線對稱概念之分析

壹、線對稱的意義

自然界中各種物體的形狀，絕大部分都具有對稱的特性，而對稱又包含了線 對稱及點對稱。而一般人在處理事情的方式也常運用此種特性，例如，數列的對 稱。所謂線對稱圖形，是以「一條線」為基準，在線的兩側方向以「等距離延展 開」，兩側所形成的圖形須形狀與顏色相同，稱為「線對稱圖形」或「軸對稱圖 形」；此基準線可以是鉛直、水平或傾任一角度（傅銘傳、林品章，2002）。

換而言之，將圖形沿著基準線對摺，基準線兩側的圖形可以彼此全等疊合，

此圖形稱為「線對稱圖形」，基準線則稱為「對稱軸」。以下將對線對稱圖形的 意義進一步加以說明：

一、日本數學教育協會將線對稱圖形定義為（引自林宜臻，2000）：一平面 圖形或兩平面圖形以直線L為摺線，於空間翻轉180 後，完全重合或其中一個與 另一個完全重合，稱之線對稱圖形。

二、フリー百科事典（2007）的線對稱圖形定義：線對稱圖形是平面圖形的 特徵性質之一，將圖形以一條直線為軸進行對摺而能完全重疊，則此圖形稱為「線 對稱圖形」，這條直線稱為「對稱軸」。

三、國民小學數學科實驗課程教師手冊的線對稱定義為（教育部編，1995）：

（一）操作型定義（直觀的概念）：若一圖形可沿著某一直線對摺，使直線兩側 完全重合，這種圖形稱為關於此摺線的對稱圖形，簡稱為線對稱圖形。

（二）幾何上的意義：一個圖形，若可以找到一條直線將其平分成兩半，在其中 一半內的任何點，都可以在另一半內找到一個對應點，使得這兩個互 相對應的點所連成的直線段，恰好被平分此圖形的直線垂直平分，這 個圖形即為一種線對稱圖形。

四、若一個圖形可以沿著某一條直線被對摺，使線的兩側之部分完全重合，

則此圖形即為相對於此摺線的對稱圖形，又簡稱為「線對稱圖形」。（姚孟嘉，

1989）

五、在平面上的某個圖形，如果可以找到一條直線，將此圖形分成兩個部分，

並使這兩個部分的圖形全等，而且能透過以此直線為摺痕的對摺而全等疊合，則 此圖形稱為「線對稱圖形」，對摺的直線稱為「對稱軸」。（南一出版社，2007）

貳、線對稱概念的發展

「平面線對稱」關係屬平面幾何的內容，而「變換」（transformation）是幾 何中一個重要的部分。變換幾何（Geometrical Transformations）包含了空間中的 圖 形 的 相 對 位 置 、 全 等 及 對 稱 關 係 ， 其 中 包 含 了 三 種 主 要 的 動 作 類 型

（Souviney.,1994）：

一、「反射全等」（reflection congruence）是以翻轉（flip）的動作做出：將 在平面上的平面圖形以180 的翻轉，使圖像從原來的正面轉為反面，也就是平面 圖形經過180 的翻轉後會產生鏡射(Reflection)。如圖2-1所示

圖 2-1 鏡射圖形

二、「平移全等」（translation congruence）是以移動（slide）的動作做出：

將在平面上的平面圖形，以垂直、水平或傾斜某一角度的方式移動，讓原平面圖 形的位置產生平移（Translation），而平移後的圖形之大小、形狀及正反向都和

圖 2-2 平移圖形

三、「旋轉全等」（Rotation congruence）是以轉動（turn）的動作做出：將 在平面上的平面圖形，透過旋轉（Rotation）產生位移，得到的圖形與元圖形不 變。如圖2-3所示。

圖 2-3 旋轉圖形

其中「平移全等」、「旋轉全等」兩種變換均可經由兩次「反射全等」變換 而成，而我們所指的線對稱圖形，也就是「鏡射圖像」（mirror image），因此 線對稱的概念可說是一種結合平面與空間的概念。

國外學者Genkins（1974）整理的研究成果，學童在對稱概念的發展上，12 歲以下的學童無足夠的對稱概念能力，但此種概念能力會隨著年齡的增長，而有 增加的趨勢。在國內學者在學童線對稱概念發展的研究發現，當二年級學童升到 三年級後，對於線對稱圖形及其特徵之辨認能力已較為提高，中年級學童的幾何 思考能力大都屬於van Hiele的第0層次（識別）與第一層次（分析）的水準（劉湘 川、許天維、劉好、易正明等，1993）。

另外，英國倫敦大學CSMS（1981）的研究指出對稱軸的傾斜程度、格子出 現與否、物件複雜程度、物件的傾斜度等四項因素會影響學童在線對稱作圖的正 確情形。而國內學者林福來（1987）的研究也指出對稱軸的的傾斜度、物件與對 稱軸的相對位置、方格紙與白紙、物件的結構（圖形需掌握的關鍵因素增加，試 題的難度也會增加）等四點因素會影響學童在處理鏡射的作答。

綜合上述，線對稱圖形是一種圖形變形轉換的結果，屬相等變換，可以在空 間中翻轉180 的動作形式加以描述線對稱圖形的關係。Küchemann（1981）認為 完整的線對稱概念必需要包含（左台益，2003）：

一、給學童圖形與對稱軸，學童會畫出物的對稱圖形；

二、能說出原圖形與對稱圖形的關係；

三、學童能判斷圖形是否有對稱軸；

四、能記住圖形的對稱軸，進行抽象的操作；

五、具有逆變換的觀念。

另外，線對稱圖形中對稱軸兩側對應邊須等長，兩側對應點連線恰好被對稱 軸垂直平分。若以鏡子成像的物理現象言之，宛如將鏡子放置在對稱軸的線上，

圖形上的每一個點都可在鏡子所呈現的鏡像（mirror image）中找到相對應（map）

的點。因此，我們可以翻轉的動作形式以及鏡射成像的物理現象加以說明並表示 線對稱圖形的關係(陳莉萍，2002)。