國立台中教育大學數學教育學系理學碩士論文
指導教授：許天維 博士
胡豐榮 博士
國小五年級學童統計初步概念
與思考層次之研究
研究生：吳佳慧 撰
中 華 民 國 九 十 六 年 一 月
國小五年級學童統計初步概念與思考層次之研究
摘 要
本研究旨在探討國小五年級學童，在統計初步概念中之描述資料的顯示結 果、組織和簡化資料、呈現資料及分析和解釋資料這四個組成的直觀概念及思考 層次。本研究對象為三位彰化縣某鄉鎮的國小五年級學童為訪談個案，採用「半 結構式晤談法」，編製「兒童統計初步概念訪談問卷」為研究工具，來了解國小 五年級學童的統計初步概念，以及在四個組成之統計思考層次，並將研究結果進 一步與 Jones, Langrall, Mooney, Perry, Putt & Thornton（2000）等六人所提出的「統 計思考架構」做比較。 研究個案於各組成之表現情形及與 Jones et al.的理論對照如下： 一、能仔細的判讀資料，並能檢視不同形式的顯示結果中資料元素間精確的 數字對應關係，在評估顯示結果的成效時，能集中焦點在多方面上。 二、能將資料做更進一步的分類，並能解釋其分類的原則，能嘗試估算其中 之一個中間值（中位數或平均數）來描述整個資料的最大分佈。 三、當被要求完成部分結構圖表時，能建構出有效的顯示結果，並能產生有 效的顯示結果去呈現一些嘗試重組的資料。 四、當被要求解讀資料範圍內的訊息時，能提供多種有效的回答，並做出總 體的比較；對於這個顯示結果無法說明什麼訊息，做出相關但卻不完整 的回答；當被要求解讀超過資料範圍的訊息時，解釋並不完整。 五、在四個組成當中，有一位個案的思考層次具一致性，一位具穩定性。 六、表現最佳的組成是描述資料的顯示結果和呈現資料，其中呈現資料和Jones et al.的理論相呼應，而組織和簡化資料的表現較落後，但 Jones et al.的研究結果中，國外兒童落後的組成是分析和解釋資料。
最後根據研究的結論及發現，提供有關教學、課程編製及未來研究的建議。 關鍵字：統計初步概念、統計思考架構、國小學童
The Study of the Primary Statistical Concepts and Statistical Think
Levels of Fifth-Grade Elementary School Students
Abstract
The aim of the research was to study the statistical thinking development of fifth-grade elementary school students. The four constructs of primary statistical concepts: describing data, organizing and reducing data, representing data, and analyzing and interpreting data were studied using the “semi-structured interview” method and a questionnaire of students’ statistical thinking as the research tool to understand the statistical thinking development of fifth-grade students. The case students were three fifth-grade students from a country-side elementary school in Changhwa County. Furthermore, this research was compared with the theoretical framework which was addressed by Jones, Langrall, Mooney, Perry, Putt & Thornton (2000).
The results of the performance for each case, compared with the theory of Jones et al., were as follows:
First, each case student pondered the information, and distinguished the different types of results from the compound relationship between numbers in the material given students. When evaluating the validation of the results, they were able to provide multiple perspectives.
Second, each case student was able to sort and interpreted the data. Besides, they attempted to characterize typicality (middle or mean) in order to interpret majority in the graph.
Third, when each case student was asked to finish an uncompleted graph, he or she was able to complete it. With a valid result, they attempted to represent
Forth, when each case student was asked to answer questions in the given material, he or she was able to provide many valid explanations and compared with all the data. However, the result was not able to tell any valid message. Although the case students were able to tell the relationship between information, they explained it incompletely. When they were asked to answer questions beyond the given material, their explanation wasn’t complete.
Fifth, among the three cases, one had consistent thinking levels, and one had stable thinking levels.
Sixth, among the four constructs, the students performed best in the describing data category and the representing data category, but performed worst in the
organizing and reducing data category. The study result of the representing data category was corresponding with the theory of Jones et al.’s research. However, according to the result of Jones et al.’s research, the performance of analyzing and interpreting data was least developed in foreign children.
The results of this research were able to provide advises for further research and for curriculum builders and teachers on teaching as well as developing instructional program.
