第二章 文獻探討
第二節 角概念及其相關性質
本節主要是探討「角」的意義及「角」的一些性質，分別說明如下。
壹、角的意義
數學上「角」的定義與我們日常生活中談到的角，所表示的意義有時是不相 同的。劉好（1996）指出，一般人對角的認知，常是真正角概念的局部，大都認 為一個角有兩條線段當作邊，兩邊中夾著一塊區域，產生一個尖尖的頂點；也有 人以角的頂點或頂點的鄰近區域來描述角。對角的意義還有許多種說法，例舉說 明如下：
一、歐幾里德（Euclid）之角的定義
陳錦傳（1995）提到Euclid認為角是平面上具有共同端點的兩條不重疊 直線的傾斜度（inclination），當這兩條直線重疊時則稱為「成直線的角」
（rectilinear）。由上述定義可知：歐幾里德以「直線」的觀點來描述角，以 傾斜度說明兩射線的方向差，並藉由直線的重疊引出零度角與平角的概念。
二、Heath 的「角」定義
蔡明哲（1998）在「一個國小四年級學童的角概念」中介紹了幾位學者 對角的定義，其中之一提到Heath（1956）認為角是兩條直線間不同的方向 差，由一直線移至另一直線間的旋轉量，角是平面的一部份，在此平面上有 兩直線相交於一點。由上述定義可知：Heath 認為角是方向的問題，方向變 換是以旋轉的方式進行，含有動態角（旋轉角）與靜態角（圖形角）的概念。
三、Gustave Choquet 的「角」定義
蔡明哲（1998）介紹的第二位學者之角定義為 Gustave Choquet（1969）
使用旋轉（rotation）來定義「角」，他認為角是以頂點為起源的一雙半線對，
由其一線段移至另一線段。由上述定義可知：Gustave Choquet 是以旋轉的 觀點定義角，是屬於動態角（旋轉角）的概念，已有旋轉次序的區別。
四、David Hibert 的「角」定義
蔡明哲（1998）介紹的第三位學者之角定義為David Hibert（1971）是 使用射線（rays）的觀點來定義「角」，他認為平面上兩條有區別的射線從頂 點放射，並且成有區別的直線，這樣的射線對（pair of rays）稱作「角」，
但這樣的識別方法則排除了 0 度角、平角（straight angle）和優角（reflex angle）。由上述定義可知：David Hibert 是以射線的觀點定義角，是屬於靜 態角的概念，把角的大小界定於 0 度至 180 度之間。
五、Close 的「角」定義
Close（1982）以形成角的狀態來說明角，分成以下兩種：
（一）靜態角（statistic angle）：同一端點的兩條直線所張開的開度。
（二）動態角（dynamic angle）：一直線繞一端點的旋轉量。
由上述定義可知：Close 以靜態的觀點闡述張開角，強調張開程度的大 小；以動態的觀點闡述旋轉角，強調旋轉量的大小。
六、Mitchelmore 角的觀點
Mitchelmore（1989）對角的意義提出下列三種說明：
（一）角是由一個頂點及共此頂點的兩條射線（ray pairs）所組成。
（二）角是自同一頂點射出的兩射線所圍出的一個平面區域（region）。
（三）角是一射線繞其端點旋轉（rotation）一個程度的量。
由上述三種定義可知：（一）說明角是由一端點與兩射線所圍成的平面區域，
著重角的內部區域，也就是「圖形角」，與角的性質（尖或鈍）、角的大小（所張 開區域的程度）和面積等概念相關，如圖2-2-1所示（二）強調角是由一頂點與 兩射線所構成，著重角的外型，也就是「張開角」，與角的方位、射線指向、角
的感覺（大小和尖平）、直線、點等概念有關，如圖2-2-2所示（三）顯示角是以 頂點為中心記錄一射線繞頂點旋轉的起止結果，著重角的旋轉程度，也就是「旋 轉角」，與旋轉和空間的概念相關，如圖2-2-3所示。
射線 射線
頂點 射線
射線
頂點
終邊
頂點 始邊
圖2-2-1 圖形角 圖2-2-2 張開角 圖2-2-3 旋轉角 綜合以上所述，可歸納出這些學者對角的定義分別以「張開程度」、「平面 區域」及「旋轉量」來描述；對於角的邊之描述，則可分為「直線」、「射線」
和「線段」三種。在國小課程，各版本教科書（康軒版第五、九冊，2003、南一 版第五、六冊，2003、翰林版第五冊，2003）仍以採用Mitchelmore 對角意義的 說法，故學童在角概念的認知，可能亦如Mitchelmore 的觀點為主。
貳、角的性質
從上述角的定義可以看出如下角的一些性質：
一、角的保留性
角的保留概念是指角的大小不因「方位擺置的不同」、「邊的長短不同」
和「切割重組」等因素而會有所改變，如表 2-2-1 圖示說明。
表 2-2-1 角的保留性
項目 圖示 說明
方位擺置 角的大小，不因開口方向的不
同而有所改變
邊的長短 角的大小，不因兩臂的長短不
同而有所改變
切割重組 → →
∠BAC
的大小切割成
∠BAD和
∠DAC
，再把
∠BAC和
∠DAC 重組 合成∠BAC，∠BAC 的大小並不 會有所改變
A C B
D A C B
B D
A C B D
A
A C D
A C B
二、角的可合成與分割性
∠DEF 的內部，就可辨別∠DEF 大於∠ABC
四、角的可測量性
測量（measurement）意指賦予物件的某種屬性（如角度）的一個數值。
而角的可測量性是指訂定一個較小的角為基本測量單位，可用來測量較大角，
觀察其為基準單位角的多少倍，就是「角」量數值化的過程。如表 2-2-4 圖示 說明。
表 2-2-4 角的可測量性
項目 圖示 說明
角量 數值化
訂定∠A 為基本測量單位角，而
∠B 的大小為∠A 的五倍，如此
∠B 的開度大小為五倍∠A。
A B
若是角的單位人人訂定之大小皆不同，則難以互相溝通，因此有共同約定 基準單位的必要。數學上用來描述角的標準測量單位的制度有兩種，分別敘述 如下：（劉好，1996）
（一）度：若一圓以其半徑將之等量分割為 360 部份，則每二相鄰的半徑所夾的角 稱為 1 度，記作 1°（國小階段以介紹度單位為主）。
（二）弳：取圓心角（θ）所對的弧長（s）對其半徑（r）的比值作為圓心角（θ）
大小的度量，此度量稱為弳，又稱為弧度，即弧度為θ＝
r
s
，如左圖；當 s＝1、r＝1 時，則θ＝1，稱為 1 弳或 1 弧度。
s r
綜合以上所述，角的性質具有保留性、合成與分解性、比較性和可測量性。
學童藉由四種性質的操作過程，形成角概念的認知，同時亦學習到數、量、形的 相關概念與獲得練習數字運算、發現關係、解決問題等學習機會（高敬文、黃金 鐘，1992）。
本節文獻的啟示：根據上述文獻的探討，研究者認為學童應對角意義形成正 確認知、瞭解角的各種性質，才能靈活運用這些概念與性質，來解決生活中與角 有關的問題。八十八學年度進入小學的學童，在接受以八十二年版課程標準與八 十九年版九年一貫暫行綱要所編寫的教材教學之後，其角概念是否清楚，研究者 認為值得加以探討，作為日後教材改善與教學之參考。