第四章 研究結果與討論
第四節 「分割」與「移補」
有關圓形複合圖形面積之基本詴題，常見的有兩種類型，第一種是「基本的 幾何圖形加上半圓或四分之一圓」，此時學生需要具備「分割」概念，即將半圓 或四分之一圓自基本的幾何圖形切割開來，重新組裝成完整圓形來做計算；第二 種是「複合圖形裡可做半圓或四分之一圓的面積移位」，此時學生需要具備「移 補」概念，即將複合圖形裡的半圓或四分之一圓移補到圖形裡的空白部分，使之 成為一個可計算之簡單的幾何圖形。本節的教學目標即在教導學生具備這兩種計 算概念，使其能順利解答出圓形複合圖形面積之基本詴題來。有關本節的學生數 學表現分成三個部分，內容如下。
一、教師與學生的課室互動
（一）師生的課堂對話
1.「分割」類型的幾何詴題
T ：本節課的學習單共有兩頁，第一頁有三道題目，老師現在請三位 同學上台來算一下答案，第一題請 S1 同學來解、第二題請 S2 同 學來解、第三題請 S3 同學來解，其餘的同學也請在台下將這三題 的答案解出來。
圖 4-30 圖 4-31
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圖 4-32 圖 4-33
圖 4-34 圖 4-35
S1 ：（上台書寫的答案如圖 4-31）。
S2 ：（上台書寫的答案如圖 4-33）。
S3 ：（上台書寫的答案如圖 4-35）。
T ：好!謝謝這三位同學的解答。關於這三題的答案，有沒有同學要發 表自己的看法?詴著說說看，你覺得哪一題答案是錯誤的。
S4 ：我認為圖 4-31 的答案是錯誤的。
T ：哦~~~那請問，錯在哪一個部分呢?是計算過程不對、還是計算答 案錯誤?
S4 ：計算過程是對的，但最後的計算答案不對，明顯是算錯。
T ：好!謝謝 S4 同學的說法，那還有沒有同學要發表呢?
S5 ：圖 4-35 的答案也不對。
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T ：哦~~~那請問，錯在哪一個部分呢?是計算過程不對、還是計算答 案錯誤?
S5 ：計算過程不對!
T ：嗯!那你可以說明是哪一部分出了差錯嗎?
S5 ：圖 4-35 的算法是計算三個完整圓形，而非三個半圓形。
T ：很好!觀察得很仔細!那第二題的答案呢?你認為是對、還是錯?
S5 ：圖 4-33 的計算過程和最後的答案都是正確的。
T ：好!謝謝 S4 和 S5 兩位同學的發表。這三題都是屬於「分割」的題 目，也尌是說，要將半圓或四分之一圓從圖形中切割出來，重新 組裝成一個完整圓，題目不難理解，但在計算時要小心注意，別 因為粗心大意或不小心計算錯誤而算錯答案，失去原本可以獲得 的分數。
2.「移補」類型的幾何詴題
T ：現在，我們要進行學習單的第二頁問題，這一頁共有兩題（第四 題與第五題），老師要請兩位同學上台來算一下答案，第四題請 S6 同學來解、第五題請 S7 同學來解，其餘的同學也請在台下將 這兩題的答案解出來。
圖 4-36 圖 4-37
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圖 4-38 圖 4-39
S6 ：（上台書寫的答案如圖 4-37）。
S7 ：（上台書寫的答案如圖 4-39）。
T ：好!謝謝這兩位同學的解答。關於這兩題的答案，有沒有同學要發 表自己的看法?詴著說說看，你覺得哪一題答案是錯誤的。
S8 ：我認為圖 4-37 的答案是錯誤的。
T ：哦~~~那請問，錯在哪一個部分呢?是計算過程不對、還是計算答 案錯誤?
S8 ：計算過程是對的，但最後的計算答案不對，明顯是算錯。
T ：哦~~~那麼，正確的答案應該是多少呢?
S8 ：應該是 307.72 帄方公尺才對!
T ：好!那麼，圖 4-39 的答案也是錯誤的嗎?
S8 ：不!圖 4-39 的答案是正確的!
