兒童統計初步概念的認知發展

一、兒童的認知發展階段

皮亞傑主張認知發展為結構組織與再組織的歷程，每一個新的組織 都將前一組織容納在內；但是以前各組織中的行為特徵，並未在新的組 織中消失。由是觀之，認知發展的歷程，屬於漸進的、連續性的，惟其 結果則可能有間斷性，且隨時間而更易，而發生質方面的差異。基於此 一觀點，皮亞傑（1969）將認知發展的整個歷程畫分成四個階段──出 生至二歲時，為感覺動作期（ sensory-motor period ）；二至七歲時，為 運思前期（preoperational period）；七至十一歲時，為具體運思期（period of concrete operations）；十一至十五歲時，為形式運思期（period of formal operations）。

各個發展的階段中，雖都列有年齡組距，惟這些組距只能視為概 數，而非絕對數。此外，皮亞傑的兒童認知發展階段理論，具有發展階 段的連續次序不變、以整體結構闡釋各發展階段的行為模式、各階段的 整體結構不可替換等三種主要特徵(引自王文科，1991)。

二、兒童統計初步概念之認知

依據皮亞傑的認知發展理論，兒童開始具備有關統計的概念為具體 運思期（七至十一歲），該時期的兒童運用的推理歷程，為皮亞傑所稱 之邏輯運思（logical operations），即兒童能將邏輯思考的歷程，應用於 解決具體的問題。運思前期兒童的思考，由於受到知覺的支配，無法解 決可逆性、保留、自我中心、依序等問題；具體運思期兒童則可突破此 限制，就其特徵而言，約有如次三項：其一由籠統而至分化的思考；其 二由絕對而至相對的思考；其三由靜態而至動態的思考。

皮亞傑將具體運思分成邏輯－算術運思與空間運思兩部分，前者以 處理非連續性的材料為主，包括關係、種類、數目等；後者在於處理連 續的知識。兒童統計初步概念屬於邏輯－算術運思範圍，故將其結構及 內容的發展分述於下：

（一）邏輯－算術運思的結構

邏輯－算術運思採取之結構形式，即皮亞傑所稱的「組合」

（grouping），為一種結合組（group）與格（lattice）二者之特性，

而形成的運思系統。

1.組的要件：

組為一種系統，含有一群元素，而且可運用以下所描述的 四種特性來運算各元素。

(1)封閉性

某系統中，任意的兩元素結合，產生之新元素，仍 屬於該系統中的元素。

(2)可逆性

每種運思的變化為可逆，即兩個種類或兩項關係結 合後，可再度分隔。

(3)結合性

即思考疆界有其自由，由兩種不同的運算，獲得的 結果相同。

(4)同一性

在每種運算系統中，有一個且唯有一個元素與該系 統中的其它元素結合，使其結果不變，此一元素即是一 般的單位元素。

2.格的要件：

格的結構與組的結構頗為類似，仍含有兩種以上元素間的

關係結構，惟格尚須符合於該一關係結構中的任何兩項元素，

須有一個最小上限，與一個最大下限的要件。前者係指包括大 於或等於二項元素之集合中的最小者，後者係指包括小於或等 於二者中的最大者。

（二）邏輯－算術運思內容的發展 其特徵如下：

1.保留：

兒童了解某一系統的內部，無論如何變化該系統的若干特 性，仍維持不變。此時期兒童能夠遵循引導思考的三種原則──

逆轉性、相互性及同一性，以進行運思。

2.系列：

亦稱排列次序（ordination），係指具體運思期兒童處理物 體差異時，能按照由大而小或從小至大的次序排列，建立其間 不同關係的能力。

3.種類與分類：

當兒童確能分類（classification）時，便能協調並區分「種 類」（class）的集中性（intension）與外延性（extension）兩種 重要性質。種類概念係由分類而來，惟有經由分類的操作，方 有特定種類的產生。

4.數目：

兒童於獲致數目概念前，須先建構以物體的質為基礎的一 與一對應(one-to-one correspondence)的概念。系列中使用的運 思，是為一與一對應之質的運思，而非單位的對應，即兩系列 等量的物體，系列的長度或次序容有不同或相逆，但是數量仍 舊相同(引自王文科，1991)。

