第四章 研究結果與討論
第一節 角概念紙筆測驗表現分析
本節依據學童的筆試作答情形及晤談資料內容，說明學童對角概念的認知表 現情形。研究者將本節角概念分為三種概念類型說明，第一種概念類型為「角的 意義」，第二種概念類型為「角的分類與應用」，第三種概念類型為「角的性質」。
壹、角的意義
角的意義為探討學童對角的命名、組成要素的認知、直角、旋轉角等概念的 理解，包含認識角名稱、辨認角圖形、直角概念、旋轉角概念等四部分。
一、「角」名稱的認知表現
本研究之「認識角名稱」是針對學童能否藉由角圖形認知此圖形的標準名 稱，此試題概念分佈於三年級階段之教材中，參照學童使用的版本為南一版、
康軒版、翰林版等三版本進行分析，依據學童作答情形及訪談內容，說明如下：
（一）「認識角名稱」概念筆試題目與答題統計分析 題目：
（一）、下圖基本形體的標準名稱是什麼？請在（ ）內打「ˇ」。
①尖 點（ ） ②角落 （ ）
③三角形（ ） ④ 角 （ ）
A1-1
研究者藉由第一大題瞭解學童對於概念 A1-1「角的標準名稱」之認知表
各類非正確名稱的選項中，有較高比率的學童認為這個圖形也可稱作尖點。
（二）「認識角名稱」訪談資料分析
茲將學童的紙筆測驗結果，依作答正確與否進行取樣訪談（訪談人數各 組各 12 人，見第 61 頁表 3-3-2 說明，以下各題皆同），訪談學童的作答表 現為高分組答對率約 92％（11 人）、中分組答對率約 92％（11 人）、低分組 答對率約 67％（8 人），顯示高、中分組的學童概念幾乎都清楚，學童訪談 時的反應表現說明如下：
1.正確認知學童的想法
知道角圖形的標準名稱是「角」，不受其他類似名詞所混淆，例如：
HY50203－知道圖形標準名稱為角
－0001 師：你認為此圖形的標準名稱是什麼？
－0002 生：角。
－0003 師：理由呢？
－0004 生：因為老師教過這個圖形叫做角。
－0005 師：為什麼不是頂點？
－0006 生：頂點只是角的一點（筆指著角的頂點）。
－0007 師：為什麼不是角落？
－0008 生：角落是房子的角。
－0009 師：為什麼不是三角形？
－0010 生：三角形要有三個邊、三個頂點，這個圖形少畫一個邊。
2.錯誤認知學童的想法
知道角圖形的名稱是「角」，但其他的名稱應該也可以是角，例如：
MX51129－誤認尖點、角落也是角圖形的標準名稱
－0011 師：你認為此圖形的標準名稱是什麼？為何是尖點呢？
－0012 生：因為這裡有尖尖的一點（筆指著角的頂點）。
－0013 師：為何角落也是呢？
－0014 生：因為這裡有一個角形，而這裡就是一個角落（指出頂點的鄰近區域）。
－0015 師：為什麼三角形不是？
－0016 生：因為這裡沒有多加一條線連起來（筆指著角的頂點）。
－0017 師：為什麼是角呢？
－0018 生：因為這裡有兩條直線連起來，就形成一個角。
綜合以上紙筆統計結果與訪談資料分析，約有八成三的五年級學童已明白 角形在數學上名稱，但約有一成七的學童易受「角的外形」與「非標準名稱」
的影響而產生不正確的認知，如學童認為「角」常有尖尖的外形或其頂點就稱 作尖點；角頂點的鄰近區域就稱作角落；三角形包含角的圖形或把角的開口以 直線連接起來就形成一個三角形，故此圖形亦可稱作三角形等錯誤或迷思的想 法，顯現學童在這方面的認知有必要加強。另使用翰林版的學童，在「認識角 名稱」的試題反應，表現略低於使用南一版與康軒版的學童，值得進一步探討。
二、「角」圖形的辨認表現
本研究之 A2-1 至 A2-5 概念「辨認角圖形」是針對學童能否依據角的組成 結構（兩直線交於一點），辨認各圖中哪些圖形是角形的認知表現，進而能理 解角的基本組成要素，此試題概念分佈於三年級階段之教材中，參照學童使用 的版本為南一版、康軒版、翰林版等三版本進行分析，依據學童作答情形及訪 談內容，說明如下：
（一）「辨認角圖形」概念筆試題目與答題統計分析 題目：
（二）、下列二十個圖形中，哪些圖形表示「角」，是的，請在（ ）內打「ˇ」
① ② ③ ④
