國小五年級學童角概念表現之研究

國立台中師範學院進修暨推廣部數學教育系在職進修

教學碩士論文

指導教授：劉 好 教授

國小五年級學童角概念表現之研究

研究生：賴文正 撰

中 華 民 國 九 十 四 年 六 月

國小五年級學童角概念表現之研究

摘 要

本研究的目的在探討學習八十二年版國小課程標準與九年一貫暫行綱要所設 計之教材的國小五年級學童，對於「角概念」的認知表現及所呈現的迷思概念。 研究方法係採調查研究法，利用紙筆測驗、實作活動及個別訪談等方式收集研究 資料。紙筆測驗樣本取自台中縣、台中市、彰化縣等六所國小共十四班的 458 位 學童，並自彰化縣兩所學校的樣本中，選取高、中、低成就表現的學童共 36 位 進行實作活動與晤談解題的想法。由資料分析結果，本研究歸納出以下結論： 一、學童在「銳角、直角、鈍角的定義與辨認其角形」、「辨認三角形的所屬類 別」、「報讀量角器上所畫的角度」、「畫給定度數之角度」、「理解角度以 不同單位角度量為基準的表示方式」、「實測銳角、鈍角、三角形三內角的 度數」、「辨識角的實物形體」、「實測三角形與四邊形的內角和」、「角大 小的直接比較與間接比較」、「畫出互補角」等項目的概念或能力具備情況 良好。 二、學童在「理解角的名稱、角形辨認、直角與旋轉角的概念」、「認知角的開 口方向、切割重組、邊線長短、合成分解等保留概念」、「辨認對頂角、角邊 粗細、角量大小、兩正多邊形內角的大小」、「對不影響與角度大小無關因 素的區辨能力，如角邊長短、弧線標示、角邊粗細」、「角度合成（可加性） 與分解（可分性）的運算」等項目的概念或能力具備情況尚可。 三、學童在「辨認組合圖形直角的個數」、「270 度旋轉角與 90 度角差異的認知」、 「畫給定度數的優角」、「實測優角的角度」、「估測銳角、鈍角的角度」、「辨 認鐘面兩針的夾角與分針旋轉的角度」、「複製鈍角三角形」等項目的概念或 能力表現極需再加強。

四、國小五年級學童對角概念與角度的迷思，原因大都是對角的定義不理解、受 直觀、視覺的錯覺以及保留概念未成熟、操作量角器欠熟練，缺少估測角度 經驗等因素所形成的。 五、學童的表現受使用版本不同的影響並不大，僅少數項目可能與教材設計有些 關連。 最後，本研究提出一些建議，期能提供「角概念」的教學及進一步相關研究 的參考。 關鍵詞：國小五年級學童、角形概念、角量概念、角的迷思概念

The Study of Fifth-Grade Students Performance in Angle Concept

Abstract

The purpose of this research was to explore the cognitive performance and misconception towards the angle concept for fifth graders who were taught with math textbooks compiled in accordance with the 1993 Curriculum Standard for Elementary School and the 2001 Temporary Guidelines for Grade 1-9 Curriculum.The methodology employed for this research was survey approach; therefore paper and pencil test,

performance evaluation and specific interview were adopted for data collection. The 458 samples for paper and pencil test were taken from 14 classes in 6 separate elementary schools among Taichung City, Taichung County and Changhua County. By test result, 36 pupils chosen from high, middle, and low achievement in 2 schools of Changhua County were processing to performance evaluation and problem solving interview. Through data analysis, this research yielded the following conclusions：

A. The pupils perform well in concept or ability to items listed below. 1. Definition and shape recognizing of acute, right, and obtuse angles. 2. Recognize the various triangles in terms of angle.

3. Recognize angle size from the protractor. 4. Draw a given angle.

5. Comprehend the unit converting of angle.

6. Measure the three interior angles of triangles respectively. 7. Ascertain the angle from real object.

8. Measure the interior angle sum of the triangle and quadrangle. 9. Compare angular magnitude directly and indirectly.

10. Draw the supplementary angle.

B. The pupils perform fair in concept or ability to items listed below.

1. Understand the angle name, the concept of the right angle and angle of rotation, and angle shape recognizing.

2. Cognize the retention concept of angle, such as opening direction, cutting recombination, length of arms of angle, composing and decomposing.

3. Ascertain opposite angle, angular magnitude judgment by thickness of arms, angular magnitude, angular magnitude comparison of two regular polygons.

4. Discriminate factors that have nothing to do with angular magnitude, such as length of arms of angle, arc length, and thickness of arms.

5. Operate the composing and decomposing of angles.

C. The pupils need to be highly strengthened in concept or ability to items listed below. 1. Ascertain the number of right angles of combined figure.

2. Discriminate angles of 90 degrees and 270 degrees. 3. Draw a given reflex angle.

4. Measure the reflex angle.

5. Estimate the angle of the acute angle, and obtuse angle.

6. Ascertain the included angle formed by hands on clock plane and long hand rotating angle.

7. Duplicate a similar obtuse triangle.

D. Fifth graders angle misconception are mainly attributed to reasons below：scarce understanding of angle definition, intuition judgment, optical illusion, immature retention concept, unskillful manipulation with protractors, and empirical scarcity in angle

measurement.

E. The pupils performance is slightly influenced by different textbook versions adopted; merely a few items are probably related to teaching material design.

Eventually, based on the research, some suggestions are proposed for reference in angle concept teaching and further study.

Keyword: fifth-grade students, angle shape concept, angular magnitude concept, misconception of angle

目 次

中文摘要 ………

Ⅰ

英文摘要 ………

Ⅲ

目次 ………

Ⅴ

表次 ………

Ⅶ

圖次 ………

Ⅺ

第一章 緒論……… 1

第一節 研究動機……… 1

第二節 研究目的及待答問題……… 3

第三節 名詞釋義……… 5

第四節 研究限制……… 7

第二章 文獻探討……… 8

第一節 概念的形成與發展……… 8

第二節 角概念及其相關性質……… 11

第三節 兒童「角」概念發展及其相關研究……… 16

第四節 「角」概念課程綱要分析……… 31

第五節 近年國小數學課程中角的教材內容分析……… 35

第三章 研究方法……… 56

第一節 研究流程……… 56

第二節 研究架構……… 59

第三節 研究對象……… 59

第四節 研究方法與工具……… 61

第五節 資料處理方式……… 71

第四章 研究結果與討論……… 74

第一節 角概念紙筆測驗表現分析……… 74

第二節 角度概念紙筆測驗表現分析……… 137

第三節 角形與角量概念實作表現分析……… 202

第四節 國小五年級學童對「角概念」的迷思………… 231

第五章 結論與建議……… 241

第一節 研究發現與結論……… 241

第二節 建議……… 251

參考文獻 ……… 254

中文部分 ……… 254

西文部分 ……… 257

附錄

附錄一 角概念紙筆預試測驗試題……… 259

附錄二 角概念實作訪談預試問題……… 270

附錄三 筆試預試試題的難度、鑑別度分析表………… 271

附錄四 角概念紙筆正式測驗試題……… 273

附錄五 角概念實作訪談正式問題……… 283

附錄六 筆試預試試題概念分析對照表……… 286

附錄七

實作訪談預試問

題

概念分析對照表

……… 287

表 次

表 2-2-1 角的保留性……… 13 表 2-2-2 角的可合成與分割性……… 14 表 2-2-3 角的可比較性……… 14 表 2-2-4 角的可測量性……… 15 表 2-3-1 Stavy 和 Tirosh 研究「角」大小比較結果分析表……… 23 表 2-3-2 Roghani 研究「正多邊形」內角大小比較結果分析表……… 25 表 2-4-1 八十二年數學課程標準與九年一貫課程暫行綱要角概念對照表……… 31 表 2-4-2 八十二年數學課程標準與九年一貫課程暫行綱要角度概念對照表…… 33 表 2-4-3 九年一貫課程暫行綱要與正式綱要角概念能力指標對照表……… 34 表 2-5-1 南一版之八十二年版「角」教材內容與教學活動分析表……… 36 表 2-5-2 康軒版之八十二年版「角」教材內容與教學活動分析表……… 37 表 2-5-3 翰林版之八十二年版「角」教材內容與教學活動分析表……… 39 表 2-5-4 南一版之九年一貫版本「角」教材內容與教學活動分析表……… 41 表 2-5-5 康軒版之九年一貫版本「角」教材內容與教學活動分析表……… 43 表 2-5-6 翰林版之九年一貫版本「角」教材內容與教學活動分析表……… 44 表 2-5-7 八十二年版與九年一貫版在「角」教材內容比較表……… 47 表 2-5-8 大陸人教版六年制小學教科書「角」教材內容與教學活動分析表…… 49 表 2-5-9 美國 Everyday Mathematics「角」教材內容與教學活動分析表 … 51 表 3-3-1 研究預試樣本數分佈情形統計表……… 60 表 3-3-2 研究樣本數分佈與使用教科書版本情形統計表……… 61 表 3-4-1 預試試題 A3 概念各子題難度、鑑別度分析表 ……… 66 表 3-4-2 筆試試題預試修正後的難度、鑑別度分析表……… 67 表 3-4-3 正式施測筆試試題概念分析對照表……… 69 表 3-4-4 實作訪談大綱概念分析對照表……… 71 表 4-1-1 認識角名稱概念作答情況統計表……… 75 表 4-1-2-A 辨認角圖形概念作答情況統計表之一……… 78 表 4-1-2-B 辨認角圖形概念作答情況統計表之二……… 79 表 4-1-2-C 辨認角圖形概念作答情況統計表之三……… 79

