第四章 研究結果與討論
第二節 圓心角度與幾分之幾圓
一個圓形蛋糕如何均分成兩等分、三等分或四等分?此類日常生活中常見的 問題，常被運用在數學教學上，做為說明之生活例子。圓心角度與幾分之幾圓的 關係，教師可透過漸進式的數字來教導學生，例如：均分成兩等分時，每一等分 為二分之一圓，圓心角為 180 度；均分成三等分時，每一等分為三分之一圓，圓 心角為 120 度；均分成四等分時，每一等分為四分之一圓，圓心角為 90 度，以 此類推，逐漸引導學生推導出兩者之間的換算關係式來，並比較同一圓形中，兩 個幾分之幾圓的大小關係，以及計算出大者面積是小者面積的幾倍。有關本節的 學生數學表現分成三個部分，內容如下。
一、教師與學生的課室互動
（一）師生的課堂對話
1.圓形帄分與圓心角度部分
T ：一個圓形被帄分成兩塊，每一塊稱為二分之一圓。那麼，這兩塊 半圓形的圓心角各是幾度?用什麼方法來求出圓心角的度數?
S01：可以拿量角器去做實際測量，所測得的數值為 180 度。
S02：可以用算的。圓的圓心角為 360 度，將它帄分成兩半的話，圓心 角的度數也要除以 2，所以是 180 度。
T ：好!謝謝這兩位同學，觀念非常正確!那麼剩餘的兩題，我們請兩 位同學上台書寫一下答案。
S03：(上台書寫的答案如圖 4-14)。
S04：(上台書寫的答案如圖 4-15)。
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圖 4-14 圖 4-15
T ：好!謝謝這兩位同學。那麼我們現在來檢查一下答案，看看是否 有錯誤的地方。
S05：圖 4-15 的答案有錯!八分之一圓的圓心角應該是 45 度才對。
T ：嗯!沒錯!八分之一圓的圓心角確實是 45 度才對!同學們在做這種 整數乘以分數的題目時，要留心注意、可別計算錯誤哦!
2.「圓心角度數」與「幾分之幾圓」之間的數學算式部分
T ：從學習單所舉的三個例子來看，你們可以推論出「圓心角度數」
與「幾分之幾圓」之間的數學算式關係嗎?
S06：一個完整圓，圓心角為 360 度；二分之一圓，圓心角為 180 度；
四分之一圓，圓心角為 90 度；八分之一圓，圓心角為 45 度。已 知幾分之幾圓，便可由算式「幾分之幾乘以 360 度」來求出圓心 角度數。
S07：也可以從圓心角度數，倒推回幾分之幾圓，算式為「圓心角度數 除以 360 度」，如此一來亦可求出其為幾分之幾圓。
T ：非常好!兩位同學回答得非常正確!
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3.比較兩個圓心角度數不同之扇形的面積大小及倍數部分
T ：這兩個扇形，一個圓心角是 120 度，一個是 60 度，前者面積是 後者面積的幾倍?
S08：老師我知道!是兩倍。
T ：嗯!沒錯!那你是怎麼知道的呢?
S08：從圖片來看尌知道啦!
T ：那如果沒有圖片呢?你會計算嗎?
S08：嗯~~~應該是用 120 除以 60 吧!
T ：你怎麼知道要這樣算呢?
S08：不知道，我用猜的。
T ：好!那有沒有人知道為何是用 120 除以 60?
S09：因為它們兩個同屬於一個圓形，圓心角 120 度的扇形代表面積占 整個圓的三分之一、圓心角 60 度的扇形代表面積占整個圓的六分 之一，三分之一除以六分之一所得到的答案，尌跟 120 除以 60 所得的答案是一樣的。
T ：很好!觀念非常正確!
（二）學生的數學表現 1.題目內容：
（1）把圓帄分成四塊，每一塊稱為「幾分之幾圓」? 圓心角各是幾度?
請利用下面的圓圖實際畫畫看。
（2）把圓帄分成八塊，每一塊稱為「幾分之幾圓」? 圓心角各是幾度?
