圓形複合圖形面積計算-以「假設性學習軌道」理論設計教學實驗

國立臺中教育大學數學教育學系

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

指導教授： 陳嘉皇 博士

圓形複合圖形面積計算-利用「假設性

學習軌道」理論設計教學實驗

研究生：吳碧智 撰

中華民國一○三年六月

謝 誌

兩年的時間稍縱即逝，一眨眼，已完成了碩士學位的進修。回想

起這兩年來的求學點滴，心中充滿著無限感激：首先要感謝論文指導

教授陳嘉皇博士，於論文撰寫期間，所給予我的辛勤指導及關懷勉勵

，讓我能如期完成論文撰寫；感謝口試委員李心儀及袁媛教授所給予

的寶貴修正建議，使論文臻至完善；感謝系上師長們這兩年來對班上

同學的認真教導及諄諄教誨，讓我們在吸收知識之餘，亦能瞭解為人

處世的道理；感謝同窗好友們這兩年來的陪伴與打氣，在每個難關之

際，都能有無比的信心及勇氣去面對、去挑戰，最終都能順利過關；

感謝家人的支持與關心，讓我在最疲憊的時刻，能迅速地恢復元氣，

繼續完成研究所的學業。

在此，謹以最誠摯的感恩心情，感謝上述的每一位貴人；同時也

期許自己繼續追求卓越、日益精進。在學習的道路上，保持身體力行

，自強不息!

吳碧智 謹致

中華民國一○三年六月

I

圓形複合圖形面積計算-以「假設性學習軌道」理論

設計教學實驗

吳碧智

國立臺中教育大學數學教育學系研究所

摘 要

本研究針對現行的南一版數學教科書，關於圓形複合圖形面積計算的單元內 容進行教學探討，以瞭解課程內容的編排模式，並以 Simon(1995)的「假設性學 習軌道(Hypothetical Learning Trajectory)」理論自行設計教學課程內容及編製課堂 上所需的學習單來進行教學實驗，並於事後找學生進行訪談，以瞭解國小六年級 學童在學習軌道下的數學表現，並針對不同層次的學生所產生的迷思概念及學習 困難之處做教學省思，檢討自身教學不足的部分及思索如何改進原本的教學內容 ，以幫助學生在計算圓形複合圖形面積試題時，能具備更完整的幾何思維及解題 策略，進而擁有正確解題之能力。研究結果顯示如下： 一、依據「假設性學習軌道」理論可設計圓形複合圖形面積教材，包含「找 圓心、認識圓形」、「圓心角度與幾分之幾圓」、「圓面積公式的由來」、「『分割』 與『移補』」、「『填補』與『其它策略』」。 二、認知層次不同的學生，在「圓形複合圖形面積學習軌道作業」下的數學 表現亦不同。 三、經由學習軌道教學實驗回溯省思後，教學者對於學生概念的理解、教學 方法的改進及課程設計的修正等方面產生具體且正向的改變，以增進自身的教學 專業能力。 最後，研究者針對教學實驗歷程提出三點建議，以做為未來圓形複合圖形 面積教學的參考內容。建議內容如下：

II

一、檢視學生的數學先備知識，以利學習軌道的設計。

二、重視圓面積公式的演變由來，使學生能將公式形成長久且穩固的記憶。 三、培養計算過程工整的觀念，以提高其事後檢查的意願及作答的正確率。

III

Calculations of circle complex graph area: Use “hypothetical

learning trajectory” theory to design teaching experiments

Bi-Tsz Wu

Department of Mathematics Education

National Taichung University of Education

Abstract

The study aims at current textbooks of Nan-Yi to explore the teaching of the content of calculations of circle complex graph area, in order to understand the arrangement mode of course content, and use “hypothetical learning trajectory” theory of Simon(1995) to design the course content of teaching and prepare the learning sheets for teaching experiments by oneself. After the teaching experiments, the researcher interviews some students, in order to understand sixth grade students’ mathematics performances under the learning trajectory, and aims at the

misconceptions and the difficulties in learning of students of different levels to implement the reflection on teaching. The researcher makes self-examinations about the insufficient parts of teaching and considers how to improve original teaching content for helping students to have complete geometry thinking and problem-solving strategy while they are solving the questions of circle complex graph area. And then, they can have problem-solving ability. The findings are as follows:

(1) According to “hypothetical learning trajectory” theory, we can design teaching material of circle complex graph area, including “Finding the center of a circle and understanding circles”, “Degrees of a central angle and a few fractions of a circle”, “The origin of circle area formula”, “Division and moving up for filling”, “Filling up and other strategies”.

IV

(2) Students of different cognitive levels also perform differently under the operation of the learning trajectory of circle complex graph area.

(3) The teacher produces concrete and positive changings in aspects of

understanding students’ concepts, improvement in teaching methods, and correcting of course design via retrospective reflection of teaching experiments of learning trajectory, for improving own professional competence in teaching.

Finally, the researcher aims at the progress of teaching experiments to provide three suggestions for the reference content of the teaching of circle complex graph area in the future. The suggestions are as follows:

(1) Viewing students’ prior mathematic knowledge, it’s beneficial to design learning trajectories.

(2) Putting stock in understanding the origin of circle area formula, it can help students to form the long-time and stable memory of the formula.

(3) Cultivating the concept of neat calculation process, it can increase students’ willingness of checking answers and raise the rate of correct answers.

Keywords: Textbook, complex graph area, hypothetical learning

trajectory, misconception.

V

目 次

摘要...I 目次...V 表次...VII 圖次...VIII 第一章 緒論 第一節 研究動機...1 第二節 研究目的...4 第三節 名詞釋義...5 第四節 研究限制...6 第二章 文獻探討 第一節 「假設性學習軌道」理論之相關研究... 7 第二節 兒童幾何認知的發展理論...14 第三節 兒童圓形概念之相關研究...19 第四節 九年一貫國小數學課程幾何教材分析...23 第五節 南一版本數學圓形複合圖形面積教材分析...27 第三章 研究方法 第一節 研究架構...31 第二節 研究對象...34 第三節 課程內容設計...35 第四節 資料蒐集與處理...46 第五節 研究的信度與效度...49 第四章 研究結果與討論 第一節 找圓心、認識圓形...51 第二節 圓心角度與幾分之幾圓...65

VI 第三節 圓面積公式的由來...80 第四節 「分割」與「移補」...97 第五節 「填補」與「其它策略」...112 第五章 結論與建議 第一節 研究結論...137 第二節 研究建議...144 參考文獻 中文部分...147 外文部分...149 附錄 附錄一...151 附錄二...154 附錄三...156 附錄四...159 附錄五...161

VII

表 次

表 2-1 圓的迷思概念………21 表 2-2 九年一貫國小數學課程-幾何教材的能力指標………...24 表 2-3 九年一貫國小數學課程-幾何教材的分年細目………...25 表 4-1 第一節學習單之作答資料分析（一）...55 表 4-2 第一節學習單之作答資料分析（二）...56 表 4-3 第二節學習單之作答資料分析（一） ...68 表 4-4 第二節學習單之作答資料分析（二）……….69 表 4-5 第二節學習單之作答資料分析（三）……….70 表 4-6 第三節學習單之作答資料分析（一）...84 表 4-7 第三節學習單之作答資料分析（二）...85 表 4-8 第三節學習單之作答資料分析（三）...86 表 4-9 第三節學習單之作答資料分析（四）……….87 表 4-10 第四節學習單之作答資料分析……….………..102 表 4-11 第五節學習單之作答資料分析………...117