表 4-1-2-D 辨認角圖形概念作答情況統計表之四……… 80 表 4-1-2-E 辨認角圖形概念作答情況統計表之五……… 81 表 4-1-3 從兩互相垂直的線判別直角作答情況統計表……… 85 表 4-1-4-A 直角個數的判別「一般平行四邊形」作答情況統計表……… 89 表 4-1-4-B 直角個數的判別「十字形區域」作答情況統計表……… 90 表 4-1-4-C 直角個數的判別「一般菱形」作答情況統計表……… 90 表 4-1-4-D 直角個數的判別「長方形」作答情況統計表……… 91 表 4-1-4-E 直角個數的判別「直角三角形」作答情況統計表……… 91 表 4-1-4-F 直角個數的判別「三角形與長方形組合圖形」作答情況統計表……… 91 表 4-1-5-A 旋轉角（180 度）作答情況統計表……… 96 表 4-1-5-B 旋轉角（270 度）作答情況統計表……… 96 表 4-1-5-C 旋轉角（360 度）作答情況統計表……… 97 表 4-1-6-A 旋轉角定義（∠1 始邊）作答情況統計表……… 101 表 4-1-6-B 旋轉角定義（∠2 始邊）作答情況統計表……… 101 表 4-1-6-C 旋轉角定義（∠2 終邊）作答情況統計表……… 102 表 4-1-7-A 角的分類之定義「銳角」作答情況統計表……… 106 表 4-1-7-B 角的分類之定義「直角」作答情況統計表……… 107 表 4-1-7-C 角的分類之定義「鈍角」作答情況統計表……… 107 表 4-1-8-A 角的分類之辨認「銳角之一」作答情況統計表……… 110 表 4-1-8-B 角的分類之辨認「鈍角之一」作答情況統計表……… 110 表 4-1-8-C 角的分類之辨認「直角之一」作答情況統計表……… 111 表 4-1-8-D 角的分類之辨認「鈍角之二」作答情況統計表……… 111 表 4-1-8-E 角的分類之辨認「直角之二」作答情況統計表……… 112 表 4-1-8-F 角的分類之辨認「銳角之二」作答情況統計表……… 112 表 4-1-9-A 角的應用「銳角三角形之一」作答情況統計表……… 117 表 4-1-9-B 角的應用「鈍角三角形之一」作答情況統計表……… 117 表 4-1-9-C 角的應用「鈍角三角形之二」作答情況統計表……… 118 表 4-1-9-D 角的應用「直角三角形之一」作答情況統計表……… 118 表 4-1-9-E 角的應用「鈍角三角形之三」作答情況統計表……… 118

表 4-1-9-F 角的應用「鈍角三角形之四」作答情況統計表……… 119 表 4-1-9-G 角的應用「直角三角形之二」作答情況統計表……… 119 表 4-1-9-H 角的應用「銳角三角形之二」作答情況統計表……… 120 表 4-1-10-A 角的保留概念（開口方向）作答情況統計表……… 126 表 4-1-10-B 角的保留概念（切割重組）作答情況統計表……… 128 表 4-1-10-C 角的保留概念（角邊長短）作答情況統計表……… 131 表 4-1-10-D 角的保留概念（合成分解）作答情況統計表……… 133 表 4-2-1-A 角直觀比較「角邊相等」作答情況統計表……… 138 表 4-2-1-B 角直觀比較「角邊不等」作答情況統計表……… 138 表 4-2-1-C 角直觀比較「弧線不等」作答情況統計表……… 139 表 4-2-2 角直觀比較「角邊粗細不同」作答情況統計表……… 144 表 4-2-3 角直觀比較「角量不同」作答情況統計表……… 147 表 4-2-4 角直觀比較「正多邊形內角」作答情況統計表……… 149 表 4-2-5-A 量角器「讀角度－130 度」概念答題統計表 ……… 153 表 4-2-5-B 量角器「讀角度－30 度」概念答題統計表……… 153 表 4-2-5-C 量角器「讀角度－70 度」概念答題統計表……… 154 表 4-2-5-D 量角器「讀角度－150 度」概念答題統計表 ……… 154 表 4-2-6-A 量角器「畫角度－銳角」概念答題統計表 ……… 159 表 4-2-6-B 量角器「畫角度－直角」概念答題統計表 ……… 160 表 4-2-6-C 量角器「畫角度－鈍角」概念答題統計表 ……… 160 表 4-2-6-D 量角器「畫角度－優角」概念答題統計表 ……… 160 表 4-2-7-A 量角器「刻度結構－10 度變換之一」概念答題統計表……… 164 表 4-2-7-B 量角器「刻度結構－10 度變換之二」概念答題統計表……… 165 表 4-2-7-C 量角器「刻度結構－5 度變換」概念答題統計表 ……… 165 表 4-2-7-D 量角器「刻度結構－1 度變換」概念答題統計表 ……… 166 表 4-2-8-A 角度實測「正六邊形內角－120 度」概念答題統計表 ……… 171 表 4-2-8-B 角度實測「三角形內角－45 度」概念答題統計表……… 171 表 4-2-8-C 角度實測「三角形內角－25 度」概念答題統計表……… 172 表 4-2-8-D 角度實測「三角形內角－110 度」概念答題統計表 ……… 172

表 4-2-8-E 角度實測「三角形內角和」概念答題統計表……… 173 表 4-2-8-F 角度實測「優角－325 度」概念答題統計表 ……… 173 表 4-2-8-G 角度實測「銳角－40 度」概念答題統計表……… 174 表 4-2-8-H 角度實測「銳角－30 度」概念答題統計表……… 174 表 4-2-9-A 角度估測「三角形內角－70 度」概念答題統計表……… 180 表 4-2-9-B 角度估測「鈍角－155 度」概念答題統計表 ……… 181 表 4-2-9-C 角度估測「銳角－45 度」概念答題統計表……… 181 表 4-2-9-D 角度估測「三角形內角－130 度」概念答題統計表 ……… 182 表 4-2-10-A 角度解題「角度合成－150 度」概念答題統計表 ……… 188 表 4-2-10-B 角度解題「角度合成－250 度」概念答題統計表 ……… 189 表 4-2-10-C 角度解題「角度分解－35 度」概念答題統計表……… 189 表 4-2-11-A 角度解題「10 點鐘的兩針夾角」概念答題統計表……… 193 表 4-2-11-B 角度解題「分針旋轉－4 大格」概念答題統計表 ……… 193 表 4-2-11-C 角度解題「分針旋轉－7 大格」概念答題統計表 ……… 194 表 4-3-1 實物形體「角的辨認」概念實作統計表 ……… 203 表 4-3-2 三角形「內角和」概念實作統計表 ……… 207 表 4-3-3 四邊形「內角和」概念實作統計表 ……… 211 表 4-3-4 角直接比較「五個角形板」實作情況統計表 ……… 216 表 4-3-5 角間接比較「剪刀開口與角柱」實作情況統計表 ……… 220 表 4-3-6 作圖「互補角」概念實作統計表 ……… 224 表 4-3-7 作圖「鈍角三角形」概念實作統計表 ……… 227

圖 次

圖 2-2-1 圖形角……… 13 圖 2-2-2 張開角……… 13 圖 2-2-3 旋轉角……… 13 圖 2-3-1 複製張開角（open angle）測量圖……… 17 圖 2-3-2 複製鈍角三角形測量圖……… 18 圖 3-1-1 研究流程圖……… 58 圖 3-2-1 研究架構圖……… 59

第一章 緒論

本研究係探討國民小學五年級學童對「角概念」的認知，並分析與瞭解學童 對於「角」概念類型的表現與迷思情形。本章將就「研究動機」、「研究目的與待 答問題」、本研究之相關「名詞解釋」及「研究限制」依序加以說明。

