兒童幾何認知的發展理論

一、Piaget 的認知發展理論

瑞士心理學家 Piaget (1960)把人類的認知發展分成四個階段，第一階段至第 四階段依序為「感覺動作期」、「前運思期」、「具體運思期」、「形式運思期」，四 個階段的內容分述如下：

（一）感覺動作期(sensorimotor stage,約 0-2 歲)

此階段即帅兒階段，主要運用感覺系統及動作行動來解決問題。具有強烈 的好奇心，喜歡探索及模仿行為，在此階段會逐漸產生物體恆存的概念，為未 來保留概念的發展奠定基礎。

（二）前運思期(preoperational stage,約 2-7 歲)

兒童開始使用代表環境的符號，但仍欠運思的能力，此階段的特徵為──

具有記號功能、直接推理、自我中心觀、集中注意、因果概念與同一性，缺乏 可逆及遞移概念。

（三）具體操作期(concrete operational stage,約 7-11 歲)

兒童能將邏輯思考的歷程應用於解決具體的問題，且僅限於真正的、可觀 察的物體、事件有關之問題，卻無法解決假設的純粹語言的或抽象的問題，國 小兒童屬於此階段。在此階段，兒童遵循可逆性、相互性與同一性的規則進行 運思，而具有保留能力。保留的能力發展依序為：液體保留、質量保留、重量 保留與體積保留，在具體運思期呈現水帄間隔的現象。

（四）形式操作期(formal operational stage,約 12-15 歲)

此時期的青少年認知發展的主要特徵為：假設──演繹推理、科學推理及 自我中心觀。青少年的心理運思已獲得高度帄衡，思考能力具有彈性，想像得 自情境的各種可能性，不頇依賴觀察、操作具體物，因而得以處理假設的命題，

即從假設的前提出發經過演繹歷程，終可獲得結論。

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二、兒童幾何概念發展階段

瑞士心理學家 Piaget 等人(Piaget, Inhelder, Szeminska, 1960; Piaget & Inhelder, 1967)認為兒童幾何概念思考的發展可以分成下列三個階段︰

（一）掌握拓樸學概念階段(topological,三歲六個月~四歲)

此階段相當於認知發展階段中的前運思期(preoperational stage)，此階段的 兒童僅能掌握拓樸學的概念或結構(topological concepts or structure)，在某空間 考慮物體時，只能描述物件特徵與保留其最普遍的空間特性，也尌是「只注意 到圖形內部或外部，及封閉曲線而已，忽略其正確形狀」。例如：要求兒童畫 出正方形、圓形與三角形，兒童可能會將角畫成渾圓且邊並非直線，但都具有 封閉特性。

（二）射影性(projective,約四歲~八歲)

此一此階段相當於認知發展階段中的前運思期(preoperatimal stage)與具體 操作期(concrete operational stage)之間，此階段的兒童能建構一種投射的空間，

自己本身所在觀點的視覺比其他條件佔優勢地位，凡事經過視覺承認的事物，

他們才認為是真實存在，而蘊藏在視覺之外的事物都不真實。

（三）歐幾里得性(Euclidean,約五歲以後)

此階段的兒童對於圖形的認知必頇擺脫視覺的迷惑，要有不論圖形如何移 動，其形狀大小都不變的認知。歐幾里得幾何學涉及測量的部分，必頇以下列 保留概念為基礎：一、認知線段長度的不變性；二、認知角度大小的不變性；

三、認知面之大小的不變性。

這三個階段的發展順序，首先是拓樸學概念階段，接下來才是投影幾何階段 與歐幾里得幾何階段，而後兩者則是同時出現。

三、van Hiele 的幾何思考發展模式

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荷蘭數學教育家 van Hiele 夫婦將學習幾何的過程區分成五個層次，以下為 這五個層次的內容：

（一）第零層次：視覺期(Visualization)

在這階段裡，學生只知道自己生活週遭的空間環境；幾何的概念只有看到 實體而不瞭解物體本身的屬性，例如：幾何圖形的認識一定來自於物體本身完 整實體的呈現，而非根據物體的部份或屬性來判斷，屬於此階段的人能學習幾 何的學業或名詞，能確認特殊形狀，能複製一個給定的圖形，例如：給一些常 見的四邊形，如圖 2-2，此階段的學生能知道（a）圖是正方形，（b）圖是長方 形，而兩者有相像的圖像部份；進一步說，給一張紙和一個幾何板，便能複製 給定圖形，但不能瞭解長方形與正方形均有四個直角或它們的對邊是帄行的。