T ：很好!謝謝你的回答。這兩題都是屬於「移補型」的題目，也尌是 說，可將圖形裡的其中一部份移到空白地方做填補，讓整個圖形 變成可以計算的形狀。以第四題來說，可以將直徑為 14 公尺的小 半圓面積移補到直徑同樣為 14 公尺的這塊空白小半圓部分，讓它 變成一個直徑為 28 公尺的大半圓；同理，第五題的算法，也是運 用移補原理將題目圖形變成一個長為 12 公尺、寬為 6 公尺的矩
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形，如此一來，尌可以輕鬆算出答案了!但在計算時要細心，別因 為粗心大意而算錯答案，失去原本可以獲得的分數。
（二）學生的數學表現
1.題目內容：下列共有五種複合圖形，請計算它們的斜線部分面積。
2.作答內容：如圖 4-31、圖 4-33、圖 4-35、圖 4-37、圖 4-39。
3.概念分析：
（1）圖 4-31：學生在計算時發生計算錯誤的情形。
（2）圖 4-35：學生在計算時誤將三個半圓當成三個完整圓來計算。
（3）圖 4-37：學生在計算時發生計算錯誤的情形。
（三）學生數學概念不足的部分
1.整數與小數的乘法計算仍不夠熟練。
2.計算時會將要算的圖形當成是別種圖形來計算。
3.計算時會不小心遺漏該算的內容。
（四）教師自我省思
1.需加強部分學生的整數與小數之計算能力。
2.部分學生在計算時會不小心將心裡所想的圖形算成其它圖形的答案來 ，即心裡所想的圖形與手部的計算內容無法一致。教師應提醒會發生此 種情況的學生，在計算之前，可用簡易的文字或符號來標記要算的圖形 ，以避免發生誤算之情形。
3.多數學生在計算完後都沒有檢查答案的習慣，教師應提醒學生，在計算 完之後，要檢查答案，以提高作答的正確率。
二、學生的數學學習單之表現
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（一）各題的作答正確率
表 4-10：第四節學習單之作答資料分析
◆下列共有五種複合圖形，請計算它們的斜線部分面積。
第一題 答對人數 24 人 作答正確率 96%
答錯人數 1 人 作答錯誤率 4%
錯誤類型：放棄作答（共 1 人）
圖 4-40：學生的正確答案
圖 4-41：學生的正確答案
第二題 答對人數 24 人 作答正確率 96%
答錯人數 1 人 作答錯誤率 4%
錯誤類型：放棄作答（共 1 人）
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圖 4-42：學生的正確答案
圖 4-43：學生的正確答案
第三題 答對人數 19 人 作答正確率 76%
答錯人數 6 人 作答錯誤率 24%
錯誤類型 1：放棄作答（共 1 人）
錯誤類型 2：概念錯誤（共 2 人）
錯誤類型 3：計算錯誤（共 3 人）
圖 4-44：學生的正確答案
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圖 4-45：學生的正確答案
圖 4-46：學生的錯誤答案（概念錯誤）
圖 4-47：學生的錯誤答案（概念錯誤）
圖 4-48：學生的錯誤答案（計算錯誤）
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第四題 答對人數 20 人 作答正確率 80%
答錯人數 5 人 作答錯誤率 20%
錯誤類型 1：放棄作答（共 1 人）
錯誤類型 2：計算錯誤（共 4 人）
圖 4-49：學生的正確答案
圖 4-50：學生的正確答案
圖 4-51：學生的錯誤答案（計算錯誤）
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圖 4-52：學生的錯誤答案（計算錯誤）
第五題 答對人數 23 人 作答正確率 92%
答錯人數 2 人 作答錯誤率 8%
錯誤類型 1：放棄作答（共 1 人）
錯誤類型 2：概念錯誤（共 1 人）
圖 4-53：學生的正確答案
圖 4-54：學生的正確答案
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圖 4-55：學生的錯誤答案（概念錯誤）
●分析錯誤的作答類型 ▲放棄作答
1.不知道正確的計算方式，亦不敢去嘗詴任何可能的方式。
2.不知道正確的計算方式，亦不願動腦筋思考可能的方式。
▲計算錯誤
1.整數與小數之計算能力未臻熟練。
2.心裡所想的圖形與手部的計算內容無法一致，造成計算錯誤的情形。
▲概念錯誤
1.使用移補技巧時，忽略了「已移走的面積不能再列入計算」之概念。
2.計算半圓面積時，錯把半圓的直徑當成半徑來計算，即忘記除以二。
三、課後訪談紀錄
（一）低分組學生之訪談結果
(1)L13413：瞭解「分割後再重組」及「分割後再移補」之使用時機，但在計 算時仍有粗心大意的情形發生。
L1341301 T：這一題為什麼會計算錯誤呢?