第一節 研究動機

人是視覺的動物，為了生存，人類天賦的「形」或「幾何」直覺，遠比一般 人所想像還要豐富堅實。所以，國小幾何課程不但是數學教育的重要基本課題， 也是較易學習、較有趣的教學單元（教育部，2003）。

「全美數學教師協會」（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱

NCTM）在2000年也指出，過去小學數學教材較偏重算術，而忽略幾何的學習， 因此幾何的地位與重要性需要得到適當的提高。同時亦指出幾何教學的目標是藉 由分析幾何圖形的特徵與屬性，來幫助學童了解幾何學的性質和關係，能於日常 生活中加以應用；並強調學童應該發展幾何空間知覺和具體表徵的系統。同樣 的，學者林碧珍（2003）研究我國國小四年級學童於2003年在國際數學與科學教 育成就趨勢調查（The Trends in International Mathematics and Science Study，簡

稱TIMSS）的數學成就表現中指出，幾何內容評量的比例，已有明顯的提升，顯 示幾何教材的學習逐漸受到國際評量的重視。 由上述可知，幾何課程的學習促進學童對數學的興趣、且與我們生活具有密 不可分之關連性，又國際基礎數學教育的潮流，正有逐漸重視幾何教育的趨勢。 Clements 和 Battista（1992）指出，國小學童對於「角」概念的學習是非 常困難的。探究原因，發現構成幾何圖形的基本要素中，就屬「角」概念較為抽 象又不易為學童所理解。Piaget（1960）指出學童「角」概念的認知發展遠比其 他數學概念的發展來得慢，八歲以前的學童，大都還以「角」的邊長來判定角的 大小，直到八歲以後，才能觀察角的兩邊之張開程度作為判別角的大小之依據。

但此時許多學生仍缺乏角的保留概念，容易受角擺置的方向不同而認為角的大小 就不同。Wilson（1992）對143位國小六年級學童調查矩形的定義，大部分的學 童都提出矩形是一個有四個邊線的四邊形，或是四邊形中有兩組平行、等長的對 邊；大部分的學童都未提及「角」的字眼，只有約百分之一的學童有提到矩形有 四個「角」或四個「直角」，由上可知國小學童瞭解幾何圖形「邊」的性質通常 就多於對「角」性質的瞭解。另外，Stavy 和 Tirosh（2000）對國小學童調查兩 直線相交所成的一組對頂角是否相等、兩角的「邊長長短不同」及「弧線標示大 小不同」之表現，結果發現國小四年級學童在這兩項目的角概念答錯率都接近40 ％。因為學童受到More A（角的邊長及弧長愈長）－More B（角就愈大）的直 觀法則所影響。國內學者（劉湘川、劉好、許天維、易正明，1993）研究亦發現， 約有二分之一的國小三年級學童對角的概念不清楚，容易視「角」為一個三角形 或僅為角頂點之一點的錯誤概念。劉好（1996）指出平面上的有限圖形（如多邊 形）中，並不包含任何角，而是包含了「角」頂點的鄰近區域。所以構成角頂點 的鄰近區域線段長度不同，會使角頂點的鄰近區域有所不同。但角的兩邊之張開 程度大小，卻不因邊長的差異而有所不同。 「角」概念是幾何課程學習的重要基礎，依據九年一貫暫行綱要所編寫的國 小數學課程「角」單元分佈在三至五年級，唯有深入探討國小五年級學童具備角 概念的情況，才能明瞭其整體角概念的學習成效。國內有不少研究「角」概念的 文獻，如陳錦傳（1995）在「國小四、六年級學童角的大小比較的解題策略之研 究」中指出，大部分的國小學童習慣以直覺判斷的方式來比較角的大小。角的邊 之長短、角的弧線標示、角的方位等因素，都會影響學童角的大小比較的表現。 柯慶輝（2000）在「國小三年級學童具體角情境解題之研究」中指出，學童對於 「角」的認知是「形的角」先於「定義的角」；角概念的發展順序依次是「情境 的角概念」、「脈絡的角概念」、「抽象的角概念」。黃金泉（2003）在「國小四年 級學童角的概念之研究」中指出，56％的學童會受到角的邊長、角的弧長愈長， 角就愈大的直觀法則所影響、45％的學童對角的意義，仍有釐清的必要。上述的

研究皆不是以國小五年級學童為其研究對象，其三、四年級學童容易發生的迷思 概念，對五年級學童而言，是否有著相同的情形？且又隨著九年一貫暫行綱要課 程的實施，對教材內容、課程進度及教學方式的改進之下，能否有助於上述情形 的改善卻不得而知？ 綜合上述文獻，可知描述角的方式具有多樣性，使得學童在建構「角」概念 時常產生困難，故在國小幾何教材及教學中，需要針對「角」單元的教材編排及 教材內容進行探討，找出學童不易理解及容易迷思的部分加以輔導，才能建立學 童正確的角概念。研究者在擔任國小高年級數學科教學時，也常發覺學童對角概 念缺乏正確的認知，例如：一個四邊形的二倍擴大圖，有些學童除了知道邊長變 成二倍，也認為角度會跟著變成二倍的錯誤概念。所以研究者深覺必須針對國小 學童在角概念的理解程度及迷思情形再深入探討，並提供教學參考，期使學生學 習及建立正確「角」的概念，為往後幾何課程的學習，奠定深厚紮實的基礎。

第二節 研究目的及待答問題

依據上述研究動機，本研究擬針對學習九年一貫暫行綱要課程之國小五年級 學童在「角」概念之學習情況進行探討。研究目的及待答問題，分述如下： 壹、研究目的 一、探究國小五年級學童「角」概念理解情形的表現。 二、探究國小五年級學童「角度」概念理解情形的表現。 三、探究國小五年級學童作答表現與教材設計的關係情況。 四、探究國小五年級學童「角」概念之實作能力表現情形。 五、探究國小五年級學童在「角」概念方面之可能迷思情況。

貳、待答問題 依據研究目的，本研究之待答問題為： 一、國小五年級學童「角」概念的表現如何？ （一）認識角名稱的表現為何？ （二）辨認角圖形的表現為何？ （三）直角概念的表現為何？ （四）旋轉角概念的表現為何？ （五）角的分類與應用表現為何？ （六）角的保留概念表現為何？ 二、國小五年級學童「角度」概念的表現如何？ （一）角大小的直觀比較表現為何？ （二）量角器的認識與操作的表現為何？ （三）角度實測與估測概念的表現如何？ （四）角度解題與應用的表現為何？ 三、參照「南一」、「康軒」、「翰林」三版本學習的國小五年級學童，其角 概念表現的差異情況為何？ 四、國小五年級學童「角」實作表現如何？ （一）實物形體角的辨認表現為何？ （二）實作三角形與四邊形的內角和的表現如何？ （三）角大小的直接比較與間接比較的表現為何？ （四）實作互補角與鈍角三角形的表現為何？ 五、國小五年級學童「角」的概念有何迷思？

第三節 名詞釋義

茲將本研究之重要名詞，界定如下： 壹、國小五年級學童 本研究所指的國小五年級學童，是指於八十八學年進入國小就讀一年級，九 十二學年完成國小五年級課程之學童，其一年級到三年級係接受民國八十二年頒 佈的課程標準之數學課程，四年級到五年級則接受九年一貫課程暫行綱要數學領 域的課程。 貳、九年一貫課程數學領域中之「角」概念 九年一貫暫行綱要數學領域，係根據學生的學習方式與思考型態兩項特徵， 將國小至國中九個年級課程區分為四階段。本研究「角」概念相關部份係涵蓋階 段一（國小 1～3 年級）及階段二（國小 4～5 年級）中，有關「數與量」主題中 的「量與實測」子題的角度度量概念及「圖形與空間」主題的角概念之能力指標 為主。 參、直線、射線、線段 本研究中的「線段」是指利用直尺把兩點以直的線連接起來，所得到的一條 線段；「直線」是指將線段向兩端方向無限延伸，形成的一條線，沒有端點，兩 端具有可延長性；「射線」是指將線段向一端方向無限延伸，形成的半線，射線 只有一個端點（中學數學實用辭典，1995）。本研究定義「角」是一雙定出兩個 方向間的差量之射線，但考量國小學童尚未具有「可延長性」的概念，因此課程 中尚未引入理論上（幾何學上）的直線與射線概念，學童可能尚無法體會「角」 的邊是一種射線，故角圖形的呈現其邊以線段表示之。 肆、角的保留概念 本研究中的「角的保留概念」是指角的大小不因「方位擺置的不同」、「切 割重組」、「邊的長短不同」等因素而會有所改變。