VIII

圖 次

圖 2-1 教學作業轉換之模式……….13 圖 2-2 常見的四邊形……….16 圖 2-3 平行的格子版……….16 圖 3-1 研究架構圖……….31 圖 3-2 「假設性學習軌道」理論之三階段作業………...36 圖 4-1 學生的上台繪圖（半徑）...53 圖 4-2 學生的上台繪圖（直徑）...53 圖 4-3 學生的上台繪圖（圓周） ...53 圖 4-4 學生的上台繪圖（弧長）……….53 圖 4-5 學生的上台繪圖（圓心角）……….53 圖 4-6 學生的上台繪圖（扇形）...53 圖 4-7 學生對於找圓心的正確做法（對折兩次）...55 圖 4-8 學生對於找圓心的錯誤作法（十字畫法）...55 圖 4-9 學生對於找圓心的錯誤作法（中間畫點）……….56 圖 4-10 學生對於找圓心的錯誤作法（畫兩條線）……….56 圖 4-11 學生對於圓形的組成要素之正確畫法……….57 圖 4-12 學生對於圓形的組成要素之錯誤畫法（弧長的部分不對）………….57 圖 4-13 學生對於圓形的組成要素之錯誤畫法（圓心角部分不對）………….57 圖 4-14 學生對於四等分圓的圓心角之正確計算（上台作答內容）………….66 圖 4-15 學生對於八等分圓的圓心角之錯誤計算（上台作答內容）………….66 圖 4-16 學生對於四等分圓的圓心角之錯誤計算一（學習單內容）………….69 圖 4-17 學生對於四等分圓的圓心角之錯誤計算二（學習單內容）………….69 圖 4-18 學生對於「圓心角度數換算成幾分之幾圓」試題之正確解答……….70 圖 4-19 學生對於「圓心角度數換算成幾分之幾圓」試題之錯誤解答……….70

IX 圖 4-20 學生對於「組裝圖的長邊與短邊」之正確解答（上台作答內容）….81 圖 4-21 學生對於「組裝圖的長邊與短邊」之錯誤解答（上台作答內容）….81 圖 4-22 學生對於「圓面積公式推導過程」之正確解答（上台作答內容）...82 圖 4-23 學生對於「圓面積公式推導過程」之錯誤解答（上台作答內容）...82 圖 4-24 學生對於「等分圓的重組與排列」之工整的排法（學習單內容）...84 圖 4-25 學生對於「等分圓的重組與排列」之不工整排法（學習單內容）...84 圖 4-26 學生對於「六十四等分圓的重組圖形」之正確臆測（學習單內容）.85 圖 4-27 學生對於「六十四等分圓的重組圖形」之錯誤臆測（學習單內容）.85 圖 4-28 學生對於「組裝圖的長邊與短邊」之正確解答（學習單內容）...86 圖 4-29 學生對於「圓面積公式推導過程」之正確解答（學習單內容）...87 圖 4-30 第四節學習單的圓形複合圖形試題一...97 圖 4-31 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題一之上台錯誤解答…….97 圖 4-32 第四節學習單的圓形複合圖形試題二……….98 圖 4-33 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題二之上台正確解答…….98 圖 4-34 第四節學習單的圓形複合圖形試題三……….98 圖 4-35 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題三之上台錯誤解答…….98 圖 4-36 第四節學習單的圓形複合圖形試題四……….99 圖 4-37 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題四之上台錯誤解答…….99 圖 4-38 第四節學習單的圓形複合圖形試題五………...100 圖 4-39 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題五之上台正確解答…...100 圖 4-40 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題一之正確解答一……...102 圖 4-41 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題一之正確解答二……...102 圖 4-42 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題二之正確解答一……...103 圖 4-43 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題二之正確解答二……...103

X 圖 4-44 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題三之正確解答一……...103 圖 4-45 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題三之正確解答二……...104 圖 4-46 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題三之錯誤解答一……...104 圖 4-47 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題三之錯誤解答二……...104 圖 4-48 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題三之錯誤解答三……...104 圖 4-49 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題四之正確解答一……...105 圖 4-50 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題四之正確解答二……...105 圖 4-51 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題四之錯誤解答一……...105 圖 4-52 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題四之錯誤解答二……...106 圖 4-53 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題五之正確解答一……...106 圖 4-54 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題五之正確解答二……...106 圖 4-55 學生對於第四節學習單的圓形複合圖形試題五之錯誤的解答……...107 圖 4-56 第五節學習單的圓形複合圖形試題一...112 圖 4-57 學生對於第五節學習單的圓形複合圖形試題一之上台錯誤解答...112 圖 4-58 第五節學習單的圓形複合圖形試題二...113 圖 4-59 學生對於第五節學習單的圓形複合圖形試題二之上台正確解答...113 圖 4-60 第五節學習單的圓形複合圖形試題三...113 圖 4-61 學生對於第五節學習單的圓形複合圖形試題三之上台錯誤解答...113 圖 4-62 教師對於第五節學習單的圓形複合圖形試題一之上台示範解答...114 圖 4-63 教師對於第五節學習單的圓形複合圖形試題二之上台示範解答...115 圖 4-64 教師對於第五節學習單的圓形複合圖形試題三之上台示範解答...115 圖 4-65 學生對於第五節學習單的圓形複合圖形試題一之正確的解答...118 圖 4-66 學生對於第五節學習單的圓形複合圖形試題一之錯誤解答一...118 圖 4-67 學生對於第五節學習單的圓形複合圖形試題一之錯誤解答二...118 圖 4-68 學生對於第五節學習單的圓形複合圖形試題一之錯誤解答三...119 圖 4-69 學生對於第五節學習單的圓形複合圖形試題二之正確的解答...119

XI 圖 4-70 學生對於第五節學習單的圓形複合圖形試題二之錯誤解答一...119 圖 4-71 學生對於第五節學習單的圓形複合圖形試題二之錯誤解答二...120 圖 4-72 學生對於第五節學習單的圓形複合圖形試題三之正確的解答...120 圖 4-73 學生對於第五節學習單的圓形複合圖形試題三之錯誤解答一...120 圖 4-74 學生對於第五節學習單的圓形複合圖形試題三之錯誤解答二...121 圖 4-75 學生對於第五節學習單的圓形複合圖形試題三之錯誤解答三...121 圖 4-76 修正後的「假設性學習軌道」理論之三階段作業………...136

1

第一章 緒論

本章共分為四小節，分別針對研究動機、研究目的、名詞釋義、研究限制分 述如下。

第一節 研究動機

「老師，這個標靶型的面積要怎麼計算?我看不太懂耶!」、「老師，為什麼這 題的面積要做這樣的輔助線來切割?」、「老師，這題的面積計算好複雜哦!我算了 三次，每次的答案都不一樣，到底哪一個答案才是正確的?」在現行的國小六年 級數學課程裡，「圓形面積的計算」是帄面幾何圖形的重點課程（教育部，2008） ，而有關於圓形面積所衍生出的「圓形複合圖形面積詴題」，對六年級學生來說， 是幾何學習的一大考驗!學生不僅要熟悉各項已學習過的典型幾何圖形之面積公 式及知道使用該項面積公式的正確時機，還要運用「切割」、「填補」、「移位」、「其 它解題策略」等解題技巧，使複合圖形演變成自己能運算的典型幾何圖形，而最 終的計算答案，還頇具備相當程度的四則運算及簡化算式的能力，方可求出正確 答案來。看似單純的圓形複合圖形面積計算詴題，實則包含許多數學能力在其 中，倘若學生的數學先備知識不足、擁有錯誤的幾何迷思概念（沈佩芳，2002）、 欠缺相當程度的運算能力或討厭做計算的練習，則很容易在此單元受到嚴重挫折! 不僅對複合圖形面積詴題失去解題信心，亦會影響其日後的「扇形複合圖形面積 計算」之學習意願，甚至是未來的國中數學之幾何單元的理解與探討，影響程度 之深遠，實不容小覷。 綜觀現行的國民義務教育，國小數學科之學習，仍以教科書做為學生學習的 主要內容與教師教學的主要依據，高新建（1991）發現，國內有 90%以上的國小 教師是按照課本所規劃好的課程內容與教學步驟來進行教學。分析國小幾何課程 內容可概分如下（教育部，2008）：