Keyword: primary statistical concepts, statistical thinking framework, elementary school students
目 錄
第一章 緒論...1 第一節 研究背景與動機...1 第二節 研究目的...3 第三節 待答問題...3 第四節 名詞釋義...3 第五節 研究限制...5 第二章 文獻探討...7 第一節 理論架構...7 第二節 兒童統計初步概念的認知發展...16 第三節 兒童統計初步概念的相關實證性研究...27 第四節 我國及美國小學統計初步概念課程的教材分析...33 第三章 研究方法與步驟...39 第一節 研究架構與流程...39 第二節 研究對象...40 第三節 研究工具的發展與實施...42 第四節 質的資料蒐集與分析...46 第四章 結果與討論...51 第一節 三位個案之研究結果...51 第二節 各組成之層次分析與跨個案之分析...68 第三節 晤談結果與理論架構之對照...84 第五章 結論與建議...91 第一節 結論...91 第二節 建議...94參考書目... 99
一、中文部分...99
二、英文部分...101
附錄一...103
表 目 錄
圖 目 錄
圖 3-1-1 研究架構流程圖...39 圖 4-2-1 小臻各組成之層次分析...76 圖 4-2-2 小育各組成之層次分析...76 圖 4-2-3 小嘉各組成之層次分析...77 圖 4-2-4 三位個案於「描述資料的顯示結果」的表現情形...77 圖 4-2-5 三位個案於「組織和簡化資料」的表現情形...78 圖 4-2-6 三位個案於「呈現資料」的表現情形...78 圖 4-2-7 三位個案於「分析和解釋資料」的表現情形...78第一章 緒論
第一節 研究背景與動機
在科技發達的新世紀，人們須經常面對多元的資訊。因此，如何擷取有意義 的資訊，並加以解讀和分析，進而轉變成有用的資產，更是追求知識經濟的大時 代裡應具備的重要能力。在此追求 e 化的世紀，統計方法是解讀和分析數字資訊 的重要工具。因此，培養國民應具備的基本統計素養，應是國民教育階段數學學 習領域的重點之一（教育部，2003）。 此外，為了因應時代快速進步的需要，美國數學教師學會（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）最新修訂的學校數學課程與評量標準 （Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics）（NCTM，2000） 認為，科技的發達讓我們可以很快地分析大量的資料，並使得探究統計、機率與 抽樣的方法更加便利。雖然藉由科技的輔助讓我們更方便取得大量資料，然而， 統計與機率探究方法的進步並沒有帶領著全國公民與消費者更了解統計與機率 的意義，因此，未來的公民與消費者應該學習去了解這些數據的意義，面臨現在 的社會環境，人們對統計與機率的認識必須更加的深入了解（鍾靜、魯炳寰、林 素微、鄒聖馨，2002）。 教育部（2003）發佈的九年一貫數學領域課程綱要中，直到九年級才正式引 入機率單元，且以實驗或遊戲來了解機會並建立相關概念為主。在國小「統計與 機率」課程方面，第一階段的特性主要是將一些資料做分類與整理；第二階段開 始介紹分類資料、長條圖等初步敘述統計；第三階段學習有序資料、折線圖、中 位數、平均數等（鍾靜、魯炳寰、林素微、鄒聖馨，2002）。因此，在國小的課 程範疇裡，不涉及機率的概念，故本研究只進行國小學童統計概念之研究。有關統計概念方面的研究，在國外的研究方面，Gal & Garfield（1997）曾指 出橫跨大多數年級的學生學習統計的學習目標包含：一、理解統計研究的目的和 邏輯；二、理解統計研究的過程；三、學習統計技能；四、理解可能性和機會；
五、發展統計認知能力；六、發展有用的統計處理方法；七、發展統計推理能力。 另外， Jones, Langrall, Mooney, Perry, Putt & Thornton（2000）等六人，曾對一 至五年級共二十名目標學生進行觀察和研究，建構出一套統計思考層次之理論架 構，其中 Mooney（2002）更將先前的理論架構加以延申推廣至六到八年級之十 二名目標學生，擴展為中學生之統計思考層次。Watson, Kelly, Callingham & Shaughessy（2003）等四人則對學生理解統計資料所呈現的變化之方法進行研 究。在國內的研究方面，蘇國樑（1995）進行了資料分佈概念之分析、統計圖概 念之分析、間斷型與連續型統計圖概念之分析等國小兒童統計概念的三階段之分 析研究。另外，張少同（2003）提出九年一貫數學能力指標的詮釋：國中統計部 分之研究，而陳順宇（2003）則是中學統計課程之研究。其他關於教學現場之研 究，有鄒聖馨（2000）、花婉馨（2005）、潘樾生（2005）、蔡阜鋼（2005）、顏嘉 吟（2005）等人之研究。 分析上述之文獻，發現較多偏重統計圖表概念及編製統計概念試題之研究。 此外，研究者從楊怡芳（2005）、詹淑雯（2005）等人的研究中發現，他們以 Jones, Thornton, Langrall & Tarr 等四人於 1999 年所提出的「機率思考架構」作為理論 架構，進行學童機率概念的個案研究，故研究者也以 Jones et al.（2000）所提出 的「統計思考架構」（A Framework for Characterizing Children’s Statistical Thinking） 為理論架構，其中包含描述資料的顯示結果、組織和簡化資料、呈現資料與分析 和解釋資料等方面及其有特性的（idiosyncratic）、過渡期的（transitional）、量化 的（quantitative）、分析的（analytical）等四個層次，並依據九年一貫課程「統計 與機率」主題之課程綱要，針對自己任教班級的彰化縣偏遠地區之學童進行觀察 與研究，分析其統計思考層次，希望藉由本研究結果，更了解國小學童統計初步 概念的思考層次，讓教學者在進行統計課程教學活動時，能確切掌握其統計思考 層次，進而幫助他們獲得更正確的統計概念。
第二節 研究目的
根據上述的研究背景與動機，研究者欲以 Jones et al.（2000）所提出的「統 計思考架構」為理論基礎，並採用「半結構式晤談法」（semi-structured interview） 對其任教班級的偏遠地區學童進行觀察與研究，除了更深入了解學童在解統計問 題的表現外，還能進一步了解學童統計概念的發展情形。故本研究的目的如下： 壹、根據 Jones et al.（2000）所提出的「統計思考架構」，探討國小五年級學童， 其統計初步概念在各組成上之表現情形。 貳、探討國小學童在解統計初步概念問題時，與 Jones et al.研究結果之差異情形。第三節 待答問題
研究者以 Jones et al.（2000）所提出的「統計思考架構」為理論基礎進行個 案晤談，其中內容包含描述資料的顯示結果、組織和簡化資料、呈現資料與分析 和解釋資料等四個方面。因此，根據研究目的，本研究待答問題如下： 壹、訪談三位國小五年級學童，他們的統計初步概念在「描述資料的顯示結果」、 「組織和簡化資料」、「呈現資料」與「分析和解釋資料」等組成之表現情形 為何？ 貳、三位國小五年級學童，其對統計概念之理解與 Jones et al.的研究結果之差異 為何？第四節 名詞釋義
壹、統計 研究如何應用機率論的概念，以少數的樣本或已有的經驗建立某項事務 的模式，進而擬定適當的推算之科學方法。 貳、統計圖 以圖示方式來重造原始資料群，進而瞭解資料群的內容、關係與特性。參、統計活動 有關分類、點計、重述、或重造資料群體等等之外在或心智的活動。 肆、統計初步概念 九年一貫數學學習領域課程中，統計的內容僅限於「敘述統計」的範疇， 此乃學習統計學的入門，國小學童學習統計概念也是由此開始，所以「敘述 統計」的相關數學概念為統計的初步概念。其中「敘述統計」包括四大部分： 一、描述資料的顯示結果；二、組織和簡化資料；三、呈現資料；四、分析 和解釋資料。 伍、描述資料的顯示結果 學童在進行資料的蒐集整理與分析前，需先感覺其所分析的資料是有意 義的，如何感覺群體的存在，可透過視覺的觀察，群體的調查或直接測量等 方式來進行。透過直接觀察，經由描述、溝通、檢驗及確認等過程，讓學童 經驗群體的範圍及經驗部分與群體的內在關係。 陸、組織與簡化資料 直接透過觀察、調查、實驗或記錄而得的資料，稱為原始資料，此時資 料只能代表事實存在的現象，往往不易描述又缺乏效率，所以應將原始資料 分類、歸納、整理或重組，以形成更經濟且有效的資訊。 柒、呈現資料 資料的表徵方式是一種溝通的工具，其呈現方式的適切與否直接關係到 訊息是否暢通，同時呈現的型態，又會因學習的認知差異而有顯著的不同。 統計的表徵可大致分為兩種：統計圖表及統計量。 捌、分析和解釋資料 群體被掌握或確認後，其所代表的訊息即透過資料的分析，予以適當傳 遞；即群體的內容物，在透過數數、分類、比較、找出資料類型或計算等方 式後，可以讓人了解資料分佈情形，再與統計圖表相聯結，以達到迅速傳遞
