第四章 研究結果與討論
第五節 「填補」與「其它策略」
有關圓形複合圖形面積之進階詴題，常見的有兩種類型，第一種是「無法直 接計算的複合圖形」，此時學生需要具備「填補」概念，即將無法計算的複合圖 形，其圖形內的空白部分先填補上，使之成為一個完整且可計算的幾何圖形，再 扣除填補上的部分；第二種是「多重半圓組合的複合圖形」，此時學生需要具備
「其他策略」概念，即將需要計算的多重半圓，以文字或符號做標記，使自己知 道該算哪些區塊部分，實際計算時，運用分配律來化簡計算過程，以降低計算時 的複雜度、提高作答的正確率。本節的教學目標即在教導學生具備這兩種計算概 念，使其能順利解答出圓形複合圖形面積之進階詴題來。有關本節的學生數學表 現分成三個部分，內容如下。
一、教師與學生的課室互動
（一）師生的課堂對話
T ：本節課的學習單只有一頁，共三道題目，老師現在請三位同學上台 來算一下答案，第一題請 S1 同學來解、第二題請 S2 同學來解、第 三題請 S3 同學來解，其餘同學也請在台下將這三題的答案解出來。
圖 4-56 圖 4-57
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圖 4-58 圖 4-59
圖 4-60 圖 4-61
S1 ：（上台書寫的答案如圖 4-57）。
S2 ：（上台書寫的答案如圖 4-59）。
S3 ：（上台書寫的答案如圖 4-61）。
T ：好!謝謝這三位同學的解答。關於這三題的答案，有沒有同學要發 表自己的看法?詴著說說看，你覺得哪一題答案是錯誤的。
S4 ：我認為圖 4-57 的答案是錯誤的。
T ：哦~~~那請問，錯在哪一個部分呢?是計算過程不對、還是計算答 案錯誤?
S4 ：計算過程不對!
T ：嗯!那你可以說明是哪一部分出了差錯嗎?
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S4 ：圖 4-57 的算法是把斜線面積當成一個大半圓來計算，但大半圓下 面的那個中半圓不能移補到空白的小半圓去，因為它們的直徑沒 有一樣長。
T ：很好!謝謝 S4 同學的說法，那還有沒有同學要發表呢?
S5 ：圖 4-61 的答案也不對!
T ：哦~~~那麼，是計算過程不對、還是計算答案錯誤?
S5 ：計算過程不對!
T ：很好!觀察得很仔細!那你可以說明是哪一部分出了差錯嗎?
S5 ：圖 4-61 的算法是將半徑 14 公尺和半徑 22 公尺的兩圓面積相加 ，可是他沒有扣除裡面那兩塊白色的面積以及重複計算的部分，
這樣一來，計算答案會比正確答案還來得大。
T ：很好!邏輯思考很正確!那麼圖 4-59 的答案，你認為是對還是錯?
S5 ：我的答案和圖 4-59 的答案一樣~~~我認為是對的!
T ：沒錯!圖 4-59 的答案是對的!謝謝 S4 和 S5 同學的發表。關於這 三題內容，老師想示範一下自己的作答方式，請同學仔細觀察與 比較，老師和剛剛那三位同學的作答過程有何不一樣?
T ：（在黑板上書寫解題過程，第一題如圖 4-62、第二題如圖 4-63、
第三題如圖 4-64）。
圖 4-62
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圖 4-63
圖 4-64
T ：好!現在請同學發表看看，你對於老師的計算過程有什麼看法?
S6 ：計算過程採用橫式，看起來比較整齊!
S7 ：在圖形上會標記一些符號，計算時會先將要算的內容用文字或符 號標示出來，這樣在計算時，尌能很清楚自己在算些什麼了!
T ：很好!兩位同學都觀察得很仔細，也都說得很正確!但除此之外，
還有沒有發現其它比較值得注意的地方?
S8 ：老師在計算時，會將相同數字結合起來做化簡計算，讓過程變得 更加簡單!
T ：非常好!這尌是老師要你們注意的地方!那麼，請問你知道這方法 的名稱嗎?