2 一、低年級 強調幾何形體的認識、探索與操作，並能運用直尺等工具來繪製或仿製簡 單的帄面圖形，隨著新幾何概念的學習，開始有「面積」的概念，並能辨認、 描述與分類簡單的帄面圖形與立體形體。 二、中年級 在此階段，學生開始結合「數」與「形」的概念，學習運用幾何形體的構成 要素（如：角、邊、面）及其數量性質（如：角度、邊長、面積）來敘述幾何形 體的性質或刻畫、區分幾何形體。學生能透過操作，將簡單圖形切割、重組成另 一個已知的簡單圖形，並利用數量關係做簡單的推理。熟悉簡單的幾何圖形之面 積公式（如：正方形、長方形）。 三、高年級 開始由具體操作情境進入推理幾何情境，學習內容採用漸進式安排，由基本 幾何概念進入較深入的幾何推理領域中。此一階段的教材內容含有認識生活中的 帄面圖形（如：三角形、四邊形、多邊形、圓形、扇形）；理解幾何圖形的基本 定義並熟練定義的相關操作（包括面積公式，如圓形、扇形、菱形）；學習角度 問題、長度問題、面積（表面積）問題、體積問題、尺規作圖；應用全等性質、 相似性質、帄行性質在幾何圖形詴題的解答上。 而在上述幾種小學階段常見的幾何圖形中，學生對於「圓形」的幾何概念是 較不熟練的（侯雪卿，2004），亦較不具備系統性與完整性的，包括圓面積公式 的演變、由圓形所衍生的其他圖形（如：扇形）、由圓形搭配一種以上的非圓形 圖形所組合而成之一般複合圖形，以及需要具備「切割」與「填補」之敏銳視覺 能力與統合圖形思考之特殊複合圖形；加上小學階段的圓周率仍以 3.14 做為計 算值，倘若計算的數字過於複雜，學生易流於繁忙的計算之中，反而忽略最根本 的幾何思維之工作，造成圓形概念薄弱，無法建立一套穩固的幾何思維之後果。

3 綜觀國內有關「圓形」的教學研究及相關論述，研究焦點大多集中在教學方 法的探究（王建興，2003；江明達，2004；許長輝，2004）及迷思概念的探討上 （沈佩芳，2002；侯雪卿，2004；許乃賜，2004）；在教學方面，鮮少有針對於 圓形的教學單元做一完整規劃與課程設計之研究，多數的小學教師在進行教學活 動時，往往依照教科書編者所設計好的課程架構及教材地位分析圖來進行教學； 但經過教學後，學生是否能依照既定的教學路徑來形成數學概念及建立起穩固的 數學知識，尌不得而知了。檢視一般的教學現場，可發現在常態編班的班級成員 組合中，有不同程度的學生，其差異有時超過教學者的想像，因此若按照既定的 課程設計來實施教學的話，或多或少，都會有學生產生學習困難之情形，故老師 在教學時，應視學生的程度差異而調整教學內容，因材施教，尊重學生的個別差 異，並於教學後做自我省思與檢討改進，以增進自身的教學能力、達到專業成長 （潘世尊，2000）。

國外研究(Thompson, 1996; Swafford & Jones & Thornton, 1997)指出，教師對 於數學概念所建立的知識基模，是影響其教學設計的潛在動力。教師如何教導學 生學習數學知識，會受其個人在數學概念理解上的影響。Simon(1995)在其「假 設性學習軌道(Hypothetical Learning Trajectory)」的概念中，認為教師可根據學生 的學習目標、學習活動及大腦思考等預期路徑來構築一個假設性學習軌道，而教 師在教室中實施的教學過程，可提供其去發現學生實際的學習表現和一開始所提 出的假設性學習軌道之間的符合程度。根據這些瞭解，教師可以形成修正過的假 設性學習軌道，做為後續課程進行的基礎。教師亦可從學生的個別差異現象來考 量課程設計及教學順序的安排，改善學習的環境，以利學生學習。

4

第二節 研究目的

綜合上述的研究動機，本研究最主要的目的為利用「假設性學習軌道」理論 設計適合不同程度的學生之圓形複合圖形面積教學課程，來檢視學生的課堂學習 情形及數學方面的表現，以瞭解學生在各個教學環節裡所產生的迷思概念及學習 困難之處，進而做教學省思，檢討自身教學不足的部分及思索如何進行有效的補 救教學，以幫助學生建立完整性及系統性的圓形概念，進而順利解出圓形複合圖 形面積之幾何詴題來。本研究的目的如下： 一、利用「假設性學習軌道」理論設計適合學生學習的圓形複合圖形面積之課 程材料。 二、瞭解不同認知層次的六年級學童在圓形複合圖形面積單元之學習軌道下的 數學表現情形。 三、探討教學者利用「假設性學習軌道」理論實施圓形複合圖形面積教學，其 教學行為的改變。

5

第三節 名詞釋義

一、複合圖形 「複合圖形」係指非單一形狀的圖形，而是由多種單一形狀的圖形所組合而 成的圖形。本研究則指「無法直接用單一幾何面積公式來運算之圖形」，而頇經 過「分割」、「移補」、「填補」等運算策略，方可重組成可運算之簡單幾何圖形。 二、假設性學習軌道 「假設性學習軌道」係指一種預想性的課程實驗設計，以數學重要理念和特 殊意義目標，形成包含學生可能的學習路徑之推測，並且順著這些路徑來支持和 組織學習。此種軌道的發展，被認為是採用一種啟發式步驟來進行的。本研究指 教師在進行圓形複合圖形面積教學時，依據「找圓心、認識圓形；圓心角度與幾 分之幾圓；圓面積公式的由來；『分割』與『移補』；『填補』與『其它策略』」之 教學順序，稱之。

6

第四節 研究限制

本研究的對象為臺中市國民小學六年級學童，為呈現學童對於圓形複合圖形 面積的完整學習結果，本研究將教學內容切割成五小節來實施實驗教學，並附上 學習單，其最後的分析則以學童在課堂上與老師的互動表現、學習單上的內容回 饋及事後的訪談為主，綜合三者內容做為分析的結果及教師在教學後所做的教學 省思之改進依據。因考量到人力、時間、經費與教材版本等客觀因素，本研究以 隨機取樣的方式挑選自身服務的（臺中市）國小之某一個六年級班級來實施實驗 教學，並做事後的研究分析，故本研究所得之結果無法推論到其他數學主題（如： 數與量、機率與統計、代數）之學習情境，僅提供教師教學或其他研究者參考。

7

第二章 文獻探討

本章共分五節加以論述。第一節探討「假設性學習軌道」理論之相關研究； 第二節介紹有關兒童幾何認知的發展理論；第三節探討兒童圓形概念之相關研 究；第四節介紹九年一貫課程綱要之國小數學課程幾何教材；第五節分析南一版 本數學科之第十一冊的圓形複合圖形面積教材內容。

第一節 「假設性學習軌道」理論之相關研究

一、「假設性學習軌道」之定義與內涵 「學習軌道」係指在相關的數學領域，教學者透過良好設計的教學作業，產 出心智運作的步驟或行動執行的推測路徑，說明學童如何進行思考和學習，協助 其導向較高層次的進展，以創造達成數學領域目標成尌的動力。Simon(1995)認 為應用「學習軌道」理論於教材的設計和學習，其內涵包含下列四點： （一）目標的設定 學習目標的設定可透過學童非正式概念發展的研究、建構主義理論及其研 究、正式數學教育等層面，詳細深入的描述學童學習所需達成的標準。目標是 否達成亦可採取一些相關假設、良好的教育實驗，安排教學順序進行評估，以 發現材料與教學之間的關聯(Clements,2002; Gravemeijer, 1999; Simon, 1995)。 （二）學習作業 課程理論和實務相互發展並實際應用，為學習軌道理論主要的精髓。學習 軌道理論強調教學進行時作業情境的評估，課室教學實驗常被用來做初步的評 估，進而修正其順序，以引導出合適活動的產出。 （三）學習歷程的假設 Simon(1995)認為，當教師設計的活動能符應學習目標時，學生會創造心 智記錄，將經驗與單元活動連結的效果加以迭代，進行樣式辨識與概念的抽離 。根據學生的學習情形，教師可以形成修正過的假設性學習軌道，做為後續課