玖、報讀 指將在統計圖形上所看到資料直接讀出來。 拾、生活中的資料 指利用報紙、網路、機關單位公告等的現成統計圖表，或利用所擷取的 數字資料透過電腦軟體轉換成圖表。
第五節 研究限制
本研究限制分成三個部分： 壹、人員限制 礙於時間及經費的限制，研究者僅從自己任教班級豐崙國民小學五年甲 班中，依據瑞文氏智力測驗結果，從中分別挑選智能中上及且較勇於發表自 己的意見之三位學童進行個案訪談。 貳、年級限制 研究者僅以自己任教的五年級學童進行統計概念之探討，對於其他年級 的學童，並未予以廣泛研究。 參、地區限制 本研究只針對位於彰化縣偏遠地區的國小學童來進行，至於其他地區差 異，如都市、山地、離島地區，是否也有相同現象，則因研究的人力、物力、 時間等限制，故其結果無法過度推論。第二章 文獻探討
為了以個案研究之方式探討兒童解統計問題之理解情形，因此，本章共分三 節來討論。第一節介紹本研究之理論架構；第二節探討兒童統計初步概念的認知 發展；第三節論述兒童統計初步概念的相關實證性研究；第四節為我國及美國小 學統計初步概念課程的教材分析。第一節 理論架構
壹、
Jones et al.的統計思考架構Jones, Langrall, Mooney, Perry, Putt & Thornton 等六人，為了要建立一套 有系統的統計思考層次理論架構，曾針對一至五年級共二十名目標學生進行 觀察和研究，從中深入研究學生在統計思考層次上的發展情形，以學生的統 計思考的觀察力和洞察力為基礎，透過一連串的實證過程和個案分析，終於 在2000 年建構出描述資料的顯示結果、組織和簡化資料、呈現資料以及分 析和解釋資料這四組成的思考層次。 在 Jones et al.所提出的「統計思考架構」中，在每一個統計組成上，學 生的概念發展皆包含四個層次，從有特性的、過渡期的、量化的到分析的推 論，研究的結果也證實，學生的統計思考可以根據這四種層次來描述，這架 構能讓我們對學生的統計思考層次有較連貫的概念，因為有80%的學生所展 現的思考層次至少有三個組成是呈現穩定的，對於教學方面有很大的貢獻。 為回應現在科技社會資料所扮演的重要角色，且為了革新統計教育，國 際間已舉行過許多相關的研討會，以便有更普遍的管道研究統計學，然而現 今國小階段，只專注在狹隘的圖表中，而不是資料的處理和分析這種較寬廣 的觀點上，故 Jones et al.的「統計思考架構」中所提及的四個組成，這種寬 廣的展望，創造未來在統計學習和教學研究的重要性。
一、Jones et al.的統計思考架構 （一）描述資料的顯示結果（describing data） 這個組成結合Curcio（1987）所謂的判讀資料─把資料精簡， 陳述所認知的圖解內容，故描述資料就是資料的判讀。 1.層次一：有特性的 (1)仔細解讀資料，試圖描述特殊或是不相關的資料，而且不 知道那些資料的圖表概況。 (2)無法辨識相同資料產生不同顯示結果，或是用特例或不相 關的理由去解釋。 (3)當評估同一資料呈現不同結果的成效時，考慮不相關或是 主觀的特性。 2.層次二：過渡期的 (1)仔細判讀資料，給予模糊或是不完整的描述，但顯現一些 已知的圖表概況。 (2)確認同一資料顯示出的不同結果，但使用傳統的慣例為理 由。 (3)當評估同一資料呈現不同結果的成效時，只集中焦點在單 一方面。 3.層次三：量化的 (1)仔細判讀資料，給予自信、完整的描述，並理解圖表概況。 (2)確認同一資料顯示出的不同結果，藉由建立顯示結果中的 資料元素間部分對應關係。 (3)當評估同一資料呈現不同結果的成效時，集中焦點在多方 面。 4.層次四：分析的
(2)確認同一資料顯示出的不同結果，藉由建立顯示結果中資 料元素精確的數字對應關係。 (3)當評估同一資料呈現不同結果的成效時，產生有條理且可 以理解的解釋。 在「描述資料的顯示結果」這個組成中，我們歸納出四個要 點：(1)判讀資料的呈現；(2)了解圖表的慣例（例如：表頭、軸 等）；(3)認知相同的資料可能有不同的呈現方式；(4)評估不同的 呈現方式。根據這些要點，我們可以提問以下這些問題：「這張 圖表在告訴你什麼？你認為這些圖表代表相同的資料嗎？這些 圖表中，哪一張最有用？」來探究學生在這組成的思考層次為何。
（二）組織和簡化資料（organizing and reducing data）
這個組成結合心智活動，例如：排序、分類和摘要資料等， 也涉及到使用集中數（center）和分散量數（spread）時，資料簡 化的情形。Bright 和 Friel（1998）也曾在報告中指出，學生在未 分類和分類的視覺呈現資料之間的連結，有相當大的困雖。 1.層次一：有特性的 (1)無法歸類或排序資料，或做出特殊、不相關的歸類。 (2)無法確認資料在簡化的過程中消失的意義。 (3)無法以具有代表性或典型的方式去描述資料。 (4)無法描述資料的分佈；提供特例或是不相關的解釋。 2.層次二：過渡期的 (1)給予不一致的分類或排序，或做出無法解釋的分類。 (2)能確認資料簡化的發生過程，但只提供模糊或是不相關的 解釋。
(3)用模糊和不完整的方式，來描述典型的資料。 (4)在嘗試解釋資料的分佈時，發明通常是無效的測量方法。 3.層次三：量化的 (1)將資料分類或排序為小組，並能解釋分類的依據原則。 (2)能加以確認資料簡化的發生，並能解釋簡化資料的理由。 (3)提供開始估算其中之一個中間值(中位數或平均數)的典型 有效的測量；但理由並不完整。 (4)使用發明的測量方法或有效的描述，但解釋並不完整。 4.層次四：分析的 (1)以多種方法把資料分類、排序，並能解釋這些不同分類的 依據原則。 (2)了解資料的簡化以不同的方式產生，並為不同的簡化提供 完整的解釋。 (3)以一般中心的測量方法(例如中位數、平均值)來描述資料 的典型。 (4)使用範圍或和發明測量方法有相同意思的範圍。 在「組織和簡化資料」這個組成中，我們歸納出四個要點： (1)分類和排序資料；(2)了解在重組資料時，資料可能會「消失」； (3)以「代表性」觀點描述資料；(4)以「分散」觀點描述資料。 根據這些要點，我們可以提問以下這些問題：「你如何用不同方 法來組織這項資料？用不同的資料組織方式，你能告訴我在這張 圖表中，某項目所代表的數量是多少？你知道這些項目的平均數 為何？哪一組的數量有最大分佈、或是一樣的分佈？」來探究學 生在這組成的思考層次為何。
（三）呈現資料（representing data） 用不同的組織方式來呈現資料是重心所在，除此之外，也牽 涉到某些表現的慣例。 1.層次一：有特性的 (1)當被要求完成部分關於資料集合的結構圖表時，卻只建構 出特例或無相關的顯示結果。 (2)產生特例或是無效的顯示結果並沒有呈現或重組資料集 合。 2.層次二：過渡期的 (1)當被要求完成部分關於資料集合的結構圖表時，卻只建構 出在某方面有效的顯示結果。 (2)產生部分有效的顯示結果，但沒有嘗試去重組資料。 3.層次三：量化的 (1)當被要求完成部分關於資料集合的結構圖表時，建構出有 效的顯示結果，也許在使用像大小、零類型方面的概念會 遭遇到困難。 (2)產生有效的顯示結果去呈現一些嘗試重組的資料。 4.層次四：分析的 (1)當被要求完成部分關於資料集合的結構圖表時，建構出有 效的顯示結果，並能有效的使用大小、零類型方面的概念。 (2)產生多種有效的且其中一些能重組資料的顯示結果。 在「呈現資料」這個組成中，我們歸納出兩個要點：(1)能 完成尚未完成的呈現圖表；(2)能建構出不同的組織方式的呈 現。根據這些要點，我們可以提問以下這些問題：「你能完成老 師未完成的統計圖表嗎？你如何以另一種組織和呈現方式來描
述資料？」來確定學童是否能表達相同資料用不同組織方式呈現 的傾向，進而探究學生在這組成的思考層次為何。
