展層次中，學習者的發展層次 一定是循序漸進，任何一個層次要成功的發展，必須擁有前一層次的各項 概念與思維策略（Crowley,1987）。也就是說，每一個層次的觀念是下一 11.
(21) 個層次觀念的基礎。 ‧進展性（Advancement）：從一個層次進階到另一個更高的層次，並非因為年 齡增而提升，而是需要教師適當的教學與引導才可以提升學童的幾何思考 概念，但是也沒有任何一種教學方法能使學童跳過某一層次，而直接進入 到到下一層次。 ‧內蘊與外顯（Intrinsic and Extrinsic）：在某一層次的性質是屬於內蘊的性質， 到了下一個層次，此一性質就有可能成為外顯的性質。 ‧語言性（Linguistics）：在每一層次中，均有屬於自己的符號語言和這些符號 的相互關連系統，因此，不同層次有不同的術語名詞，甚至相同的術語所 指的是不同的幾何概念（Eberle,1989）。 ‧不配合性（Mismatch）：處於不同思考層次的人，彼此間不能相互的溝通、暸 解。因此，教學配合兒童的認知層次，否則期望的學習歷程或是教學效果 就不可能會發生。. 參、Duval幾何圖形的認知理解 Duval(1995)認為圖形的認知理解方式會因人而異，他提出了四種認知理解 的方式（左台益、陳天宏，2002；朱莉文，2004）： 一、知覺性理解(Perceptual apprehension) 知覺性的理解，是兒童體認知道圖形的組織法則與繪圖線索，並將這些訊息 組織成一個整體性的辨認。我們可以把知覺的圖形以平面或透視的方式去分辨並 給予圖形的一些子圖形，這些子圖形可能就是它的組成要素，但不一定能架構出 整個圖形。 二、構圖性理解(Sequential apprehension) 構圖性理解，是兒童構造一個圖形或描述結構的一種認知歷程。當我們在構 12.
(22) 圖的過程、或是描述該圖形的結構時，是以數學的性質來對圖形作構圖性的理 解。在構圖的過程中，圖形的不同單位元件則會依序的浮現，若在構圖中受到干 擾，而無法表達出圖形性質之間的關係時，圖形則無法被瞭解。 三、論述性理解(Discursive apprehension) 論述性理解，是兒童透過語言或文字來描述一個圖形所具有的性質，或是利 用文字語言的陳述來進行推理的認知歷程。在所有的幾何表徵中，對於其幾何性 質的辨認仍然必須建立在敘述上，然後經過一個演繹的過程來決定這個圖形表現 了什麼，論述性理解可以在知覺性理解不變的情況下而改變。 四、操作性理解(Operative apprehension) 操作性理解，是個體轉換心像或實體圖像的一種認知歷程。當學童觀察一個 圖形時，可以透過操作圖形來得到解題的靈感，並以不同的方式更改圖形之後， 得到操作性的理解。 此外，這四種圖形認知理解方式，並沒有優劣的順序，每一種圖形認知理解 方式，都能提供學習者對於圖形的思考。. 13.
(23) 第二節. 線對稱概念之分析. 壹、線對稱的意義 自然界中各種物體的形狀，絕大部分都具有對稱的特性，而對稱又包含了線 對稱及點對稱。而一般人在處理事情的方式也常運用此種特性，例如，數列的對 稱。所謂線對稱圖形，是以「一條線」為基準，在線的兩側方向以「等距離延展 開」，兩側所形成的圖形須形狀與顏色相同，稱為「線對稱圖形」或「軸對稱圖 形」；此基準線可以是鉛直、水平或傾任一角度（傅銘傳、林品章，2002）。 換而言之，將圖形沿著基準線對摺，基準線兩側的圖形可以彼此全等疊合， 此圖形稱為「線對稱圖形」，基準線則稱為「對稱軸」。以下將對線對稱圖形的 意義進一步加以說明： 一、日本數學教育協會將線對稱圖形定義為（引自林宜臻，2000）：一平面 圖形或兩平面圖形以直線L為摺線，於空間翻轉180 後，完全重合或其中一個與 另一個完全重合，稱之線對稱圖形。 二、フリー百科事典（2007）的線對稱圖形定義：線對稱圖形是平面圖形的 特徵性質之一，將圖形以一條直線為軸進行對摺而能完全重疊，則此圖形稱為「線 對稱圖形」，這條直線稱為「對稱軸」。 三、國民小學數學科實驗課程教師手冊的線對稱定義為（教育部編，1995）： （一）操作型定義（直觀的概念）：若一圖形可沿著某一直線對摺，使直線兩側 完全重合，這種圖形稱為關於此摺線的對稱圖形，簡稱為線對稱圖形。 （二）幾何上的意義：一個圖形，若可以找到一條直線將其平分成兩半，在其中 一半內的任何點，都可以在另一半內找到一個對應點，使得這兩個互 相對應的點所連成的直線段，恰好被平分此圖形的直線垂直平分，這 個圖形即為一種線對稱圖形。 四、若一個圖形可以沿著某一條直線被對摺，使線的兩側之部分完全重合，. 14.
(24) 則此圖形即為相對於此摺線的對稱圖形，又簡稱為「線對稱圖形」。（姚孟嘉， 1989） 五、在平面上的某個圖形，如果可以找到一條直線，將此圖形分成兩個部分， 並使這兩個部分的圖形全等，而且能透過以此直線為摺痕的對摺而全等疊合，則 此圖形稱為「線對稱圖形」，對摺的直線稱為「對稱軸」。（南一出版社，2007）. 貳、線對稱概念的發展 「平面線對稱」關係屬平面幾何的內容，而「變換」（transformation）是幾 何中一個重要的部分。變換幾何（Geometrical Transformations）包含了空間中的 圖形的相對位置、全等及對稱關係，其中包含了三種主要的動作類型 （Souviney.,1994）： 一、「反射全等」（reflection congruence）是以翻轉（flip）的動作做出：將 在平面上的平面圖形以180 的翻轉，使圖像從原來的正面轉為反面，也就是平面 圖形經過180 的翻轉後會產生鏡射(Reflection)。如圖2-1所示. 圖 2-1 鏡射圖形. 二、「平移全等」（translation congruence）是以移動（slide）的動作做出： 將在平面上的平面圖形，以垂直、水平或傾斜某一角度的方式移動，讓原平面圖 形的位置產生平移（Translation），而平移後的圖形之大小、形狀及正反向都和 原圖形一樣。如圖2-2所示. 15.