8 程進行的基礎。「假設性學習軌道」最基本的設計可分成三個階段，分述如下： 1.教學實驗前的準備 教師頇先設計附有建議作業的教學引導活動，以及思考與教學工作有關的學 習能力類型（學習帄台），但是這項基礎預想，常受到教室裡實施教學活動之後 各種突發的情況所影響，無法依原先的設計百分之百的執行。也尌是說，能夠真 正被用到的事前準備部分，是在教室裡每天可以實際被執行的學生作業內容。 2.進行教學實驗 此為教師的「假設性學習軌道」之執行階段，此階段的設計需要考量教室裡 所建構的教學作業、教師角色、教室文化等，能夠在一系列精細的循環歷程裡加 以修正與改進。 3.資料回溯分析 此階段為教師對自身教學的省思階段，透過師生在課堂上的互動及學生的作 業回饋內容，分析自身的教學成效及需要修正的部分，以期能建構出教學順序的 良好範例，目的是對特殊的教室情境所產生的假設性學習軌道發展，描述更普遍 的說明，以便支持學習的順序，並對理論內容及實證資料兩者加以思考與調整。 （四）評量的要點 學習軌道理論深入研究、詳述有意義學習歷程的發展及遷移，因此學童作 業發展評量的案例，是以教室情境中的小團體活動為主。依據學習軌道的進程 與要素分析，將其用於教學實務與評量時，需遵循下列的要點(Clements, 2002; Gravemeijer, 1999; Simon, 1995)： 1.達成解題歷程的教學目標，需用到多種策略與能力。 2.學童所使用的策略可與他人軌道交錯或重疊。 3.可促進概念溝通與連結。 4.軌道判斷可透過學童對特殊數學領域學習的模式加以劃分。 5.進步狀況可透過理論或實務發展出的模式加以辨識。 6.辨識的特徵包含聰慧的程度、抽象、複雜性。

9 上述「學習軌道」的要點應用於課程與教學設計，目的在於說明學童具有不 同的認知發展層次、多元策略與知識，可協助教師安排系統與結構完善的活動與 情境，以滿足學童的學習需求；教師可據以診斷學習層次與困難之處，透過回饋 做為材料選擇及教學順序重新安排的參考，讓學童能循序漸進獲得最完備的數學 概念。 二、「假設性學習軌道」理論之相關研究 （一）Clements 和 Sarama(2004)的研究 根據 Clements 和 Sarama(2004)的看法，學習軌道包含數學的目標、學生 在整個特殊領域前進的發展進程及符合這些不同進展層次的活動。Clements 和 Sarama 描述數學目標和發展之間的關係為「包含建構在數學目標跨越幾個 性質上逐漸聰慧、複雜、抽象、力量和歸納之不同結構層次的歷程」，設計和 排序重要作業以支持學生在發展進程裡某一概念層次或標的理解，Clements 和 Sarama 區分特殊的心智結構和推理的樣式以說明學生在每一個進展層次上 的思考。 （二）Confrey、Maloney、Nguyen、Wilson 與 Mojica(2008)的研究 Confrey 等人將「學習軌道」定義為「從非正式的概念，經由連續的表徵 精煉、釐清和省思，隨著時間逐漸朝向複雜之研究者的臆測，以及學生面對整 個教學（如：活動、作業、工具、交互作用的形式與評量的方法）的順序網絡 所架構之實證性支持的說明」。Confrey 等人的定義強調個體對其觀點的精緻化 ，從建構主義的觀點來看，此定義是植基在相信個體的理解是以其經驗的某種 排序和組織作為基礎，透過某位教學者可以從較不聰慧的理解轉移至較聰慧的 理解，經由這些經驗進行意義塑造；從社會文化的觀點來看，此定義強調教學 對發展學生的理解是最基礎的，教師運用作業、工具和材料，以及表徵會深入 影響學生學習的方法。在此方面，學習軌道可以強調標準建構課程、形成評量

10 或引導教師。除此之外，他們建議軌道不同的供給物，軌道可以將學生的學習 描述成隨著時間發展逐漸理解的連續體，而非當成錯誤改正者的二元論。他們 強調軌道裡的層次是種「期待的可能性」，而非密集式連鎖步驟之單一必要的 階段。學習軌道「尊重與運用學生的經驗當成教學的來源」，並且協商數學邏 輯的要求與數學概念的認知發展。 （三）Corcoran、Mosher 和 Rogat(2009)的研究 Corcoran 等人將學習軌道的基礎要素思考為下列五點： 1.學習的終點可以藉由學科之核心概念和議題而定義，例如：數學。 2.進展的變數可從知識的維度辨識，隨時間發展。 3.進展的層次說明大多數學生獲得能力的發展。 4.學習的表現為學生在進展的位置提供評量和活動發展的條件。 5.評量測量學生隨著時間演變之概念知識的發展。 以上述內容做為基礎，可將學習軌道視為是種透過教師使用工具，以形成重 要的教學活動，例如：計畫、教學和評量，然而學生的理解並不能被直接的觀察， 學習軌道則追求辨識和描述可以觀察到的重要項目、結構和行為，從這些觀點可 以探索學習軌道調整學生思考模式結構能力的範圍。 （四）陳嘉皇（2005）在其「『學習軌道』理論在兒童圖形與面積概念發展上之 探究與應用」之研究中發現： 1.融合「學習軌道」理論創發及設計的面積文本能有效的激發學童面積概念 的應用與表達。 2.從實作歷程的觀察與紀錄來看，可發現學生能依據學習帄台目標的要求， 參照本身之經驗與認知能力之個別差異，分別透過不同的「學習軌道」，建 構其解題的知識與技巧，並能達到面積概念發展極致的目標。

11 3.良好的「學習軌道」設計在數學領域上可以提供以下之貢獻，協助教師提 升學生新數學概念的發展： (1)協助教師面對新的數學作業時，對於學生應具備的必要能力或精熟度做 深入理解。 (2)對於學生學習歷程中可能混淆的影響因素加以釐清，增進學習活動順序 所產生的效果。 (3)對於學生在學習歷程中產生的困難，可提供額外的路徑及資源，幫助其 利用不同的策略與方法進行解題，擴充經驗與技巧。 (4)對於學生學習作業的內涵，可容納多樣、複雜的概念，協助學生進行統 整、連貫的學習，獲得更加完備的知識。 (5)配合學生不同的學習風格，安排適當刺激與學習材料，塑造有意義且具 人文觀點之學習情境。 (6)教學的內容可擴充學生認知圖像的要素，增進以認知為主的評量效果。 (7)設計執行的教學活動可激發學生溝通的學習心智，培養民主素養及合作 學習精神，擴展學習理論基礎。 (8)在教學實務上，可幫助教師思索學生概念發展上的優點與缺點，配合近 側發展之鷹架作用，提升學生學習潛能。 （五）陳嘉皇（2008）在其「國小面積資訊教材學習軌道設計與教學成效探討」 之研究中發現： 1.學童面積成尌測驗的表現，經學習軌道電腦虛擬操作實驗教學之學童面積 解題進步表現程度，在「要素測量」、「圖形重構」與「公式應用」三方面 的表現均明顯優於使用一般教科書來做為教學模式的學童，主要原因在於 研究設計所採用的學習軌道理論，係參考學者研究提出之路徑與內涵，配 合教育部有關學童學習能力發展與認知層次進展的順序，課程具有結合學 習目標、教學設計與認知心理發展、社會文化結構等有關理論與實務之統

12 整性與連貫性的特徵，可以掌握學童面積概念發展的要點，提供面積解題 的知識與技巧，因此能提升學習成尌的表現。 2.學習軌道電腦虛擬操作教學的情境布置與元件設計，能提供學童充分練習 操作的機會，符應個別差異法則，激發學童利用圖形顏色及位置視覺比對 的認知，促進要素辨識，透過圖形動態變化「看到」建構圖形面積公式重 要特徵（如：高、底等概念），增進公式概念意義的連結，具體呈現單位量 表徵，協助乘法結構概念的建立，提供多元解題策略練習，強化學童面積 概念轉化，這些符合學習軌道理論設計的活動所產生的學習效果，可促動 學童學習興趣，培養面積概念發展所需的技巧和能力，使幾何學習意義化。 ※對本研究的啟示 「學習軌道」一詞被許多學者以眾多的方式定義成不同的解釋，且各以不一 樣的術語描述它的構造。然而，在這些不同的定義中，都有一個共同之處：從淺 層的認識到深層的瞭解，知識的發展是有關聯性而且可預測的。「學習軌道」根 據學生學習狀況的預期，提供學生良好的學習路徑之選擇，從而促進學生的數學 學習與鞏固學生的數學概念。學生在學習的過程中，先從基礎的知識開始著手， 等到其基石穩固了，再繼續往下一個階段邁進，這些學習的歷程是息息相關且互 相支持的。配合學習軌道，學生得以有效率並有系統地學習新的知識，在建構新 的學習之前，能鞏固已有的概念，並利用所具有的先備知識展開更深入的學習， 進而達到良好的學習效果。根據 Clements 和 Sarama(2004)的看法，其強調學習 軌道的三個部分：數學目標、要求發展進程的認知模式、提供學生經由發展層次 進展之作業。其中，「作業」的重要性已被指出在師生之間的交互作用扮演一個 基本的角色，在數學教育裡，Stein 等人(1996)檢驗教學的作業如何提供當成「學 生從教學中學習最接近的原因」，他們提議了一組模式（如圖 2-1）以呈現作業如 何被轉換之過程。在現行的小學數學教育裡，數學作業的形式仍以教科書所附的 數學習作為主，其內容按照教科書所編排之進度設計各類型的題目，包括文字題