（四）分析和解釋資料（analyzing and interpreting data）
這個組成結合─樣式、趨勢，以及從資料中所提供的資訊， 做進一步的推論和預測。 1.層次一：有特性的 (1)對於「這個顯示結果無法說明這個資料什麼訊息」這個問 題，無法回應或是做出不相關的回答。 (2)當被要求「解讀資料範圍內的訊息」時，無法回應或是提 供無效或不完整的回答。 (3)當被要求「解讀超過資料本身範圍的訊息」時，無法反應 或是提供模糊或不一致的回答。 2.層次二：過渡期的 (1)對於「這個顯示結果無法說明這個資料什麼訊息」這個問 題，做出相關但卻不完整的回答。 (2)當被要求比較某方面「解讀資料範圍內的訊息」時，提供 有效但卻不精確的回答。 (3)當被要求「解讀超過資料本身範圍的訊息」時，提供不明 確或是不一致的回答。 3.層次三：量化的 (1)對於「這個顯示結果無法說明這個資料什麼訊息」這個問 題，做出多種相關的回答。 (2)當被要求「解讀資料範圍內的訊息」時，提供多種有效的 回答，並能做出總體的比較。
資料並理解情況；但解釋並不完整。 4.層次四：分析的 (1)對於「這個顯示結果無法說明這個資料什麼訊息」這個問 題，做出完整且能夠讓人充分理解的回答。 (2)當被要求「解讀資料範圍內的訊息」時，提供多種有效的 回答，並能做出有條理且能夠讓人理解的比較。 (3)當被要求「解讀超過資料本身範圍的訊息」時，提供有效、 完整且一致的回答。 在「分析和解釋資料」這個組成中，我們歸納出兩個要點： (1)比較和結合資料；(2)推論和預期資料。根據這些要點，我們 可以提問以下這些問題：「哪個項目上的數量最多？這個項目的 數量是多少？你能推論之後那些項目的數量嗎？這張圖表不能 告訴你什麼？」來探究學生在這組成的思考層次為何。 二、思考層層次的分析 研究者以 SOLO 模型的觀點來描述學生橫跨四個組成的統計思考 特徵，其中，SOLO 模型包含五種功能：感覺動作的（出生時期）、圖 像的（從出生到 18 個月）、具體符號的（18 個月到 6 歲）、形式的（6 歲到 14 歲）、後形式的（14 歲到 20 歲），在每個模式中，又有四種反 應的層次：前建構（prestructural）、單一建構（unistructural）、多建構 （multistructural）、相關性（relational）等層次來呈現學生的推理移動 方面，此模式最適用在屬於圖像和具體符號功能的學生。 研究者的統計思考層次相當於 SOLO 模型認知思考的四個層次， 因此，在統計思考層次一的學生可看出前建構層次的特徵，他們可以執 行指示的任務，但可能被不相關的觀點擾亂或誤解。將此轉換成統計思
考，展現層次一思考類型的學生，在描述、呈現和分析資料時，他們會 著重在不相關的資料上。 在統計思考層次二的學生可顯示單一建構的特徵，他們可以用合理 的方式去執行指示的任務，但可能只從一個觀點去著手。將此轉換成研 究者的架構，展現層次二統計思考類型的學生，能思索資料在有特性的 和量化的層次間轉換。 在統計思考層次三的學生表現多建構的特徵，他們可以用具體符號 的模式且看到任務的不同面，但不需統整不同面的思考。將此轉換成研 究者的架構，展現層次三統計思考類型的學生，能使用非正式的、量化 的思考層次，並且能用不同的觀點來執行資料探索的任務。 在統計思考層次四的學生可顯示相關性的特徵，並且可以在具體符 號的模式下運作，不但能看到任務好幾個特色，還能看出他們之間的關 聯性。將此轉換成研究者的架構，展現層次四統計思考類型的學生，可 以有分析的和量化的推理能力，他們提供多方面的和邏輯的看法，以及 資料內容的解釋。當呈現和分析資料時，學生不但能驗證和連結不同觀 點的資料，也能將分析的資料關聯到原始的資料背景。 此外，研究者希望這個架構是穩定的，所謂的穩定，乃指學生的其中一 個組成位在某一層次，其他三個組成也應在同一層次。研究者一再強調穩定 性的重要，是因為它強化架構的一致性，可以讓架構運用於教學與課程方面 更為實用。從研究結果中顯示，在「分析和解釋資料」這個組成的思考層次， 似乎落後其他三個組成，尤其三、四年級的學生，也有這樣的趨勢，就是「描 述資料的顯示結果」這個組成的思考層次高於其他組成。在這研究所發展的 進化架構，對課程的設計和資料探查的指導，有密切關係，因為它供應學生 統計思考橫跨四個重要組成的一致性，所以研究者相信課程設計者和教師能
然而，在這項研究的學生顯示出不同的文化差異和社經背景，故此研究 中目標學生樣本的大小，可能侷限此架構的結論推論到不同文化差異的國小 學生。根據 Shaughnessy（1992）所著的機率和統計思考的跨文化研究，研 究者建議未來的研究，可針對此架構對其他文化和語言背景的學生而言是否 合適。基本上，未來的研究需要持續對此架構流程進行反覆的測試，使之更 具效能，來支持用來建立學生的先備知識，蘊孕學生的思考之教學用途。
第二節 兒童統計初步概念的認知發展
壹、皮亞傑的認知發展理論 一、兒童的認知發展階段 皮亞傑主張認知發展為結構組織與再組織的歷程，每一個新的組織 都將前一組織容納在內；但是以前各組織中的行為特徵，並未在新的組 織中消失。由是觀之，認知發展的歷程，屬於漸進的、連續性的，惟其 結果則可能有間斷性，且隨時間而更易，而發生質方面的差異。基於此 一觀點，皮亞傑（1969）將認知發展的整個歷程畫分成四個階段──出 生至二歲時，為感覺動作期（ sensory-motor period ）；二至七歲時，為 運思前期（preoperational period）；七至十一歲時，為具體運思期（period of concrete operations）；十一至十五歲時，為形式運思期（period of formal operations）。 各個發展的階段中，雖都列有年齡組距，惟這些組距只能視為概 數，而非絕對數。此外，皮亞傑的兒童認知發展階段理論，具有發展階 段的連續次序不變、以整體結構闡釋各發展階段的行為模式、各階段的 整體結構不可替換等三種主要特徵(引自王文科，1991)。 二、兒童統計初步概念之認知 依據皮亞傑的認知發展理論，兒童開始具備有關統計的概念為具體 運思期（七至十一歲），該時期的兒童運用的推理歷程，為皮亞傑所稱 之邏輯運思（logical operations），即兒童能將邏輯思考的歷程，應用於 解決具體的問題。運思前期兒童的思考，由於受到知覺的支配，無法解 決可逆性、保留、自我中心、依序等問題；具體運思期兒童則可突破此 限制，就其特徵而言，約有如次三項：其一由籠統而至分化的思考；其 二由絕對而至相對的思考；其三由靜態而至動態的思考。皮亞傑將具體運思分成邏輯－算術運思與空間運思兩部分，前者以 處理非連續性的材料為主，包括關係、種類、數目等；後者在於處理連 續的知識。兒童統計初步概念屬於邏輯－算術運思範圍，故將其結構及 內容的發展分述於下： （一）邏輯－算術運思的結構 邏輯－算術運思採取之結構形式，即皮亞傑所稱的「組合」 （grouping），為一種結合組（group）與格（lattice）二者之特性， 而形成的運思系統。 1.組的要件： 組為一種系統，含有一群元素，而且可運用以下所描述的 四種特性來運算各元素。 (1)封閉性 某系統中，任意的兩元素結合，產生之新元素，仍 屬於該系統中的元素。 (2)可逆性 每種運思的變化為可逆，即兩個種類或兩項關係結 合後，可再度分隔。 (3)結合性 即思考疆界有其自由，由兩種不同的運算，獲得的 結果相同。 (4)同一性 在每種運算系統中，有一個且唯有一個元素與該系 統中的其它元素結合，使其結果不變，此一元素即是一 般的單位元素。 2.格的要件： 格的結構與組的結構頗為類似，仍含有兩種以上元素間的
關係結構，惟格尚須符合於該一關係結構中的任何兩項元素， 須有一個最小上限，與一個最大下限的要件。前者係指包括大 於或等於二項元素之集合中的最小者，後者係指包括小於或等 於二者中的最大者。 （二）邏輯－算術運思內容的發展 其特徵如下： 1.保留： 兒童了解某一系統的內部，無論如何變化該系統的若干特 性，仍維持不變。此時期兒童能夠遵循引導思考的三種原則── 逆轉性、相互性及同一性，以進行運思。 2.系列： 亦稱排列次序（ordination），係指具體運思期兒童處理物 體差異時，能按照由大而小或從小至大的次序排列，建立其間 不同關係的能力。 3.種類與分類： 當兒童確能分類（classification）時，便能協調並區分「種 類」（class）的集中性（intension）與外延性（extension）兩種 重要性質。種類概念係由分類而來，惟有經由分類的操作，方 有特定種類的產生。 4.數目： 兒童於獲致數目概念前，須先建構以物體的質為基礎的一 與一對應(one-to-one correspondence)的概念。系列中使用的運 思，是為一與一對應之質的運思，而非單位的對應，即兩系列 等量的物體，系列的長度或次序容有不同或相逆，但是數量仍 舊相同(引自王文科，1991)。
