本研究係探討國民小學五年級學童對「角概念」的認知，並分析與瞭解學童 對於「角」概念類型的表現與迷思情形。本章將就「研究動機」、「研究目的與待 答問題」、本研究之相關「名詞解釋」及「研究限制」依序加以說明。
第一節 研究動機
人是視覺的動物，為了生存，人類天賦的「形」或「幾何」直覺，遠比一般 人所想像還要豐富堅實。所以，國小幾何課程不但是數學教育的重要基本課題，
也是較易學習、較有趣的教學單元（教育部，2003）。
「全美數學教師協會」（
National Council of Teachers of Mathematics
，簡稱 NCTM）在2000年也指出，過去小學數學教材較偏重算術，而忽略幾何的學習，因此幾何的地位與重要性需要得到適當的提高。同時亦指出幾何教學的目標是藉 由分析幾何圖形的特徵與屬性，來幫助學童了解幾何學的性質和關係，能於日常 生活中加以應用；並強調學童應該發展幾何空間知覺和具體表徵的系統。同樣 的，學者林碧珍（2003）研究我國國小四年級學童於2003年在國際數學與科學教 育成就趨勢調查（
The Trends in International Mathematics and Science Study
，簡 稱TIMSS）
的數學成就表現中指出，幾何內容評量的比例，已有明顯的提升，顯 示幾何教材的學習逐漸受到國際評量的重視。由上述可知，幾何課程的學習促進學童對數學的興趣、且與我們生活具有密 不可分之關連性，又國際基礎數學教育的潮流，正有逐漸重視幾何教育的趨勢。
Clements 和 Battista（1992）指出，國小學童對於「角」概念的學習是非 常困難的。探究原因，發現構成幾何圖形的基本要素中，就屬「角」概念較為抽 象又不易為學童所理解。Piaget（1960）指出學童「角」概念的認知發展遠比其 他數學概念的發展來得慢，八歲以前的學童，大都還以「角」的邊長來判定角的 大小，直到八歲以後，才能觀察角的兩邊之張開程度作為判別角的大小之依據。
但此時許多學生仍缺乏角的保留概念，容易受角擺置的方向不同而認為角的大小 就不同。Wilson（1992）對143位國小六年級學童調查矩形的定義，大部分的學 童都提出矩形是一個有四個邊線的四邊形，或是四邊形中有兩組平行、等長的對 邊；大部分的學童都未提及「角」的字眼，只有約百分之一的學童有提到矩形有 四個「角」或四個「直角」，由上可知國小學童瞭解幾何圖形「邊」的性質通常 就多於對「角」性質的瞭解。另外，Stavy 和 Tirosh（2000）對國小學童調查兩 直線相交所成的一組對頂角是否相等、兩角的「邊長長短不同」及「弧線標示大 小不同」之表現，結果發現國小四年級學童在這兩項目的角概念答錯率都接近40
％。因為學童受到More A（角的邊長及弧長愈長）－More B（角就愈大）的直 觀法則所影響。國內學者（劉湘川、劉好、許天維、易正明，1993）研究亦發現，
約有二分之一的國小三年級學童對角的概念不清楚，容易視「角」為一個三角形 或僅為角頂點之一點的錯誤概念。劉好（1996）指出平面上的有限圖形（如多邊 形）中，並不包含任何角，而是包含了「角」頂點的鄰近區域。所以構成角頂點 的鄰近區域線段長度不同，會使角頂點的鄰近區域有所不同。但角的兩邊之張開 程度大小，卻不因邊長的差異而有所不同。
「角」概念是幾何課程學習的重要基礎，依據九年一貫暫行綱要所編寫的國 小數學課程「角」單元分佈在三至五年級，唯有深入探討國小五年級學童具備角 概念的情況，才能明瞭其整體角概念的學習成效。國內有不少研究「角」概念的 文獻，如陳錦傳（1995）在「國小四、六年級學童角的大小比較的解題策略之研 究」中指出，大部分的國小學童習慣以直覺判斷的方式來比較角的大小。角的邊 之長短、角的弧線標示、角的方位等因素，都會影響學童角的大小比較的表現。
柯慶輝（2000）在「國小三年級學童具體角情境解題之研究」中指出，學童對於
「角」的認知是「形的角」先於「定義的角」；角概念的發展順序依次是「情境 的角概念」、「脈絡的角概念」、「抽象的角概念」。黃金泉（2003）在「國小四年 級學童角的概念之研究」中指出，56％的學童會受到角的邊長、角的弧長愈長，
角就愈大的直觀法則所影響、45％的學童對角的意義，仍有釐清的必要。上述的
研究皆不是以國小五年級學童為其研究對象，其三、四年級學童容易發生的迷思 概念，對五年級學童而言，是否有著相同的情形？且又隨著九年一貫暫行綱要課 程的實施，對教材內容、課程進度及教學方式的改進之下，能否有助於上述情形 的改善卻不得而知？