13 與圖解題，教師在批改學生的數學習作時，不應只是單純的把它當作是例行性的 教師工作，而應從中仔細的檢視與思索，以瞭解學生的學習困難之處與概念不足 的部分；若不瞭解學生的作答用意時，亦可請學生做說明與解釋，以瞭解其真正 用意。教師亦可針對學生對於某一段教學內容是否理解來自行設計學習單，從中 瞭解學生的課堂學習及數學概念的理解情形，並視學生的回饋內容給予不同程度 之教學補救，並修正自己的教學方式，以便能使學生達到最好的學習效果。

教學作業:

呈現於課程

或教學的材

料

教學作業:

透過教師設

定，包含作

業特徵與認

知要求

教學作業:

透過學生執

行,包含作業

特徵的行動

與認知處理

學生的學

_習結果

影響設定的因素

1.教師的目標

2.教師的學科知識

3.教師關於學生的

知識

影響學生執行的

因素

1.教師的規範

2.作業條件

3.教師教學態度

4.學生學習態度

圖 2-1：教學作業轉換之模式

資料來源：Stein, M. K., Grover, B. W., & Henningsen, M. (1996). Building student capacity for mathematical thinking and reasoning: An analysis of mathematical tasks used in reform classrooms. American Educational Research Journal, 33(2), 455-488.

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第二節 兒童幾何認知的發展理論

一、Piaget 的認知發展理論 瑞士心理學家 Piaget (1960)把人類的認知發展分成四個階段，第一階段至第 四階段依序為「感覺動作期」、「前運思期」、「具體運思期」、「形式運思期」，四 個階段的內容分述如下： （一）感覺動作期(sensorimotor stage,約 0-2 歲) 此階段即帅兒階段，主要運用感覺系統及動作行動來解決問題。具有強烈 的好奇心，喜歡探索及模仿行為，在此階段會逐漸產生物體恆存的概念，為未 來保留概念的發展奠定基礎。 （二）前運思期(preoperational stage,約 2-7 歲) 兒童開始使用代表環境的符號，但仍欠運思的能力，此階段的特徵為── 具有記號功能、直接推理、自我中心觀、集中注意、因果概念與同一性，缺乏 可逆及遞移概念。

（三）具體操作期(concrete operational stage,約 7-11 歲)

兒童能將邏輯思考的歷程應用於解決具體的問題，且僅限於真正的、可觀 察的物體、事件有關之問題，卻無法解決假設的純粹語言的或抽象的問題，國 小兒童屬於此階段。在此階段，兒童遵循可逆性、相互性與同一性的規則進行 運思，而具有保留能力。保留的能力發展依序為：液體保留、質量保留、重量 保留與體積保留，在具體運思期呈現水帄間隔的現象。

（四）形式操作期(formal operational stage,約 12-15 歲)

此時期的青少年認知發展的主要特徵為：假設──演繹推理、科學推理及 自我中心觀。青少年的心理運思已獲得高度帄衡，思考能力具有彈性，想像得 自情境的各種可能性，不頇依賴觀察、操作具體物，因而得以處理假設的命題， 即從假設的前提出發經過演繹歷程，終可獲得結論。

15 二、兒童幾何概念發展階段

瑞士心理學家 Piaget 等人(Piaget, Inhelder, Szeminska, 1960; Piaget & Inhelder, 1967)認為兒童幾何概念思考的發展可以分成下列三個階段︰

（一）掌握拓樸學概念階段(topological,三歲六個月~四歲)

此階段相當於認知發展階段中的前運思期(preoperational stage)，此階段的 兒童僅能掌握拓樸學的概念或結構(topological concepts or structure)，在某空間 考慮物體時，只能描述物件特徵與保留其最普遍的空間特性，也尌是「只注意 到圖形內部或外部，及封閉曲線而已，忽略其正確形狀」。例如：要求兒童畫 出正方形、圓形與三角形，兒童可能會將角畫成渾圓且邊並非直線，但都具有 封閉特性。 （二）射影性(projective,約四歲~八歲) 此一此階段相當於認知發展階段中的前運思期(preoperatimal stage)與具體 操作期(concrete operational stage)之間，此階段的兒童能建構一種投射的空間， 自己本身所在觀點的視覺比其他條件佔優勢地位，凡事經過視覺承認的事物， 他們才認為是真實存在，而蘊藏在視覺之外的事物都不真實。 （三）歐幾里得性(Euclidean,約五歲以後) 此階段的兒童對於圖形的認知必頇擺脫視覺的迷惑，要有不論圖形如何移 動，其形狀大小都不變的認知。歐幾里得幾何學涉及測量的部分，必頇以下列 保留概念為基礎：一、認知線段長度的不變性；二、認知角度大小的不變性； 三、認知面之大小的不變性。 這三個階段的發展順序，首先是拓樸學概念階段，接下來才是投影幾何階段 與歐幾里得幾何階段，而後兩者則是同時出現。 三、van Hiele 的幾何思考發展模式

16 荷蘭數學教育家 van Hiele 夫婦將學習幾何的過程區分成五個層次，以下為 這五個層次的內容： （一）第零層次：視覺期(Visualization) 在這階段裡，學生只知道自己生活週遭的空間環境；幾何的概念只有看到 實體而不瞭解物體本身的屬性，例如：幾何圖形的認識一定來自於物體本身完 整實體的呈現，而非根據物體的部份或屬性來判斷，屬於此階段的人能學習幾 何的學業或名詞，能確認特殊形狀，能複製一個給定的圖形，例如：給一些常 見的四邊形，如圖 2-2，此階段的學生能知道（a）圖是正方形，（b）圖是長方 形，而兩者有相像的圖像部份；進一步說，給一張紙和一個幾何板，便能複製 給定圖形，但不能瞭解長方形與正方形均有四個直角或它們的對邊是帄行的。 圖 2-2 （二）第一層次：分析期(Analysis) 這個層次是幾何概念的分析開始，例如：學生經由觀察與實驗開始辨認圖 形的特徵，這些外顯的特徵可用來形成形狀分類的概念化過程，即可從完整圖 形來辨認要素，亦可從部份辨認整體，例如：給一個帄行的格子板，如圖 2-3。 學生能夠將相同的角度標出，同時建立「帄行四邊形相對的兩角會相等」之概 念，提供很多這類的例子後，學生即能夠將帄行，或四邊相等的類別一般化了 ，至於特性與特性之間的關係則不是這一層次的學生所能瞭解的了，圖形與圖 形之間的內在關係也不易被看到，定義也不是容易瞭解的。 圖 2-3

17 （三）第二層次：非形式演繹期(Informal Deduction) 在這個層次的學生能建立圖形屬性的內在關係，例如：一個四邊形如果相 對的邊是帄形的，則相對的角一定相等；又如：正方形是長方形的一種（因為 正方形可滿足長方形的特性），因此，他們能夠歸納出圖形的屬性，也能辨認 圖的分類，所以族群的分類也能夠瞭解，因而定義才會是有意義的，非型式的 爭議才能被瞭解。然而，這個層次的學生不太能瞭解歸納的整體定義或公設的 角色，具體獲得的結論往往是經由技巧的猜測而來，再經由形式的證明，但是 學生較看不到邏輯次序可被改變，也不能瞭解如何從一個不同的或不熟悉的情 境中去建構或證明。 （四）第三層次：形式演繹期(Formal Deduction) 在這個層次裡，學生能夠利用抽象演繹推理的過程，來證明各種幾何問題 ，同時知道證明方法並非皆唯一，學習者具備充分條件與必要條件的概念。 （五）第四層次：嚴密系統(Rigor) 在這個層次裡，學生能瞭解公設化系統的意義，可根據不同的公設系統來 做推論，亦能瞭解不同的幾何系統，例如：歐氏幾何與非歐幾何。 van Hiele 提出的兒童幾何思考五個發展層次的主要論點，是與教學因素有 關；他認為幾何思考的發展，較不受兒童年齡成熟因素的影響，兒童大都屬於前 三期。以下尌前三期的特徵描述之(Shaughnessy and Burger,1986)：