貳、統計課程的學習目標：
Gal & Garfield 在 1997 年提出一個現今所接受且橫跨大部分年級層次的 統計學習目標，這些目標包括： 一、理解統計研究的目的和邏輯 學生應該理解為什麼統計研究和在統計調查下的見解是一樣的。這 些見解包括無所不在的性質變化、數字概算的運用和數據的直觀呈現。 學生也需要理解取樣的性質︰我們為什麼研究樣本而非總體？我們要 怎樣從樣本到總體做推論？和為什麼所設計的實驗需要建立因果關 係？ 二、理解統計研究的過程 學生應該理解統計研究和資料蒐集計畫的性質及其相關過程，他們 應該熟悉統計研究的所有具體階段，包括闡述問題，計畫研究，蒐集、 組織、分析和呈現資料，解釋和提出結論，並且討論研究的結論和推論。 他們應該承認現行的推論工具如何、何時和為何能用來協助研究的過 程。 三、學習統計技能 學生需要學習可能被運用在統計研究過程中的重要技能。這些技能 包括能組織數據、估算概括數量，並且以表格及其他不同的表徵方式來 建構和呈現資料。 四、理解可能性和機會 學生需要發展有關機率的概念和專有名詞的認知，並且了解機率的 不確定量。他們需要知道如何發展和運用模型模擬隨機現象以及如何產 生估算可能性的數據。
五、發展統計認知能力 學生需要學習解釋統計研究的相關結果，這包括如何提出有關參數 和學童所提出的計劃之關鍵性及反映性問題。例如︰（一）使用的測量 方法有多可信？（二）樣本的代表性為何？和（三）依照資料和樣本所 提出的結論合理嗎？ 六、發展有用的統計處理方法 學生應該發展正確評價於機會與機率所扮演的角色，及作為有用的 科學工具來處理個人、社會和工作上的統計方法和計畫實驗方面。當面 臨資料的參數時，學生應該學習使用關鍵性的推論，包括在進行統計研 究，或者實證研究的報告或結論方面。 七、發展統計推理能力。 統計推論可能被定義為人們推論統計見解和理解統計資訊這方 面。這包含解釋資料的群組、表徵和統計概算。學生需要能結合資料和 機會的概念，才能形成推論並且解釋統計結果。 雖然上述這七個學習目標的深度及廣度可能依據其教育的層次而有所 不同，但這些都是學童們學習統計初步概念的範疇。 參、統計概念的學習歷程 統計是用來了解已存在的現象，而透過描述現象的數據，說明現象的本 質，將資料加以整理分析，以了解現象本質的意義，故描述現象形成統計的 條件，透過整理，分析以解釋現象為學習統計的目的。譚寧君（1994）將統 計學習的過程分為四個重點，即：一、蒐集資料；二、整理資料；三、呈現
一、蒐集資料 統計是對群體資料的再組織，而兒童在進行資料的蒐集整理與分析 前需先感覺其所分析的資料有意義，以熟悉的情境為資料蒐集的範圍， 至於如何感覺群體的存在，則可透過視覺的觀察，群體的調查或直接測 量等方式，經由描述、溝通、檢驗及確認等過程以經驗群體的範圍及經 驗部分與群體的內在關係，而群體的蒐集則從小群體到大群體，從單純 群體到複雜群體。 二、整理資料 直接透過觀察、調查、實驗或記錄而得的資料稱之為原始資料，此 時資料往往只能代表事實存在的現象，不易描述且缺乏效率，故應將原 始資料分類、歸納、整理或重組以形成更經濟且有效的資訊。 三、呈現資料 資料的表徵方式只是一種溝通的工具，其呈現方式的適切與否直接 關係到訊息是否暢通，同時，呈現型態也會因學習者的認知差異而有明 顯的不同，故心理學家細心研究學習者的認知發展過程，亦提出從具體 到半具體乃至抽象符號的認知發展層次；社會學家亦將知識有效的推展 或建構，即提供半具體的象形圖與表徵圖，進而經驗到圖象資料的整理 與堆積，俾便更有效掌握數量。 四、解釋資料 群體被掌握或確認後，其所代表的訊息即透過資料的分析，予以適 當傳遞，故群體的內容物，透過數數、比較、找出資料類型或計算等以 了解資料的分佈情形，並透過較大數量的群體比較，以產生資料分類的 需求。再與統計圖表連結，以達到迅速傳遞訊息的目的。
肆、兒童統計概念的發展模式 一、兒童資料分佈概念 探討在兒童面對一組資料或一群資料時，如何掌握、描述，甚至預 測該資料結構的可能類型。皮亞傑（1969）曾說明分類是指同一類別中 各個成份的相似關係以及不同類別中各個成份之間之不相似關係的整 體。布魯納（J. S. Brunner）也提出透過分類可以減少周圍事物的複雜 性，並能在識別物體和事件時迅速地按預定的種類分開。因此，透過對 學童分類活動的觀察，蘇國樑、許天維（1994）詮釋兒童的資料分佈概 念形成與發展如下： （一）資料範圍的界定 資料是一群可觀察（observable）與可測量（measurable）的 對象，在這些對象中可由各單位所擁有的性質（characteristics） 觀察出單位間彼此的異同，這些可觀察的性質便是概括化來描述 或代表該群資料。 （二）整理、分類 產生分類的活動與運思是為了達成經驗中資料的複雜性及 所佔空間的減少有關，這種減少可以協助經驗的組織活動負荷的 減低。由實際觀察可以看出某些兒童對目標具體事物所做的分類 其實只是對事物集合做出分割（partition），分割是把一個集合 （set）化分為若千個子集合（subclasses），其中只考慮子集合 的 互 斥 性 ， 而 不 考 慮 子 集 合 內 元 素 彼 此 間 的 等 價 關 係 （relationship of equicalence）。分類則是除了考慮分割外，還考 慮子集合或子類內元素彼此間之等價關係，再加上函數對應之關 係等的邏輯運思。
（三）點計 兒童可以由時間及空間概念意識到資料散佈的範圍，且資料的 一種分類亦是資料的各種不同組合方式的其中一種可能，分類活動 只可以掌握到整體資料所包含之元素的一種屬性結構，欲使分類活 動與結果可以讓兒童同時掌握到全體資料的量之結構，則需要數數 活動，即需要點計各個子類內所包含的元素個數，所謂的各組或類 的次數或頻率（frequency），因為這可以簡化描述資料結構的過程。 若兒童能以點計來掌握資料的內涵且重製資料群，表示兒童已發展 出利用單位化的測量活動組織，進而重製資料，而不必再依賴資料 元素的具體逐一再表現出組織或重製資料。 （四）分佈 資料分佈概念的產生是來自為掌握或欲重造資料的屬性結 構，包括元素間、資料群體與子群體間以及元素與群體或子群間的 關係。 二、兒童資料分佈概念的發展階段 統計活動的目的在於掌握及複製一群體，因此，可以由了解兒童掌 握及複製群體的活動來了解兒童的資料分佈概念，蘇國樑、許天維 （1995）將此種複製或再表現的活動分成四個階段：
（一）逐元素序列複製運思（term by term re-production operation including seriation）
兒童複製群體係依群體中元素的時空出現位置或順序予以重 製活動或運思，空間或時間排列特徵被使用來判斷兩群是否相似。 （二）逐元素對應複製運思（operation of correspondence seriation without
兒童複製群體依群體中元素的出現予以對應重製的活動或運 思，此運思強調出現的一一對應，但空間的排列特色並不影響群體 的等價。重製時，對應單一元素的尋求及確定為其特色，兒童並不 尋求同類物的集中活動。
（三）逐類重製運思（re-production operation according to the individuals of class）
兒童先確定同類物所形成的子群的範圍，以群體的方式複製子 群活動或運思。其特色為兒童專注於特定子群體，其他子群不予考 慮。
（四）群組重製運思（re-production operation according to the numbers of individuals within classes）
兒童同時重製數個子群，而非只專注特定類組的重製活動或運 思。其特色在製作過程，如專注一類時，並不揚棄別類的元素，甚 至同時同製數類。
三、兒童的統計概念發展模式
D. J. Hand（1988）指出數學是統計的基礎（lie at the root of），即 透過數學才能將統計概念或其他科學的概念形式化。統計概念強調保留 統計對象之質的內容和數值的關係，因為統計概念是認識資料集活動 （或稱造群活動）的結果。因此，若統計概念中缺乏統計對象之質的內 容，則無法對整個資料及做出正確的認識。資料集可以分成若干個不互 屬的子類，而統計概念中的聚集活動亦是考慮以各子類為基礎，然後在 各子類內再進行數概念的聚集活動。也可以說，在掌握認識對象後，數 概念的活動是由內往外，而統計概念活動則是由外往內的。蘇國樑 （1999）歸納出兒童之資料的統計概念發展模式依序如下：