(25) 圖 2-2 平移圖形 三、「旋轉全等」（Rotation congruence）是以轉動（turn）的動作做出：將 在平面上的平面圖形，透過旋轉（Rotation）產生位移，得到的圖形與元圖形不 變。如圖2-3所示。. 圖 2-3 旋轉圖形 其中「平移全等」、「旋轉全等」兩種變換均可經由兩次「反射全等」變換 而成，而我們所指的線對稱圖形，也就是「鏡射圖像」（mirror image），因此 線對稱的概念可說是一種結合平面與空間的概念。 國外學者Genkins（1974）整理的研究成果，學童在對稱概念的發展上，12 歲以下的學童無足夠的對稱概念能力，但此種概念能力會隨著年齡的增長，而有 增加的趨勢。在國內學者在學童線對稱概念發展的研究發現，當二年級學童升到 三年級後，對於線對稱圖形及其特徵之辨認能力已較為提高，中年級學童的幾何 思考能力大都屬於van Hiele的第0層次（識別）與第一層次（分析）的水準（劉湘 川、許天維、劉好、易正明等，1993）。 另外，英國倫敦大學CSMS（1981）的研究指出對稱軸的傾斜程度、格子出 現與否、物件複雜程度、物件的傾斜度等四項因素會影響學童在線對稱作圖的正 確情形。而國內學者林福來（1987）的研究也指出對稱軸的的傾斜度、物件與對 稱軸的相對位置、方格紙與白紙、物件的結構（圖形需掌握的關鍵因素增加，試 題的難度也會增加）等四點因素會影響學童在處理鏡射的作答。 16.
(26) 綜合上述，線對稱圖形是一種圖形變形轉換的結果，屬相等變換，可以在空 間中翻轉180 的動作形式加以描述線對稱圖形的關係。Küchemann（1981）認為 完整的線對稱概念必需要包含（左台益，2003）： 一、給學童圖形與對稱軸，學童會畫出物的對稱圖形； 二、能說出原圖形與對稱圖形的關係； 三、學童能判斷圖形是否有對稱軸； 四、能記住圖形的對稱軸，進行抽象的操作； 五、具有逆變換的觀念。 另外，線對稱圖形中對稱軸兩側對應邊須等長，兩側對應點連線恰好被對稱 軸垂直平分。若以鏡子成像的物理現象言之，宛如將鏡子放置在對稱軸的線上， 圖形上的每一個點都可在鏡子所呈現的鏡像（mirror image）中找到相對應（map） 的點。因此，我們可以翻轉的動作形式以及鏡射成像的物理現象加以說明並表示 線對稱圖形的關係(陳莉萍，2002)。. 17.
(27) 第三節. 國小線對稱概念之課程與教材分析. 壹、國小數學科「線對稱」課程分析 一、國小「對稱」課程於不同課程標準之比較 「對稱」教學是自從六十四年版課程標準之後才出現於數學課程之中，其中 六十四版課程標準（教育部國民教育司編，1975）於國小五年級的數學課程中， 列入了「線對稱」及「點對稱」教學。但「點對稱」的課程僅於六十四年課程標 準列入國小數學課程，在民國八十二年教育部頒布的課程標準公佈後，就都沒有 點對稱的相關教學活動。 另外，線對稱的課程，只有民國八十二年教育部頒布的課程標準，曾在二年 級數學教材有相關觀察活動出現外，都只有在高年級時才納入國小數學教材之 中。下表2-1為國小「對稱」課程在不同課程標準間的比較。 表2-1 「對稱」課程比較表 課程標準. 線對稱課程實施年段. 點對稱課程實施年段. 57年課程標準. 無. 無. 64年課程標準. 五年級. 五年級. 82年課程標準. 二年級、六年級. 無. 90年九年一貫暫行綱要 五年級. 無. 92年九年一貫課程綱要 五年級. 無. 二、八十二年頒布的國小數學課程標準中平面圖形的教材網要（教育部，1993） 【一年級】 ＊複製實物的面，分辨出類似三角形、四邊形及圓形等圖形板的形狀。 ＊觀察實物與圖形，辨別直線與曲線 ＊利用竹籤、釘板等構成簡單的平面圖形. 18.
(28) 【二年級】 ＊利用圖形板，拼排圖形，數出各圖形的數量 ＊利用相同的數量，全等的圖形板，拼排不同形狀的圖形 ＊利用不同的數量，全等的圖形板，比較圖形的大小 ＊透過摺紙、剪紙、鏡射等活動，觀察線對稱的現象 ＊利用以公分為刻度單位的直尺，畫出指定長度的線段 【三年級】 ＊透過製作的活動，瞭解三角形、四邊形的構成要素：角、邊、頂點及其個 數；並認識周界及周長 ＊做出或畫出滿足部分條件（指定一邊或二邊的長度，周長或一些頂點）的 三角形或四邊形 ＊透過摺紙製作直角，並在生活情境或圖形中辨認直角 ＊利用直角，瞭解長方形、正方形、直角三角形的特性 ＊角的初步概念 【四年級】 ＊使用量角器量角度及畫角 ＊透過製作的活動，瞭解等腰三角形、正三角形的特性，並作圖 ＊透過製作的活動，瞭解圓心、半徑、直徑、圓周 ＊透過直角認識直線的垂直與平行 ＊由邊長的相等或垂直與平行的觀點，把四邊形分類並命名，由此認識長方 形、正方形、平行四邊形、菱形、梯形、箏形 ＊圓規的使用 【五年級】 ＊透過圖形的疊合，認識全等的多邊形 ＊透過實測活動，認識圓周率 19.