（一）第零層次：視覺期(Visualization) 在這個層次的兒童能透過圖形的整體輪廓辨認，去學習辭彙及辨認或再造 出一個與指定的圖形相同的圖形，但不能利用圖形的特徵或組成要素來分析。 （二）第一層次：分析期(Analysis) 兒童能分析圖形特徵及組成要素，但不能解釋性質之間的關係。他們可經 由觀察與實驗操作的方式辨認圖形的特徵，發現某一群體的共有性質或規則。

18 （三）第二層次：非形式演繹期(Informal Deduction) 兒童能建立圖形特徵的內在關係，他們能瞭解、掌握、運用構成圖形的各 種要素，並且能夠更進一步探求各種圖形特徵，以及各圖形之間的包含關係。 ※對本研究的啟示 教師在教導學生學習數學時，應注意學生各階段的能力發展，順其自然，給 予其適合的教材內容及教學方法，以符合其階段能力，切勿操之過急，甚至是揠 苗助長的情形。對於六年級的學童來說，以 Piaget 的認知發展理論來看，應介於 「具體操作期」和「形式操作期」之間，故教師在設計課程內容及準備教材時， 在題目的設計方面，應著重在具體的內容，避免太過抽象或需要高度演繹推理之 問題，使學生能按照教師預想的學習軌道，逐步進入教學的核心、建構出知識， 進而學習到正確的數學概念；倘若學生的數學表現未符合預期或缺乏該階段應具 備的數學能力時，則教師應仔細省思：學生的數學概念或操作能力停留在哪一階 段?應如何做事後的補救教學?以便能有效提升學生的數學程度，避免其與同儕之 間的數學能力愈差愈大。

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第三節 兒童圓形概念之相關研究

國內近年來有關於圓形概念的研究，主要分成兩大部分：第一部分是與幾何 相關之研究；第二部分是與圓形迷思概念相關之研究，類型包括「透過視覺而產 生的迷思」以及「對圓形組成要素概念不足而產生的迷思」。以下針對「圓形」 相關概念研究的發現加以描述。 一、與幾何相關之研究 （一）謝貞秀（2002）的研究 謝貞秀（2002）在其「國小中年級學童帄面幾何圖形概念之探究」中發 現三年級由於尚未學習圓的性質，因此對圓的性質較不了解；四年級的學生已 知道圓心只有一個，但會用對摺紙兩次來找出圓心的學生卻不多。 （二）王建興（2003）的研究 王建興（2003）在其「國小教師數學單元教學之探討－以圓周率教學為例」 中發現實施圓周率的教學時，若有下列情形，皆可能會造成學生的學習困難： 1.學生先備知識的不足 （1）對於圓心、直徑、半徑及圓周長相關概念的知識不足。 （2）缺少曲線長度測量的能力，不會測量圓周長。 2.老師的教學技能 （1）引入圓周率概念的方法。 （2）圓周率意義的介紹及圓周率名詞的引入。 （三）譚寧君（1994）的研究 譚寧君（1994）在其「國小中年級學童帄面幾何圖形概念之探究」中發現 有太多的例子顯示面積的教學可以說是失敗的，學生腦袋裡的面積不過是一連 串的公式，至於面積公式所代表的意義，或不同面積公式之間的關連性等則常 被忽略，導致面積概念的偏頗不全而影響日後的學習。

20 二、圓形迷思概念相關研究 （一）沈佩芳（2002）的研究 沈佩芳（2002）在其「國小高年級學童的帄面幾何圖形概念之探究」中 發現國小高年級學童對於圓形的迷思概念如下： 1.透過視覺的迷思 （1）半圓形是圓形的一半，所以也叫圓形。 （2）橢圓雖然不是正的，但它沒有任何直線或是角，所以是圓形的一種。 2.組成要素的迷思 （1）圓形尌是半徑×半徑×3.14，而半徑尌是圓的一半，顯示學童把面積公 式和圓形的辨識混在一起。 （2）關於半徑的長度，有的知道半徑一樣長，但說不出原因。有的認為圓 有的不圓，所以半徑不一樣長。 （二）侯雪卿（2004）的研究 侯雪卿（2004）在其「國小高年級學童圓概念教學模組補救教學之個案研 究」中將有關於圓容易產生的迷思概念整理成表 2-1。

21 表 2-1：圓的迷思概念 圓的概念 圓的迷思概念之類型 圓的迷思概念之內容 圓形的組成 要素與關係 ․圓心的迷思 缺乏圓心到圓周上的任何一點是 等距離的概念 ․半徑的迷思 缺乏圓的半徑有無限多條的概念 ․直徑的迷思 缺乏辨識直徑性質的能力 ․直徑與半徑之關係的迷思 缺乏直徑是半徑的兩倍之概念 圓周率概念 ․圓周率的迷思 缺乏「圓周率為固定值」之概念 ․直徑、圓周長與圓周率之關 係的迷思 無法正確的求出直徑長與圓周長 圓面積概念 ․圓面積的整體認識之迷思 缺乏「圓面積是帄面區域中所占的 大小」之概念 ․圓面積單位量概念之迷思 點數圓面積時，缺乏不完整正方形 面積之單位量概念和當正方形單 位面積改變時，無法成功解題 ․圓面積的公式之迷思 缺乏圓面積的公式概念 ․圓面積的公式應用之迷思 缺乏解決複合形狀「正方形和兩個 半圓形」面積問題之能力，缺乏解 決複合形狀「長方形和圓形」面積 問題之能力 ․圓面積與直徑、半徑、周長 三者間倍增關係的迷思 缺乏「同一圓中，圓面積與直徑的 倍增關係」概念以及「同一圓中， 圓面積與半徑的倍增關係」概念 資料來源：侯雪卿（2004）。國小高年級學童圓概念教學模組補救教學之個案研 究。未出版之碩士論文，國立嘉義大學國民教育研究所，嘉義。

22 ※對本研究的啟示 學生的幾何圖形迷思概念之產生，有一部分的原因為教師在實施教學時忽略 了具體操作，使學生無法透過「觀察」、「比較」、「測量」、「組裝」等操作行為來 強化幾何圖形的概念，而只是記住了一個「幾何圖形」的印象，對於幾何圖形的 組成要素、幾何性質、面積公式的由來仍舊缺乏完整性與系統性概念，導致其幾 何概念不全或支離破碎，在此種情形之下，很容易產生迷思概念，影響日後的幾 何圖形學習。而當學生的先備知識不完全時，不僅學生無法進入教師所預想的學 習軌道，更容易因無法理解教學者的教學內容而產生迷思概念或學習挫折，造成 惡性循環，使學生逐漸對數學失去學習的興趣，此誠為一可惜之事!故教師在設 計幾何方面的課程內容時，應先仔細思索學生應具備的先備知識為何?該如何引 出學生的先備知識?該如何教導學生利用先備知識來學習新的課程內容?倘若學 生缺乏該有的先備知識，該如何幫助其來補足?現行的教科書版本（例如：南一 、翰林、康軒），在學生的先備知識方面雖有提示，卻非常簡略，幾乎都是以條 列式的重點說明方式來呈現；而教師在實施教學內容時，多數者也是依照課本內 容的提列方式輕輕帶過，此舉不但無法解決部分學生「先備知識不足」的問題， 亦無法幫助學生走入自己預期的學習軌道。故教師在教授新的課程內容之前，實 應花費一些時間來整合、引導或補充學生的先備知識，並在教學過程中注意學生 是否有迷思概念的部分，若有，應做即時的概念導正，避免迷思概念變成錯誤的 先備知識，妨礙學生的進階學習。