（一）輪廓運思期 資料集所佔的空間輪廓為一個聚集單位，元素的外在特徵和數 量都是內嵌於資料內的，在這個時期中兒童雖然已經有量的保留概 念，卻仍然受到有形的保留概念的影響，進而影響到對資料集的認 知。此時兒童尚未產生資料量化的概念，因此，暫定兒童尚處於輪 廓運思期的統計前置概念階段。 （二）排序運思期 資料集內每一個元素和其空間位置為一個聚集單位，此時整個 資料集是一個類（class）、一個被測量的對象，資料集內每個元素 是獨立的。兒童並未注意到元素的外在特徵，只注意元素的對應位 置。因此，兒童視資料集為一個元素和其對應之空間位置為一聚集 單位所組成的一個群。故資料集的呈現、說明或重製，是以空間位 置為序（order），做出一個接一個的方式進行重現。 （三）造類運思期 以資料集內構成元素的外在特徵如顏色、形狀或大小等為一個 聚集單位，即以資料集為一整群或全類做為基礎，進行分類活動， 元素的特徵脫嵌出資料集而成為一個獨立的單位，各別元素尚內嵌 於資料集內。 （四）子類內造數運思期 以資料集內的每一個子類為一個新的群或新的測量對象，在各 子類內進行重造表徵物活動或是數概念活動。量脫嵌於子類但尚內 嵌於資料集內，子類和量亦同時內嵌於資料集的輪廓內。 （五）子類和量合併運思期 子類和子類對應之量兩者的關係為一聚集單位，而此關係尚內 嵌於具體資料內。對資料的說明、重製或比較的方式是注意類和量 的對應關係的呈現，且需要具體物和相關活動來確認此一對應關
係。 （六）子類和量序對運思期 子類和子類的量或數合成一個聚集單位，形成一個已脫嵌出資 料集的序對（paried order）關係，故可將此一關係記錄成「自用」 的格式。因此，將整組資料的說明、呈現或重製是根據類和其量的 序對關係為基礎的。
第三節 兒童統計初步概念的相關實證性研究
壹、鄒聖馨（2000）之研究
研究之主要目的為找出現代國民應具備的統計素養，以作為小學教育統 計課程的理念，並發展出真實解讀計劃（AEP, authentic explain project），進 行課程設計與實際教學，以瞭解此理念的可行性。研究方法包括文獻分析、 課室中的觀察、文件分析、訪談、以及統計分析，進入兩所學校共四個班級 進行研究。 一、研究結論： （一）有關AEP統計課程的設計理念 根據文獻探討的分析，研究課程設計的基本精神為強調真實 資料讓學生進行分析解釋。 （二）有關AEP百分數教材的實施情形 AEP 課程能引起學生學習興趣、能增加學生對統計的實用 感、能增加學生討論的空間、能幫助學生建立較完整的統計概 念、並且能幫助學生提昇分析解釋統計資料與圖表的能力。 （三）有關AEP與82年版百分數教材對學生百分數概念的影響 接受AEP 的學生比接受 82 年版百分數教材的學生對百分數 的概念較為深入、更認同百分數的實用性，並且在解讀統計資訊 方面較能建立適當論點。 （四）有關AEP、82年版與64年版百分數教材對學生百分數概念的影響 AEP 百分數教材與 82 年版百分數教材的教學成效，在延後 測驗的表現上皆明顯優於64 年版百分數教材。
二、研究建議： （一）就課程設計方面 教師可多多利用 AEP 理念進行統計課程設計、教師可儘量 選用沒有時效問題的真實資料、利用真實資料的統計課程需謹慎 選擇，並應配合實際情形隨時修改。 （二）就蒐集真實資料方面 教師可多利用現成資料庫、鼓勵學生著手蒐集資料、並建議 課程編輯廠商設立網站，以提供配套支援。 （三）就未來研究方面 實地瞭解「實作統計模式」在小學的可行性、依據 AEP 理 念繼續完成其他統計教材的設計、擴大實驗教學與施測對象、進 行完善的課程評鑑。 貳、顏嘉吟（2005）之研究
該研究旨在運用澳洲學者Biggs 和 Collis 於 1982 年提出的 SOLO 分類 法（structure of the observed learning outcome），探究國小高年級學童統計圖 表之認知層次，以大台北地區國小高年級學童為研究對象，分析其對統計圖 表的認知層次為何。 一、研究方法 採取以量的研究為主，資料質性分析為輔的研究方式，研究方法為 問卷調查法，研究工具的設計以Jones at el.（2000）提出的統計思維架 構─「描述資料」、「組織及簡化資料」、「呈現資料」、「分析資料」作為 評量試題的向度，題型為開放性問答題，在區分學童的答題表現方面， 採用質的分析，參照SOLO（Structure of the Observed Learning Outcome）
數，最後再採用Rasch model 中的部份給分模式（Partial Credit Analysis） 進行量化分析，以量化數據佐證質性分析的信度與效度，以及不同給分 的吻合度。 二、研究結果 國內國小高年級學童在「描述資料」、「整理資料」、「製作圖表」以 及「分析資料」四方面，皆存在著三種學習結果層次（單結構－多結構 －關係結構），符合SOLO 分類法中所提出的觀點：任一階段模式中皆 存在著三種學習結果層次。 參、花婉馨（2005）之研究 該研究主要目的是以荷蘭 Freudenthal Institute 所提出的發展研究法及 RME 理論來發展「九年一貫國小統計之統整教學模組」，以國小六年級學童 為教學實驗對象，並歸納模組發展的歷程；另一方面，在實施模組後，進一 步以姚如芬的「OCTL」模型來探討模組之實施成效。 一、研究方法 該研究之模組乃依據陳幸玫所建議的統計教學概念圖，作為設計的 主軸，並加強學生「處理資料」和「分析資料」的能力。此外，各單元 皆融入電腦及多媒體設施來輔助教學及學習，除了可增加學生的學習動 機外，更可結合Excel 軟體的動態連結及內建的統計圖製圖功能，以達 到縮短繪圖之時間，使學習重點放在資料及統計圖之解讀上。 二、研究結論 研究者依研究設計之三個發展階段來蒐集資料，包括會議記錄、省 思札記、錄影紀錄、同儕教師回饋、教學日誌及學生學習資料等。再經 由資料分析，形成結論與建議，歸納出的教學模組發展模式如下：
（一）階段一： 發展初步模組，此階段包括確立教學目標及教學模組之定 位、分析能力指標及數學內容、選擇教學題材和設計教學活動等。 （二）階段二： 第一次試教及回溯分析，發展完整教學模組，此階段包含根 據第一次試教結果修正教學內容及流程，以及編寫教師手冊。 （三）階段三： 第二次試教及回溯分析，修正教學模組，此階段乃根據第二 次試教結果修正教學模組，最後提出教學建議，充實教師手冊， 教學模組才堪稱完成。 肆、蔡阜鋼（2005）之研究 該研究之目的在於由研究者自編統計圖測驗試題，並藉由試題關聯結構 分析法（IRS）對施測結果加以進行分析形成結構圖，以探究學童在統計圖 概念的知識結構。研究者參考國內外文獻及國小數學課程將統計圖概念細分 為七個子概念，分別為：資料的初步統計概念、符號並列概念、資料集製圖 概念、統計圖的表現概念、統計圖子類間的比較概念、單資料集統計圖的統 計概念、多資料集統計圖的統計概念；根據上述七個子概念，研究者發展出 統計圖自編測驗。 一、研究方法 該研究以台中縣某國小一班六年級學童為研究對象，施測後，採用 試題關聯結構理論之電腦程式進行筆測資料的分析，期能從中獲得一個 班級的學童在統計圖概念的試題關聯結構圖所呈現的訊息。
二、研究結論 （一）統計圖概念之認知能力發展次序 研究者透過紙筆測驗及結構圖的分析之後，發現受測學童的 統計圖概念其認知能力發展的先後次序，依序如下： 1.資料的 初步統計概念、2.符號並列概念、3.資料集製圖概念、4.統計圖 的表現概念、5.統計圖子類間的比較概念、6.單資料集統計圖的 統計概念、7.多資料集統計圖的統計概念。 （二）統計圖概念之整體表現 該研究亦發現，受測學童在統計圖概念的整體表現上是為 「長條圖」優於「折線圖」；「折線圖」又優於「圓形圖」，而且 「長條圖」之概念發展與「折線圖」之概念發展有相當大的關聯 性，而「圓形圖」之概念雖有影響學童之統計圖概念的發展，但 似乎與前二者較無階層上的關聯。 伍、潘樾生（2005）之研究 該研究參考國內外文獻及國小現行數學課程，將統計初步概念分為四個 子概念及其十一個子項，子概念為蒐集資料、整理與分類資料、表徵資料及 解釋資料，子項為資料的範圍界定、資料的點計、資料的序列、資料的對應、 資料的分割、資料的類等價、資料的重製、資料的表格化、資料的圖形化、 資料的報讀及資料的推論能力，編製一套統計初步概念試題，藉由試題關聯 結構分析法對施測結果加以進行分析形成結構圖，進而探究學童在統計初步 概念的認知結構。 一、研究方法 該研究以台中縣某國小一班六年級學童為研究對象，施測後，採用 試題關聯結構理論進行筆測資料的分析，盼能從中獲得此班級的學童在 統計初步概念之試題關聯結構圖中所呈現的訊息。