伍、圖形角概念 本研究中的「圖形角概念」是指由共一端點的兩射線所圍成平面區域的一部 分角形，是一種有限制範圍的角形。 陸、張開角概念 本研究中的「張開角概念」是指二線段以一共同的固定點（共一端點及相同 指向），兩邊同時張開所形成的角，不計較始邊與終邊，只著重角的張開現象與 程度，如紙扇的張開現象。 柒、旋轉角概念 本研究中的「旋轉角概念」是指一線段從起點（朝某一方向）繞著一端點旋 轉到另一位置（指向另一方向），所形成的角，也就是將角視為旋轉，著重角的 旋轉程度。 捌、角的實測概念 本研究中的「角的實測概念」是指學生能使用量角器量測圖形角的度數或大 小，並以「度」為量測值的單位。 玖、角的估測概念 本研究中的「角的估測概念」是指學生能對角形的兩邊張開程度大小，非使 用量角器直接測量，而以心像或某種方式估出角兩邊張開程度的度數。 拾、角的實作表現 本研究中的「角的實作表現」是指由實際操作的方式來探究學童角概念理解 的情形，包含以下七項：（一）實物形體上角的辨認（二）三角形內角和的操作 觀察（三）四邊形內角和的操作觀察（四）角大小的直接比較（五）角大小的間 接比較（六）互補角的作圖（七）鈍角三角形的作圖。

拾壹、角的迷思概念 本研究中的「角的迷思概念」是指學童在認識角的過程中，可能自行發展出 某些自以為是、對事實不當的解釋或錯誤混淆的想法，但這些是與教科書的教材 內容、教師教學所傳達的知識、學者專家所公認的事實並不相容或不一致的情形。 拾貳、「南一版」、「康軒版」、「翰林版」教材 本研究中的「南一版」是指南一書局所出版的國小數學指引、課本與習作； 「康軒版」是指康軒文教機構所出版的國小數學指引、課本與習作；「翰林版」 是指翰林書局所出版的國小數學指引、課本與習作。學童三年級使用的教材係參 照八十二年版課程標所編寫的教材，四、五年級使用的教材係參照九年一貫暫行 綱要所編寫的教材。因目前大多數國小較普遍使用此三版本的教材，故研究者選 取研究對象仍以使用上述版本的學童進行分析，因多數學校選用教科書以年級為 主，故取得三至五年級一貫使用同一個版本的學童較為困難。

第四節 研究限制

基於研究時間、經費、人力上的限制、學校行政溝通、晤談時間的安排及研 究的便利性，本研究採取立意取樣，研究對象僅針對台中縣、台中市、彰化縣等 地區之學童，每縣市選取都市型、鄉村型學校各一所，每校二至三班，共計選取 十四班級的學童進行研究分析，學童參照使用的教材版本以南一、康軒、翰林三 個版本，因此研究所得的結果無法較廣泛的推論。

第二章 文獻探討

本章針對「角」概念之教材進行分析，並探討有關「角」概念之相關文獻， 分成五節來說明，第一節討論概念的形成與發展；第二節探討角概念及其相關性 質；第三節探討「角」概念發展之相關理論；第四節為數學課程標準與能力指標 中「角」概念相關條目之闡釋；第五節為「角」教材之課程內容與教學活動分析。

第一節 概念的形成與發展

本研究主要是以國小學童的「角」概念為研究主題，一般概念為形成角概念 之基礎，是故本節先對學童概念的形成與發展兩方面加以探討。 壹、概念之形成 國內外許多學者對概念的意義及其形成，提出其各自看法。例如：Duit 和 Treagust（1995）認為概念（concept）是指一個概括的名稱或具有能被信號或 符號代表所指共同屬性的一類事物或事件，及一些已明確定義或廣泛為大眾所接 受的觀念。徐綺穗（1995）指出Gagne認為概念的基本意義為個人對一組觀察事 物或其特質的行為反應，可分為具體的概念（concrete concept）與定義的概念 （defined concept），前者如「鳥」、「圖」「顏色」等，以知覺上的特徵為分類 的依據；後者如「溫度」、「舅舅」，無法從視覺上予以界定，而必須以語言或文 字來說明。Novak（1987）定義概念是一種認同(identification)，是一種心像、 觀念和過程，概念也是在事件或物體中尋出規則後的標籤。郭重吉(1992)更把概 念動態化，認為概念是學習者接受外來訊息後，統整在原有知識(prior knowledge)，或原有概念(pre-conception)而建構發展出來的結果。另外黃金泉 （2003）也提到Vergnaud（1983）的看法，構成一個概念的意義包含三個特性（一） 不變性－包含定義概念的性質（二）符號的表示－表示概念的特殊方式（三）情 境－使得概念有意義。 所以一個概念是一個象徵的建構（symbolic construction），它用來代表外

界事物或事件的共同性，概念之所以形成，是由於我們能夠對外界的事物進行歸 類（categorization）（鄭昭明，1997）。藉由概念的形成，我們將訊息按概念分 類處理，不須每一事物給一個名稱，可節省許多字彙及記憶上的負擔，因此可據 以進行推理、決策或問題解決等思考活動，故概念的形成是思考的基礎（鄭麗玉， 1993）。概念的形成是需經由學習的。簡單概念學習的過程主要是由類化與辨別 的交互作用，把具體事物的經驗，經由抽象化而形成超越具體對象的認識；複雜 概念的學習，則需經由理解或假設驗證的思考歷程（林福榮，2001）。學者劉秋 木（1996）認為數學知識是抽象概念所形成的結構，兒童如何形成概念是數學學 習的重要問題，能將同性質之事物歸納成一類而以符號或名稱代表之，就成為概 念。且概念的形成與分類是分不開的，分類是形成概念的基本操作，所以對數學 概念的教學最好以分析屬性、分類、命名的程序來進行，但也要注意兒童在社會 上所學到的錯誤概念。 綜合以上所述，研究者發現概念是學習者在建構知識、學習技能的重要基礎 所在，概念對學童的學習成效具有相當程度的影響，概念的正確與否、形成多寡， 都會影響學習的成效。如對「角」或「角度」無法形成正確的概念，對於學習平 面幾何圖形或空間立體圖形，都會阻礙學童的學習成效及降低學童的學習興趣， 故對概念的認知愈明瞭、愈能幫助正確概念的獲得。也就是說：兒童在學習的歷 程中，形成正確而清楚的概念是重要的。 貳、概念之發展 概念是循序發展的，但並非只因生物或生理成熟的自然結果，也並非年齡一 到，即會有特定的發展出現。所以概念與認知的發展是在正常學習環境之下，學 童藉由學習與成熟兩者的交互助長作用，所經歷的心智操作（mental operation） 或心智過程（mental processes）（林生傳，1997）。 美國威斯康辛大學 Klausmeier（1974） 教授提出應用於教學的一種概念理 論：「概念學習與發展理論」（The Theory of Conceptual Learning and

Development，簡稱是CLD），認為學童的概念發展可分為以下四個層次： 第一層次：具體層次（Concrete level）－－個體可以辨認出他曾經接觸過或 學過的概念。 第二層次：識別層次（Identity level）－－當個體所面對的是他過去曾接觸或 學習過的概念，即使是從不同的角度或以不同的形式出現，個體仍 然可以辨識出來。 第三層次：分類層次（Classificatory level）－－對於相同概念有兩個以上不同 的實例時，能歸納出相同種類的特徵。 第四層次：形式層次（Formal level）－－個體可以清楚地了解概念所代表的 意義、一般與獨特屬性，並且能夠分辨與此相似概念的差異所在。 Klausmeier同時認為概念發展的層次是固定不變的，並依循以下幾個原則： 一、概念循著四個層次之順序固定不變，不可跨越層次，是為不變性。 二、相同概念持續不斷發展漸漸進步，連續層次概念的發展也可能同時進行， 故由低層概念到高層概念的達成是連續而非間斷的。 三、由於同層次概念之內容領域的熟悉程度不同、抽象性的差異，故學習的難 易度、發展的先後仍會有所區別。 四、概念發展到較高層次時，學童對原則和分類的概念增加，而且解決問題的 技巧更為精進。 五、學童隨著年級的增加，對不同科目內容之概念的差異性日趨明顯。 六、教育的品質和認知的發展對概念的達成有密切的關係。 七、概念的發展因社會文化環境的不同，而會有所差別。 綜合以上所述，可知學童的概念發展是由具體的層次，經辨識、歸類的層次， 到抽象的形式層次，且需經由不斷努力的學習，其層次才能漸次提升。學童心智 的成熟與學習環境的刺激對於概念的形成與發展影響深遠，因此在教材內容的設 計及課程教學的編排應與學童的生活經驗相符合外，也需考量學童概念發展的層 次性，透過教師對學童個別差異性的瞭解，施予合適的教學，協助學童獲得正確