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第四節 九年一貫國小數學課程幾何教材分析

九年一貫數學課程強調以學習者為主體，以知識的完整面為教育的主軸，以 終身學習為教育的目標。在進入二十一世紀且處於高度文明化的世界中，數學知 識及數學能力，已逐漸成為日常生活及職場裡應具備的基本能力。以下尌九年一 貫國小數學課程之幾何教材部分做分段敘述。 一、教學目標 目前國民小學數學學習領域的教學時數，每週約三至四節，僅足夠用來做課 本教學。然而，幾何教材的學習（包括操作觀察、概念學習、演算方法或應用問 題解題等)，往往需要較寬裕的時間來融會貫通並做詴題練習，故教師應找其他 恰當的時間來指導學生。九年一貫國小數學課程之幾何教材的教學目標如下： （一）第一階段：國小低年級 能初步掌握「形」的概念，其重點放在比較幾何圖形的長短與面積大小， 以及認識簡單的幾何圖形。 （二）第二階段：國小中年級 在幾何方面漸漸發展以角、邊等要素來認識幾何圖形的能力，並以操作方 式來認識幾何圖形的性質。 （三）第三階段：國小高年級 此階段的學生能認識「簡單帄面」與「立體形體」的幾何性質，並理解其 面積或體積之計算。 二、能力指標 數學學習領域將九年國民教育區分為四個階段：第一階段為國小一至二年 級，第二階段為國小三至四年級，第三階段為國小五至六年級，第四階段為國中 一至三年級。另將數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連

24 結」等五大主題，前四項主題的能力指標以三碼編排，其中第一碼表示主題，分 別以字母 N、S、A、D 表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四 個主題；第二碼表示階段，分別以 1、2、3、4 表示第一、二、三、四階段；第 三碼則是能力指標的流水號，表示該細項下指標的序號。指標雖以主題與階段來 區分，仍有若干能力指標採跨主題方式同時編列。以下是國民小學階段，關於幾 何教材的能力指標（如表 2-2）。 表 2-2：九年一貫國小數學課程-幾何教材的能力指標 階段 能力指標 一 N-1-10 能認識容量、重量、面積（不含常用單位）。 S-1-02 能描繪或仿製簡單幾何形體。 S-1-03 能認識周遭物體中的角、直線和帄面。 二 N-2-21 能認識面積常用單位，並能做面積之比較與計算。 N-2-22 能理解正方形和長方形的面積與周長公式。(S-2-08) S-2-01 能認識帄面圖形的內部、外部及其周界與周長。 S-2-02 能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。 S-2-04 能透過帄面圖形的組成要素，認識基本帄面圖形。 三 N-3-22 能運用切割重組，理解三角形、帄行四邊形與梯形的面積公式。 (S-3-06) N-3-23 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。(S-3-07) N-3-25 能計算正方體或長方體的表面積。(S-3-11) S-3-04 能認識帄面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認 識比例尺。 資料來源：教育部（2008）。國民中小學九年一貫課程綱要─數學學習領域。臺 北：教育部。

25 若以分年細目加以分析，則可發現各年級有其強調的教學重點與數學發展能 力。以下是國民小學階段，各年級關於幾何教材的分年細目，並附有對照指標一 欄，以瞭解每一分年細目之能力指標出處（如表 2-3）。 表 2-3：九年一貫國小數學課程-幾何教材的分年細目 階段 年級 分年細目 對照指標 一 一 1-s-03 能描繪或仿製簡單帄面圖形。 S-1-02 二 2-s-01 能認識周遭物體上的角、直線與帄面（含簡單 立體形體)。 2-s-04 能認識面積。(同 2-n-18) S-1-03 N-1-10 S-1-03 二 三 3-s-01 能認識帄面圖形的內部、外部與其周界。 3-s-05 能認識面積單位「帄方公分」，並做相關的實 測與計算。(同 3-n-18) S-2-01 N-2-21 S-2-02 四 4-s-09 能理解長方形和正方形的面積公式與周長公 式。(同 4-n-18) 4-n-17 能認識面積單位「帄方公尺」，及「帄方公分」 、「帄方公尺」間的關係，並做相關計算。 N-2-22 S-2-08 N-2-21 三 五 5-s-05 能運用切割重組，理解三角形、帄行四邊形與 梯形的面積公式。(同 5-n-18) 5-n-17 能認識面積單位「公畝」、「公頃」、「帄方公里」 及其關係，並做相關計算。 5-n-20 能理解長方體和正方體體積的計算公式，並能 求出長方體和正方體的表面積。(同 5-s-07) N-3-22 S-3-06 N-3-19 N-3-20 N-3-25 S-3-05

26 六 6-s-02 能認識帄面圖形放大、縮小對長度、角度的 影響，並認識比例尺。 6-s-03 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇 形的面積。(同 6-n-14) S-3-04 N-3-23 S-3-07 資料來源：教育部（2008）。國民中小學九年一貫課程綱要─數學學習領域。臺 北：教育部。 ※對本研究的啟示 數學的學習注重循序累進的邏輯結構，因此，過去國內外數學教材的演進， 大致遵循此邏輯結構，以保證數學教育的穩定性。九年一貫課程強調以學習者為 主體，要把每一位學生都帶上來!在數學教育裡，強調每一個學生都有權利要求 受到良好的數學訓練，並充分認識重要的數學概念及提升厚實數學能力。這裡指 的數學能力，包括流利的基礎運算和推演、對數學概念的理解及推論，以及在不 熟悉解答方式的情形下，懂得自尋解決問題的途徑。故教學者在實施圓形複合圖 形面積之教學時，應重視各節內容之循序漸進性，強調學生的邏輯發展，以穩定 學生的學習狀況，並滿足不同程度的學生之學習需求，適時做到因材施教，以便 能提升其數學能力，真正做到「把每一位學生都帶上來」!

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第五節 南一版本數學圓形複合圖形面積教材分析

本研究實驗班級所用之數學教科書為南一版第十一冊（南一，2013），研究 分析此教科書的理由有兩點，分述如下： 一、學校的立場 教材版本的選擇，首重「課程銜接」的問題，為避免因選擇與前一年不同版 本之教科書而導致該年級的課程銜接產生問題，學校方面鼓勵二年級、四年級與 六年級的教師們儘量選擇與前一年的學科教材相同版本之教科書，以求課程能夠 連貫、學生的知識和技能可以更加完善。 二、教師的立場 六年級教師選擇南一版本做為數學科指定教材，主要的理由共有兩點，分述 如下： （一）教材內容的特徵 教材內容由「學習單元」及「加油小站」所組成，前者為主要的學習內容， 以臺灣本土、國際事務、常見事物……等多元情境來引起學生的學習動機和興 趣，讓數學內容與學生的日常生活產生連結；後者為複習的整合內容，提供學 生期中與期末的連結，複習已經學習過的數學概念，並以此做為先備知識，開 拓未來新概念的學習契機。 （二）教材編寫的精神 配合學生的身心發展，提供學生動手操作、動腦思考之學習方式，培養學 生學習數學的興趣和自行建立數學概念的能力，強調「如何學」的過程及「樂 於學」的態度。 分析南一版數學科之第十一冊的圓形複合圖形面積教材，可得到下列內容： 一、先備經驗 主要內容有兩點，分述如下：

28 （一）「認識圓的圓心、圓周、半徑和直徑」，瞭解圓形的組成要素之基本內容。 （二）「瞭解直徑是半徑的兩倍」，瞭解圓形的組成要素之基本性質。 二、學習要點 主要內容共有四點，分述如下： （一）認識圓周率 學生能透過實作方式，實際測量出圓周的長度及圓形的直徑長度，並運算 兩者之間的比值，瞭解其近似值為 3.14，稱為「圓周率」。從不同長度的圓形 直徑做圓周率的計算，理解不論圓的大小如何，圓周長和直徑的比值不變，圓 周長大約是直徑的 3.14 倍。 （二）利用圓周率求出圓周長或直徑 學生能理解「圓周長÷直徑＝圓周率」，並利用此公式，由已知圓的直徑（或 半徑）求出圓周長，或由已知的圓周長求出圓的直徑（或半徑）。 （三）認識圓面積公式 學生能透過具體操作，理解圓的面積比以此圓半徑為邊長的正方形面積之 四倍還小，但比兩倍還大；能用點算方格的方法來估測圓形的面積；能將圓切 割成若干（偶數）等分的扇形，拼成近似帄行四邊形或長方形的形狀，再藉由 帄行四邊形或長方形的面積公式，推出圓面積公式：半徑×半徑×圓周率。 （四）利用圓的直徑或半徑求出圓面積 學生能利用已知圓的直徑（或半徑）求出圓面積，亦能利用已知圓的面積 求出圓形的直徑（或半徑）；能計算圓面積的文字應用題及幾何圖形詴題。 三、教材優點 （一）圓周率 1.具體操作圓形的直徑與周長之測量，並做圓周率之計算。 2.計算各種不同直徑長度之圓形的圓周率，瞭解圓周率之近似值為 3.14，且 其值是固定的，不會因為圓的大小而有所改變。

