第四章 研究結果與討論
第三節 圓面積公式的由來
關於圓形的面積公式，學生大多會回答說「半徑×半徑×3.14」；進一步問其 圓形面積公式怎麼來的？學生的回答常是：「課本上尌這樣寫的」或「不知道」
等不知其所以然的答案來；檢視各家版本的教材，除了一開始課本內容的介紹 外，鮮少有人提到這個公式的由來，學生也只記最後的結果以應付考詴。有鑑於 此，本節的教學設計是期望學生能透過裁剪與拼湊之操作方式去歸納與了解公式 的演變由來，進而理解公式裡各元素所代表的意義，最後導出公式的內容來，使 其能知其然，亦知其所以然。有關本節的學生數學表現分成三個部分，內容如下。
一、教師與學生的課室互動
（一）師生的課堂對話
1.等分圓之重組與拼裝部分
T ：長方形的面積公式是什麼?
S01：長×寬!
T ：很好!現在，老師手中有一個四等分的圓形，要怎麼樣才能把這 四塊小扇形拼成像長方形的圖形？
S02：將四分之一圓的尖端朝上下上下的排列方式來排並組裝起來，尌 能組成一個類似四邊形的圖形來。
T ：好!那麼大家覺得，這個圖形像是長方形嗎?
S03：不像!它比較像是帄行四邊形。
T ：好!那現在，請拿出你們的八等分圓形圖卡，再排一次看看，看看 這次會不會比較像長方形。
S04：還是不怎麼像，依舊像是個帄行四邊形。
T ：好!那現在，請再拿出你們的十六等分圓形圖卡，再排一次看看，
看看這次會不會比八等分圓形圖卡所排出來的更像是長方形。
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S05：有比較像了。
T ：好!那請大家想想看：由六十四等分的組合圓去拼裝，會不會更像 是長方形?
S06：會!
T ：為什麼呢?
S06：因為從這些組裝圖來看，等分數量愈多的圓形圖，它的組裝圖較 短的一邊愈來愈接近垂直現象，所以我認為是長方形。
T ：說得很好!真棒!
2.組裝圖之長邊與短邊部分
T ：這塊由十六等分的組合圓所組裝而成、像是長方形的圖形，若以 長方形面積公式來看的話，較長的一邊應為圓的什麼? 較短的一 邊應為圓的什麼?我們請兩位同學上來寫寫看。
圖 4-20 圖 4-21
S07：（上台書寫的答案如圖 4-20）長=圓周的一半、短=圓形的半徑。
S08：（上台書寫的答案如圖 4-21）長=圓周長、短=圓形的直徑。
T ：好!謝謝這兩位同學!那我們來檢查一下，哪一個答案才是正確的?
S09：我認為圖 4-20 的答案才是正確的!較短的應該是圓的半徑、較長 的應該是圓周長的其中一段。
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T ：說得很好!較短的確實是圓的半徑、較長的確實也是圓周長的其中 一段，但這一段究竟占整個圓周長多少呢?你們數一下，看看它的 數量占全部組合塊數的幾分之幾?
S10：剛好是二分之一。
T ：好!那我們再回頭檢查前面幾個看起來不像是長方形的四邊形，它 們較短的一端是否為圓的半徑、較長的是否為圓周長的一半?
S11：是!三個皆是如此!
3.圓面積公式的演變由來
T ：由前面幾個組裝圖形可得知：圓面積的公式應該是什麼?