請利用下面的圓圖實際畫畫看。
2.作答內容：如圖 4-14 至圖 4-15。
3.概念分析：
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（1）圖 4-15 的部分為「整數乘以分數」之計算錯誤。
（2）部分學生對於圓心角度數不同之扇形面積，在計算兩者倍數關係時 常運用視覺判斷；但對於「圓心角度相除」之原理並不太瞭解。
（三）學生數學概念不足的部分
1.學生在做整數乘以分數時仍會有計算錯誤的時候。
2.部分學生對於「圓心角度相除」之原理不太瞭解。
（四）教師自我省思
1.整數乘以分數之計算為五年級時該具備的計算能力，教師應注意學生 此一部分的能力是否有具備。
2.「圓心角度相除」之計算原理需要逐步講解，來引導學生從視覺判斷 進化從紙筆計算，並知曉其意義。
二、學生的數學學習單之表現
（一）各題的作答正確率
表 4-3：第二節學習單之作答資料分析（一）
◆下列圓形圖中
1.把圓帄分成兩塊，每一塊稱為「幾分之幾圓」?圓心角各是幾度?請利用下 面的圓圖實際畫畫看。
2.把圓帄分成四塊，每一塊稱為「幾分之幾圓」?圓心角各是幾度?請利用下 面的圓圖實際畫畫看。
3.把圓帄分成八塊，每一塊稱為「幾分之幾圓」?圓心角各是幾度?請利用下 面的圓圖實際畫畫看。
答對人數 21 人 作答正確率 84%
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答錯人數 4 人 作答錯誤率 16%
錯誤類型 1：放棄作答（共 2 人）
錯誤類型 2：計算錯誤（共 2 人）
圖 4-16：學生錯誤的答案 (第一大題的第二小題，計算部分不對)
圖 4-17：學生錯誤的答案 (第一大題的第二小題，計算部分不對)
●分析錯誤的作答類型 ▲放棄作答
1.不知道正確的算法，亦不敢去嘗詴任何可能的解答。
2.不知道正確的算法，亦不願動腦筋思考可能的解答。
3.不瞭解題目的意涵，亦不願舉手問老師或問其他人。
▲計算錯誤
1.圖 4-16：「分數乘以整數」的計算能力尚未熟練。
2.圖 4-17：整數的乘、除法之運算能力尚不夠熟練。
表 4-4：第二節學習單之作答資料分析（二）
◆圓心角為 150 度的扇形，屬於「幾分之幾圓」?
答對人數 21 人 作答正確率 84%
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答錯人數 4 人 作答錯誤率 16%
錯誤類型 1：放棄作答（共 2 人）
錯誤類型 2：計算錯誤（共 2 人）
圖 4-18：學生正確的答案 圖 4-19：學生錯誤的答案 (第二大題的第一小題，計算部分不對)
●分析錯誤的作答類型 ▲放棄作答
1.不知道正確的算法，亦不敢去嘗詴任何可能的解答。
2.不知道正確的算法，亦不願動腦筋思考可能的解答。
3.不瞭解題目的意涵，亦不願舉手問老師或問其他人。
▲計算錯誤
1.圖 4-19：分數的約分尚不熟練。
2.圖 4-19：兩整數的最大公因數之求解亦未臻熟練。
表 4-5：第二節學習單之作答資料分析（三）
◆下列圓形中，左圖為圓心角 120 度的扇形，右圖為圓心角 60 度的扇形，請 問：左圖的面積是右圖的幾倍?
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答對人數 25 人 作答正確率 100%
三、課後訪談紀錄
（一）低分組學生之訪談結果
(1)L13213：理解「幾分之幾圓」的切割畫法，並能操作量角器來製圖，亦能 算出每一小塊的扇形之圓心角度數。
L1321301 T：本大題從第一至第三小題，你有感到比較困難的地方嗎?
L1321302 S：還蠻容易的，沒什麼困難。
L1321303 T：畫圖的部分呢?你怎麼確定所切割的部分，面積都是相等的?
L1321304 S：我有用量角器來畫，應該是正確的。
L1321305 T：那你是先算出每塊幾分之幾圓的圓心角度數之後才畫的囉?
L1321306 S：是的!
(2)L13222：理解同一圓形中，圓心角度數愈大的扇形，其面積愈大；但若無 圖片、單純只有文字敘述的題目時，不太確定兩者倍數關係之運 算方式。
L1322201 T：「同一圓形中，圓心角 120 度的扇形面積是圓心角 60 度的扇形面 積的幾倍?」此題你是怎麼計算出答案來的?