(29) 【六年級】 ＊透過操作活動，認識線對稱圖形 ＊透過操作活動，瞭解縮圖與擴大圖的關係 ＊瞭解比例尺的意義及表示方法，並應用於地圖的閱讀 在此課程綱要中線對稱圖形課程出現在二年級與六年級，二年級的線對稱教 學活動是以透過摺紙、剪紙、鏡射等活動，觀察線對稱的現象，而六年級的線對 稱教學活動是透過操作，讓學生認識認識線對稱圖形。 三、線對稱教學在九年一貫課程暫行網要中之分段能力指標（教育部，2001） S-2-7：能辦認平面圖形上的線對稱關係。(第二階段：4-5年級) 【能力指標的闡釋】 ＊教師提供平面對稱圖形(如：囍)，供學生觀察並發表心得。 ＊能對單一圖形以具體方式辨認其左右圖形是否完全疊合。 S-3-8：能瞭解平面圖形線對稱的意義。(第三階段：6-7年級) 【能力指標的闡釋】 ＊能透過格子點的引導辨識平面對稱圖形。 S-4-6：能利用垂直平分的概念檢驗對稱軸 【能力指標的闡釋】 ＊檢驗平面上兩全等圖形間的直線是否為對稱軸。 四、線對稱教學在九年一貫課程網要分段能力指標及分年細目（教育部，2003） 【分段能力指標】 在92年11月頒布的國民中小學九年一貫數學學習領域課程網要中，關於線對 稱的分段能力指標為： S-2-06 能理解平面圖形的線對稱關係。（幾何部分第二階段第六條） 【分年細目】 （1）5-s-04 能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線對稱性質。（五年級 20.
(30) 幾何部分第四條） ＜分年細目詮釋＞ ＊能在具體示例中判斷一圖形是否滿足線對稱，找出該圖形的對稱軸(可 能不只一條)。理解哪些常見平面圖形具有線對稱的性質。 ＊知道線對稱圖形的對應邊相等、對應角相等，並知道對稱軸兩側圖形全 等(不需要證明)。 ＊知道如何描繪一簡單平面圖形的線對稱圖形。 （2）8-s-10能理解平面圖形線對稱的意義質。（國中二年級幾何部分第十 條） ＜分年細目詮釋＞ ＊以生活中的平面圖形為例，來理解單一圖形透過格子點作出現對稱的鏡 射圖形。 ＊認識對稱點、對稱線、對稱角、對稱軸。 ＊兩對稱點連線被對稱軸垂直平分。 ＊透過格子點作出直角三角形的線對稱圖形。 從有關線對稱圖形在近年來的課程標準來看，八十二年版強調透過操 作活動，來認識線對稱圖形(六年級)，而在九年一貫課程網要的能力指標 及分年細目中，強調能理解平面圖形的線對稱關係與線對稱性質，都是要 學童能觀察並思考平面圖形的線對稱關係與性質。. 21.
(31) 第四節 試題關聯結構分析法 近年來，認知理論（Cognitive theory）快速發展，對於其他教育領域造成相 當的影響。在教育評量時應採認知成份分析的方式加以考慮，並注重所評量特定 認知領域裡專家與學習者之間知識結構和使用策略方式等方面的比較。 英國數學教育學家Skemp曾指出數學的重點是邏輯程序的推理，但數學教育 卻重視心理程序的推展（林義雄、陳澤民譯，1988），數學與數學教育兩者的意 涵是不同的。因此，理解學童心理程序的推展過程，才能使數學的教學活動能夠 順利展開。試題關聯結構分析法（Item relational structure analysis，簡稱IRS）可 以藉由分析一個班級學童的測驗反應，獲得學童學習概念能力方面所呈現成就的 結構圖，此稱結構圖可取代教師依教材的特性所建構的學習結構圖，或是依教科 書編者所編的教材地位分析圖，以改善教學方法與設計（許天維，1995）。由於 本研究主要是對一個班級進行線對稱圖形概念形成過程之考驗，因此較適合以試 題關聯結構理論作為分析基礎。. 壹、試題關聯結構分析法的構想由來 學童在經過教學後，其概念能力在結構上是否產生變化，是教學上非常重要 （Ordering theory） 的課題。美國學者Airasian & Bart 於1973年首先發表「次序理論」 在教育工學的功用（Airasian & Bart, 1973）。而日本學者Takeya（竹谷 誠）於1977 年在美國威斯康辛大學的研討會接觸到「次序理論」，返回日本後便致力於改良 「次序理論」的缺點，並於1979年發展出「試題關聯結構分析法」，1980年完成 試題關聯結構分析法的理論，開始使用於教育現場，證明其方法是一個有效的分 析工具。 Takeya（1991）將測驗試題的結果，按題目彼此間反應所得的順序關係，製. 22.
(32) 成有方向性的圖形結構，來分析試題的特性，此種方法稱之為試題關聯結構分析 法（Item relational structure analysis），簡稱IRS分析法；有了此種方法，能使班 級學習情況的分析獲得解決，因此有效幫助學習情況與教學成果的分析（許天 維，1995）。. 貳、試題關聯結構分析法 現在將以一個實例來說明，試題關聯結構分析法的意義。假設有A、B兩組 學童，每組各有十位，兩組同時接受一份有六題題目的測驗，在測驗中答對的試 題，該題得一分，答錯者得零分，其得分情況如下表所示（劉湘川、許天維、林 原宏、郭伯臣，1994）： 表2-2 A 組. A、B組學童得分情形表 B 組. 試題1 試題2 試題3 試題4 試題5 試題6. 試題1 試題2 試題3 試題4 試題5 試題6. 學童1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 學童1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 學童2. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 學童2. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 學童3. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 學童3. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 學童4. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 學童4. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 學童5. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 學童5. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 學童6. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 學童6. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 學童7. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 學童7. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 學童8. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 學童8. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 學童9. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 學童9. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 學童10. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 學童10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 答對者數. 9. 3. 6. 5. 5. 1. 答對者數. 9. 3. 6. 5. 5. 1. 23.