的知識，提升知識概念的發展。角概念的學習亦同，本研究為學童角概念學習成 就之探討，因此在測驗問題之設計上參考概念發展的理念，以配合學童各階段的 學習內容，來探討學童對角概念的理解狀況。

第二節 角概念及其相關性質

本節主要是探討「角」的意義及「角」的一些性質，分別說明如下。 壹、角的意義 數學上「角」的定義與我們日常生活中談到的角，所表示的意義有時是不相 同的。劉好（1996）指出，一般人對角的認知，常是真正角概念的局部，大都認 為一個角有兩條線段當作邊，兩邊中夾著一塊區域，產生一個尖尖的頂點；也有 人以角的頂點或頂點的鄰近區域來描述角。對角的意義還有許多種說法，例舉說 明如下： 一、歐幾里德（Euclid）之角的定義 陳錦傳（1995）提到Euclid認為角是平面上具有共同端點的兩條不重疊 直線的傾斜度（inclination），當這兩條直線重疊時則稱為「成直線的角」 （rectilinear）。由上述定義可知：歐幾里德以「直線」的觀點來描述角，以 傾斜度說明兩射線的方向差，並藉由直線的重疊引出零度角與平角的概念。 二、Heath 的「角」定義 蔡明哲（1998）在「一個國小四年級學童的角概念」中介紹了幾位學者 對角的定義，其中之一提到Heath（1956）認為角是兩條直線間不同的方向 差，由一直線移至另一直線間的旋轉量，角是平面的一部份，在此平面上有 兩直線相交於一點。由上述定義可知：Heath 認為角是方向的問題，方向變 換是以旋轉的方式進行，含有動態角（旋轉角）與靜態角（圖形角）的概念。 三、Gustave Choquet 的「角」定義 蔡明哲（1998）介紹的第二位學者之角定義為 Gustave Choquet（1969）

使用旋轉（rotation）來定義「角」，他認為角是以頂點為起源的一雙半線對， 由其一線段移至另一線段。由上述定義可知：Gustave Choquet 是以旋轉的 觀點定義角，是屬於動態角（旋轉角）的概念，已有旋轉次序的區別。 四、David Hibert 的「角」定義 蔡明哲（1998）介紹的第三位學者之角定義為David Hibert（1971）是 使用射線（rays）的觀點來定義「角」，他認為平面上兩條有區別的射線從頂 點放射，並且成有區別的直線，這樣的射線對（pair of rays）稱作「角」， 但這樣的識別方法則排除了 0 度角、平角（straight angle）和優角（reflex

angle）。由上述定義可知：David Hibert 是以射線的觀點定義角，是屬於靜

態角的概念，把角的大小界定於 0 度至 180 度之間。 五、Close 的「角」定義 Close（1982）以形成角的狀態來說明角，分成以下兩種： （一）靜態角（statistic angle）：同一端點的兩條直線所張開的開度。 （二）動態角（dynamic angle）：一直線繞一端點的旋轉量。 由上述定義可知：Close 以靜態的觀點闡述張開角，強調張開程度的大 小；以動態的觀點闡述旋轉角，強調旋轉量的大小。 六、Mitchelmore 角的觀點 Mitchelmore（1989）對角的意義提出下列三種說明： （一）角是由一個頂點及共此頂點的兩條射線（ray pairs）所組成。 （二）角是自同一頂點射出的兩射線所圍出的一個平面區域（region）。 （三）角是一射線繞其端點旋轉（rotation）一個程度的量。 由上述三種定義可知：（一）說明角是由一端點與兩射線所圍成的平面區域， 著重角的內部區域，也就是「圖形角」，與角的性質（尖或鈍）、角的大小（所張 開區域的程度）和面積等概念相關，如圖2-2-1所示（二）強調角是由一頂點與 兩射線所構成，著重角的外型，也就是「張開角」，與角的方位、射線指向、角

的感覺（大小和尖平）、直線、點等概念有關，如圖2-2-2所示（三）顯示角是以 頂點為中心記錄一射線繞頂點旋轉的起止結果，著重角的旋轉程度，也就是「旋 轉角」，與旋轉和空間的概念相關，如圖2-2-3所示。 射線 射線 頂點 射線 射線 頂點 終邊 始邊 頂點 圖2-2-1 圖形角 圖2-2-2 張開角 圖2-2-3 旋轉角 綜合以上所述，可歸納出這些學者對角的定義分別以「張開程度」、「平面 區域」及「旋轉量」來描述；對於角的邊之描述，則可分為「直線」、「射線」 和「線段」三種。在國小課程，各版本教科書（康軒版第五、九冊，2003、南一 版第五、六冊，2003、翰林版第五冊，2003）仍以採用Mitchelmore 對角意義的 說法，故學童在角概念的認知，可能亦如Mitchelmore 的觀點為主。 貳、角的性質 從上述角的定義可以看出如下角的一些性質： 一、角的保留性 角的保留概念是指角的大小不因「方位擺置的不同」、「邊的長短不同」 和「切割重組」等因素而會有所改變，如表 2-2-1 圖示說明。 表 2-2-1 角的保留性 項目 圖示 說明 方位擺置 角的大小，不因開口方向的不 同而有所改變 邊的長短 角的大小，不因兩臂的長短不 同而有所改變 切割重組 → → ∠BAC的大小切割成∠BAD和

∠DAC，再把∠BAC和∠DAC 重組

合成∠BAC，∠BAC 的大小並不 會有所改變 C A B D C A B B D C A B D A C A D C A B

二、角的可合成與分割性 兩個角可經由使其頂點及一邊重合，但內部不重疊的處理，而形成另一個 新的角，即可合成新的角；也可自頂點另作一條經其內部的射線，將其分割成 兩個角，即可分割成新的兩個角。如表 2-2-2 圖示說明。 表 2-2-2 角的可合成與分割性 項目 圖示 說明 合成性 （可加性） → → ∠ABD 和∠KMC 中，將頂點 B 與 M 重疊， BD 邊與 MK 邊重 合，即可組成新的∠ABC D B A K C 分割性 → → ∠ABC 可以 BD 射線，將其分 割成∠ABD 和∠DBC 兩個角 三、角的可比較性 兩個角開度大小可以互相比較，為角的可比較性。因角的大小差異不同， 是否可以移動等因素，比較的方法可分為直觀比較、直接比較和間接比較三種 方式，如表 2-2-3 圖示說明。 表 2-2-3 角的可比較性 項目 圖示 說明 直觀比較 ∠A 和∠B 的開度大小明顯差 異很大，直接利用視覺辨別可 知∠A 開度比∠B 大（以 180 度以內觀之） 直接比較 ∠ABC 和∠DEF 的開度大小不 易直觀辨識，將兩角的 BC 、 EF疊合，發現邊AB落在 ∠DEF 的內部，就可辨別∠DEF 大於∠ABC 間接比較 桌角和窗戶的角落無法直接 比較，利用複製描繪窗角 ∠A，再與桌角疊合比較 A B A M （K） （M） D C A B A B C A B D A D C A B B _C D B C A C (F) (E) B D F E D A C B

四、角的可測量性 測量（measurement）意指賦予物件的某種屬性（如角度）的一個數值。 而角的可測量性是指訂定一個較小的角為基本測量單位，可用來測量較大角， 觀察其為基準單位角的多少倍，就是「角」量數值化的過程。如表 2-2-4 圖示 說明。 表 2-2-4 角的可測量性 項目 圖示 說明 角量 數值化 訂定∠A 為基本測量單位角，而 ∠B 的大小為∠A 的五倍，如此 ∠B 的開度大小為五倍∠A。 B A 若是角的單位人人訂定之大小皆不同，則難以互相溝通，因此有共同約定 基準單位的必要。數學上用來描述角的標準測量單位的制度有兩種，分別敘述 如下：（劉好，1996） （一）度：若一圓以其半徑將之等量分割為 360 部份，則每二相鄰的半徑所夾的角 稱為 1 度，記作 1°（國小階段以介紹度單位為主）。 （二）弳：取圓心角（θ）所對的弧長（s）對其半徑（r）的比值作為圓心角（θ） 大小的度量，此度量稱為弳，又稱為弧度，即弧度為θ＝ r s ，如左圖； 當 s＝1、r＝1 時，則θ＝1，稱為 1 弳或 1 弧度。 s r 綜合以上所述，角的性質具有保留性、合成與分解性、比較性和可測量性。 學童藉由四種性質的操作過程，形成角概念的認知，同時亦學習到數、量、形的 相關概念與獲得練習數字運算、發現關係、解決問題等學習機會（高敬文、黃金 鐘，1992）。 本節文獻的啟示：根據上述文獻的探討，研究者認為學童應對角意義形成正 確認知、瞭解角的各種性質，才能靈活運用這些概念與性質，來解決生活中與角 有關的問題。八十八學年度進入小學的學童，在接受以八十二年版課程標準與八 十九年版九年一貫暫行綱要所編寫的教材教學之後，其角概念是否清楚，研究者 認為值得加以探討，作為日後教材改善與教學之參考。

