第四章 研究結果與討論
第二節 角度概念紙筆測驗表現分析
本節依據學童的筆試作答情形及晤談資料內容，說明學童對角量概念的認知 表現情形。研究者將本節的角量概念分為四種概念類型說明，第一種概念類型為
「角的大小比較」，第二種概念類型為「量角器的認識與操作」，第三種概念類型 為「角的實測與估測」，第四種概念類型為「角度的解題與應用」。
壹、角的大小比較－直觀比較
角的大小比較為探討學童以直觀方式認知角張開程度並作大小的比較，包含 對頂角大小的比較、角邊粗細不同的比較、角量不同的比較、正五邊形與正六邊 形一內角的比較等四部分學童的表現，此試題概念分佈於三年級階段，參照學童 使用的版本為南一版、康軒版、翰林版等三版本進行分析，分別說明如下：
一、「對頂角」大小的比較之認知表現
本項為 B1-1 至 B1-3 概念「對頂角大小的比較」，是針對學童能否理解兩 直線相交的對頂角相等，而不受相交直線的長短，弧線標示的大小所影響，依 據學童作答情形及訪談內容，說明如下：
（一）「對頂角」大小的比較筆試題目與答題統計分析 題目：
（六-1）、角大小直觀比較－對頂角
1. （ ）請你比較左圖∠1 和∠2 這兩 個角的大小：
①∠1 大於∠2 ②∠1 等於∠2
③∠1 小於∠2 ④無法判斷。
2. （ ）請你比較左圖∠3 和∠4 這兩 個角的大小：
①∠3 大於∠4 ②∠3 等於∠4
③∠3 小於∠4 ④無法判斷。
3. （ ）請你比較左圖∠5 和∠6 這兩 個角的大小：
①∠5 大於∠6 ②∠5 等於∠6
③∠5 小於∠6 ④無法判斷。
2 1
B1-1
4 3
B1-2
6 5
B1-3
研究者藉由第六大題 B1-1 至 B1-3 概念來瞭解學童對於「對頂角大小的比
較」之認知表現。B1-1 概念呈現一組邊長相等的對頂角，B1-2 概念呈現一組
的長短並不會影響角的大小程度，這與 Stavy 和 Tirosh 的研究（四、六年級
率約 44％，顯示許多低分組學童概念不清楚，學童訪談時的反應表現說明如下：
1.正確認知學童的想法
知道相交兩直線所成的對頂角相等，角的邊線長短與弧線標示大 小並不影響兩個角度的相等，例如：
(1)HY50220 之認知表現
a.認知對頂角相等的概念（B1-1）
－0573 師：你認為∠1 和∠2 哪一個角比較大？
－0574 生：一樣大。
－0575 師：為什麼你認為∠1 等於∠2 呢？
－0576 生：因為它們兩個角是對角（對頂角），所以一樣大。
－0577 師：為什麼對角就會一樣大呢？
－0578 生：因為∠1 和旁邊這個角是一直線，∠2 和旁邊這個角也是一直線，所以這兩個對 角就一樣大。
b.認知對頂角相等的概念，角邊的長短不影響角的大小（B1-2）
－0579 師：你認為∠3 和∠4 哪一個角比較大？
－0580 生：一樣大。
－0581 師：為什麼你認為∠3 等於∠4 呢？
－0582 生：這兩個角也是對角。
－0583 師：可是∠4 的邊線比較長，圍成的區域比較大，不會影響∠4 的大小嗎？
－0584 生：不會，角的大小又不是看這些來決定的。
c.認知對頂角相等的概念，弧線標示的長短不影響角的大小（B1-3）
－0585 師：你認為∠5 和∠6 哪一個角比較大？
－0586 生：一樣大。
－0587 師：為什麼你認為∠5 等於∠6 呢？
－0588 生：這兩個角還是對角。
－0589 師：可是∠6 的弧線畫得比較長，不會影響到∠6 的大小嗎？
－0590 生：不會，角的大小是看兩邊開口大小，和畫弧線的長短沒有關係。
(2)HX51713 之認知表現
a.以對摺疊合的方式驗證兩角相等（B1-1）
－0591 師：你認為∠1 和∠2 哪一個角比較大？
－0592 生：∠1 等於∠2。
－0593 師：為什麼你認為∠1 等於∠2 呢？
－0594 生：我把圖形從交點的地方摺起來，兩個角就會重疊。
b.以摺疊方式驗證兩角相等，角邊的長短不影響角的大小（B1-2）
－0595 師：你認為∠3 和∠4 哪一個角比較大？
－0596 生：∠3 等於∠4。
－0597 師：為什麼你認為∠3 等於∠4 呢？
－0598 生：我還是把圖形摺起來，兩個角還是重疊，只是∠4 的邊線比較長。
c.以摺疊方式驗證兩角相等，弧線的長短不影響角的大小（B1-3）
－0599 師：你認為∠5 和∠6 哪一個角比較大？
－0600 生：∠5 等於∠6。
－0601 師：為什麼你認為∠5 等於∠6 呢？