S8 ：嗯~~~不曉得。
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T ：嗯!沒關係!那讓老師來說明吧!這種方法叫做「分配律」，它可以運 用在你們做四則運算的時候，倘若計算的內容像下列的情形時：
(1)（乙×甲）+（丙×甲） (2)（乙×甲）-（丙×甲）
尌可以將算式化成另外一種形式：
(1)（乙+丙）×甲 (2)（乙-丙）×甲
這種方法的好處在於：可以將複雜的算式變得比較簡單!以第一題 來說，你們在計算時要算三種半圓形的面積，倘若用老式的算法，
你們要計算三次 3.14 的乘法內容，只要有其中一個部分算錯，那 麼之前的辛苦計算都白費了!倒不如運用分配律，將三次計算化簡 成一次計算，這樣一來，不僅可以省去複雜的計算，還能有多餘 的時間來做檢查，提高作答的正確率。希望這個方法大家都能學 會，來增進自己的計算能力。
（二）學生的數學表現
1.題目內容：下列共有三種複合圖形，請計算它們的灰色部分面積。
2.作答內容：如圖 4-57、圖 4-59、圖 4-61。
3.概念分析：
（1）圖 4-57：學生忽略中半圓的直徑和小半圓的直徑並非等長一事。
（2）圖 4-61：學生將兩個不同半徑的圓面積相加，卻沒有扣掉空白及 重複計算的面積。
（三）學生數學概念不足的部分
1.使用「移補」的計算概念時，沒有注意到兩圖形是否全等。
2.對於標靶型面積的問題，不曉得運用「兩階段形式」來解題。
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（四）教師自我省思
1.學生在使用「移補」的技巧時，常用視覺法來觀察兩圖形面積是否全等 ，卻不是透過圖形的邊長來做判斷，此種魯莽草率的舉動，容易使其判 斷錯誤，影響日後的學習。教師應引導其做圖形的觀察與比較，並說出 兩圖形全等與否的理由，使其能靜下心來思考，避免太過輕率而犯錯。
2.關於標靶型面積的問題，學生易受視覺的影響，顯得太過注意需要計算 的面積部份，而忽略了運用「填補」之運算技巧以及兩階段形式來解題。
在教導這種標靶型面積的問題時，教師應提醒學生：縮小視覺的焦點，
一次只注意一塊區域的面積便可，如此一來，學生很容易尌能參透其中 的原理，順利解出這類型的題目了。
二、學生的數學學習單之表現
（一）各題的作答正確率
表 4-11：第五節學習單之作答資料分析
◆下列共有三種複合圖形，請計算它們的灰色部分面積
第一題 答對人數 19 人 作答正確率 76%
答錯人數 6 人 作答錯誤率 24%
錯誤類型 1：放棄作答（共 1 人）
錯誤類型 2：概念錯誤（共 2 人）
錯誤類型 3：計算錯誤（共 2 人）
錯誤類型 4：計算不全（共 1 人）
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圖 4-65：學生的正確答案
圖 4-66：學生的錯誤答案（概念錯誤）
圖 4-67：學生的錯誤答案（計算錯誤）
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圖 4-68：學生的錯誤答案（計算不全）
第二題 答對人數 20 人 作答正確率 80%
答錯人數 5 人 作答錯誤率 20%
錯誤類型 1：放棄作答（共 1 人）
錯誤類型 2：計算錯誤（共 3 人）
錯誤類型 3：計算不全（共 1 人）
圖 4-69：學生的正確答案
圖 4-70：學生的錯誤答案（計算錯誤）
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圖 4-71：學生的錯誤答案（計算不全）
第三題 答對人數 15 人 作答正確率 60%
答錯人數 10 人 作答錯誤率 40%
錯誤類型 1：放棄作答（共 4 人）
錯誤類型 2：概念錯誤（共 3 人）
錯誤類型 3：計算不全（共 3 人）
圖 4-72：學生的正確答案
圖 4-73：學生的錯誤答案（概念錯誤）
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圖 4-74：學生的錯誤答案（概念錯誤）
圖 4-75：學生的錯誤答案（計算不全）
●分析錯誤的作答類型 ▲放棄作答
1.不知道正確的解題方式，亦不敢去嘗詴任何可能的方式。
2.不知道正確的解題方式，亦不願動腦筋思考可能的方式。
▲計算錯誤
1.整數與小數的乘法計算仍不夠熟練，還是會有計算錯誤的情形發生。
2.不曉得運用分配律來化簡計算過程，且事後並沒有檢查答案的習慣。
▲概念錯誤
1.運用視覺法來觀察圖形，造成移補概念的使用時機不正確之情形。
2.計算標靶型面積時，逕自用不同半徑的圓面積去做相加，卻無考慮到「空 白部分」及「重複部分」頇扣除掉。
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三、課後訪談紀錄
（一）低分組學生之訪談結果
(1)L13511：理解「先填補再扣除」之計算技巧，但不懂得運用分配律來簡化 橫式計算；事後亦無檢查答案的意願，因為算式過程有些凌亂。
L1351101 T：這一題你知道怎麼算出灰色部分的面積嗎?