貳、統計課程的學習目標：

Gal & Garfield 在 1997 年提出一個現今所接受且橫跨大部分年級層次的 統計學習目標，這些目標包括：

一、理解統計研究的目的和邏輯

學生應該理解為什麼統計研究和在統計調查下的見解是一樣的。這 些見解包括無所不在的性質變化、數字概算的運用和數據的直觀呈現。

學生也需要理解取樣的性質︰我們為什麼研究樣本而非總體？我們要 怎樣從樣本到總體做推論？和為什麼所設計的實驗需要建立因果關 係？

二、理解統計研究的過程

學生應該理解統計研究和資料蒐集計畫的性質及其相關過程，他們 應該熟悉統計研究的所有具體階段，包括闡述問題，計畫研究，蒐集、

組織、分析和呈現資料，解釋和提出結論，並且討論研究的結論和推論。

他們應該承認現行的推論工具如何、何時和為何能用來協助研究的過 程。

三、學習統計技能

學生需要學習可能被運用在統計研究過程中的重要技能。這些技能 包括能組織數據、估算概括數量，並且以表格及其他不同的表徵方式來 建構和呈現資料。

四、理解可能性和機會

學生需要發展有關機率的概念和專有名詞的認知，並且了解機率的 不確定量。他們需要知道如何發展和運用模型模擬隨機現象以及如何產 生估算可能性的數據。

五、發展統計認知能力

學生需要學習解釋統計研究的相關結果，這包括如何提出有關參數 和學童所提出的計劃之關鍵性及反映性問題。例如︰（一）使用的測量 方法有多可信？（二）樣本的代表性為何？和（三）依照資料和樣本所 提出的結論合理嗎？

六、發展有用的統計處理方法

學生應該發展正確評價於機會與機率所扮演的角色，及作為有用的 科學工具來處理個人、社會和工作上的統計方法和計畫實驗方面。當面 臨資料的參數時，學生應該學習使用關鍵性的推論，包括在進行統計研 究，或者實證研究的報告或結論方面。

七、發展統計推理能力。

統計推論可能被定義為人們推論統計見解和理解統計資訊這方 面。這包含解釋資料的群組、表徵和統計概算。學生需要能結合資料和 機會的概念，才能形成推論並且解釋統計結果。

雖然上述這七個學習目標的深度及廣度可能依據其教育的層次而有所 不同，但這些都是學童們學習統計初步概念的範疇。

參、統計概念的學習歷程

統計是用來了解已存在的現象，而透過描述現象的數據，說明現象的本 質，將資料加以整理分析，以了解現象本質的意義，故描述現象形成統計的 條件，透過整理，分析以解釋現象為學習統計的目的。譚寧君（1994）將統 計學習的過程分為四個重點，即：一、蒐集資料；二、整理資料；三、呈現

一、蒐集資料

統計是對群體資料的再組織，而兒童在進行資料的蒐集整理與分析 前需先感覺其所分析的資料有意義，以熟悉的情境為資料蒐集的範圍，

至於如何感覺群體的存在，則可透過視覺的觀察，群體的調查或直接測 量等方式，經由描述、溝通、檢驗及確認等過程以經驗群體的範圍及經 驗部分與群體的內在關係，而群體的蒐集則從小群體到大群體，從單純 群體到複雜群體。

二、整理資料

直接透過觀察、調查、實驗或記錄而得的資料稱之為原始資料，此 時資料往往只能代表事實存在的現象，不易描述且缺乏效率，故應將原 始資料分類、歸納、整理或重組以形成更經濟且有效的資訊。

三、呈現資料

資料的表徵方式只是一種溝通的工具，其呈現方式的適切與否直接 關係到訊息是否暢通，同時，呈現型態也會因學習者的認知差異而有明 顯的不同，故心理學家細心研究學習者的認知發展過程，亦提出從具體 到半具體乃至抽象符號的認知發展層次；社會學家亦將知識有效的推展 或建構，即提供半具體的象形圖與表徵圖，進而經驗到圖象資料的整理 與堆積，俾便更有效掌握數量。

四、解釋資料

群體被掌握或確認後，其所代表的訊息即透過資料的分析，予以適 當傳遞，故群體的內容物，透過數數、比較、找出資料類型或計算等以 了解資料的分佈情形，並透過較大數量的群體比較，以產生資料分類的 需求。再與統計圖表連結，以達到迅速傳遞訊息的目的。

肆、兒童統計概念的發展模式 一、兒童資料分佈概念

探討在兒童面對一組資料或一群資料時，如何掌握、描述，甚至預 測該資料結構的可能類型。皮亞傑（1969）曾說明分類是指同一類別中 各個成份的相似關係以及不同類別中各個成份之間之不相似關係的整 體。布魯納（J. S. Brunner）也提出透過分類可以減少周圍事物的複雜 性，並能在識別物體和事件時迅速地按預定的種類分開。因此，透過對 學童分類活動的觀察，蘇國樑、許天維（1994）詮釋兒童的資料分佈概 念形成與發展如下：

（一）資料範圍的界定

資料是一群可觀察（observable）與可測量（measurable）的 對象，在這些對象中可由各單位所擁有的性質（characteristics）

觀察出單位間彼此的異同，這些可觀察的性質便是概括化來描述 或代表該群資料。

（二）整理、分類

產生分類的活動與運思是為了達成經驗中資料的複雜性及 所佔空間的減少有關，這種減少可以協助經驗的組織活動負荷的 減低。由實際觀察可以看出某些兒童對目標具體事物所做的分類 其實只是對事物集合做出分割（partition），分割是把一個集合

產生分類的活動與運思是為了達成經驗中資料的複雜性及 所佔空間的減少有關，這種減少可以協助經驗的組織活動負荷的 減低。由實際觀察可以看出某些兒童對目標具體事物所做的分類 其實只是對事物集合做出分割（partition），分割是把一個集合