(33) 由上表可知兩組測驗後，兩組各試題之答對者人數均相同，為方便起見，改 成下表： 表2-3 A 組 試. A、B組學童得分情形簡表 題 B 組 2. 3. 4. 5. 6. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 3. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 4. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 5. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 6. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 7. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 8. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 9. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 9. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 10. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 答對者數. 9. 3. 6. 5. 5. 1. 答對者數. 9. 3. 7. 5. 5. 1. 童. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 3. 1. 0. 0. 1. 1. 4. 1. 0. 1. 0. 5. 1. 0. 0. 6. 1. 0. 7. 1. 8. 題. 1. 學. 1. 試. 學. 童. 接著，依照每位學童試題所得的總分高低，由上而下排序可得下表：. A 組. 表2-4 試. A、B組學童試題得分排序表 題 B 組. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 3. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 5. 1. 0. 0. 1. 1. 7. 1. 0. 0. 1. 9. 0. 1. 1. 4. 1. 0. 6. 1. 8. 試. 題. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 3. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 5. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 7. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 9. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 4. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 6. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 8. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 10. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 答對者數. 9. 3. 6. 5. 5. 1. 答對者數. 9. 3. 6. 5. 5. 1. 學. 童. 高. 低. 24. 學. 童. 高. 低.
(34) 最後，以各試題答對人數的多寡順序，由左而右排列，可得佐藤 S-P表（佐 藤隆博，1982），如下表： 表2-5 A、B組學童試題得分、人數排序表 A 組 試 題 B 組 試 1. 3. 4. 5. 2. 6. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 3. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 5. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 7. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 9. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 4. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 6. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 8. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 10. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 答對者數. 9. 6. 5. 5. 3. 1. 答對者數. 9. 6. 5. 5. 3. 1. 學. 童. 1. 3. 4. 5. 2. 6. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 3. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 5. 1. 0. 1. 1. 0. 7. 1. 0. 1. 1. 9. 0. 1. 0. 4. 1. 1. 6. 1. 8. 題. 低. 高. 低. 高. 學. 童. 低. 高. 低. 高. 由表知，兩組學童在總分順序及試題答對人數的次序都相同；亦即二組之試 題難易分配與試題號碼之對應完全一致。但是，如果改以順序結構圖來觀察，以 下列方法來分析，那麼兩組之間，就會有顯著的不同。 A組中，1號學童答對試題6，亦同時答對了試題2，亦即答對試題6的學童亦 答對試題2，此時就有試題2到試題6的箭頭，記作2 →6（試題2代表下位概念，試 題6代表上位概念）；同理，1號學童答對試題1，亦同時答對了試題4、5，所以 分別有4→6（試題4代表下位概念，試題6代表上位概念）、5→6（試題5代表下 位概念，試題6代表上位概念），此外，4 ↔ 5為等價關係，代表的意涵為試題2 與試題3具相同的概念；而答對試題4、試題5的學童，同時也答對試題1，所以有 1→4（試題1代表下位概念，試題4代表上位概念）、1→5（試題1代表下位概念， 25.
(35) 試題5代表上位概念）。而1號、2號、3號的學童答對試題2，他們亦同時答對了 試題3，所以分別有3→2（試題3代表下位概念，試題2代表上位概念）、4→3（試 題4代表下位概念，試題3代表上位概念），但答對試題3的學童中，8號沒有答對 試題1，故沒有試題1到試題3的箭號。 以相同的方法來看，在B組的學童中，如果1號學童答對試題6，也同時答對 了試題2，也就是說，答對試題6的學童同時也答對試題2，此時就有試題2到試題 6的箭頭，可以記作2→6，其意義為：試題2代表下位概念，試題6代表上位概念； 同理，1號、2號、3號及7 號的學童答對試題2，這些學童也同時答對了試題4、 試題5，所以分別有4→2（試題4代表下位概念，試題2代表上位概念）、5→2（試 題5代表下位概念，試題2代表上位概念）；另一方面，1號、2號、3號、5號、7 號答對試題4、試題5，他們亦同時答對了試題3，所以分別有3→4（試題3代表下 位概念，試題4代表上位概念）、3→5（試題3代表下位概念，試題5代表上位概 念）。此外，4 ↔ 5為等價關係，代表的意涵為試題4與試題5具相同的概念，也就 是說答對試題4的學童也會答對試題5，答對試題5的學童也會答對試題4；最後， 答對試題3的學童，同時都答對試題1，所以有1→3，即試題1代表下位概念，試 題3代表上位概念。 從以上分析，如果定義答對率為. 試題答對率＝. 受試者答對人數 全體受試者的人數. 則以答對率為縱座標，可將所有相關的指向箭頭標示出來，成為完整的試題 關聯結構圖，如下圖所示：. 26.