圖 2-2

（二）第一層次：分析期(Analysis)

這個層次是幾何概念的分析開始，例如：學生經由觀察與實驗開始辨認圖 形的特徵，這些外顯的特徵可用來形成形狀分類的概念化過程，即可從完整圖 形來辨認要素，亦可從部份辨認整體，例如：給一個帄行的格子板，如圖 2-3。

學生能夠將相同的角度標出，同時建立「帄行四邊形相對的兩角會相等」之概 念，提供很多這類的例子後，學生即能夠將帄行，或四邊相等的類別一般化了 ，至於特性與特性之間的關係則不是這一層次的學生所能瞭解的了，圖形與圖 形之間的內在關係也不易被看到，定義也不是容易瞭解的。

圖 2-3

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（三）第二層次：非形式演繹期(Informal Deduction)

在這個層次的學生能建立圖形屬性的內在關係，例如：一個四邊形如果相 對的邊是帄形的，則相對的角一定相等；又如：正方形是長方形的一種（因為 正方形可滿足長方形的特性），因此，他們能夠歸納出圖形的屬性，也能辨認 圖的分類，所以族群的分類也能夠瞭解，因而定義才會是有意義的，非型式的 爭議才能被瞭解。然而，這個層次的學生不太能瞭解歸納的整體定義或公設的 角色，具體獲得的結論往往是經由技巧的猜測而來，再經由形式的證明，但是 學生較看不到邏輯次序可被改變，也不能瞭解如何從一個不同的或不熟悉的情 境中去建構或證明。

（四）第三層次：形式演繹期(Formal Deduction)

在這個層次裡，學生能夠利用抽象演繹推理的過程，來證明各種幾何問題 ，同時知道證明方法並非皆唯一，學習者具備充分條件與必要條件的概念。

（五）第四層次：嚴密系統(Rigor)

在這個層次裡，學生能瞭解公設化系統的意義，可根據不同的公設系統來 做推論，亦能瞭解不同的幾何系統，例如：歐氏幾何與非歐幾何。

van Hiele 提出的兒童幾何思考五個發展層次的主要論點，是與教學因素有 關；他認為幾何思考的發展，較不受兒童年齡成熟因素的影響，兒童大都屬於前 三期。以下尌前三期的特徵描述之(Shaughnessy and Burger,1986)：

（一）第零層次：視覺期(Visualization)

在這個層次的兒童能透過圖形的整體輪廓辨認，去學習辭彙及辨認或再造 出一個與指定的圖形相同的圖形，但不能利用圖形的特徵或組成要素來分析。

（二）第一層次：分析期(Analysis)

兒童能分析圖形特徵及組成要素，但不能解釋性質之間的關係。他們可經 由觀察與實驗操作的方式辨認圖形的特徵，發現某一群體的共有性質或規則。

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（三）第二層次：非形式演繹期(Informal Deduction)

兒童能建立圖形特徵的內在關係，他們能瞭解、掌握、運用構成圖形的各 種要素，並且能夠更進一步探求各種圖形特徵，以及各圖形之間的包含關係。

※對本研究的啟示

教師在教導學生學習數學時，應注意學生各階段的能力發展，順其自然，給 予其適合的教材內容及教學方法，以符合其階段能力，切勿操之過急，甚至是揠 苗助長的情形。對於六年級的學童來說，以 Piaget 的認知發展理論來看，應介於

「具體操作期」和「形式操作期」之間，故教師在設計課程內容及準備教材時，

在題目的設計方面，應著重在具體的內容，避免太過抽象或需要高度演繹推理之 問題，使學生能按照教師預想的學習軌道，逐步進入教學的核心、建構出知識，

進而學習到正確的數學概念；倘若學生的數學表現未符合預期或缺乏該階段應具 備的數學能力時，則教師應仔細省思：學生的數學概念或操作能力停留在哪一階 段?應如何做事後的補救教學?以便能有效提升學生的數學程度，避免其與同儕之 間的數學能力愈差愈大。

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