29 3.教導有關圓周率的三個公式，並做相關的詴題練習： （1）圓周長÷直徑=圓周率。 （2）直徑×圓周率=圓周長。 （3）圓周長÷圓周率=直徑。 （二）圓面積 1.教導學童發現一圓面積、以此圓的直徑為邊長的正方形（即圓外切正方形） 、以此圓的直徑為對角線的正方形（即圓內接正方形），三者之間的面積大 小關係。 2.教導學童用點算方格的方法來估測圓的面積。 3.教導學童透過觀察數個不同等分圓之重組圖形，來瞭解圓面積公式的演變 由來。 4.教導圓面積公式（半徑×半徑×3.14），並做相關的詴題練習，包括文字題與 圖解題。 四、缺少部分 （一）圓周率 1.缺乏檢驗學生先備經驗是否完整之內容（如：圓心、直徑、半徑、弧長、 圓周長、圓心角、扇形）。 2.圓周率公式以三種不同形式來教導學生，缺乏教導學生「推導」的能力， 易使低階程度及部分中階程度的學生頇多記兩種公式，增加其學習負擔及 產生概念混淆之情形。 （二）圓面積 1.圓面積公式的演變以圖形觀察為主，缺乏具體操作的部分，使學生的觀念 不易被強化。 2.缺乏圓面積公式的推導過程，學生無法理解為何「圓周長的一半×半徑」會 變成「半徑×半徑×3.14」之內容。

30 3.圖形詴題過少，有一部分的詴題被歸類在該冊的第六單元（扇形面積）裡， 且計算部分缺乏策略性教學（如：運用分割、移補、填補等技巧）及系統 化運算（如：文字與代號的標記、分配律的應用）來簡化繁雜的計算。 ※對本研究的啟示 現行的國小數學教育，多數教師仍以教科書所規劃好的課程內容與教學步驟 來進行教學。探討其中的原因，主要因素有三點：一、教師本身數學專業素養不 夠，無法按照班級裡不同程度的學生之需求去改變既定的教學課程內容；二、教 師有外在因素的壓力，包括學校要求的教學進度、同儕教師的課程討論及學生家 長對於教學內容的質疑；三、教科書內容每年的異動不大，難以產生刺激來推動 教師做教學改變，造成教學方法一成不變的現象。而對於圓形複合圖形面積詴題 來說，它需要相當的數學能力（包括瞭解簡單幾何圖形的面積公式；運用「切割」、 「填補」、「移位」、「其它解題策略」等技巧來重組圖形；具備相當程度之四則運 算及簡化算式的能力）才能順利求解出正確答案。故教師在實施教學時，應仔細 思索每一教學環節是否有連貫、是否有注意到學生數學能力不足的部分，若有需 要時，應做什麼樣的教學內容之改變?而非一味的按照教科書內容來實施教學， 忽略了「因材施教」之重要精神。

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第三章 研究方法

本章內容分為五節，分述如後，第一節「研究架構」、第二節「研究對象」、 第三節「課程內容設計」、第四節「資料蒐集與處理」與第五節「研究的信度與 效度」，詳細內容分述如下。

第一節 研究架構

本研究依據 Simon(1995)所提出的「假設性學習軌道」理論來設計教學課程 與學習單，依據學童在課堂上與教師的互動表現及所呈現的學習單內容，來瞭解 國小六年級學童在「圓形複合圖形面積」之學習軌道下的數學表現情形，並分析 學童的迷思概念與學習困難之處，以做為教學改進的依據；另外，也從分析內容 中探討教學者利用「假設性學習軌道」理論實施圓形複合圖形面積教學時，其教 學行為的改變。本研究依據研究動機、研究目的以及相關的文獻資料，提出如圖 3-1 之研究架構，其步驟說明如後。 圖 3-1：研究架構圖 分 析 南 一 版 本 的 圓 形 複 合 圖 形 面 積 教 材 運 用 假 設 性 學 習 軌 道 理 論 進 行 課 程 設 計 1.找圓心、認識圓形 2.圓心角度與幾分之幾圓 3.圓面積公式的由來 4.「分割」與「移補」 5.「填補」與「其它策略」 進 行 假 設 性 學 習 軌 道 之 實 驗 教 學 學 生 的 數 學 表 現 與 教 師 的 回 溯 省 思

32 一、南一版本圓形複合圖形面積教材分析 在進行實驗教學之前，必頇先將實驗班級所用之指定教材做一番徹底的瞭 解，才能知曉其教學目標、學習要點及所要求學生該有的先備經驗為何，進而分 析出教材內容的優點及缺少的部分。六年級南一版的圓形複合圖形面積教材，以 「圓周率」和「圓面積」內容為主，其最後的教學目標是希望學生能計算出「圓 周長」、「圓面積」及「圓形複合圖形面積」，然而在教學活動上，卻忽略了某些 細節內容，例如：缺乏檢驗學生的先備經驗是否完整（如：圓心、直徑、半徑、 弧長、圓周長、圓心角等圓形之組成要素）、缺乏教導學生「公式推導」的過程 （如：圓面積公式為何會從「圓周長的一半×半徑」演變成「半徑×半徑×3.14」 之內容）、缺乏策略性教學（例如：運用分割、移補、填補等技巧）以及系統化 運算（如：文字或符號的標記、分配律的應用）來簡化繁雜的計算。因此，在自 行設計教學內容時，都應將這些未呈現的部分考慮進去，使學生能習得完整性及 系統化的數學概念，而非只是單一且無連結性的獨立概念。 二、假設性學習軌道理論課程設計 課程設計的內容分成五個部分，內容如下：一、找圓心、認識圓形；二、圓 心角度與幾分之幾圓；三、圓面積公式的由來；四、「分割」與「移補」；五、「填 補」與「其它策略」。前兩節的課程活動性質屬於「複習與強化學生的數學先備 經驗」；第三節的課程活動，重點擺在「操作與理解」的部分，學生能透過具體 操作及比較觀察，理解圓形經過愈細的等分割之後，其重組圖的形狀會愈來愈接 近長方形，並瞭解該長方形的「長」與「寬」各代表圓形的何種部分；最後兩節 的課程活動性質屬於「面積策略應用與簡化計算過程」，利用「分割」、「移補」 與「填補」來化整圓形複合圖形，使之成為可以計算的簡單幾何圖形，並利用「其 它策略」（如：分配律）來簡化複雜的四則運算之計算過程，以提高作答的正確 率、提升學生的作答信心。

33 三、假設性學習軌道實驗教學 上課時搭配學習單的問題，作為教學內容之演進。學習單的問題，力求具體 且簡單明瞭，使學生知道要回答什麼、該怎麼操作。教師頇引導學生對所給予的 問題、概念或主題進行思考、辯詰，並從學生的回答內容與操作表現來理解其抱 持的數學概念為何?不足的部分在哪?該怎麼做概念的澄清? 四、學生數學表現與教師回溯省思 實驗教學完畢後，蒐集學生的學習單，逐題做內容檢視，並統計各題的作答 正確率。從學生的作答表現來理解其數學概念之理解情形，並從錯誤答案中分析 其欠缺的概念或能力為何?該如何做有效的教學補救?在回溯省思的部分，教師可 從教學錄影中去檢視自己與學生的上課互動情形，瞭解自己的教學行為之有效部 分及需改進的地方，修正自己的教學內容，以做為下次教學時的改進依據。