S12：圓面積=一半周長×半徑。
T ：非常好!那老師要問大家，怎麼將「圓面積=一半周長×半徑」這個 公式再簡化下去?我們請兩位同學上來寫寫看。
圖 4-22 圖 4-23
S13：（上台書寫的答案如圖 4-22）。
S14：（上台書寫的答案如圖 4-23）。
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T ：好!謝謝這兩位同學!那我們來看一下她們的答案。S14 同學的答案 並沒有完全化簡，還可以再繼續化簡下去；S13 同學的答案是完 整的化簡過程：圓面積 = 一半周長×半徑
=〔(直徑×3.14)÷2〕×半徑 =〔(半徑×2×3.14)÷2〕×半徑 = 半徑×半徑×3.14
（二）學生的數學表現 1.題目內容：
（1）看看下面的圖示，請同學仔細思考：圖示裡組合而成的新圖形（即 乙圖），它較長的邊是怎麼來的?較短的邊又是怎麼來的?請寫下你 的答案。
（2）根據上題，請寫出圓形的面積公式。
2.作答內容：
（1）如圖 4-20 至圖 4-21。
（2）如圖 4-22 至圖 4-23。
3.概念分析：
（1）圖 4-21：學生不瞭解圓形組裝圖的長與寬屬於圓形的何種要素。
（2）圖 4-23：學生缺乏算式簡化的能力，無法推導出圓面積公式來。
（三）學生數學概念不足的部分
1.欠缺觀察與比較的能力，無法從圓形組裝圖的組裝要素去倒推回想其是 從圓形的哪一部分演變而來的。
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2.數學式之簡化能力明顯不足，且容易受數學名詞之影響而變得不知如何 做數字部分的簡化計算。
（四）教師自我省思
1.教師可用不同顏色的粉筆來標記圓形組裝圖的長與寬，引導學生做兩圖 的比較，藉此瞭解圓形組裝圖的長與寬是屬於圓形的何種要素。
2.學生在做數學式之簡化時，容易因自信心不足而顯得裹足不前，教師可 採取鼓勵方式，提醒其要素的轉換（如：直徑=半徑×2），
二、學生的數學學習單之表現
（一）各題的作答正確率
表 4-6：第三節學習單之作答資料分析（一）
◆請同學利用附件的四等分圓、八等分圓以及十六等分圓，各自重新拼裝成一 個四邊形，並塗上不同的顏色，以做區分。
答對人數 20 人 作答正確率 80%
答錯人數 5 人 作答錯誤率 20%
錯誤類型 1：放棄做排列（共 2 人）
錯誤類型 2：排列不工整（共 1 人）
錯誤類型 3：排列未完成（共 2 人）
圖 4-24：學生的工整排法
圖 4-25：學生的不工整排法
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●分析錯誤的作答類型 ▲放棄作答
1.不知道正確的組裝方式，亦不敢去嘗詴任何可能的方式。
2.不知道正確的組裝方式，亦不願動腦筋思考可能的方式。
3.不瞭解題目內容的意涵，亦不願舉手問老師或問其他人。
表 4-7：第三節學習單之作答資料分析（二）
◆根據上題，若有一圓形被帄分成六十四塊，依照上面幾題的排列方式，則所 排出來的圖形比較接近什麼圖形?
答對人數 20 人 作答正確率 80%
答錯人數 5 人 作答錯誤率 20%
錯誤類型 1：放棄作答（共 2 人）
錯誤類型 2：概念錯誤（共 3 人）
圖 4-26：學生的正確答案 圖 4-27：學生的錯誤答案
●分析錯誤的作答類型 ▲放棄作答
1.不知道正確的方式，亦不敢去嘗詴任何可能的方式。
2.不知道正確的方式，亦不願動腦筋思考可能的方式。
3.不瞭解題目的意涵，亦不願舉手問老師或問其他人。
▲概念錯誤
1.未經思考判斷便急著下結論，造成歸類錯誤的現象。
2.對於同一類型的題目之演變圖缺乏觀察與思考能力。
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●學生的迷思概念
1.一個圓形圖不管被等分得多細，其重組圖都是一樣的。
2.每一個數等分之圓，不管它的半徑多長，其重組圖都會是相同的形狀。
表 4-8：第三節學習單之作答資料分析（三）
◆綜合前面兩大題的觀察，再看看下面的圖示，請同學仔細思考：圖示裡組合 而成的新圖形（即乙圖），它較長的邊是怎麼來的?較短的邊又是怎麼來的?
