第二章 文獻探討
第三節 兒童「角」概念發展及其相關研究
國小學童對角概念的認知，最先是從認識圖形角開始，八、九歲以後，藉由 扇子的開合現象來瞭解張開角，並能知道張開角的構成要素「邊」和「頂點」的 性質，再以圖像表現旋轉的程度，建立旋轉產生角概念，認識旋轉角。接著學童 觀察鉛直方向與水平方向所成之形象特徵，產生直角的概念；再以直角為基準，
認識銳角、鈍角、平角與周角，形成學童角的概念發展（康軒教師手冊，2003）。
以下將探討國外及國內學者對「角」概念發展的重要研究。
壹、國外學者有關角概念的研究
在國外學者角概念的研究中，Piaget 等人的研究發現，學童十歲以後才漸漸 對角的存在及角度概念能有所理解；van Hiele 的研究發現，學童角概念的發展 是由察覺角的外形進入到利用角的性質將圖形分類，最後發展出瞭解角的特性並 推演角度關係的幾何性質；Stavy 和 Tirosh 的研究發現，學童易受與角不相關的 外在特徵（如邊長、弧長、粗細）所影響，依循直觀法則做判定；Happs 和 Mansfield 則提出學童估測角度的解題策略。以上幾個研究，有助於瞭解本研究 學童角概念的理解方式，以下再分別一一詳列：
一、Piaget 等人對學童角概念之研究
Piaget 等人以「互補角圖形的測量」、「鈍角三角形的測量」、「三角形內 角的度數和」三項作業來研究學童角概念的發展情況（Piaget、Inhelder &
Szeminska，1960），說明如下：
（一）互補角圖形的測量
利用兩個互為補角∠ADC、∠CDB，如圖 2-3-1 作為測量的主題，要求 學生畫出相同的圖形，以觀察各年齡層學童的能力表現，經觀察學童操作結
果，歸納出以下特徵：
A B
C
D K
圖 2-3-1 複製張開角（
open angle
）測量圖階段Ⅰ（4.5 歲前）
－－學童以視覺估測來進行圖形的繪製，不會嘗試著去 測量角度。階段ⅡA（4~6.6 歲）
－－學童不會想要使用直線測量的方式，只做簡略的描 繪，仍以視覺估測CD的傾斜度。階段ⅡB（6~7.6 歲
）－－學童已能使用直線測量出AB
、CD線段長，但仍以 視覺估計CD的傾斜度，所以只是做一維空間的測量，仍無法畫出角。階段ⅢA（7~9 歲）
－－測量出AD
、CD、DB
各線段的長度，但是利用手指 或直尺的平移方式來保持線段CD的傾斜度，但仍無法準確的畫出此對互補 角。階段ⅢB（9~9.6 歲）
－－測量出AD
、AC、BC各線段的長度，且知道兩角 的開度大小就能確定 點的位置，然後連C CD便可正確畫出傾斜度，也有學 生測量C點到AB
的垂直距離CK，同樣也可確定傾斜度。階段Ⅳ（9.6 歲後）
－－學生利用三角板之直角做出CK（C點向線段ADKB 作垂線），便可測得∠ADC、∠CDB的開度大小，而不需測出AC、BC的長 度，顯示學生會使用直角測量角度的傾斜度。（二）鈍角三角形的測量
Piaget 等人再利用鈍角△
ABC
如圖 2-3-2 作為測量的主題，要求學生畫 出相同的圖形，以觀察各年齡層學童的能力表現，經觀察學童操作結果，歸納出以下特徵：
A B
C
K"
K' K
圖 2-3-2 複製鈍角三角形測量圖
階段ⅡA（4~6.6 歲）
－－不會想要使用測量的方式畫圖，而以目視的方式畫 出三角形，學童畫出的封閉曲線和圓形的圖形並無兩樣，所以學童並無測量 的行為。階段ⅡB（6~7.6 歲）
－－會以一維的方式去測量三邊長，但因邊長經過拆解 及改變方位，學童便無法精準的再合成為原圖，結果所畫出的三角形三邊都 無法相交。如先畫AB
、AC，再畫BC，但AC和BC卻無法交於一點，總會 有缺口，因為學童無法確定AC之傾斜度。階段ⅢA（7~9 歲）
－－學童將直尺以平移的方式保持AC、BC之傾斜度，但總都有缺口產生，無法交於C點；於是學童發展出以試誤法
（trial-and-error ），在保持AC、BC的長度，略微調整兩線段的方位，使 其交於C點來完成作圖。可知學童已有平移的概念，但尚無法精準的知覺角。
階段ⅢB（9~9.6 歲）
－－測量出三角形的三邊長及對應邊的高，來決定此三 角形。如測量AB
之垂直線段BK
，經過K
點畫AC，再連BC即可；或測量AC 之垂直線段B ′ K
，畫AC經過K ′
點且垂直B ′ K
，再連BC即可。所以此階段的 學童已懂得測量圖形的高來畫出三角形。階段Ⅳ（9.6 歲後）
－－學生能做出鈍角三角形的外高，決定此圖形。先畫AB
的延長線，並由C點畫垂直線，交AB
延長線於K ′′
點，量出B K ′′
。便可由AB
、K
B ′′
及CK′′線段來決定此三角形。（三）三角形內角的度數和
Piaget 等人利用將三角形三內角剪開再合併的操作活動，觀察各年齡層 學童的歸納及實證，演繹及預測能力表現，經觀察學童操作結果，歸納出以 下特徵：
階段ⅡA（4~6.6 歲）
－－學童對角不具備摘要（abstract）能力，且無法預測 三角形角度和，認為原始的角是頂部（roofs），剪開重新排列後的角是半月形（half-moon），兩者絕對是相異的性質（utterly heterogeneous）。簡言之，