(36) A. 答對率 0.20. 答對率. 6. 0.20. 1. 0.30. 2. 2. 0.30 0.40. 組. 0.40 4. 0.50 0.60. B. 組. 5. 0.50. 3. 0.60. 0.70. 0.70. 0.80. 0.80. 0.90. 1. 圖 2-4. 0.90. 4. 5 3. 1. A、B 組學童試題關聯結構圖. 由上圖可看出兩個試題關聯結構圖兩者截然不同，僅管兩個表的試題其答對 率雖然相同，然而兩組學童的理解結構卻不相同。左圖顯示A組有兩個系列存在， 即試題3、2、6的系列以及試題1、4、5、6的系列，而右圖顯示B組的試題形成一 個單純的一元化系列。另一方面，左圖亦可改為兩個理解不同的結構而答對均質 的 S-P 表（試題2、3、6 及試題1、4、5、6）。故試題關聯結構圖可看出在S-P 表所觀察不到的各試題間的順序關係，可作有方向性的圖性判讀。. 肆、試題關聯結構順序係數 試題關聯結構分析法是將兩測驗題目之間的順序性係數建立起來，作為試題 高低概念層次之基礎，然後利用此種關係建立試題關聯結構圖，而試題關聯結構 的分析順序敘述如下（許天維，1995；蔡長添，1993）：. 27.
(37) 一、建立項目順序性係數 試題關聯結構分析是先計算出兩試題之間的順序性係數，也就是由受試者答 題的原始資料，可以計算出兩測驗題目之間的順序性係數，然後利用此順序性係 數建立試題關聯結構圖，順序性係數說明如下： 假設Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ分別表示如下的意義： Ａ：試題i與試題j均答對的人數 Ｂ：試題i答對而試題j答錯的人數 Ｃ：試題i答錯而試題j答對的人數 Ｄ：試題i與試題j均答錯的人數 表 2-9 中係指 N 個受試者在試題 i 及試題 j 的答對與答錯人數。其中 1 代表 答對，0 代表答錯，又因Ｎ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ，竹谷 誠（1991）提出順序性係數 之定義如下，即可求得 i 題到 j 題的 rij∗ 值：. ∗. rij = 1 −. CN ( A + C )(C + D ). 表 2-6 試題 i、j 答對與答錯人數統計表 第 j 題 對（1） 錯（0）. 第 i 題. 合計. 對（1）. A. B. A＋B. 錯（0）. C. D. C＋D. 合計. A＋C. B＋D. N. 28.
(38) 順序性係數 rij∗ 表示試題 i 指向試題 j 的順序性程度，亦即相對而言，試 題 i 為下位概念（lower concept），而試題 j 為上位概念（upper concept）的程 度。另外，順序性係數是一個數值，若此數值超過閥值，則表示順序性存在，反 之則否。根據 Takeya（1991）的研究，以 0.5 為閥值（threshold），亦即： 1. rij∗ < 0.5 ，則試題 i 及試題 j 沒有順序關係。 2. rij∗ ≥ 0.5 ，則試題 i 及試題 j 有順序關係。 另外，減少閥值，可以讓順序性指向增加；增加閥值，則可以讓順序性指向 減少。一般閥值介於0.4到0.6之間。 二、建立試題間的順序關係 根據試題間之順序性係數，整理出所有試題兩兩之間是否有順序關係。以表 2-4 中 A 組學童作答情形為例，可算出試題的順序性係數： 表 2-7 試題順序性係數 試題 j. 6. 1. 2. 3. 4. 5. 1. -. -2.333. -0.667. 1. 1. 1. 2. -0.111. -. 0.286. 0.143. 0.143. 1. 3. -0.111. 1. -. -0.500. -0.500. 1. 4. 0.111. 0.333. -0.333. -. 1. 1. 5. 0.111. 0.333. -0.333. 1. -. 1. 6. 0.012. 0.259. 0.074. 0.111. 0.111. -. 試題 i. 表 2-10 表示試題 i 指向試題 j 的順序性係數，以閥值 0.5 為標準，得到試 題之間的順序關係，若 rij∗ 大於 0.5 以上，則以 1 代表，表示試題 i 指向試題 j； 反之，則以 0 代表，表示試題 i 與試題 j 沒有關係。如此簡化試題的順序可表. 29.
(39) 示成下表： 表 2-8 試題的順序關係 試題 j. 6. 1. 2. 3. 4. 5. 1. -. 0. 0. 1. 1. 1. 2. 0. -. 0. 0. 0. 1. 3. 0. 1. -. 0. 0. 1. 4. 0. 0. 0. -. 1. 1. 5. 0. 0. 0. 1. -. 1. 6. 0. 0. 0. 0. 0. -. 試題 i. 三、根據試題間有無順序性關係，畫出試題關聯結構圖 （一）以縱軸座標表示通過率，座標越上方表示通過率越低，座標越下方表 示通過率越高，將試題依通過率高低，將試題題號於標示座標上。 （二）以「→」箭號來表示兩試題之間的關係，若兩試題間有順序關係，即 表2-8之矩陣表為時，則有「→」箭號；若兩試題間沒有順序關係，亦 表2-8之矩陣表為0，則無「→」箭號，如圖2-5（1）所示。 （三）兩試題間若能以直接或間接相連結時，則應除去直接連結的箭號，以 簡化試題關聯結構圖，增加可讀性，如圖 2-5（2）所示。 （四）在圖2-5之試題結構圖中，試題4和試題5具高度相關，可視為同一性質 試題，換而言之兩試題等價關係，因此又可把試題關聯結構更簡化成 如圖2-5（3）。. 30.
(40) 答對率. 試題關聯結構圖. 答對率. 6. 0.20. 0.40 4. 0.5 0.60. 將遞移指. 0.30. 向消除. 0.40. 5. 2. 4. 0.5. 3. 0.60. 0.70. 0.70. 0.80. 0.80. 0.90. 6. 0.20. 2. 0.30. 試題關聯結構圖. 1. 5. 3. 0.90. 1. （1）. （2）. 答對率. 試題關聯結構圖 6. 0.20 2. 0.30 0.40. 4、5. 0.5 0.60. 3. 0.70 0.80 0.90. 1. （3） 圖 2-5 試題關聯結構圖之簡化（摘自蔡長添，1993；Takeya,1991）. 31.