L1351102 S：知道!先將白色的半圓補起來，然後用整個大半圓加上這一塊直徑 為 12 的半圓，最後再扣除這一塊白色的半圓，尌能求出答案了。
L1351103 T：說得很好!但你的答案並不是正確的，你覺得你的問題出在哪裡?
L1351104 S：嗯……計算錯誤吧!
L1351105 T：不是的!老師想要知道的是：你為什麼會選擇這樣的計算方式來作 答?有沒有想過可以化簡計算過程的方法?比如說：運用分配律。
L1351106 S：嗯……沒有耶!我是想到哪尌計算到哪，而且在這之前，我也不知 道什麼是分配律。
L1351107 T：好!那麼，你答案算出來之後，有沒有再重頭驗算一次呢?
L1351108 S：沒有。
L1351109 T：為什麼呢?
L1351110 S：因為計算過程看起來很亂，我不想花時間再重新計算。
(2)L16511：理解「先填補再扣除」之計算技巧，但不懂得運用分配律來簡化 橫式計算；對於繁雜的算式易感厭倦而心生放棄作答的念頭。
L1651101 T：這一題你知道怎麼算出灰色部分的面積嗎?
L1651102 S：知道。用整個大半圓加上這一塊直徑為 12 的半圓，最後再扣除這 一塊直徑為 6 的白色半圓，尌能算出灰色部分的面積來。
L1651103 T：那為什麼你最後沒算出答案來呢?
L1651104 S：我覺得計算好多、好複雜，不想算。
L1651105 T：那麼，你有沒有想過可以化簡計算過程的方法?比如說：分配律。
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L1651106 S：沒想過，而且我在這之前也不知道什麼是分配律。
(3)L13512：瞭解計算的面積區塊，但不懂得運用分配律來簡化橫式計算。
L1351201 T：這一題你知道怎麼算出灰色部分的面積嗎?
L1351202 S：知道啊!尌三塊不同直徑的半圓加上中間那個三角形。
L1351203 T：沒錯!說得很好!但你計算出來的答案並不是正確的，你覺得你這次 的問題出在哪裡?
L1351204 S：嗯……應該還是計算錯誤吧!
L1351205 T：好!那請你想想看：為什麼會有計算錯誤的情形呢?
L1351206 S：因為算式太多、太複雜，一不小心尌會計算錯誤。
L1351207 T：好!那麼，你答案算出來之後，有沒有再重頭驗算一次呢?
L1351208 S：沒有。
L1351209 T：為什麼呢?
L1351210 S：不想花時間再重算一次。
(4)L16512：瞭解計算的面積區塊，但不懂得運用分配律來簡化橫式計算；對 於繁雜的算式易感厭倦而心生放棄作答的念頭。
L1651201 T：這一題你知道怎麼算出灰色部分的面積嗎?
L1651202 S：我知道，尌三塊半圓形的面積加上一塊三角形的面積。
L1651203 T：好!但這一題你沒有計算完尌放棄了，為什麼呢?
L1651204 S：因為算式很複雜。我計算能力不好，也不喜歡計算。
L1651204 S：因為算式很複雜。我計算能力不好，也不喜歡計算。