（ ） （ ） （ ） （ ）
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
（ ） （ ） （ ） （ ）
⑨ ⑩ ⑪ ⑫
（ ） （ ） （ ） （ ）
⑬ ⑭ ⑮ ⑯
（ ） （ ） （ ） （ ）
⑰ ⑱ ⑲ ⑳
（ ） （ ） （ ） （ ） A2-5
A2-4 A2-3 A2-2 A2-1
研究者藉由第二大題探討學童對角圖形的辨認表現，A2-1 概念把正確選項
表 4-1-2-B 辨認角圖形概念作答情況統計表之二 （N＝458）
由表 4-1-2-C 可知，A2-3（角的一邊為直線、另一邊為弧線）概念的整體
表 4-1-2-E 辨認角圖形概念作答情況統計表之五 （N＝458）
－0020 生：圖①不是角，因為它的兩邊是弧線、不是直線，圖②是角，它有一條長直線、
一條短直線，中間就有一個角，圖③不是角，它有向內凹的弧線，圖④不是角，
它是有點像毛筆狀，不是直直的，所以只有圖②才是角。
b.知道角兩邊必須交於一點（A2-2）
－0021 師：接著你認為圖⑤至圖⑧哪些是角？理由呢？
－0022 生：圖⑤不是角，這裡有小缺口（筆指著圖形未連接的區域），圖⑥是角，它有兩條 直線有接在一起，圖⑦不是角，這裡它有一個小缺口，圖⑧不是角，因為它有 三個缺口，所以只有圖⑥才是角。
c.知道一邊為直線，一邊為曲線的不是角（A2-3）
－0023 師：繼續你認為圖⑨至圖⑫哪些是角？理由呢？
－0024 生：圖⑨是角，是一個角度比較小的角，圖⑩不是角，因為它有一條弧線就不是角，
圖⑪不是角，因為它有一條直線與一條弧線，圖⑫不是角，一樣也是一條直線 與一條弧線，所以只有圖⑨才是角。
d.知道點、圓、橢圓的圖形不是角（A2-4）
－0025 師：繼續你認為圖⑬至圖⑯哪些是角？理由呢？
－0026 生：圖⑬不是角，是一個點，圖⑭不是角，是一個橢圓形，圖⑮不是角，是三個點，
圖⑯不是角，是一個圓，所以都不是角。
e.知道曲線的圖形不是角（A2-5）
－0027 師：繼續你認為圖⑰至圖⑳哪些是角？理由呢？
－0028 生：圖⑰不是角，是一條弧線，圖⑱是角，是一個小小的角（用筆指著角的兩短邊），
圖⑲不是角，因為它也是弧線，圖⑳是角，因為它有兩條直線，雖然開口大一 點，沒關係也是角，所以圖⑱、圖⑳都是角。
(2)MX51712 之認知表現
a.知道角的邊若有曲線的圖形則不是角（A2-1）
－0029 師：你認為圖①至圖④哪些是角？理由呢？
－0030 生：圖①不是角，因為這兩條線是有弧度的，圖②是角，因為它的線都是直的，只 是角比較大，圖③不是角，因為這兩條都是弧線，圖④不是角，也是弧線，所 以只有圖②才是角。
b.知道角的邊若沒有連接的圖形則不是角（A2-2）
－0031 師：你認為圖⑤至圖⑧哪些是角？理由呢？
－0032 生：圖⑤不是角，因為這個角落沒有連好，圖⑥是角，因為它有兩條直線連在一起，
圖⑦不是角，因為這兩條直線沒有連在一起，圖⑧也不是角，因為三條直線都 沒有連在一起，所以只有圖⑥才是角。
c.知道角的兩邊皆須為直線的圖形才是角（A2-3）
－0033 師：你認為圖⑨至圖⑫哪些是角？理由呢？
－0034 生：圖⑨是角，因為它有直的兩邊，圖⑩不是角，它有一條弧線就不是角，因為這 樣量角器就不能量好，圖⑪不是角，也是一樣有一條弧線，圖⑫不是角，也是 一樣有弧線，所以只有圖⑨才是角。
d.知道點、圓、橢圓的圖形並無法構成角形（A2-4）
－0035 師：你認為圖⑬至圖⑯哪些是角？理由呢？
－0036 生：圖⑬不是角，只有一點，沒有兩條邊連在一起，圖⑭不是角，是橢圓形，沒有 直的邊，圖⑮不是角，是三個點，也沒有直邊，圖⑯不是角，是一個圓，也沒 有直邊，所以這四個圖形都不是角。
e.知道曲線無法構成角的圖形（A2-5）
－0037 師：你認為圖⑰至圖⑳哪些是角？理由呢？
－0038 生：圖⑰不是角，它只是一條弧線，圖⑱是角，是一個邊長很短的角，圖⑲不是角，
它也是一條弧線，圖⑳是角，因為它有兩條直線連在一起，所以圖⑱、圖⑳都 是角。