(41) 伍、試題關聯結構分析法的功能 許天維（1995）指出試題關聯結構分析法有下列五種功能： 一、教學設計 在單元教學活動前，教師可以將課程內容的先前經驗概念對學童加以施測， 並依據施測資料以試題關聯結構分析法進行分析，如此可以考驗出學童先前經驗 概念不足之處，進而作為教學活動設計的參考依據。 二、形成性評量（formative evaluation） 在單元教學活動後，教師可以利用知識結構分析出題，編製形成性評量來施 測，並將施測資料以試題關聯結構分析法進行分析，可以協助教師了解學童學習 後的知識結構，以及學童概念不清楚之處，作為補救教學依據。 三、認知學習構造 教師也可利用形成性評量的反應結果，依據佐藤S-P表獲得的注意係數，偵 測出異質性的學童，並把此類學童所畫出結構圖與班上的結構圖互為比較，即可 診斷學童異質的原因，從而加強輔導教學。 四、概念形成過程 學童概念的形成過程有層次之分，教師再進行評定學童時有四層次，即操作 經驗層次、知覺內化層次、言語抽象層次、因果論理層次，以此四層次來評定各 年級班上學童的概念形成過程，可以建立各年級的結構圖，知道學童的概念形成 過程的發展。另外，藉由結構圖，也可以幫助教師了解班上學童概念形成過程的 分布。. 32.
(42) 五、課程教材構造 對教科書編者而言，知道一般學童的學習構造，是貴重的資料。所以，我們 可由母群體隨機抽出樣本進行考驗後，透過試題關聯結構分析法進行構圖，建立 學童的學習構造，對於教科書編輯或分析典範教師的學習指導構造圖的特質，都 有很大的作用。 另外，郭伯臣（1995）的研究指出，藉由試題關聯結構分析法的分析結果， 可以瞭解學童由低到高的能力以及試題間結構變化的情形，並進一步瞭解學童學 習的發展過程。盧銘法（1996）的研究中發現，利用IRS可以把原來的幾何認知 發展階段再細分出結構發展層次。 以上的研究或報告實已將試題關聯結構分析法的功能道出，因此有了試題關 聯結構分析法，便可使學童學習情況的分析與教師教學成果的分析獲得解決。. 33.
(43) 第三章. 研究方法. 本研究目的在探討國小五年級學童在線對稱概念的試題關聯結構，並根據前 述之相關文獻探討，進行本研究方法的設計與實施。以下依序就研究架構、研究 對象、研究工具、研究流程、資料處理及研究限制加以說明。. 第一節. 研究架構. 本研究根據研究目的及參考文獻，提出研究架構如圖3-1： 學童線對稱概念. 國小線對稱教材. 試題雙向細目表 編製線對稱概念試題. 專家修正意見與審定. 線對稱概念結構圖. 預試及修正試題. 線對稱概念正式施測試題 抽樣班級 IRS 分析. 繪製各概念之試題關聯結構圖. 解釋各概念之試題關聯結構圖 圖 3-1. 研究架構圖. 34.
(44) 第二節 研究對象 本研究的目的是在研究探討國小五年級學童線對稱概念的結構，因此本研究 為配合教師教學進度進行研究施測，故以五年級學童抽樣對象。 試題依據數學領域專家的意見修正後，選取彰化縣某一所國民小學三個班級 共六十三位學童做為預試對象。 正式施測對象為彰化縣某一所智類國民小學，抽取一五年級班級，並以全班 共三十二位學童為正式施測及研究對象。 施測時，為了避免影響施測的效度與信度，因此由被取樣班級的數學領域任 課教師來協助施測，以減輕學童的緊張情緒，另外，在施測前先向協助施測教師 說明施測時應注意事項。同時向受測學童說明測驗的目的、方式，施測所得資料 僅供研究使用不會公開。. 第三節. 研究工具. 本研究之研究工具包括自編「國小五年級學童線對稱概念測驗」，以及相關 的統計軟體，資將說明如下：. 壹、國小五年級學童線對稱概念測驗 一、試題內容架構 本試題之編製主要依據現行教育部（2003）九年一貫課程綱要數學學習領域 課程能力指標，及國民小學線對稱教材及教學指引內容，並參考學童線對稱概念 的相關研究文獻，配合學童的認知發展，架構學童線對稱概念架構圖（圖 3-2）， 最後編製「國小五年級學童線對稱概念測驗」，內容包含 18 題單選題及 15 題作 圖題（附錄一） 。. 35.
(45) 能夠完成線對稱圖形. 能知道對稱軸垂直平分 兩個對應點連接的線段. 能知道兩個對應邊一 樣長、對應角一樣大. 能從線對稱圖形，找出 對應邊、對應點及對 稱角 透過鏡射及摺紙，能察覺 生活環境中線對稱的現象. 能判斷平面圖是否為 線對稱圖形. 能了解正多邊形的邊 數與對稱軸的關係. 能從對稱圖形中，找出對 稱軸，及對稱軸數目. 能了解幾何圖形全等的意義 圖 3-2 線對稱概念專家結構圖. 36.
(46) 二、試題編製依據 本研究所使用之「國小五年級學童線對稱概念測驗」研究工具，其編製是依 據教育部頒布之九年一貫數學學習領域課程綱要（教育部，2003）來設計，並從 相關文獻中歸納出學童線對稱圖形概念。 在編製試題前，同時參考南一、康軒、翰林出版社 96 年度出版之國小五年 級數學領域教科書中，關於線對稱圖形之教學單元，編製國小學童數學線對稱圖 形概念試題目雙向細目表（表 3-1），及完成線對稱圖形試題細目表（表 3-2） ， 並依據題目雙向細目表及完成線對稱圖形試題細目表來編製試題。. 三、試題編製原則 本研究主要目的在於探討五年級學童對於線對稱圖形的概念，因此在試題編 製時，均要符合以下四點原則： （一）要符合本研究之目的。 （二）要符合九年一貫課程綱要數學學習領域課程線對稱能力指標。 （三）要符合實際教學教材內容來命題。 （四）要符合國小五年級學童的認知層次。 另外，在選擇題命題也要符合下列原則(陳英豪、吳裕益，1998；余民寧， 2002；陳雅芬，2003；Osterlind, 1998；Haladyna, 1999)： (一)內容要項 1.每題應有確定目的：試題的編製，應落在確定的內容範圍向度與確定 的心智活動向度，如記憶、理解、批判思考或問題解決等。 2.在確定的內容向度上，題與題間要互為獨立，題組間避免相互依賴的 內容。 3.在心智活動向度上，凝聚在單一心智活動，而不是一連串的心智活動。 4.試題中的內容取材，避免使用過度特定或過度一般性的材料。 37.
