兒童面積概念發展

本節內容主要是針對面積的定義及面積概念發展進行探討，分述如下：

壹、面積的意義

所謂「面積」，指的是某一封閉二維區域的大小，就是對某一特定區域被數 個單位量的覆蓋程度，亦即被覆蓋面的大小（譚寧君，1995a）。此時的覆蓋活動，

包含了兩個條件，即﹙1﹚面積是有周界的，故覆蓋物不能超過給定的邊界。﹙2﹚

面積是從一維到二維掃描的結果，故覆蓋物不能重疊。

貳、面積概念的發展

譚寧君（1998b）在高年級面積教材分析中曾提及面積概念發展是漸進的，是從操 作的經驗中察覺的，而非從背誦中了解。根據國民中小學九年一貫課程綱要數學 學習領域目標分類，面積是屬於「量與實測」的教材領域，一般面積概念包括有 面積保留概念、面積測量概念及面積估測概念。茲分別敘述如下：

一、面積的保留概念

次的經驗累積才逐步形成（譚寧君，1998b）。Piaget et al.（1960）認為面積 保留是指兒童認知物件經過某種轉換後（如位置、形狀改變），其面積仍然保持 不變的能力。

面積保留概念又可包含二個子概念，分別敘述如下：

（一）基本面積保留概念

任何封閉範圍內面積的大小，不因位置改變而有不同，也就是說圖形的面積 不會因為移動、轉動或分割而改變其面積大小。另外，若圖形本身是合成圖形，

例如一個正方形是由二個三角形的面積組合而成，將其中一個三角形移動到另一 側， 形成一個大三角形，則此大三角形與原來正方形的形狀不同，但是面積還是 相等，這就是等積異形的概念，此概念的形成有助於瞭解數學的重要屬性－不變 性（譚寧君，1995b）。

（二）互補面積保留概念

互補面積保留是指在面積相等的二個面上，減去形狀不同但面積相同的兩塊 小平面後，其所剩下的面積仍然相等，亦即等量減等量結果相等。互補面積保留 為一逆向的邏輯思考，在兒童已經具備基本面積保留概念後，教學者才能提及此 互補關係。

Piaget 曾針對此概念設計一草地內馬鈴薯園的實驗，以檢驗兒童何時開始具備互 補面積保留概念。結果發現七歲以下的兒童無任何面積保留概念，七至八歲僅具 備基本面積保留，八歲以上的兒童才逐步形成互補面積保留（譚寧君， 1995b）。

二、面積的測量概念

面積測量則是從個別物件，如利用課本和作業簿來描述桌面的大小，到個別 單位，如用相同的十張報紙來描述黑板的大小，進而至普遍單位的使用，如用平 方公分的方格板來記數，最後才察覺面積公式之由來。譚寧君（1998b）在高年級 面積教材分析中提及面積概念有三種如下：

（一）基本面積概念

在給定的平方單位格內，點數單位面積的個數，此表示在給定的平方單位格 內點數單位面積的個數，如圖2-1，甲圖表示面積佔了2個平方單位，乙圖佔了4個 平方單位，甲圖與乙圖可透過視覺直接點數，故較容易。但當面積非整數格時，

即形成面積的補償作用。如圖丙中，合起來是2平方單位，此補償作用的關係是建 立在面積的保留概念上。

圖 2- 1 點數單位面積圖

（二）單位面積概念

此時面積的測量是透過各個不同單位量的覆蓋或拼湊而成。例如，一個長邊8 公分，寬邊4公分的長方形，可以由不同單位量加以描述面積的大小，如用邊長1 公分的正方形加以覆蓋，則長方形可用32個□蓋滿，即表示長方形的面積是32個 平方單位；如用底和高各1公分的直角三角形，則長方形要用64個⊿蓋滿，此時雖 為同一長方形，但由於單位量的不同（一為□，一為⊿），故其單位數亦有不同

（一為32個□，一為64個⊿）。（譚寧君，1998b）

Piaget等（1960）曾設計疊置法與單位測量法來研究兒童的單位面積概念，現將 其研究略述如下：

1.疊置法（measurement by super-position）：

主試者出示一直角三角形，和一個不規則的圖形（如圖2-2），然後給 兒童一些比較小的測量紙卡，包括正方形，直角三角形和長方形，這些紙 卡的數量正好可以疊置於直角三角形或不規則的圖形上，而且兩個小正方 形紙卡是等於一個小長方形紙卡；而一個小正方形紙卡等於兩個小直角三 角形。主試者讓兒童嘗試疊置這些測量紙卡於直角三角形與不規則圖上，

詢問兩圖形是否一樣大。主試者也可以教兒童如何疊置，但不暗示答案。

這個實驗需要兩個重要的概念：（1）測量紙卡的合併運用，亦即兩個次級 單位可以合併為一個單位。（2）一個圖形若被某些測量紙卡蓋滿，而另一 個圖形也能用同樣的這些紙卡蓋滿，則兩圖形大小相等，亦即數學上的相 等關係的遞移性（A＝B，B＝C，則A＝C）。這實驗的結果發現：七歲半到 八歲以上已能正確回答，他們會使用測量紙卡，且具備遞移概念。