二、研究結論 （一）統計初步概念的十一個子項之認知發展次序： 本研究整理出受測學童在統計初步概念的十一個子項認知 發展，其次序如下：資料的點計能力、資料的對應能力、資料的 範圍界定能力、資料的重製能力、資料的序列能力、資料的報讀 能力、資料的類等價能力、資料的分割能力及資料的推論能力， 但資料的表格化能力與資料的圖形化能力與其他的子項並沒有 階層上的關係。 （二）統計初步概念的四個子概念之認知發展次序： 本研究受測學童在統計初步概念的十一個子項認知分別代 表的子概念─蒐集資料概念、整理與分類資料概念、表徵資料概 念、解釋資料概念，四個子概念彼此間無明顯的階層順序。
第四節 我國及美國小學統計初步概念課程的教材分析
壹、我國國小統計初步概念課程 教育部於民國92 年正式發佈九年一貫數學領域之課程綱要，將九年國 民教育區分為四個階段：階段一為一至三年級，階段二為四、五年級，階段 三為六、七年級，階段四為八、九年級。另將數學內容分為數與量（N）、 幾何（S）、代數（A）、統計與機率（D）、連結（C）等五大主題。此外， 數學內部的連結可貫穿前述四個主題，來強調解題能力的培養；數學外部的 連結則強調生活及其他領域中數學問題的察覺(R)、轉化(T)、解題(S)、溝通 (C)、評析(E)諸能力的培養。具備這些能力，一方面增進學生的數學素養， 能適切地應用數學，來提高生活品質，另一方面也能加強其數學的思維，有 助於個人在生涯中求進一步的發展。茲條列統計與機率（D）數學領域之能 力指標如下： D-1-01 能將資料做分類與整理，並說明其理由。 D-1-02 能報讀生活中常見的直接對應（一維）表格。 D-1-03 能報讀生活中常見的交叉對應（二維）表格。 D-2-01 能認識生活中資料的統計圖。 D-2-02 能報讀較複雜的長條圖。 D-2-03 能整理生活中的資料，並製成長條圖。 D-2-04 能整理有序資料，並繪製成折線圖。 D-3-01 能整理生活中的資料，並製成圓形圖。 D-4-01 能報讀百分位數，並認識個體在群體中相對地位的情形。 D-4-02 能利用統計量，例如：平均數、中位數及眾數等，來認識資料 集中的位置。 D-4-03 能利用統計量，例如：全距、四分位距等，來認識資料分散的 情形。D-4-04 能在具體情境中認識機率的概念。 此外，統計與機率知識的成長確實與學生對「數與量」、「代數」、「幾何」 主題能力的掌握有關，其教學應與相關主題的教學相配合。因此，依各階段 的能力成長分五個層次來實施「統計與機率」的教學，說明加下： 一、三年級之前 先藉由簡易表格的製作，協助學生建立資料的整理與分組的概念， 進而練習報讀與說明資料，並建立個別資料出現頻率概念的認識。再藉 著直接和交叉對應表格的介紹，並配合「數與量」的教學，希望學生能 掌握對表格的認識，並能加以運用。 二、四年級 經由簡易幾何圖形的前置經驗，引進長條圖、折線圖與圓形圖作為 認識統計圖表教學的開始。藉由報讀生活中的資料統計圖，進而引進若 干較簡易的變形長條圖，培養學生對長條圖的認識。這階段的教學尚不 宜引進百分率、小數或分數來表現資料的量。 三、五年級 統計圖形的製作是由長條圖的製作開始，再經由有序資料的引進， 來進行折線圖的報讀與製作。 四、六年級 配合「數與量」對比值和扇形面積的教學，再經由生活中資料的整 理，來製作圓形圖。
五、九年級 配合國中階段「先代數、後幾何」的主題式教學方式，由次數逐漸 進階至累計次數、累計相對次數、百分位數、中位數、全距、四分位距 等統計量及直方圖、盒狀圖等統計圖形，來了解資料表現的特質。機率 的介紹，仍以引進實驗或遊戲來了解機會並建立相關概念為主，尚不宜 做嚴格的定義或過份繁雜的統計量計算。此階段可視資料量或其特性， 適度引進電算器、電腦軟體來協助計算統計量，或製作統計圖形。 貳、美國國小統計初步概念課程
美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM） 於2000 年提出數學課程標準的相關建議與原則，其內容包含五大部分：數 與計算（number & operations）、代數（algebra）、幾何（geometry）、測量 （measurement）及資料分析與統計（data analysis & probability），而課程標 準分成學前幼稚園到二年級、三到五年級、六到八年級、九到十二年級，以 下將關於國小階段的資料分析與機率之課程標準作一說明。 一、學前幼稚園到二年級 （一）根據資料形成問題，並能蒐集、組織和展示相關的資料回答問題。 z 提出問題並蒐集它們本身及其周遭的相關資料。 z 根據物件的屬性，加以整理分類和組織。 z 使用具體物、圖片和圖表呈現資料。 （二）選擇和使用合適的統計方法分析資料。 z 描述部分資料和整體資料，並決定資料呈現的內容。 （三）根據資料發展和評估推論與預測。 z 討論與學生經驗相關的事件，是否相似或不相似。
二、三到五年級 （一）根據資料形成問題，並能蒐集、組織和展示相關的資料回答問題。 z 針對問題設計探究解決，並思考資料蒐集方法會如何影響資料 的本質。 z 運用觀察、調查和實驗，蒐集資料。 z 使用表格和圖形呈現資料，如點線圖、長條圖和折線圖。 z 辨認呈現分類資料和數字資料的差異。 （二）選擇和使用合適的統計方法分析資料。 z 描述整體資料的形狀和重要的特色，並比較相關的資料，強調 資料是如何分佈的。 z 使用集中量之測量，聚焦於中位數，並瞭解每一集中量數能代 表或不能代表何種資料。 z 比較相同資料不同的呈現方式，並評估每一種呈現方式所顯示 資料的重要層面。 （三）根據資料發展和評估推論與預測。 z 從資料中提出並證實結論與預測，並能設計更進一步的調查。 （四）瞭解和應用基本的機率概念。 z 描述事件可能或不可能發生的機率，並使用詞彙討論事件發生 的可能性，例如絕對發生、發生機會相同、絕對不可能發生。 z 預估樣本實驗結果發生的機率，對檢視預測的情形。 z 瞭解可以用 0 至 1 的數字，呈現事件發生可能性之測量結果。 三、六到八年級 （一）根據資料形成問題，並能蒐集、組織和展示相關的資料回答問題。 z 形成問題，設計研究，並蒐集有關兩個母群體共同的特徵，或
z 選擇、創造並使用適當的圖表呈現資料，包含直方圖、盒狀圖 和散布圖。 （二）選擇和使用合適的統計方法分析資料。 z 尋找、使用與詮釋集中測量和離散測量，包含平均數和四分位 距。 z 討論和瞭解資料與圖表之間的對應關係，尤其是直方圖、莖葉 圖和散布圖。 （三）根據資料發展和評估推論與預測。 z 觀察兩個以上樣本間的差異，並對樣本的母群體做推測。 z 利用散布圖及其迴歸線，推測樣本的兩種特徵之間存在的可能 關係。 z 利用推測形成新問題，並能設計新的研究來回答問題。 （四）瞭解和應用基本的機率概念。 z 瞭解和使用適當的術語，描述互補的和互斥的單獨事件。 z 使用比例式和機率的基本理解，對實驗和模擬情境做推測，並 對預測加以檢驗。 z 使用像是有組織的列表、樹狀圖和面積模式等，計算簡單的複 合事件的機率。 參、我國與美國小學統計初步概念課程教材分析之比較 我國的統計與機率課程的教學，著重在以學生的生活經驗為主，從學生 感興趣的主題出發，使其學會敘述統計所呈現出的數字和圖表的意義，強調 圖表的表達和溝通，並能了解抽樣、機率的初步概念，且能正確運用各項統 計資料於實際的生活中，故「統計與機率」主題在國民教育階段仍屬概念性 教學。 然而，與美國國小統計與機率課程兩相比較下，在五年級以前，我國學