(47) 表 3-1 線對稱圖形概念測驗試題目雙向細目表 認知歷程階層 記憶. 理解. 應用. 數學概念 能了解幾何圖形全等的 意義. 高層次 思考. 1、2. 題數. 2. 透過鏡射及摺紙，能察 覺生活環境中線對稱的 現象. 3、4. 2. 能判斷平面圖是否為線 對稱圖形. 5、6. 2. 能從對稱圖形中，找出 對稱軸. 7、8. 能了解正多邊形的邊數 與對稱軸的關係. 9. 2. 10. 2. 能從線對稱圖形，找出 對應邊、對應點及對稱 11、13 角. 12. 3. 能知道兩個對應邊一樣 長、對應角一樣大. 14. 能知道對稱軸垂直平分 兩個對應點連接的線段. 15、16. 3. 17、18. 2. 運用線對稱的性質，能 在格點板上完成線對稱 圖形. 19-24. 6. 運用線對稱的性質，能 夠畫出線對稱圖形. 25-33. 9. 15. 33. 題數. 7. 7. 38. 4.
(48) 表 3-2 線對稱圖形作圖概念細目表 概念. 測驗目標. 底圖有格點且. 學童能在有格點且對稱軸垂直的. 題號 19、21. 對稱軸垂直. 圖形完成對稱圖形. 底圖有格點且. 學童能在有格點且對稱軸水平的. 對稱軸水平. 圖形完成對稱圖形. 底圖有格點且. 學童能在有格點且對稱軸傾斜的. 對稱軸傾斜. 圖形完成對稱圖形. 底圖沒有格點. 學童能在沒有格點且對稱軸垂直. 20、22. 23、24. 27、28、31 且對稱軸垂直. 的圖形完成對稱圖形. 底圖沒有格點. 學童能在沒有格點且對稱軸水平. 且對稱軸水平. 的圖形完成對稱圖形. 底圖沒有格點. 學童能在沒有格點且對稱軸傾斜. 25、26、32. 29、30、33 且對稱軸傾斜. 的圖形完成對稱圖形. 5.避免以眾人意見為基礎的答案，來形成的試題。 6.避免佈設陷阱於試題之中，包括刻意的陷阱與無心的陷阱。 (二)題幹要項 1.試題的中心概念出現在題幹，而不是在選項。 2.題幹的敘述要保持完整，且僅提出一個明確的問題。 3.題幹中避免無關的修飾語與冗長的贅語，要以簡單清晰的用詞來陳述 試題的題幹。 4.題幹中盡量使用肯定句的敘述，避免使用否定句的敘述；如果必須使 用否定句的敘述時，要在否定句的字眼或字詞特別強調，如在否定句. 39.
(49) 的字眼或字詞改為斜體字或標注雙底線。 (三)選項要項 1.採用多選一的單選題，選項數目應該保持一致。 2.確定選項中只有一個是正確的，並根據選項數目，變化正確所在的位 置。 3.保持選項內容的同質性，且選項的長度一致性。 4.選項採用正面陳述，避免負面陳述。 5.避免「以上皆非」、「以上皆是」、「不知道」的答案。 6.試題內容避免使用具有暗示性的字詞。 7.所有錯誤選項的敘述，要具有與題幹敘述相關聯的似真性或合理性， 以發揮應有的誘答功能。 8.應用考生典型的錯誤作為選項，並避免使用幽默選項。 9.以變化題幹或改變選項任何一者，來控制試題之難度。 為了提升試題的品質，本研究根據以上的命題原則，來編訂一份「試題檢核 表」（附錄二），提供命題者逐一檢查所編製試題，減少學童在作答時對試題內 容及題目意思有所誤解。. 四、測驗工具的信度 本研究之測驗工具信度，以Cronbach’s α係數來求試題的內部一致性，代表本 測驗結果的穩定度。 另外，在作圖題19題至33題，由三位國小擔任五年級數學領域教師負責閱 卷，並求取試題之評分者信度，其評分準則如下： （一）兩對稱點連線是否與對稱軸垂直。 （二）畫出之對稱圖形是否完整、正確。 （三）原圖形與對稱軸之距離及對稱圖形與對稱軸之距離是否相等。 40.
(50) 而三位評分者經過討論訓練，確定充分了解評分準則後，才開始進行閱卷工 作。並且，如果學童在某一題作圖題，三位評分者有兩位評分者評定為對，則學 童在該題則認定為答對。例如：學童一在試題19的作圖，雖然評分者一，認為部 分作圖不完整，但評分者二及評分者三，認為其作圖正確，則學童一在試題19仍 然計分為對。。. 五、測驗工具的效度 本研究採內容效度及專家效度，讓本測驗工具能夠準確的測量到本研究所要 測量之學童能力。 （一）內容效度 本測驗工具根據線對稱概念專家結構（圖3-2），以及國小學童線對稱圖形 概念測驗試題目雙向細目表（表3-1）、完成線對稱圖形試題細目表（表3-2）來 編製，並依據試題檢核表要項一一檢視編製的試題，作為考驗內容效度之依據。 因此，本測驗工具能涵蓋所有的教學目標與教材內容，並利用雙向細目表來命 題，將具有充分的代表性，即能夠確立該測驗具有適當的內容效度。 （二）專家效度 本研究之試題初稿擬訂完成後，先後諮詢兩位台中教育大學專精於國小數學 教材教法與測驗的教授，及三位擔任彰化縣數學領域輔導員的國小現職教師，依 據專家效度調查問卷（附件三）審查試題是否合適，並提供修改意見使試題內容 具有專家效度。. 貳、相關統計軟體 本研究所使統計軟體工具有兩項： 一、SPSS 10.0 for Windows 統計套裝軟體：來分析研究工具之 Cronbach’s α 信度，. 41.