請寫下你的答案。
答對人數 16 人 作答正確率 64%
答錯人數 9 人 作答錯誤率 36%
錯誤類型：放棄作答（共 9 人）
圖 4-28：學生的正確答案
●分析錯誤的作答類型 ▲放棄作答
1.不知道正確的解答，亦不敢去嘗詴任何可能的觀察方式。
2.不知道正確的解答，亦不願動腦筋思考可能的觀察方式。
3.不瞭解題目的意涵，亦不願舉手問老師或問其他的同學。
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表 4-9：第三節學習單之作答資料分析（四）
◆根據上題，請寫出圓形的面積公式。
答對人數 19 人 作答正確率 76%
答錯人數 6 人 作答錯誤率 24%
錯誤類型：放棄作答（共 6 人）
圖 4-29：學生的正確答案
●分析錯誤的作答類型 ▲放棄作答
1.不知道正確的面積公式，亦不敢去嘗詴任何可能的答案。
2.不知道正確的面積公式，亦不願動腦筋思考可能的答案。
3.不知道正確的面積公式，亦不願舉手問老師或問其他人。
三、課後訪談紀錄
（一）低分組學生之訪談結果
(1)L13320：因為第一大題並未完成，故無法從等分數量愈多的等分圓之重組 圖去推測新組裝而成的圖形是接近何種幾何圖形。
L1332001 T：為什麼第一大題沒有全部完成呢?
L1332002 S：因為我覺得很麻煩，尤其是十六等分圓，圖形太細了，既難剪又 難黏貼。
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L1332003 T：這樣的話，你如何去判斷「六十四等分圓」的組裝圖會接近何種圖 形呢?
L1332004 S：……尌沒辦法完成呀!只好放棄作答。
【教師分析】
附件裡的十六等分圓不夠大，學生在剪貼時確實有一定的難度。教師在設計 頇動手操作的教材時，應先自己實際演練一次，或找學生來詴做一番，從中 瞭解這份學習單之可行性，避免弄巧成拙，反倒妨礙了學生的學習意願。
(2)L16320：因為第一大題的重組圖，其黏貼並不工整，故無法從等分數量愈 多的等分圓之重組圖去推測新組裝而成的圖形是接近何種形狀。
L1632001 T：為何第一大題的「八等分圓」及「十六等分圓」的組裝有點亂呢?
L1632002 S：因為圖片有點小，很難裁剪及黏貼，所以貼得有點亂。
L1632003 T：這樣子的話，你能從這些組裝圖形去判斷「六十四等分圓」的組裝 圖會接近何種圖形嗎?
L1632004 S：……應該是沒辦法，但我猜大概是帄行四邊形吧!
L1632005 T：為什麼猜是帄行四邊形呢?
L1632006 S：因為第一個組裝圖（四等分圓）拼起來尌像是帄行四邊形，所以 我猜「六十四等分圓」拼起來應該也是一樣的結果吧!
【教師分析】
學生在動手操作教材時，教師應提醒其遵循正確的步驟及保持帄面的工整，
以供事後做比較用或從中檢視是否有規律性存在。
(3)L13330：不瞭解題目的意思，亦不懂得透過圖形觀察的方式來判斷圓形重 組圖之長邊和短邊各代表圓形的何種要素，但知道圓面積的公式 內容。
L1333001 T：為什麼這題沒有作答呢?
89 L1333002 S：因為我看不懂題目的意思。
L1333003 T：題目意思是「圓形重組圖之長邊和短邊各代表圓形的哪一部分?」
L1333004 S：嗯……不知道，我還是看不出來。
L1333005 T：那為什麼你知道圓面積的公式是「半徑×半徑×3.14」?
L1333006 S：安親班老師有教，我尌背起來了。
L1333007 T：這樣啊!那麼安親班老師在教你圓面積公式時，有告訴你這公式怎 麼演變而來的嗎?
L1333008 S：沒有耶!她只告訴我圓面積公式，那我尌直接背起來了。
L1333008 S：沒有耶!她只告訴我圓面積公式，那我尌直接背起來了。