2.錯誤認知學童的想法
不明瞭角圖形的組成要素與其性質，易受尖形、弧線、頂點、開 口大小與方向所影響而誤判，例如：
(1)LX51730－誤認尖尖的形狀才是角，忽略角的兩邊需為直線（A2-1）
－0039 師：你認為圖①至圖④哪些是角？理由呢？
－0040 生：圖①是角，因為它兩邊有連在一起且是尖尖的形狀，圖②不是角，它雖然有連 在一起，但沒有尖尖的，圖③是角，它的兩邊有連在一起而且角很尖，圖④是 角，也是有連在一起，而且也有尖尖的角，所以只有圖②不是角。
(2)LY50129－以邊線的連接為判斷準則，誤認有連接的直線或弧線都是角
（A2-1、A2-2、A2-3、A2-5）
－0041 師：你認為圖①至圖④哪些是角？理由呢？
－0042 生：圖①、圖②、圖③、圖④都是角，因為角的兩邊都有連在一起。
－0043 師：你認為圖⑤至圖⑧哪些是角？理由呢？
－0044 生：只有圖⑥是角，因為它的兩邊有連在一起，而圖⑤、圖⑦、圖⑧就不是角，因 為它的兩邊都沒有連在一起。
圖 1
－0045 師：你認為圖⑨至圖⑫哪些是角？理由呢？
－0046 生：圖⑨、圖⑩、圖⑪、圖⑫都是角，因為角的兩邊都有連在一起。
圖 2
－0047 師：那一邊為直線，另一邊為弧線的圖形，也可以稱為角嗎？
－0048 生：只要有連起來，沒有缺口的都是角。
－0049 師：你認為圖⑰至圖⑳哪些是角？理由呢？
－0050 生：圖⑰（如圖 1）、圖⑱、圖⑲（如圖 2）、圖⑳都是角，角的兩邊也都有連在一起。
(3)LX51123－認為角是尖尖的且兩邊為直直的（A2-1）
－0051 師：你認為圖①至圖④哪些是角？理由呢？
－0052 生：圖①不是角，因為它的兩邊是彎彎的，不是直直的，圖②不是角，因為前面沒 有尖尖的，圖③不是角，雖然有尖尖的，但兩邊不是直直的，圖④也不是角，
因為它的兩邊是彎彎的。
(4)LY50125－認為角是尖尖的且開口要朝上（A2-5）
－0053 師：你認為圖⑰至圖⑳哪些是角？理由呢？
－0054 生：圖⑰不是角，因為它沒有尖尖的地方，圖⑱是角，因為它有尖尖的角，圖⑲不 是角，它也沒有尖尖的樣子，圖⑳也不是角，它沒有尖尖的角，而且尖的地方 要在下面，像這樣（筆指著圖⑱角的頂點）。
圖 3
(5)MX51028－認為三點連起來就形成角（A2-4）
－0055 師：你認為圖⑬至圖⑯哪些是角？理由呢？
－0056 生：圖⑬不是角，這是點不是角，圖⑭不是角，這個沒有尖尖的邊，圖⑮是角，把 它們用直線連起來，就是一個三角形（如圖 3），裡面就有角，圖⑯也不是角，
這是一個圓形。
－0057 師：那為什麼圖⑤和圖⑦的缺口你怎麼不連起來呢？
－0058 生：圖⑤和圖⑦都是線，不是點，只有點和點才可以連起來，線是不能延長把它連 起來。
綜合以上紙筆統計結果與訪談資料分析，辨認角圖形的整體概念約有一半
（約 49%）的學童完全答對（二十個選項全對者），表示這些學童辨認角圖形 的概念正確穩固，明白認知角的構成要件為兩直線有一共同的頂點，不受其他 干擾因素所影響，其餘的學童可能會受到如「尖點」、「弧線」、「開口方向與大 小」、「兩線交點」、「角兩邊的長短」等因素的影響而產生錯誤的想法或認知，
或對題意的認識不清，如三個點的圖形認為是角，因為把三點連起來，成為三 角形就包含「角形」的錯誤想法。再依學童所使用的版本別觀察其作答情形，
整體概念以使用南一版和康軒版的學童表現較優（二十個選項全對比率皆約為 54%），使用翰林版的學童表現略差（二十個選項全對比率僅約為 37%），從 統計資料中發現使用翰林版的學童在
②
、⑳
選項的答對率較其他版本偏低，顯 示翰林版的學童較多在辨認角形時，概念較不穩固，易受鈍角、開口方向與邊 的長短的因素交互影響而誤判角的形狀，這是否與教材內容設計或教學引導情整體概念以使用南一版和康軒版的學童表現較優（二十個選項全對比率皆約為 54%），使用翰林版的學童表現略差（二十個選項全對比率僅約為 37%），從 統計資料中發現使用翰林版的學童在