(51) 及相關研究分析。 二、IRSP 統計軟體：本軟體由郭伯臣、田聖才於 1995 年設計，在本研究中用來 計算各試題間的關聯順序係數，以及初步繪製試題關聯結構圖。. 參、預試結果 「國小五年級學童線對稱概念測驗」試題編製完成後，以彰化縣某一所國民 小學五年級六十三位學童為預試施測對象，施測結果經 SPSS 統計軟體分析可知， Cronbach’s α 係數值為 0.893，為信度優良之試題。茲將試題分析整理如表 3-3。 其中試題 1、2、5、7、26 等五題的鑑別度不高，但因為試題 1、2 是評量學 童是否有判斷全等圖形的概念；試題 5 是評量學童是否能判斷線對稱圖形；試題 7 是評量學童是否能找出線對稱圖形的對稱軸；試題 26 是基本的線對稱圖形的作 圖題，故與數學教育專家討論後，皆於修正後給予保留。 另外，在作圖題部分，第一位評分者的 Cronbach’s α 係數值為 0.884；第二 位評分者的 Cronbach’s α 係數值為 0.886；第三位評分者的 Cronbach’s α 係數值 為 0.882，顯示各評分者的評分結果具有良好的內部一致性。 而將三位評分者的評分結果以 Pearson 相關來考驗，評分者一、評分者二的 相關係數為 0.997***；評分者一、評分者三的相關係數為 0.998***；評分者二、 評分者三的相關係數為 0.996***，並且都達到極顯著水準，顯示三位評分者的評 分結果，具有高度相關。因此，在作圖題評分具有良好的評分者信度。. 42.
(52) 表3-3 預試試題分析總表 N = 63 ， i = 33 ， N H = 18 ， N L = 20. 整體答 低分組 高分組 答對 題 對 答對 號 百分比 百分比 百分比 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33. P. PH. PL. 0.968 0.937 0.651 0.651 0.937 0.698 0.921 0.905 0.825 0.873 0.476 0.540 0.698 0.810 0.619 0.460 0.524 0.698 0.794 0.921 0.683 0.825 0.619 0.714 0.857 0.905 0.635 0.508 0.429 0.397 0.794 0.714 0.302. 0.900 0.850 0.300 0.350 0.800 0.400 0.850 0.750 0.700 0.700 0.300 0.300 0.450 0.450 0.200 0.150 0.300 0.500 0.550 0.750 0.500 0.450 0.250 0.400 0.700 0.800 0.350 0.150 0.150 0.050 0.500 0.300 0.150. 1.000 0.944 0.944 1.000 1.000 1.000 0.944 1.000 1.000 1.000 0.667 0.722 1.000 1.000 0.889 0.833 0.667 0.944 1.000 1.000 1.000 1.000 0.944 0.944 1.000 1.000 1.000 0.833 0.889 0.722 1.000 1.000 0.611. 難易度指 數 D=. PH + PL 2. 0.950 0.897 0.622 0.675 0.900 0.700 0.897 0.875 0.850 0.850 0.483 0.511 0.725 0.725 0.544 0.492 0.483 0.722 0.775 0.875 0.750 0.725 0.597 0.672 0.850 0.900 0.675 0.492 0.519 0.386 0.750 0.650 0.381. 43. 鑑別度指 數 d i = PiH − PiL 0.100 0.094 0.644 0.650 0.200 0.600 0.094 0.250 0.300 0.300 0.367 0.422 0.550 0.550 0.689 0.683 0.367 0.444 0.450 0.250 0.500 0.550 0.694 0.544 0.300 0.200 0.650 0.683 0.739 0.672 0.500 0.700 0.461. 點二系 Alpha 列相關 if Item 係數 Deleted r( x )( y ) .338** .268* .542** .517** .486** .543** .164 .507** .204 .436** .330* .374* .480** .604** .461** .584** .408** .449** .421** .485** .397** .598** .610** .550** .500** .375* .584** .592** .532** .576** .636** .694** .444**. .8919 .8924 .8885 .8890 .8901 .8884 .8937 .8895 .8942 .8903 .8934 .8924 .8898 .8874 .8903 .8876 .8916 .8904 .8907 .8899 .8916 .8875 .8869 .8883 .8893 .8912 .8875 .8874 .8888 .8877 .8867 .8851 .8905.
(53) 第四節. 研究流程. 本研究之目的，在探討國小五年級學童在線對稱圖形的知識概念結構，本研 究流程如圖 3-3。. 探討線對稱概念相關文獻. 分析國小線對稱圖形教材. 線對稱概念結構圖. 試題雙向細目表. 編製試題 不通過. 試題檢核表 通過 學科專家檢核 通過 預試. 正式施測. 形成 IRS 結構圖. 結果分析. 完成論文. 圖 3-3. 研究流程圖. 44. 閱讀測驗相關文獻.
(54) 第五節. 資料處理. 本研究採取量化的分析方法，目的在探究五年級兒童在線對稱圖形概念的知 識結構。施測後所得的資料，先借由 EXCEL 微軟試算軟體，分析試題之通過率、 難易度及鑑別度，之後在使用 SPSS 10.0 統計軟體進行信度分析及試題相關分析。 在試題關聯結構分析法方面，則藉由 IRSP 統計軟體，計算試題關聯順序係 數，並繪製試題關聯結構圖，分析群體受試者之試題關聯順序結構。. 45.
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