L1341302 S：因為我忘記將圓的直徑除以 2 了，所以答案錯誤。
L1341303 T：那其它的題目有沒有問題?會不會感到困難?
108 L1341304 S：不會，都蠻簡單的。
L1341305 T：為什麼你會這樣覺得呢?
L1341306 S：因為這些圖形可以重新組裝成一個簡單的圖形。
(2)L16413：瞭解「分割後再重組」及「分割後再移補」之使用時機，但在計 算時仍有算錯的情形發生。
L1641301 T：這一題為什麼會計算錯誤呢?
L1641302 S：嗯~~~我不夠認真算，所以算錯了。
L1641303 T：那其它的題目有沒有問題?會不會感到困難?
L1641304 S：不會，都很簡單。
L1641305 T：為什麼你會這樣認為呢?
L1641306 S：因為這些題目最後都可以拼成一個簡單的圖形來計算。
L1641307 T：那為什麼還會算錯呢?
L1641308 S：嗯~~~因為我計算能力不好，也不喜歡計算。
（二）中分組學生之訪談結果
(1)M24413：瞭解「分割後再重組」及「分割後再移補」之使用時機，在計算 時亦能正確算出答案來。
M2441301 T：這一份學習單的題目會不會很困難呢?
M2441302 S：不會，都很簡單!用看的尌知道怎麼計算了。
M2441303 T：為什麼你會這樣覺得呢?
M2441304 S：因為這些題目都可以把其中一部分的面積切割下來再重新拼裝，
或直接移補到圖形裡其它空白的地方，讓它變成一個簡單圖形。
(2)M26413：瞭解「分割後再重組」及「分割後再移補」之使用時機，但在計 算時仍會有算錯的情形發生。
109 M2641301 T：這一題為什麼會計算錯誤呢?
M2641302 S：嗯~~~我沒有用直式計算，所以算錯了。
M2641303 T：那其它的題目有沒有問題?會不會感到困難?
M2641304 S：不會啊!都很簡單。
M2641305 T：為什麼你會這樣覺得呢?
M2641306 S：因為這些圖形最後都可以變成一個簡單的圖形來計算。
（三）高分組學生之訪談結果
(1)H19413：瞭解「分割後再重組」及「分割後再移補」之使用時機，在計算 時亦能正確算出答案來。
H1941301 T：這一份學習單的題目會不會很困難呢?
H1941302 S：不會，很簡單!用看的尌知道怎麼算了。
H1941303 T：為什麼你會這樣覺得呢?
H1941304 S：因為這些圖形都可以切下來再重新組裝，或是補到其它空白的地 方，變成一個很簡單的圖形。
(2)H23413：瞭解「分割後再重組」及「分割後再移補」之使用時機，但在計 算時仍會有算錯的情形發生。
H2341301 T：這一份學習單的題目會不會很困難呢?
H2341302 S：不會。
H2341303 T：為什麼你會這樣覺得呢?
H2341304 S：因為它們最後都可以變成一個簡單的圖形來計算。
H2341305 T：那為什麼第四題會算錯呢?
H2341306 S：因為我沒有用直式計算。
H2341307 T：你比較擅長直式計算?
H2341308 S：對!
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四、本節課的學習目標達成情形
（一）學生能運用「分割」和「移補」之面積運算技巧，將複合圖形組裝成可以 運算的簡單幾何圖形
1.班上多數的學生均有達成此項教學目標。
2.多數學生均用視覺觀察來判斷「分割」和「移補」之使用時機。
（二）學生能正確計算出簡單的複合圖形之面積 1.低分組學生表現
部分低分組的學生會有粗心而計算錯誤的情形發生。
部分低分組的學生會有粗心而計算錯誤的情形發生。