圖 2- 2 疊置法的面積測量概念實驗圖 2.單位測量法（measurement by unit iteration）：

這個方法是只給兒童一個剪好的測量紙卡做為測量單位，以重複測量 方式去比較不同圖形的面積是否相等的題目。Piaget等人設計下列Ａ、Ｂ、

Ｃ、Ｄ、Ｅ五個不同形狀的圖形（如圖2-3），另外給兒童一個小正方形紙 卡（大小與虛線所示正方形相同），各圖形出示給兒童時是空白，沒有畫 線。主試者拿出一枝鉛筆要兒童用小正方形紙卡在Ａ、Ｂ、Ｃ圖形上描畫，

量量看三個圖是否相等。然後給兒童一個長方形紙卡（為兩個正方形紙卡 的和），一個直角三角形紙卡（為正方形紙卡的一半），連同原來的正方 形紙卡，共三種測量紙卡，要兒童使用，亦可用鉛筆描畫，比較Ｄ、Ｅ兩 個圖形是否相等。結果發現：七歲半到八歲以上的兒童已能正確且明白基 本測量單位的關係。

圖 2- 3 單位測量法的面積測量概念實驗圖

（三）直線測量面積概念

直線測量法（straight line measuring）與前述基本面積概念透過點數測量，

單位面積概念透過覆蓋、拼湊、比較與分割等活動以進行測量是完全不同的，直 線測量已包括單位在數學上的相乘關係，此屬於較抽象的推理層次，基本面積與 單位面積則只是在單位數的累加與單位量的比較，但一般所謂的面積公式如長方 形面積等於長乘以寬，三角形面積等於底乘以高除以二則屬於此範疇。（譚寧君，

1995a）

Piaget等人（1960）以面積加倍的概念探討方式，來研究兒童使用直線測量，以 測量出面積的概念。其設計是主試者出示一條三公分的線段，請兒童先畫出兩倍 長的線段。然後給他一支尺與一根細線，及一個三公分見方的正方形，要兒童畫 出原正方形兩倍大的正方形（不是長方形），其結果發現十一歲或十二歲左右的 兒童開始了解「乘長度」來確定面積的問題，他知道先求原正方形面積 3×3＝9，

再求兩倍的面積是 9×2＝18，而 4×4＝16 所以新的正方形每邊長度會比四略大一 些，這已進入形式運思期的認知作用。

譚寧君（1995b）的研究中提出直線測量面積概念包含4個部份：面積公式、面積 作圖、單位量的轉換、面積的包含關係，分別敘述如下：

1.面積公式：

兒童藉由了解長1公分、寬1公分的正方形面積為1平方公分，知道長4 公分、寬2公分的長方形面積，一排有4個1平方公分的正方形，共有2排，

即有4×2＝8，8個1平方公分，而得到長方形的面積公式為長×寬。平行四邊 形面積可透過分割、拼湊等活動合成一個長方形（如圖2-4），平行四邊形

長方形的面積＝長×寬＝底×高。

圖 2- 4 平行四邊形分割、拼湊成長方形圖

其他如三角形、梯形、圓形的面積都透過分割、拼湊等活動而發現了 一般通式，即所謂的面積公式。面積的公式乃透過推演的過程而不是只靠 記憶，如此兒童才能掌握各公式間的關連性。

2.面積作圖：

請兒童在釘板上圍出8平方公分的圖形，或在方格上作圖，如畫出面積 為12平方公分的平行四邊形、梯形、三角形……等，兒童可透過點數的經 驗而圍出一封閉的區域並符合條件的圖形，用實作的方式來檢驗兒童的面 積概念。

3.單位量的轉換：

面積概念的重點之一即在單位量的掌握，在單位面積概念中單位量的 轉換是透過實作逐漸形成的，以圖像呈現給定單位量的關係，進行單位量 的化聚，直線測量面積概念中單位量的轉換是使用二維的測量公式，如長 30公分、寬20公分的長方形，要用邊長5公分的正方形去覆蓋需要多少個，

30÷5＝6 長的這一邊每排可以排6個正方形，20÷5＝4 共可以排4排，所以 共需要6×4＝24，24個正方形才能覆蓋滿長方形。

4.面積的包含關係：

在計算面積時，可透過分割後形成獨立的封閉區域，分別算出面積後 再組合（如圖2-5Ａ），若是某一封閉區域為二個封閉區域所交集形成的（如 圖2-5Ｂ），則學生需先瞭解集合的包含關係，再透過面積測量公式方能解 題。此圖灰色部分為二個四分之一圓所交集而成的，其面積等於二個四分

圖 2- 5 面積合成圖

三、面積的估測概念

估測概念是目前數學教育內涵中不可或缺的概念發展，其是從保留概念的形 成到測量概念的建立逐步發展，其包含估量與估算。James（1982）提出：「估量 是用以前所形成的標準進行比較，形成標準必須靠經驗。」Hall（1984）認為：

「估測是一種可以訓練的猜測活動，它能在未知數量前，進行估量的活動。當我 們進行估量時，我們以心中既定的標準來進行估量。」由此可知，建立一系列的 經驗對於估測來說是相當重要的。

面積估測概念注重量感的培養，先利用目測或手測（自然的工具），以感覺 的方式進行估測，如猜猜一張圖畫紙有多大？估測活動之後，再利用工具檢驗，

此種先猜後檢驗的活動，既能引起學生參與的興趣，又能培養估測的能力。

此種先猜後檢驗的活動，既能引起學生參與的興趣，又能培養估測的能力。