第三節 兒童「角」概念發展及其相關研究

國小學童對角概念的認知，最先是從認識圖形角開始，八、九歲以後，藉由 扇子的開合現象來瞭解張開角，並能知道張開角的構成要素「邊」和「頂點」的 性質，再以圖像表現旋轉的程度，建立旋轉產生角概念，認識旋轉角。接著學童 觀察鉛直方向與水平方向所成之形象特徵，產生直角的概念；再以直角為基準， 認識銳角、鈍角、平角與周角，形成學童角的概念發展（康軒教師手冊，2003）。 以下將探討國外及國內學者對「角」概念發展的重要研究。 壹、國外學者有關角概念的研究 在國外學者角概念的研究中，Piaget 等人的研究發現，學童十歲以後才漸漸 對角的存在及角度概念能有所理解；van Hiele 的研究發現，學童角概念的發展 是由察覺角的外形進入到利用角的性質將圖形分類，最後發展出瞭解角的特性並 推演角度關係的幾何性質；Stavy 和 Tirosh 的研究發現，學童易受與角不相關的 外在特徵（如邊長、弧長、粗細）所影響，依循直觀法則做判定；Happs 和 Mansfield 則提出學童估測角度的解題策略。以上幾個研究，有助於瞭解本研究 學童角概念的理解方式，以下再分別一一詳列： 一、Piaget 等人對學童角概念之研究 Piaget 等人以「互補角圖形的測量」、「鈍角三角形的測量」、「三角形內 角的度數和」三項作業來研究學童角概念的發展情況（Piaget、Inhelder & Szeminska，1960），說明如下： （一）互補角圖形的測量 利用兩個互為補角∠ADC、∠CDB，如圖 2-3-1 作為測量的主題，要求 學生畫出相同的圖形，以觀察各年齡層學童的能力表現，經觀察學童操作結

果，歸納出以下特徵：

A

B

C

K

D

圖 2-3-1 複製張開角（open angle）測量圖 階段Ⅰ（4.5 歲前）－－學童以視覺估測來進行圖形的繪製，不會嘗試著去 測量角度。 階段ⅡA（4~6.6 歲）－－學童不會想要使用直線測量的方式，只做簡略的描 繪，仍以視覺估測CD的傾斜度。 階段ⅡB（6~7.6 歲）－－學童已能使用直線測量出AB、CD線段長，但仍以 視覺估計CD的傾斜度，所以只是做一維空間的測量，仍無法畫出角。 階段ⅢA（7~9 歲）－－測量出AD、CD、DB各線段的長度，但是利用手指 或直尺的平移方式來保持線段CD的傾斜度，但仍無法準確的畫出此對互補 角。 階段ⅢB（9~9.6 歲）－－測量出AD、AC、BC各線段的長度，且知道兩角 的開度大小就能確定 點的位置，然後連C CD便可正確畫出傾斜度，也有學 生測量C點到AB的垂直距離CK，同樣也可確定傾斜度。 階段Ⅳ（9.6 歲後）－－學生利用三角板之直角做出CK（C點向線段ADKB 作垂線），便可測得∠ADC、∠CDB的開度大小，而不需測出AC、BC的長 度，顯示學生會使用直角測量角度的傾斜度。 （二）鈍角三角形的測量 Piaget 等人再利用鈍角△ABC如圖 2-3-2 作為測量的主題，要求學生畫 出相同的圖形，以觀察各年齡層學童的能力表現，經觀察學童操作結果，歸

納出以下特徵：

A

B

C

K"

K

K'

圖 2-3-2 複製鈍角三角形測量圖 階段ⅡA（4~6.6 歲）－－不會想要使用測量的方式畫圖，而以目視的方式畫 出三角形，學童畫出的封閉曲線和圓形的圖形並無兩樣，所以學童並無測量 的行為。 階段ⅡB（6~7.6 歲）－－會以一維的方式去測量三邊長，但因邊長經過拆解 及改變方位，學童便無法精準的再合成為原圖，結果所畫出的三角形三邊都 無法相交。如先畫AB、AC，再畫BC，但AC和BC卻無法交於一點，總會 有缺口，因為學童無法確定AC之傾斜度。 階段ⅢA（7~9 歲）－－學童將直尺以平移的方式保持AC、BC之傾斜度， 但總都有缺口產生，無法交於C點；於是學童發展出以試誤法 （trial-and-error ），在保持AC、BC的長度，略微調整兩線段的方位，使 其交於C點來完成作圖。可知學童已有平移的概念，但尚無法精準的知覺角。 階段ⅢB（9~9.6 歲）－－測量出三角形的三邊長及對應邊的高，來決定此三 角形。如測量AB之垂直線段BK，經過K點畫AC，再連BC即可；或測量AC 之垂直線段B ′K ，畫AC經過K ′點且垂直B ′K ，再連BC即可。所以此階段的 學童已懂得測量圖形的高來畫出三角形。 階段Ⅳ（9.6 歲後）－－學生能做出鈍角三角形的外高，決定此圖形。先畫AB 的延長線，並由C點畫垂直線，交AB延長線於K ′′點，量出BK′′。便可由AB、 K B ′′及CK′′線段來決定此三角形。 （三）三角形內角的度數和

Piaget 等人利用將三角形三內角剪開再合併的操作活動，觀察各年齡層 學童的歸納及實證，演繹及預測能力表現，經觀察學童操作結果，歸納出以 下特徵： 階段ⅡA（4~6.6 歲）－－學童對角不具備摘要（abstract）能力，且無法預測 三角形角度和，認為原始的角是頂部（roofs），剪開重新排列後的角是半月形 （half-moon），兩者絕對是相異的性質（utterly heterogeneous）。簡言之， 學童將三角形排成半圓形後，卻無法歸納結論，因為重新排列後並不影響角 度和的概念認知。顯示此階段的學童不具備角度的保留概念。 階段ⅡB（6~7.6 歲）－－學童雖同意排放角的次序不會影響角度和，但事實 上，意謂著學童較不傾向這樣輕率的歸納（generalization），這樣的事實導致 學童不太能確信外形不同的三角形，其角度和都是 180 度的事實。 階段ⅢA（7~9 歲）－－學童開始能歸納且更能發現三角形角度和都是 180 度的通則，但是歸納和演繹的方法常造成本階段學童認知上的衝突，因為學 童不僅止於滿足預測的結果是半圓形，還想試著去證明他們的預測，但學童 的認知程度僅能做到歸納真實圖形的組合，在演繹推論的分析就顯得有些膚 淺（superficial）。 階段ⅢB（9~9.6 歲）－－學童能快速的發覺三角形角度和為 180 度的定理、 且能建立角和三角形的關係，視「角」為此互補關係系統的一部份。但僅能 由漸進式的歸納（inductive）步驟來完成。相對地，也就無法察覺演繹推論 的必要性。 階段Ⅳ（9.6 歲後）－－學生能以普通概念（universal）及必然結果 （necessary）的方式構想出三角形角度和的定理，也就是學童能理解「角」 無論如何分割或重組，角度和是不變的事實，且視此性質是必然的。並知在 此互補系統中的角，不能同時包括兩個直角在內。本階段的學童，部分已能 進行邏輯性的論證（demonstration）。 綜合上述Piaget等人的三個測量角度的研究，可知： （一）學童隨著「年齡」層次的增加，大約到十歲以後學童才漸漸對角的存在 及角度概念能有所理解，也就是Piaget的理論是偏向屬於年齡取向的階