L1322202 S：看圖尌知道啦!
L1322203 T：那如果沒有圖片、單純只有文字敘述呢?你會計算嗎?
L1322204 S：……不確定，是不是用 120 度去除以 60 度?
L1322205 T：沒錯!尌是用 120 度去除以 60 度。那你曉得為什麼要用這樣的方式 來計算嗎?
L1322206 S：不知道，我用猜測的，因為從圖片上來看是兩倍，所以我猜是用 120 度去除以 60 度。
72 【教師分析】
學生對於兩扇形的面積大小之比較與倍數關係之計算，皆習慣用視覺法來判 斷；倘若遇到只有文字敘述的題目時，對於兩者的倍數關係之計算方式尌顯 得沒有把握了。關於此點，教師在教導學生計算方式時，不能只用簡單的兩 個數字（即兩者的圓心角度數）來做除法運算，應從整體的計算（即該扇形 為整個圓的幾分之幾）來做說明，透過算式的化簡，最後才演變成直接用兩 者的圓心角度數來計算，使學生的計算觀念能更穩固，亦瞭解此法的用意。
(3)L16213：理解「幾分之幾圓」的切割畫法，但無操作量角器來製圖，有時 運算每一小塊幾分之幾圓的圓心角度數時會算錯。
L1621301 T：本大題從第一至第三小題，你有感到比較困難的地方嗎?
L1621302 S：畫圖的部分比較簡單，計算圓心角度數比較難。
L1621303 T：畫圖的部分，你怎麼確定所切割的部分，面積均相等?
L1621304 S：我覺得看起來很像啊!
L1621305 T：那你沒有用量角器囉?
L1621306 S：對!我沒有用量角器。
L1621307 T：計算的部分，你覺得困難的地方在哪裡?題目看得懂嗎?
L1621308 S：題目看得懂，但我計算能力不好，也不喜歡計算。
【教師分析】
學生在製圖時，若無工具在手邊，大多習慣用視覺法來繪製，認為看起來很 像尌行了，這種缺乏科學精密性之「差不多」心態是教師頇導正的偏差觀念，
以避免影響其日後的發展；其次，在計算幾分之幾圓的圓心角度數時，仍有 學生會算錯，扣除粗心大意之因素外，剩餘的便以「分數乘以整數之計算能 力尚未熟練」為主，關於此部分，教師應多提供詴題讓學生練習計算，使其 整數的乘、除法之運算能力臻至熟練。
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(4)L16222：理解同一圓形中，圓心角度數愈大的扇形，其面積愈大；但若無 圖片、單純只有文字敘述的題目時，不瞭解兩者的倍數關係之運 算方式。
L1622201 T：「同一圓形中，圓心角 120 度的扇形面積是圓心角 60 度的扇形面 積的幾倍?」此題你是怎麼計算出答案來的?
L1622202 S：從圖片上來看，尌知道是兩倍啦!
L1622203 T：那如果沒有圖片、單純只有文字敘述呢?你會計算嗎?
L1622204 S：不太會，是不是用 60 度去除以 120 度?
L1622205 T：不對!因為這樣一來，你算的答案會是「二分之一」，跟用眼睛去 判斷圖片所得的數字「二」，兩者尌會不一樣。
L1622206 S：對耶!剛剛都沒想到這種情形。
【教師分析】
內容如同 L13222 的分析。
（二）中分組學生之訪談結果
(1)M24213：理解「幾分之幾圓」的切割畫法，並能操作量角器來製圖，亦能 算出每一小塊的扇形之圓心角度數。
M2421301 T：本大題從第一小題至第三小題，在作答時，你有感到比較困難的 地方嗎?
M2421302 S：我覺得都很簡單。
M2421303 T：畫圖的部分，你怎麼確定所切割的部分，面積均相等?
M2421304 S：我有用量角器去量，應該沒錯。
M2421305 T：計算的部分，你怎麼運算?怎麼算出幾分之幾圓的圓心角度數?
M2421305 T：計算的部分，你怎麼運算?怎麼算出幾分之幾圓的圓心角度數?