－0602 生：我還是把圖形摺起來，兩個角也是重疊，只是∠6 的彎線比較長。
(3)MX51716 之認知表現
a.理解相對的角大小相等（B1-1）
－0603 師：你認為∠1 和∠2 哪一個角比較大？
－0604 生：相等。
－0605 師：為什麼你認為∠1 等於∠2 呢？
－0606 生：兩條直線相交，上下兩個角度一樣，左右兩個角度也是一樣。
b.理解相對的角大小相等，相交的位置不影響角的大小（B1-2）
－0607 師：你認為∠3 和∠4 哪一個角比較大？
－0608 生：相等。
－0609 師：為什麼你認為∠3 等於∠4 呢？
－0610 生：只是這兩條直線相交的地方偏上面，角度與線的長短沒有關係。
c.理解相對的角大小相等，圍成的區域範圍不影響角的大小（B1-3）
－0611 師：你認為∠5 和∠6 哪一個角比較大？
－0612 生：相等。
－0613 師：為什麼你認為∠5 等於∠6 呢？
－0614 生：還是兩條直線相交，只是下面的角圍出的範圍比較大。
2.錯誤認知學童的想法
以目視判斷角的大小，受「角」邊線長短、圍成區域大小，弧線 標示大小、開口大小所影響，誤判角的大小，例如：
(1)MY50228 之認知表現
a.以目視的方式比較角的大小，誤判比較的結果（B1-1）
圖 36
－0615 師：你認為∠1 和∠2 哪一個角比較大？
－0616 生：∠1。
－0617 師：為什麼你認為∠1 比較大呢？
－0618 生：∠1 的這裡比較大。
－0619 師：是比∠2 的哪裡比較大？
－0620 生：比∠2 的這裡比較大（如圖 36）。
－0621 師：那你是用什麼方法認定你所畫的地方，∠1 會比較大呢？
－0622 生：用看的。
b.以目視的方式比較有標示弧線的角大小，誤判比較的結果（B1-3）
圖 37
－0623 師：你認為∠5 和∠6 哪一個角比較大？
－0624 生：∠5 一樣大。
－0625 師：為什麼你認為∠5 比較大呢？
－0626 生：用看的。
－0627 師：你告訴老師要看那個地方才知道∠5 比較大呢？
－0628 生：這裡！∠5 就會大於∠6（如圖 37）。
(2)LY50414 之認知表現
a.受角內部面積（區域範圍）大小影響，誤判角的大小（B1-2）
－0629 師：你認為∠3 和∠4 哪一個角比較大？
－0630 生：∠4 大於∠3。
－0631 師：為什麼你認為∠4 比∠3 大呢？
－0632 生：感覺∠4 看起來比較大。
－0633 師：有沒有什麼方法支持你這樣的想法呢？
－0634 生：因為∠4 的面積（內部區域）比較大。
b.受弧線標示大小不同所影響，誤判角的大小（B1-3）
－0635 師：你認為∠5 和∠6 哪一個角比較大？
－0636 生：∠6 大於∠5。
－0637 師：為什麼你認為∠6 比較大呢？
－0638 生：因為∠6 的這裡（指弧線）畫得比較大，所以角就比較大。
(3)MY50231－忽略角邊的長短，受角開口大小所影響，誤判角的大小（B1-2）
－0639 師：你認為∠3 和∠4 哪一個角比較大？
－0640 生：∠4 大。
－0641 師：為什麼你認為∠4 比∠3 大呢？
－0642 生：因為∠4 的開口比較大。
(4)MX51129－受角邊的長短所影響，誤判角的大小（B1-2）
－0643 師：你認為∠3 和∠4 哪一個角比較大？
－0644 生：∠3 比較小。
－0645 師：為什麼你認為∠3 比較小呢？
－0646 生：因為這兩條線相交沒有在中心，比較在上面，∠3 的線比較短。
(5)LX51703－受角邊的長短所影響，誤判角的大小（B1-2）
－0647 師：你認為∠3 和∠4 哪一個角比較大？
－0648 生：∠4 大於∠3。
－0649 師：為什麼你認為∠4 大於∠3 呢？
－0650 生：因為∠4 的線比較長。
綜合以上紙筆統計結果與訪談資料分析，學童進行對頂角大小的直觀比較 概念發現，學童能正確認知對頂角相等，不受其他因素影響的比例並不高。當 兩直線相交於中點處的對頂角，能正確辨認的學童高達約 91%；當在對頂角內 部標示大小不同的弧線，則有部分學童受弧線影響，忽略對頂角的圖示並沒有 改變，通過率降至 60%；當兩直線相交出的對頂角，形成其中一角的邊線比較 長，另一角的邊線比較短的圖示時，就有部分學童受邊線長短、區域範圍大小 影響，忽略對頂角的大小並沒有改變，通過率降至 53%。顯示不少學童對於角 的定義不很清楚，在直觀比較角的大小易以一維概念思考，受無關的因素所影 響，與 Stavy 和 Tirosh 的 More A