段論，注重發展的過程。 （二）學童角概念的發展順序依次是:「從無法知覺角的存在」、「以目測的 方式知覺兩線之間的傾斜度」、「利用視覺以外的方式（如手指或直尺 平移的方式）來知覺角度，但尚無法利用測量工具來準確地測出角度」 進而「能正確地利用測量工具來量測出角度」。 （三）學童實作各式各樣外形大小不同的三角形，把三個「角」以邊對邊的方 式排列，經由歸納或演繹的方式，能建構「三角形的內角和為180度」 的事實。 二、van Hiele 的幾何思考層次 荷蘭數學教育家P.M. van Hiele （1957）提出幾何思考階段論，主張兒童經 由適當的教學，學習成效可從較低層次的幾何思考階段發展到較高的嚴密性思考 層次，各層次的發展是依序進行、無法跳級超越的（Hoffer，1983），以下採用 van Hiele（1986）對層次的說法，就各階段層次的要點加以說明（林軍治，1992； 盧銘法，1996；吳德邦，1998；薛建成，2003；Hoffer，1983；Clement & Battista， 1992） （一）層次一：視覺的（visual）層次 對圖形的認識是藉著視覺觀察各種具體事物，從各種事物體的外型輪廓 來辨認圖形，但無法辨認圖形的部分或屬性。如讓學童透過實際的操作，使 其憑藉著視覺感官能夠進行圖形的分類、描繪、著色、堆積、造型等活動， 來獲得幾何圖形的正確概念。 （二）層次二：描述的（descriptive）層次 具有辨認圖形特徵的能力，能從圖形構成要素的名稱，和構成要素之間 的關係來分析圖形的幾何概念。如學童能察覺圓形沒有角、正方形有四個 角、正三角形有三個角，但卻無法說明這些圖形特徵之間有何關係存在。

（三）層次三：理論的（theoretical）層次 具有瞭解、運用構成各種圖形的要素，並能探求幾何圖形的內在屬性以 及各圖形之間的包含關係。如任何三角形的外角，都等於其相對兩內角之 和；N 邊形的內角和為（N－2）×180 度；知道三角形不能有兩個鈍角，任 兩邊的夾角越大，對應邊的長就越長。 （四）層次四：形式邏輯的（formal logic）層次 學生能夠經由抽象推理的過程，來證明各種幾何問題，同時能夠知道證 明的方法不只一種，並能理解幾何問題的解決，必須具備的充分或必要條件 所在。如學生知道正方形既是菱形，又是長方形；學生能用邏輯推理的方法， 來證明幾何的性質。

（五）層次五：邏輯法則本質的（the nature of logical laws）層次

學習者能夠在不同的公設體系中，建立定理並且分析或比較包括非歐幾 何或比較不同的公設系統；同時也能夠瞭解抽象的幾何概念。換言之，在此 層次的學生，能學習不同的幾何公設系統，瞭解抽象幾何推理，並能互相比 較不同的公設系統。

Wilson 和 Adams（1992）進一步探討兒童角概念，認為在 van Hiele 幾何 思考模式中可分成三個層次，學童在各層次的角概念表現如下： 層次一的角概念 當學童初步認識角時，是以圖形的整體性來認知角，學童能注意到三角形 是有三個角和三個角落（corners），但卻無法注意到此三個角之間的關係有何 特別的屬性。換言之，學童能察覺等腰三角形有三個角，但不會留意到其中一 個角和其他兩個角不一樣。 層次二的角概念 學童已能理解如何測量或描繪一個角，如利用直角為參考角的性質，知道

比直角小的角是銳角（acute），知道比直角大的角是鈍角（obtuse），學童開 始能確認角的屬性與角和角之間的關係。 層次三的角概念 學童能利用操作的方式來瞭解角的性質及角之間的關係，以非形式演繹的 方式知道三角形三個角中，不可能有兩個鈍角。因為三角形三個內角和為 180 度，若有兩個鈍角，如此三邊無法形成封閉的圖形（closed figure）。 綜合以上所述，國小學童的幾何概念發展約在 van Hiele 模式中的層次一至 層次三。層次一「著重視覺的觀察，察覺角的外型，但卻不知道角的性質」；層 次二「理解角的測量意義，利用角的性質將圖形分類，確認角的屬性與角之間的 關係」（本層次的學童約為國小中年級，才適合進行教導抽象的角概念）；層次 三「以操作角與角度的方式，以瞭解角的特性，並推演出角度關係的幾何性質」。 三、Tirosh 和 Stavy 直觀法則對「角」概念之研究 以色列學者Stavy 和 Tirosh（1996）在數學和科學教育研究方面，觀察到學 生在建立某些概念的過程中，常會受到一些無關因素的影響，雖然這些數學和科 學方面的問題內容領域和推理需求是不相同的，但是它們都有一些共同的外在特 徵，於是提出直觀法則（Intuitive Rules）的理論來解釋學生這些迷思概念或另有 概念。而直觀法則目前已界定出四種學童反應的類型：

（一）A 比較多，B 就會比較多（More A－More B）

（二）A 相同，B 就會相同（Same A－Same B）

（三）凡事總有盡頭（Everything comes to end） （四）凡事可被分割（Everything can be divided）

以下僅針對學童在「角」概念方面的表現提出二項研究的說明：

A－More B 法則進行七個圖形角比較大小之研究；第二項為 Roghani（1997）（引 自Tirosh，1999）針對 Same A－Same B 法則進行正五邊形（pentagon）和正 六邊形（hexagon）一個內角之比較大小之研究。研究結果整理如下表 2-3-1 及 表 2-3-2： 表 2-3-1 Stavy 和 Tirosh 研究「角」大小比較結果分析表 Μ β α Μ β α β α 比 較 圖 形 研 究 結 果 A圖：對頂角－兩邊等長 研究顯示，極大部分的學童都能正確地判斷出 ∠α ＝∠β 的結果。 各年段學童回答情形（答對率）： 幼稚園：84％、 二年級：78％、 四年級：91％、 六年級：91％、九年級：99％ B圖：對頂角－兩邊不等長 研究顯示，認為∠α ＝∠β 的學童明顯低於 A 圖，因為部分學童認為∠β 的兩邊比∠α 的兩邊 長，所以自然地∠β＞∠α 的結果。 各年段學童回答情形（答對率）： 幼稚園：13％、 二年級：12％、 四年級：62％、 六年級：68％、九年級：82％ C 圖：銳角－兩邊不等長 研究顯示、雖然把兩角畫在方格（grid）上且標 示相等的弧線、但仍有三分之一的學童受到∠α 的 兩邊比∠β 的兩邊較長的直觀概念所影響，認定 ∠α 大於∠β，而無法利用方格的輔助線來判定 ∠α 等於∠β 的事實。 五年級學童回答情形（答對率）： 認為∠α＞∠β 的學童有 33％、∠α＜∠β 的學童有4％、∠α＝∠β 的學童有 52％、不知道 的學童有4％、其他答案的學童有 6％。

Μ β α

β

α

D圖：對頂角－不等弧長 研究顯示，雖然兩角的兩邊等長，但大多數的 學生（六年級之前）因∠β 的弧線比∠α 的弧線較 長，就認定∠β 大於∠α，只有九年級的學童較能 正確判斷判定∠α 等於∠β 的事實。 各年段學童回答情形（答對率）： 幼稚園：4％、 二年級：11％、 四年級：60％、 六年級：69％、九年級：85％ E圖：銳角－不等弧長 研究顯示，年級愈高判定∠α＝∠β 的比例就 愈高，但為數不少的學生仍受∠β 的弧線比∠α 的 弧線長的影響，認定∠β 大於∠α。但有一些學童 認為∠α 較大，似乎違反More A－More B的法則， 他們認為∠α 的張開區域（弧線右邊區域）比∠β 的張開區域大，所以∠α 大於∠β。 F圖：銳角－兩邊粗細不同 研究顯示，角的兩邊線厚度（thickness）因素 會影響學童判定角的大小，但此情形只有在低年級 才明顯。認為右邊的角邊線較粗，所以角就較大， 顯然仍受More A－More B的直觀所影響，其實兩角 大小是相同的。 G圖：直角－兩邊不等長 研究顯示，判定左邊直角比右邊直角大的學童 明顯比 C 圖的比例少許多，只有佔一小部分。顯然 直角較不易受到角的兩臂長短所影響。其原因可能 是此處之直角由基本方向之水平線與垂直線所組 成，在生活事物中隨處可見，又受 Euclid 所提出「所 有直角都互相相等」的公理所影響。 綜合上述直觀法則對角的研究，可知： （一）學童對角的定義不理解，容易受到角邊的長越長、角弧線越長、角的 邊線越粗，就判定角也越大，這樣的結果顯示學生在做判斷時，常受 到一些不相關的外在特徵所影響，而依循著 More A-More B 的直觀法 則做判定，所以教學時強調「角的定義」概念，有助於學童發展正確 的角概念。 （二）學童在比較正多邊形內角大小時，容易受到角的邊長相同，就判定角