綜合上述文獻，可知描述角的方式具有多樣性，使得學童在建構「角」概念 時常產生困難，故在國小幾何教材及教學中，需要針對「角」單元的教材編排及 教材內容進行探討，找出學童不易理解及容易迷思的部分加以輔導，才能建立學 童正確的角概念。研究者在擔任國小高年級數學科教學時，也常發覺學童對角概 念缺乏正確的認知，例如：一個四邊形的二倍擴大圖，有些學童除了知道邊長變 成二倍，也認為角度會跟著變成二倍的錯誤概念。所以研究者深覺必須針對國小 學童在角概念的理解程度及迷思情形再深入探討，並提供教學參考，期使學生學 習及建立正確「角」的概念，為往後幾何課程的學習，奠定深厚紮實的基礎。
第二節 研究目的及待答問題
依據上述研究動機，本研究擬針對學習九年一貫暫行綱要課程之國小五年級 學童在「角」概念之學習情況進行探討。研究目的及待答問題，分述如下：
壹、研究目的
一、探究國小五年級學童「角」概念理解情形的表現。
二、探究國小五年級學童「角度」概念理解情形的表現。
三、探究國小五年級學童作答表現與教材設計的關係情況。
四、探究國小五年級學童「角」概念之實作能力表現情形。
五、探究國小五年級學童在「角」概念方面之可能迷思情況。
貳、待答問題
依據研究目的，本研究之待答問題為：
一、國小五年級學童「角」概念的表現如何？
（一）認識角名稱的表現為何？
（二）辨認角圖形的表現為何？
（三）直角概念的表現為何？
（四）旋轉角概念的表現為何？
（五）角的分類與應用表現為何？
（六）角的保留概念表現為何？
二、國小五年級學童「角度」概念的表現如何？
（一）角大小的直觀比較表現為何？
（二）量角器的認識與操作的表現為何？
（三）角度實測與估測概念的表現如何？
（四）角度解題與應用的表現為何？
三、參照「南一」、「康軒」、「翰林」三版本學習的國小五年級學童，其角 概念表現的差異情況為何？
四、國小五年級學童「角」實作表現如何？
（一）實物形體角的辨認表現為何？
（二）實作三角形與四邊形的內角和的表現如何？
（三）角大小的直接比較與間接比較的表現為何？
（四）實作互補角與鈍角三角形的表現為何？
五、國小五年級學童「角」的概念有何迷思？
第三節 名詞釋義
茲將本研究之重要名詞，界定如下：
壹、國小五年級學童
本研究所指的國小五年級學童，是指於八十八學年進入國小就讀一年級，九 十二學年完成國小五年級課程之學童，其一年級到三年級係接受民國八十二年頒 佈的課程標準之數學課程，四年級到五年級則接受九年一貫課程暫行綱要數學領 域的課程。
貳、九年一貫課程數學領域中之「角」概念
九年一貫暫行綱要數學領域，係根據學生的學習方式與思考型態兩項特徵，
將國小至國中九個年級課程區分為四階段。本研究「角」概念相關部份係涵蓋階 段一（國小 1～3 年級）及階段二（國小 4～5 年級）中，有關「數與量」主題中 的「量與實測」子題的角度度量概念及「圖形與空間」主題的角概念之能力指標 為主。
參、直線、射線、線段
本研究中的「線段」是指利用直尺把兩點以直的線連接起來，所得到的一條 線段；「直線」是指將線段向兩端方向無限延伸，形成的一條線，沒有端點，兩 端具有可延長性；「射線」是指將線段向一端方向無限延伸，形成的半線，射線 只有一個端點（中學數學實用辭典，1995）。本研究定義「角」是一雙定出兩個 方向間的差量之射線，但考量國小學童尚未具有「可延長性」的概念，因此課程 中尚未引入理論上（幾何學上）的直線與射線概念，學童可能尚無法體會「角」
的邊是一種射線，故角圖形的呈現其邊以線段表示之。
肆、角的保留概念
本研究中的「角的保留概念」是指角的大小不因「方位擺置的不同」、「切 割重組」、「邊的長短不同」等因素而會有所改變。
伍、圖形角概念
本研究中的「圖形角概念」是指由共一端點的兩射線所圍成平面區域的一部 分角形，是一種有限制範圍的角形。
陸、張開角概念
本研究中的「張開角概念」是指二線段以一共同的固定點（共一端點及相同 指向），兩邊同時張開所形成的角，不計較始邊與終邊，只著重角的張開現象與 程度，如紙扇的張開現象。
柒、旋轉角概念
本研究中的「旋轉角概念」是指一線段從起點（朝某一方向）繞著一端點旋 轉到另一位置（指向另一方向），所形成的角，也就是將角視為旋轉，著重角的 旋轉程度。
捌、角的實測概念
本研究中的「角的實測概念」是指學生能使用量角器量測圖形角的度數或大 小，並以「度」為量測值的單位。
玖、角的估測概念
本研究中的「角的估測概念」是指學生能對角形的兩邊張開程度大小，非使 用量角器直接測量，而以心像或某種方式估出角兩邊張開程度的度數。
拾、角的實作表現
本研究中的「角的實作表現」是指由實際操作的方式來探究學童角概念理解 的情形，包含以下七項：（一）實物形體上角的辨認（二）三角形內角和的操作 觀察（三）四邊形內角和的操作觀察（四）角大小的直接比較（五）角大小的間 接比較（六）互補角的作圖（七）鈍角三角形的作圖。