學童將三角形排成半圓形後，卻無法歸納結論，因為重新排列後並不影響角 度和的概念認知。顯示此階段的學童不具備角度的保留概念。
階段ⅡB（6~7.6 歲）
－－學童雖同意排放角的次序不會影響角度和，但事實 上，意謂著學童較不傾向這樣輕率的歸納（generalization），這樣的事實導致 學童不太能確信外形不同的三角形，其角度和都是 180 度的事實。階段ⅢA（7~9 歲）
－－學童開始能歸納且更能發現三角形角度和都是 180 度的通則，但是歸納和演繹的方法常造成本階段學童認知上的衝突，因為學 童不僅止於滿足預測的結果是半圓形，還想試著去證明他們的預測，但學童 的認知程度僅能做到歸納真實圖形的組合，在演繹推論的分析就顯得有些膚 淺（superficial）。階段ⅢB（9~9.6 歲）
－－學童能快速的發覺三角形角度和為 180 度的定理、且能建立角和三角形的關係，視「角」為此互補關係系統的一部份。但僅能 由漸進式的歸納（inductive）步驟來完成。相對地，也就無法察覺演繹推論 的必要性。
階段Ⅳ（9.6 歲後）
－－學生能以普通概念（universal）及必然結果（necessary）的方式構想出三角形角度和的定理，也就是學童能理解「角」
無論如何分割或重組，角度和是不變的事實，且視此性質是必然的。並知在 此互補系統中的角，不能同時包括兩個直角在內。本階段的學童，部分已能 進行邏輯性的論證（demonstration）。
綜合上述Piaget等人的三個測量角度的研究，可知：
（一）學童隨著「年齡」層次的增加，大約到十歲以後學童才漸漸對角的存在 及角度概念能有所理解，也就是Piaget的理論是偏向屬於年齡取向的階
段論，注重發展的過程。
（二）學童角概念的發展順序依次是:「從無法知覺角的存在」、「以目測的 方式知覺兩線之間的傾斜度」、「利用視覺以外的方式（如手指或直尺 平移的方式）來知覺角度，但尚無法利用測量工具來準確地測出角度」
進而「能正確地利用測量工具來量測出角度」。
（三）學童實作各式各樣外形大小不同的三角形，把三個「角」以邊對邊的方 式排列，經由歸納或演繹的方式，能建構「三角形的內角和為180度」
的事實。
二、van Hiele 的幾何思考層次
荷蘭數學教育家P.M. van Hiele （1957）提出幾何思考階段論，主張兒童經 由適當的教學，學習成效可從較低層次的幾何思考階段發展到較高的嚴密性思考 層次，各層次的發展是依序進行、無法跳級超越的（Hoffer，1983），以下採用 van Hiele（1986）對層次的說法，就各階段層次的要點加以說明（林軍治，1992；
盧銘法，1996；吳德邦，1998；薛建成，2003；Hoffer，1983；Clement & Battista，
1992）
（一）層次一：視覺的（visual）層次
對圖形的認識是藉著視覺觀察各種具體事物，從各種事物體的外型輪廓 來辨認圖形，但無法辨認圖形的部分或屬性。如讓學童透過實際的操作，使 其憑藉著視覺感官能夠進行圖形的分類、描繪、著色、堆積、造型等活動，
來獲得幾何圖形的正確概念。
（二）層次二：描述的（descriptive）層次
具有辨認圖形特徵的能力，能從圖形構成要素的名稱，和構成要素之間 的關係來分析圖形的幾何概念。如學童能察覺圓形沒有角、正方形有四個 角、正三角形有三個角，但卻無法說明這些圖形特徵之間有何關係存在。
（三）層次三：理論的（theoretical）層次
具有瞭解、運用構成各種圖形的要素，並能探求幾何圖形的內在屬性以 及各圖形之間的包含關係。如任何三角形的外角，都等於其相對兩內角之 和；N 邊形的內角和為（N－2）×180 度；知道三角形不能有兩個鈍角，任 兩邊的夾角越大，對應邊的長就越長。
（四）層次四：形式邏輯的（formal logic）層次
學生能夠經由抽象推理的過程，來證明各種幾何問題，同時能夠知道證 明的方法不只一種，並能理解幾何問題的解決，必須具備的充分或必要條件 所在。如學生知道正方形既是菱形，又是長方形；學生能用邏輯推理的方法，
來證明幾何的性質。
（五）層次五：邏輯法則本質的（the nature of logical laws）層次
學習者能夠在不同的公設體系中，建立定理並且分析或比較包括非歐幾 何或比較不同的公設系統；同時也能夠瞭解抽象的幾何概念。換言之，在此 層次的學生，能學習不同的幾何公設系統，瞭解抽象幾何推理，並能互相比 較不同的公設系統。
Wilson 和 Adams（1992）進一步探討兒童角概念，認為在 van Hiele 幾何 思考模式中可分成三個層次，學童在各層次的角概念表現如下：
層次一的角概念
當學童初步認識角時，是以圖形的整體性來認知角，學童能注意到三角形 是有三個角和三個角落（corners），但卻無法注意到此三個角之間的關係有何 特別的屬性。換言之，學童能察覺等腰三角形有三個角，但不會留意到其中一 個角和其他兩個角不一樣。
層次二的角概念
學童已能理解如何測量或描繪一個角，如利用直角為參考角的性質，知道
比直角小的角是銳角（acute），知道比直角大的角是鈍角（obtuse），學童開 始能確認角的屬性與角和角之間的關係。
層次三的角概念
層次三的角概念