－
More B 直觀法則（Intuitive Rules）研究 的結果相符。依學童所使用的版本別觀察其作答情形加以比較，使用翰林版的 學童在邊線等長的對頂角大小比較表現，明顯優於使用南一與康軒版的學童；但當有其他因素加入時（邊線長短、弧線大小），使用翰林版的學童的表現反 而略低於使用南一版與康軒版的學童，可能是這些學童在認知角的大小時，受 上述因素的干擾。三個版本的教學活動中，皆有建議教師教學應時常變換角的 邊長，以診斷學童是否具有迷思概念，或進行描繪角教學活動時，讓學童親自 體驗角的邊線長短與角的大小無關，釐清學童的迷思概念。教師是否配合建議 教學，有待深入探討。至於概念不正確的學童，可能以自己的直覺去判斷，對 角的邊長與角的大小的關係尚有所誤解。
二、「角邊粗細」的大小比較之認知表現
本研究題 B1-4 概念「角邊粗細的大小比較」是針對學童能否理解描繪相 同的一個角，描繪所成的角形之邊線粗細並不影響此角的大小，依據學童作答 情形及訪談內容，說明如下：
（一）「角邊粗細」的大小比較筆試題目與答題統計分析
題目：
1.正確認知學童的想法
知道角邊線的粗細不影響角的大小，例如：
(1)MY50231－描繪同一個角，粗細不影響角的大小（B1-4）
－0651 師：你認為∠3 和∠4 哪一個角比較大？
－0652 生：∠3 等於∠4。
－0653 師：為什麼你認為∠3 等於∠4 呢？
－0654 生：粗和細只是用不同的筆畫出來。
(2)MX51129－線的粗細與角的大小沒有關係（B1-4）
－0655 師：你認為∠3 和∠4 哪一個角比較大？
－0656 生：一樣大。
－0657 師：為什麼你認為∠3 和∠4 一樣大呢？
－0658 生：因為線的粗細與角的大小沒有關係。
2.錯誤認知學童的想法
受角邊的粗細所影響，誤判角的大小，例如：
(1)MY50228－受角邊線的外邊緣所影響，誤判角的大小（B1-4）
－0659 師：你認為∠3 和∠4 哪一個角比較大？
－0660 生：∠3 比較大。
－0661 師：為什麼你認為∠3 比較大呢？
－0662 生：因為線也會佔一點點角度，線比較粗角就會縮進去，所以角度就會變小。
(2)LY50204－受角邊線的內邊緣所影響，誤判角的大小（B1-4）
－0663 師：你認為∠3 和∠4 哪一個角比較大？
－0664 生：∠4 比較大。
－0665 師：為什麼你認為∠4 比較大呢？
－0666 生：因為線比較粗的時候，用量角器量得到的角度就會比較大。
－0667 師：那怎麼看量角器呢？
－0668 生：因為粗的線裡面和細的線是一樣的角度，但粗的線多一點點出來，量起來角就 會大一點點。
綜合以上紙筆統計結果與訪談資料分析，學童進行等角的大小比較概念發 現，絕大部分學童（約為 91%）能正確認知等角是不受角邊線的粗細所影響。
但答錯的學童中，許多學童忽略是描繪三角板的同一個角，把比較的要領著重 在邊的粗細。認為∠4 大於∠3 的學童（約 8%）是把粗線當作有寬度的線，以
∠4 的內邊線為基準與∠3 相等，而粗線的厚度就會使∠4 的角度變大，所以就
認定∠4 大於∠3；認為∠4 小於∠3 的學童（約 16%）也是把粗線當作有厚度 的線，以∠4 的外邊線為基準與∠3 相等，而粗線的厚度會使∠4 的角度變小，
所以就認定∠4 小於∠3。這些觀點都是不正確的認知，顯示國小學童尚未具有 數學平面圖形中，點無大小、線無粗細的概念。本研究的結果與 Stavy 和 Tirosh 的研究略有不同，Stavy 和 Tirosh 認為國小低年級的學童受 More A
－
More B 的直觀所影響，認為角邊線較粗，角就較大，但本研究的國小高年級部分學童（約 16%）反而有不同的想法，這種差異現象值得作深一層的研究。在三個版 本的教材中並無類似的內容，學童可能因而缺乏這方面的檢驗或欠缺討論判斷 澄清，只憑自己的直覺想像所致，與學習的教材版本設計差異之關係可能較低。
三、「角量不同」的大小比較之認知表現
本研究「角量不同的大小比較」是針對學童能否目視辨別角量明顯不同的 兩個角之大小比較，依據學童作答情形及訪談內容，說明如下：
（一）「角量不同」的大小比較筆試題目與答題統計分析 題目：
（六-3）、角量大小直觀比較－角量不同
5. （ ）請你比較左圖∠7 和∠8 這兩 個角的大小：
①∠7 大於∠8 ②∠7 等於∠8
①∠7 大於∠8 ②∠7 等於∠8