童還只具有報讀和製作統計圖表的能力，而美國學童則已具備了解資料分佈 的意義、使用集中量之測量、比較相同資料不同的呈現方式，以及根據資料 中提出並證實結論與預測，做更進一步的調查等能力。 此外，在九年級時，為配合國中階段「先代數、後幾何」的主題式教學 方式，我國學童的統計學習歷程乃由次數逐漸進階至累計次數、累計相對次 數、百分位數、中位數、全距、四分位距等統計量及直方圖、盒狀圖等統計 圖形，來了解資料表現的特質。而美國學童早在八年級以前，除了上述這些 課程，更具備了觀察兩個以上樣本間的差異、推測樣本的兩種特徵之間存在 的可能關係，以及利用推測形成新問題，並能設計新的研究來回答問題等的 能力。 在機率的介紹方面，我國的數學課程直到九年級才開始引進，而且一開 始仍以實驗或遊戲來了解機會並建立相關概念為主，尚不宜做嚴格的定義或 過份繁雜的統計量計算。然而美國學童在三至五年級時，就能描述事件可能 或不可能發生的機率、預估樣本實驗結果發生的機率，以及瞭解可以用 0 至1 的數字，呈現事件發生可能性之測量結果；在六至八年級時，能描述互 補的和互斥的單獨事件、計算簡單的複合事件的機率，以及使用比例式和機 率的基本理解，對實驗和模擬情境做推測。 綜合上述討論，我國的九年一貫課程 綱要，與美國數學教師協會 （NCTM）所提出數學課程標準比較起來，在統計方面所規範的內容較簡 易，在機率課程方面所引入的時間點也慢了許多，如此一來，我國學童在此 方面的學習與概念的形成，恐將落後一大步，這是一個值得深思討論的問題。
第三章 研究方法與步驟
為回應現在科技社會中，資料所扮演的重要角色，故本研究旨在了解五年級 學童的統計初步概念，藉由他們在解統計問題的表現中，探討其統計初步概念的 思考層次為何及在解答統計問題時所持有的想法。研究採用「半結構式晤談法」 （semi-structured interview）訪談三位個案，並將晤談的內容轉譯並詳細分析。 本章包含四節，第一節為研究架構及流程；第二節為研究對象，第三節為研究工 具，第四節為資料的蒐集與分析。第一節 研究架構及流程
本研究依據研究目的與 Jones et al.（2000）的統計思考架構，採用「半結構 式晤談法」訪談三位個案，詳細的過程以流程圖的方式呈現如圖 3-1-1，以利於 描述整個研究過程。 確定理論架構 相關文獻的探討 編製訪談試題 資料轉譯與分析 撰寫研究報告 綜合比較與檢討 個案挑選與晤談 試題分析 進行預試 確定正式訪談題目 圖 3-1-1 研究架構流程圖第二節 研究對象
依據皮亞傑的認知發展理論，兒童開始具備有關統計的概念為具體運思期 （七至十一歲），該時期的兒童運用的推理歷程，為皮亞傑所稱之邏輯運思 （logical operations），即兒童能將邏輯思考的歷程，應用於解決具體的問題（引 自王文科，1991）。我國的統計與機率課程的教學，著重在以學生的生活經驗為 主，故「統計與機率」主題在國民教育階段仍屬概念性教學。因此，在五年級以 前，我國學童還只具有報讀和製作統計圖表的能力。然而，美國全國數學教師協 會（National Council Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM）編訂的數學課程標 準，美國學童在五年級以前，已具備了解資料分佈的意義、使用集中量之測量、 比較相同資料不同的呈現方式，以及根據資料中提出並證實結論與預測，做更進 一步的調查等能力。因此，我國的九年一貫課程綱要，與美國數學教師協會 （NCTM）所提出數學課程標準比較起來，在統計方面所規範的內容是較為簡易 的。此外，國內鮮少針對兒童的統計初步概念，做質性方面的研究，有鑑於此， 藉由依據 Jones et al.提出的「統計思考架構」所編製的訪談問卷，來探究國小五 年級學童的統計初步概念。適逢研究者今年任教五年級，故從任教班級中挑選口 才伶俐、勇於表達自己想法、能夠說明回答問題理由，且瑞文氏智力測驗成績屬 於智能中上以上之程度的學童進行個案晤談。此三位研究個案，分別是就讀小學 五年級的小臻、小育、小嘉，以下簡述他們三人的資料背景： 壹、小臻 小臻為班上屬於智能優異程度的學童，目前就讀國小五年級上學期，接 受訪談的日期為民國九十五年十一月十四日、十一月十六日、十一月十七日 的午休、彈性時間及放學後課餘時間將相關的統計初步概念問題完成。小臻 是個文靜的小孩，平時不愛出風頭，在課堂上不喜歡發言，下課時常靜靜的 坐在教室裡看書。但遇到不會的數學問題時，卻又能主動的請教老師，和老 師討論解題策略，偶爾也會提出自己的想法請老師指點，因此，其數學方面的成績表現很優異。在訪談的過程中，對於老師訪談的問題，皆要經過一番 思考後，小臻才會謹慎的說出答案，且回答的內容有條有理，觀念相當清楚， 讓整個晤談的過程十分順暢。 貳、小育 小育為班上屬於智能中上程度的學童，目前就讀國小五年級上學期，接 受訪談的日期為民國九十五年十一月十四日、十一月十六日、十一月十七日 的午休、彈性時間及放學後課餘時間將相關的統計初步概念問題完成。小育 的媽媽是外籍新娘，以前低年級時，常常跟不上學校的課業，有鑑於此且家 裡經濟能力許可，爸爸將他送到安親班加強課業，不久後成績才有起色，且 漸入佳境，這學期併班後，最難能可貴的是小育的成績仍維持名列前茅。平 時課餘時間喜歡問一些奇怪的問題，表現十足的好奇心及想像力，在解答數 學題目時頗有條理；課堂上發言時，也能充分表達自己的想法，思辨能力佳。 在進行訪談的過程中，小育的言辭有時表達得不夠完整，常常要老師一再的 引導、追問下，才能說出較完整的回答，但大致而言，整個訪談的過程還算 流暢。 參、小嘉 小嘉為班上屬於智能優異程度的學童，目前就讀國小五年級上學期，接 受訪談的日期為民國九十五年十一月十四日、十一月十六日、十一月十七日 的午休及放學後課餘時間將相關的統計初步概念問題完成。從一年級以來， 小嘉的表現即讓師長們讚不絕口，是個很有主見的小孩，平時課堂上，都能 明確的表達出自己的想法。在訪談的過程中，對於老師提問的問題，大部分 都能提出完整的思考步驟，至於一些難以回答的問題，就很坦率的說不會， 或是說出一些奇特的答案，讓人會心一笑，整體而言，小嘉的配合度還算不 錯。
第三節 研究工具的發展與實施
壹、訪談問卷的編製 本研究訪談的目的主要想了解國小五年級學童，其統計初步概念的表現情 形。故研究者蒐集國小學童統計概念之相關文獻，並參照教育部（2003）所發佈 的九年一貫數學領域課程綱要，自編一份「兒童統計初步概念」的訪談問卷，其 編製設計係依據 Jones et al.（2000）所提出的「統計思考架構」為理論架構，以 及「兒童統計初步概念雙向細目表」為依據，針對「描述資料的顯示結果」、「組 織和簡化資料」、「呈現資料」與「分析和解釋資料」四個組成，解讀學童所持有 的想法，並對兒童在這四個組成的統計思考做廣泛與深入的探討，了解兒童統計 初步概念的思考層次為何。 表 3-3-1 兒童統計初步概念雙向細目表 層次一 層次二 層次三 層次四 描述資料的 顯示結果 一、（一） 1, 2, 3, 4 一、（二） 1, 2, 3, 4, 5 一、（三） 1, 2, 3, 4, 5, 6 一、（四） 1, 2, 3, 4, 5, 6 組織和簡化資料 二、（一） 1, 2 二、（二） 1, 2, 3, 4 二、（三） 1, 2, 3 二、（四） 1, 2, 3, 4 二、（五） 1, 2, 3 二、（六） 1, 2, 3, 4, 5 二、（七） 1, 2, 3, 4, 5 呈現資料 三、（一） 1, 2 三、（二） 1, 2 三、（三） 1, 2 三、（四） 1, 2 分析和解釋資料 四、（一） 1, 2, 3 四、（二） 1, 2, 3, 4, 5, 6 四、（一） 1, 2, 3, 4, 5, 6, 四、（一） 1, 2, 3, 4, 5, 6, 層 次 題 號 組 成貳、統計初步概念四大組成之訪談問卷試題設計目標 一、描述資料的顯示結果之試題設計目標 （一）層次一：能試圖描述特殊或是不相關的資料，但無法辨識相同資 料產生的不同顯示結果。 （二）層次二：能給予資料模糊或是不完整的描述，但在評估同一資料 呈現不同結果的成效時，只集中焦點在單一方面。 （三）層次三：能給予資料自信、完整的描述，而且在評估同一資料呈 現不同結果的成效時，能集中焦點在多方面。 （四）層次四：能給予資料自信、完整的描述，而且在評估同一資料呈 現不同結果的成效時，能產生有條理且可以理解的解 釋。 二、組織和簡化資料之試題設計目標 （一）層次一：能提供特例或是不相關的解釋在歸類或排序資料方面， 但卻無法確認資料在簡化的過程中消失的意義。 （二）層次二：能做出無法解釋的分類，且在資料簡化的發生過程，只 提供模糊或是不相關的解釋。 （三）層次三：能解釋分類的依據原則，且能解釋簡化資料的理由，但 理由並不完整。 （四）層次四：能解釋多種不同分類的依據原則，且能為不同的簡化資 料方式，提供完整的解釋。 三、呈現資料之試題設計目標 （一）層次一：能產生特例或是無效的顯示結果並沒有呈現或重組資料 集合。 （二）層次二：能產生部分有效的顯示結果，但沒有嘗試去重組資料。