的大小也相同。顯示這些學生依循著Same A－Same B 的法則來回 答，而忽略正多邊形的邊數越多，角度就越大的概念。 表 2-3-2 Roghani 研究「正多邊形」內角大小比較結果分析表 【研究條件】 正五邊形的邊長等於正六邊 形的邊長。 【研究題目】 【作答選項】 （a）∠1 ＞ ∠2 （b）∠1 ＜ ∠2 （c）∠1 ＝ ∠2 （d） 無法判定 【研究結果】 年級 選項 四 n=74 六 n=67 八 n=64 十 n=59 十二 n=57 a＊ 19 30 27 25 46 b 10 5 13 25 30 c 55 57 50 32 16 d 5 6 8 18 6 空白 11 2 2 0 2 ＊表示正確答案、n 為樣本數、答案數字為％ 【研究分析】 由上表顯示，約有 50％四到八年級的學童選擇 兩角相等，他們最典型的回答就是「邊長相等，所 以角就相等」，明顯的可以看出是直觀法則Same A －Same B的應用。也有部分十到十二年級的學生， 也選擇兩角相等，因為他們學過歐氏幾何學，使用 繁複的證明，如在三角形中、等角對等邊；又如兩 個多邊形的外接圓中，此兩圓的弦等長，基於等弦 定理，所對應的角也就相等。雖然這些學生過度歸 納及誤用幾何定理，但他們的回答，從直觀法則的 觀點來分析，也都是依循著 Same A-Same B 法則。 1 2 四、Happs 和 Mansfield 對「角」估測概念之研究 Happs 和 Mansfield（1992），對六年級和八年級學童進行角的認知研 究，調查學童估測角度的解題策略有以下幾種方式：

學童注視量角器的刻度，產生心像，再去看問題中的角度，就能夠 隱約估計出角度的大小。或是以量角器為心像，畫出十度一格的標示線 在角度圖片上，藉以估測角度的大小。

（二）以直角為心像（The right angle as a mental image）

學童以直角作為心像進行估測角度的大小。如估測 45°角的問題， 學童想像一個直角，並估計問題中的角度是直角的一半。在 270°角的問 題，學童畫出 270°角的分界線，並以三個直角構成 270°角的方式進行估 測。在接近 90°角的問題中，學童認為問題中的角度比直角尖一點點， 所以沒有 90°那麼大，再次說明了學童以直角作為估測的工具。

（三）以平角為心像（The half-turn as a mental image）

學童以半圓周角（180 度）和圓周角（360 度）作為心像進行估測 角度的大小。如學童估測 160 度角的問題，認為和半圓周角(180 度) 差 不多，而估測為 175 度。在 350 度的問題中，學童認為和圓周角（360 度）差不多，而估測為 355 度。顯示學童會以特定角為基準來進行估測。 （四）以多邊形的內角為心像（The angles of polygon as a mental image） 學童會以正多邊形的內角作為心像進行估測角度的大小。如估測 60 度的扇形角（sector）問題中，學童將扇形角放在桌上，並想像一條垂 直線穿過扇形角的頂點。此扇形角差不多是半圓的三分之一，就有如一 個正六邊形（hexagon）的 60 度角一樣。但當學童無法畫出正多邊形的 角度時，會把這個角度和心像中的量角器測量單位作比對。 綜合Happs 和 Mansfield 的研究，學童進行估測角的活動，能利用自己熟 悉的方式、具備運用數個「參考角」的能力，且經由多次的練習增加估測的經驗， 培養對角的量感，提升「角」的估測能力。以上表現特徵，雖非在本研究對象之 學年範圍內，但也可供本研究分析學童表現之參考。

貳、國內學者有關角概念的研究 在國內有許多學者進行角概念的研究，如劉湘川等人研究發現國小三年級學 童的「角」概念較為模糊，而四年級學童的「角」概念則較為清楚；陳錦傳研究 發現學童具有許多不正確的角概念，且習慣以直覺判斷方式，而較少以輔助工具 或線性測量的方式作為比較角大小的解題方式；蔡明哲研究歸納出國小學童角概 念的幾項類型；柯慶輝研究發現國小學童的角概念的形成步驟，是由具體角的觀 察與操作，而後形成抽象角的心像，最後以圖形等方式表徵抽象角；黃金泉研究 發現國小學童的角概念易受直觀法則所影響、部分學童的角概念仍不甚清楚；張 英傑等人則具體歸納出學童所具有角的迷失概念。以上幾個研究，對本研究瞭解 學童角概念極具參考價值，以下再分別一一說明： 一、劉湘川等人對學童對稱概念的研究 國內學者劉湘川等人（劉好、許天維、易正明，1993）在「我國國小學童對 稱概念的發展研究」中，以國小三、四年級為研究對象，藉由紙筆測驗及面談方 式（以預先編制成的試題作為面談的調查工具）來探究學童在線對稱圖形、點對 稱圖形及其他幾何概念的發展情況，其中與角概念有關的研究內容，提到以下三 點結論： （一）約有二分之一的三年級學童對於角的概念認識不清楚，視角為一個三角 形，而四年級學童則皆已清楚角的形狀且會適當的畫出。 （二）就多邊形及角的基本概念而言，三年級還有不少學童概念甚為模糊，尚未 達到van Hiele 第一層次的水準，四年級學童則大都已通過了 van Hiele 第一層次的水準。

（三）在角度與方格圖上面積的實測，若稍加暗示與配合操作，三年級學童大都 可以理解，四年級學童則甚為熟悉，幾乎皆已達到van Hiele 第二層次的 思考水準。

綜合以上所述，可知昔日不少國小三年級學童的「角」概念較為模糊，而四 年級學童的「角」概念則較為清楚。 二、陳錦傳對學童角的大小比較之研究 陳錦傳（1995）在「國小四、六年級學童角的大小比較的解題策略之研究」 發現，學童具有許多不正確的角概念，且習慣以直覺判斷方式比較角的大小，而 較少以輔助工具或線性測量的方式作為比較角大小的解題方式。在「角的邊長」 項目中，角兩邊的長短不同會造成學童對角大小比較表現的差異，其中四年級約 有54％的學童受影響、六年級約有 33％的學童受影響。在「角的方位」與「角 的弧線標示」兩因素之交互作用，共有 35％的學童在角大小比較的表現上，會受 上述兩因素的影響。 三、蔡明哲對學童角概念之研究 蔡明哲（1998）研究「一個國小四年級學童的角概念」中指出，國小學童的 角概念可列舉出以下十個類型：「角是鄰近頂點的封閉區域」、「角的構成要素是 頂點、兩邊與兩邊之間的弧線」、「角形是沿著頂點的周界」、「旋轉、打開、張開 等活動都有角的察覺」、「尖尖的形狀是角」、「具有邊長不同、方位不同與弧線標 示不同的角度保留概念」、「直角、平角等特殊角是重要的參考角」、「具備個別單 位比較的觀念」、「優角的察覺必須透過角的分解」與「兩邊之間的寬度長度是角 大小比較的指標」。 四、柯慶輝對學童角概念之研究 柯慶輝（2000）採取臨床晤談法，以 6 個真實情境為題材，探究 12 名被隨 機分派為三組的國小三年級學童的角概念，發現學童角概念的形成，可藉由不同 角脈絡具體物的觀察與操作，知覺其中角的相似性，再藉由角情境的擴展，分析 個體的角經驗，而後經由抽象角模擬活動與造角活動，個體能從具體物中抽離出

角形，形成抽象角的心像；最後，以圖形（符號）或口語的方式將此抽象角表徵 出來。 五、黃金泉對學童角概念之研究 黃金泉（2003）在「國小四年級學童角概念研究」中指出，56％的學童會受 到角的邊長愈長、角的弧長愈長，角就愈大的直觀法則所影響，45％的學童對角 的意義，仍有釐清的必要；部分的學童對構成圖形角的觀念仍不甚清楚，一半的 學童有能力畫出指定度數的角，約一半的學童具有角方向改變及切割後再組合的 保留概念。 六、學童「角」的迷思概念（misconception of angle） 學童在學習知識的過程中，可能自行發展出某些自以為是、對事實不當的解 釋或錯誤混淆的概念，但這些概念是與教科書的教材內容、教師教學所傳達的知 識、學者專家所公認的事實並不相容或不一致，這些概念就被稱作「迷思概念」。 國內多位學者曾就這方面加以研究，根據這些學者研究結果，常見的一些迷 思概念分析整理如下：（張英傑，2003；陳瑞騰，2003；黃金泉，2003） （一）角的基本定義 ◎兒童認為角應該是「尖尖的」，以為只有銳角才是角，而不認為鈍角、平角 也是角。 ◎學童誤指「頂點、尖點、折點」就是角，將「角」和「點」混淆。 ◎部份學童會將由曲線所圍成的範圍或直線與曲線所圍成的區域當成是角，這 是對角的定義不清楚。 ◎部份學童認為角是「線」，如旋轉的線、張開的線、相交的線。 ◎兒童認為角度最大是 360 度，所以共有 360 種角；而且旋轉超過一圈以上就 不是角，只有還沒到一圈才叫做角。 （二）角的比較大小